System autonomiczny (matematyka) - Autonomous system (mathematics)

Diagram stabilności klasyfikujący mapy Poincarégo liniowego układu autonomicznego jako stabilne lub niestabilne w zależności od ich cech. Stabilność generalnie wzrasta na lewo od diagramu. Niektóre ujścia, źródła lub węzły są punktami równowagi . ${\ displaystyle x '= topór,}$

Przypadek dwuwymiarowy odnosi się do płaszczyzny fazy .

W matematyce An autonomiczny system lub autonomiczną równania różniczkowego jest układ z równań różniczkowych , które nie jest bezpośrednio zależne od zmiennych niezależnych . Gdy zmienną jest czas, nazywane są również systemami niezmiennymi w czasie .

Wiele praw fizyki , w których zwykle przyjmuje się, że zmienną niezależną jest czas , jest wyrażonych jako systemy autonomiczne, ponieważ zakłada się, że prawa natury, które obowiązują obecnie, są identyczne z prawami obowiązującymi w dowolnym momencie w przeszłości lub w przyszłości.

Systemy autonomiczne są ściśle powiązane z systemami dynamicznymi . Każdy system autonomiczny można przekształcić w system dynamiczny, a przy bardzo słabych założeniach system dynamiczny można przekształcić w system autonomiczny.

Definicja

System autonomiczny to układ równań różniczkowych zwyczajnych postaci

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} x (t) = f (x (t))}$

gdzie x przyjmuje wartości w n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej ; t jest często interpretowane jako czas.

Wyróżnia się z układów równań różniczkowych postaci

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} x (t) = g (x (t), t)}$

w którym prawo rządzące ewolucją systemu zależy nie tylko od aktualnego stanu systemu, ale także od parametru t , ponownie często interpretowanego jako czas; takie systemy z definicji nie są autonomiczne.

Nieruchomości

Rozwiązania są niezmienne w przypadku tłumaczeń poziomych:

Niech będzie unikalnym rozwiązaniem problemu wartości początkowej dla systemu autonomicznego ${\ Displaystyle x_ {1} (t)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} x (t) = f (x (t)) \ ,, \ quad x (0) = x_ {0}.}$

Następnie rozwiązuje ${\ Displaystyle x_ {2} (t) = x_ {1} (t-t_ {0})}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} x (t) = f (x (t)) \ ,, \ quad x (t_ {0}) = x_ {0}.}$

Rzeczywiście, oznaczając mamy, a więc ${\ displaystyle s = t-t_ {0}}$${\ Displaystyle x_ {1} (s) = x_ {2} (t)}$${\ displaystyle ds = dt}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} x_ {2} (t) = {\ Frac {d} {dt}} x_ {1} (t-t_ {0}) = {\ Frac {d} {ds}} x_ {1} (s) = f (x_ {1} (s)) = f (x_ {2} (t)).}$

W przypadku warunku początkowego weryfikacja jest banalna,

${\ Displaystyle x_ {2} (t_ {0}) = x_ {1} (t_ {0} -t_ {0}) = x_ {1} (0) = x_ {0}.}$

Przykład

Równanie jest autonomiczne, ponieważ zmienna niezależna, nazwijmy ją , nie pojawia się jawnie w równaniu. Aby wykreślić pole nachylenia i izoklinę dla tego równania, można użyć następującego kodu w GNU Octave / MATLAB${\ Displaystyle y '= \ lewo (2-y \ prawej) y}$${\ displaystyle x}$

Ffun = @(X, Y)(2 - Y) .* Y; % function f(x,y)=(2-y)y
[X, Y] = meshgrid(0:.2:6, -1:.2:3); % choose the plot sizes
DY = Ffun(X, Y); DX = ones(size(DY)); % generate the plot values
quiver(X, Y, DX, DY, 'k'); % plot the direction field in black
hold on;
contour(X, Y, DY, [0 1 2], 'g'); % add the isoclines(0 1 2) in green
title('Slope field and isoclines for f(x,y)=(2-y)y')

Z wykresu można zauważyć, że funkcja jest -invariant, podobnie jak kształt rozwiązania, czyli dla dowolnego przesunięcia . ${\ Displaystyle \ lewo (2-y \ prawej) y}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle y (x) = y (x-x_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Symboliczne rozwiązanie równania w programie MATLAB przez uruchomienie

syms y(x);
equation = (diff(y) == (2 - y) * y);
% solve the equation for a general solution symbolically
y_general = dsolve(equation);

otrzymujemy dwa równowagi rozwiązań, a , a trzeci roztwór z udziałem nieznanej stałej , . ${\ displaystyle y = 0}$${\ displaystyle y = 2}$${\ displaystyle C_ {3}}$-2 / (exp(C3 - 2 * x) - 1)

Podnosząc określone wartości dla warunku początkowego , możemy dodać wykres kilku rozwiązań

Pole nachylenia z izoklinami i roztworami

% solve the initial value problem symbolically
% for different initial conditions
y1 = dsolve(equation, y(1) == 1); y2 = dsolve(equation, y(2) == 1);
y3 = dsolve(equation, y(3) == 1); y4 = dsolve(equation, y(1) == 3);
y5 = dsolve(equation, y(2) == 3); y6 = dsolve(equation, y(3) == 3);
% plot the solutions
ezplot(y1, [0 6]); ezplot(y2, [0 6]); ezplot(y3, [0 6]);
ezplot(y4, [0 6]); ezplot(y5, [0 6]); ezplot(y6, [0 6]);
title('Slope field, isoclines and solutions for f(x,y)=(2-y)y')
legend('Slope field', 'Isoclines', 'Solutions y_{1..6}');
text([1 2 3], [1 1 1], strcat('\leftarrow', {'y_1', 'y_2', 'y_3'}));
text([1 2 3], [3 3 3], strcat('\leftarrow', {'y_4', 'y_5', 'y_6'}));
grid on;

Analiza jakościowa

Systemy autonomiczne można analizować jakościowo za pomocą przestrzeni fazowej ; w przypadku jednej zmiennej jest to linia fazowa .

Techniki rozwiązania

Poniższe techniki mają zastosowanie do jednowymiarowych autonomicznych równań różniczkowych. Każde jednowymiarowe równanie rzędu jest równoważne z -wymiarowym układem pierwszego rzędu (jak opisano w redukcji do systemu pierwszego rzędu ), ale niekoniecznie odwrotnie. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Pierwsze zlecenie

Równanie autonomiczne pierwszego rzędu

${\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = f (x)}$

jest rozłączny , więc można go łatwo rozwiązać, przekształcając go w integralną formę

${\ Displaystyle t + C = \ int {\ Frac {dx} {f (x)}}}$

Drugie zamówienie

Równanie autonomiczne drugiego rzędu

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = f (x, x ')}$

jest trudniejsze, ale można go rozwiązać, wprowadzając nową zmienną

${\ displaystyle v = {\ frac {dx} {dt}}}$

i ekspresji drugiej pochodnej o poprzez reguły łańcuch co ${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = {\ Frac {dv} {dt}} = {\ Frac {dx} {dt}} {\ Frac {dv} {dx}} = v {\ frac {dv} {dx}}}$

tak, że pierwotne równanie staje się

${\ Displaystyle v {\ Frac {dv} {dx}} = f (x, v)}$

które jest równaniem pierwszego rzędu nie zawierającym odniesienia do zmiennej niezależnej . Rozwiązywanie zapewnia w funkcji . Następnie przypominając definicję : ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = v (x) \ quad \ Rightarrow \ quad t + C = \ int {\ Frac {dx} {v (x)}}}$

co jest niejawnym rozwiązaniem.

Przypadek specjalny: x '' = f ( x )

Specjalny przypadek, w którym jest niezależny od ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x '}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = f (x)}$

korzyści z oddzielnego leczenia. Te typy równań są bardzo powszechne w mechanice klasycznej, ponieważ zawsze są to układy hamiltonowskie .

Chodzi o to, aby wykorzystać tożsamość

${\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = \ lewo ({\ Frac {dt} {dx}} \ prawej) ^ {- 1}}$

co wynika z zasady łańcucha , wykluczającej wszelkie problemy wynikające z dzielenia przez zero .

Odwracając obie strony systemu autonomicznego pierwszego rzędu, można natychmiast zintegrować w odniesieniu do : ${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = f (x) \ quad \ Rightarrow \ quad {\ Frac {dt} {dx}} = {\ Frac {1} {f (x)}} \ quad \ Rightarrow \ quad t + C = \ int {\ frac {dx} {f (x)}}}$

co jest innym sposobem spojrzenia na technikę separacji zmiennych. Czy możemy zrobić coś takiego z równaniami wyższego rzędu? Odpowiedź brzmi tak dla równań drugiego rzędu, ale jest jeszcze więcej do zrobienia. Drugą pochodną należy wyrazić jako pochodną w odniesieniu do zamiast : ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} & = {\ Frac {d} {dt}} \ lewo ({\ Frac {dx} { dt}} \ right) = {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) {\ frac {dx} {dt}} \\ [4pt] & = {\ frac {d} {dx}} \ left (\ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 1} \ right) \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 1} \\ [4pt] & = - \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 2} {\ frac {d ^ {2} t} {dx ^ {2}}} \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 1} = - \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 3} {\ frac {d ^ {2} t} {dx ^ {2}}} \\ [4pt] & = {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 2} \ right) \ end {aligned}}}$

Podkreślając ponownie: osiągnięto to, że druga pochodna względem została wyrażona jako pochodna . Można teraz zintegrować oryginalne równanie drugiego rzędu: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} & = f (x) \\ {\ Frac {d} {dx}} \ lewo ({ \ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 2} \ right) & = f (x) \\\ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- 2} & = 2 \ int f (x) dx + C_ {1} \\ {\ frac {dt} {dx}} & = \ pm {\ frac {1} { \ sqrt {2 \ int f (x) dx + C_ {1}}}} \\ t + C_ {2} & = \ pm \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {2 \ int f (x) dx + C_ {1}}}} \ end {aligned}}}$

To jest niejawne rozwiązanie. Największym potencjalnym problemem jest niemożność uproszczenia całek, co oznacza trudność lub niemożność oszacowania stałych całkowania.

Przypadek specjalny: x '' = x ' ⁿ f ( x )

Korzystając z powyższego podejścia, możemy rozszerzyć tę technikę na bardziej ogólne równanie

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = \ lewo ({\ Frac {dx} {dt}} \ prawo) ^ {n} f (x)}$

gdzie jest jakiś parametr różny od dwóch. To zadziała, ponieważ drugą pochodną można zapisać w postaci z potęgą . Przepisanie drugiej pochodnej, przestawienie i wyrażenie lewej strony jako pochodnej: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x '}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & - \ lewo ({\ Frac {dt} {dx}} \ prawej) ^ {- 3} {\ Frac {d ^ {2} t} {dx ^ {2}} } = \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {- n} f (x) \\ [4pt] & - \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {n-3} {\ frac {d ^ {2} t} {dx ^ {2}}} = f (x) \\ [4pt] & {\ frac {d} {dx}} \ left ({ \ frac {1} {2-n}} \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {n-2} \ right) = f (x) \\ [4pt] & \ left ( {\ frac {dt} {dx}} \ right) ^ {n-2} = (2-n) \ int f (x) dx + C_ {1} \\ [2pt] & t + C_ {2} = \ int \ left ((2-n) \ int f (x) dx + C_ {1} \ right) ^ {\ frac {1} {n-2}} dx \ end {aligned}}}$

Prawo będzie nosić +/−, jeśli jest parzyste. Zabieg musi być inny, jeśli : ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 2}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} - \ lewo ({\ Frac {dt} {dx}} \ prawej) ^ {- 1} {\ Frac {d ^ {2} t} {dx ^ {2}}} & = f (x) \\ - {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln \ left ({\ frac {dt} {dx}} \ right) \ right) & = f (x) \ \ {\ frac {dt} {dx}} & = C_ {1} e ^ {- \ int f (x) dx} \\ t + C_ {2} & = C_ {1} \ int e ^ {- \ int f (x) dx} dx \ end {aligned}}}$

Wyższe zamówienia

Nie ma analogicznej metody rozwiązywania równań autonomicznych trzeciego lub wyższego rzędu. Takie równania można rozwiązać dokładnie tylko wtedy, gdy mają jakąś inną właściwość upraszczającą, na przykład liniowość lub zależność prawej strony równania tylko od zmiennej zależnej (tj. Nie od jej pochodnych). Nie powinno to być zaskakujące, biorąc pod uwagę, że nieliniowe układy autonomiczne w trzech wymiarach mogą powodować prawdziwie chaotyczne zachowanie, takie jak atraktor Lorenza i atraktor Rösslera .

Przy takiej mentalności nie jest też zaskakujące, że nie można jednoznacznie rozwiązać ogólnych nieautonomicznych równań drugiego rzędu, ponieważ mogą one być również chaotyczne (przykładem tego jest okresowo wymuszone wahadło).

Przypadek wielowymiarowy

Teraz mamy , gdzie jest zależny -wymiarowy wektor kolumnowy . ${\ Displaystyle \ mathbf {x} '(t) = A \ mathbf {x} (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle t}$

Rozwiązaniem jest gdzie jest stały wektor. ${\ Displaystyle \ mathbf {x} (t) = e ^ {At} \ mathbf {c}}$${\ displaystyle \ mathbf {c}}$${\ displaystyle n \ razy 1}$

Zobacz też

• System niezmienny w czasie
• System nieautonomiczny (matematyka)

Bibliografia