Czynnik całkujący - Integrating factor

W matematyce An Współczynnik integracji jest funkcja , która jest wybrana w celu ułatwienia rozwiązywania danego równaniem obejmującej różnice . Jest powszechnie używany do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych , ale jest również używany w rachunku różniczkowym wielu zmiennych, gdy mnożenie przez współczynnik całkujący umożliwia przekształcenie różniczki niedokładnej w różniczkę dokładną (którą można następnie scałkować w celu uzyskania pola skalarnego ). Jest to szczególnie przydatne w termodynamice, gdzie temperatura staje się czynnikiem integrującym, który sprawia, że entropia jest dokładną różniczką.

Posługiwać się

Czynnikiem całkującym jest dowolne wyrażenie, przez które mnoży się równanie różniczkowe, aby ułatwić całkowanie. Na przykład nieliniowe równanie drugiego rzędu

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}} = tak ^ {2/3}}

przyznaje jako czynnik integrujący: ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}} {\ Frac {dy} {dt}} = tak ^ {2/3} {\ Frac {dy} {dt}} .}

Aby zintegrować, zauważ, że obie strony równania mogą być wyrażone jako pochodne, cofając się z regułą łańcucha :

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {dy} {dt}} \ po prawej) ^ {2} \ po prawej) = {\frac {d}{dt}}\lewo(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\prawo).}

W związku z tym,

{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dy} {dt}} \ po prawej) ^ {2} = {\ Frac {6A} {5}} Y ^ {5/3} + C_ {0}.}

gdzie jest stała. $C_{0}$

Ten formularz może być bardziej przydatny, w zależności od aplikacji. Wykonanie separacji zmiennych da

{\ Displaystyle \ int _ {y (0)} ^ {y (t)} {\ Frac {dy} {\ sqrt {{\ Frac {6A} {5}} r ^ {5/3} + C_ {0 }}}}=t}

Jest to rozwiązanie niejawne , które obejmuje całkę nieelementarną . Ta sama metoda służy do rozwiązywania okresu wahadła prostego .

Rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu

Czynniki całkujące są przydatne do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych, które można wyrazić w postaci

{\ Displaystyle y'+ P (x) y = Q (x)}

Podstawową ideą jest znalezienie jakiejś funkcji, powiedzmy , zwanej „czynnikiem całkującym”, którą możemy pomnożyć przez nasze równanie różniczkowe, aby sprowadzić lewą stronę pod wspólną pochodną. W przypadku kanonicznego liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu pokazanego powyżej współczynnik całkujący wynosi . ${\ Displaystyle M (x)}$ ${\ Displaystyle e ^ {\ int P (x) \ dx}}$

Należy zauważyć, że nie jest konieczne uwzględnianie dowolnej stałej w całce ani wartości bezwzględnych w przypadku, gdy całka zawiera logarytm. Po pierwsze, do rozwiązania równania potrzebujemy tylko jednego czynnika całkującego, a nie wszystkich możliwych; po drugie, takie stałe i wartości bezwzględne zniosą się, nawet jeśli zostaną uwzględnione. W przypadku wartości bezwzględnych można to zobaczyć, pisząc , gdzie odnosi się do funkcji znaku , która będzie stała na przedziale, jeśli jest ciągła. Tak jak niezdefiniowane, gdy , a logarytm w funkcji pierwotnej pojawia się tylko wtedy, gdy pierwotna funkcja zawiera logarytm lub odwrotność (z których żadna nie jest zdefiniowana dla 0), taki przedział będzie przedziałem ważności naszego rozwiązania. $P(x)$ ${\ Displaystyle | f (x) | = f (x) \ nazwa operatora {sgn} f (x)}$ $\operatorname {sgn}$ $f(x)$ ${\ Displaystyle \ ln | f (x) |}$ ${\ Displaystyle f (x) = 0}$

Aby to wyprowadzić, niech będzie współczynnikiem całkującym liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu takim, że mnożenie przez przekształca pochodną cząstkową w pochodną całkowitą, wtedy: ${\ Displaystyle M (x)}$ ${\ Displaystyle M (x)}$

${\ Displaystyle M (x) {\ underset {\ tekst {pochodna częściowa}} {(\ underbrace {y'+ P (x) y} )}}}$
${\ Displaystyle M (x) y'+ M (x) P (x) y}$
${\ Displaystyle \ underbrace {M (x) y'+ M' (x) y} _ {\ tekst {całkowita pochodna}}}$

Przejście od kroku 2 do kroku 3 wymaga tego , które jest równaniem różniczkowym rozłącznym , którego rozwiązanie daje w postaci : ${\ Displaystyle M (x) P (x) = M'(x)}$ ${\ Displaystyle M (x)}$ $P(x)$

${\ Displaystyle M (x) P (x) = M'(x)}$
${\ Displaystyle P (x) = {\ Frac {M'(x)} {M (x)}}}$
${\ Displaystyle \ int P (x) \ dx = \ ln M (x) + c}$
${\ Displaystyle M (x) = Ce ^ {\ int P (x) \ dx}}$

Aby zweryfikować, mnożąc przez daje ${\ Displaystyle M (x)}$

{\ Displaystyle M (x) y'+ P (x) M (x) y = Q (x) M (x)}

Stosując regułę iloczynu w odwrotnej kolejności, widzimy, że lewa strona może być wyrażona jako pojedyncza pochodna in $x$

{\ Displaystyle M (x) y '+ P (x) M (x) y = M (x) y '+ M' (x) y = {\ Frac {d} {dx}} (M (x) r )}

Używamy tego faktu, aby uprościć nasze wyrażenie do

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} \ lewo (M (x) y \ prawo) = Q (x) M (x)}

Integracja obu stron w odniesieniu do $x$

{\ Displaystyle Ce ^ {\ int P (x) \ dx} y = \ int Q (x) Ce ^ {\ int P (x) \ dx} dx}

{\ Displaystyle e ^ {\ int P (x) \ dx} y = (\ int Q (x) e ^ {\ int P (x) \ dx} \ dx) + C}

gdzie jest stała. ${\ Displaystyle C}$

Przesuwając wykładnik na prawą stronę, ogólne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego to:

{\ Displaystyle y = e ^ {- \ int P (x) \ dx} (\ int Q (x) e ^ {\ int P (x) \ dx} \ dx) + Ce ^ {- \ int P(x)\,dx}}

W przypadku równania różniczkowego jednorodnego , a ogólne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego to: ${\ Displaystyle Q (x) = 0}$

{\ Displaystyle y = Ce ^ {- \ int P (x) \ dx}}

.

na przykład rozważ równanie różniczkowe

{\ Displaystyle y'-{\ Frac {2y} {x}} = 0.}

Widzimy to w tym przypadku ${\ Displaystyle P (x) = {\ Frac {-2} {x}}}$

{\ Displaystyle M (x) = e ^ {\ int _ {1} ^ {x} P (x) dx}}

{\ Displaystyle M (x) = e ^ {\ int _ {1} ^ {x} {\ Frac {-2} {x}} \ dx} = e ^ {-2 \ ln x} = {\ lewo (e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}}

{\ Displaystyle M (x) = {\ Frac {1} {x ^ {2}}}.}

Mnożąc obie strony przez otrzymujemy ${\ Displaystyle M (x)}$

{\ Displaystyle {\ Frac {y'}{x ^ {2}}} - {\ Frac {2y} {x ^ {3}}} = 0}

Powyższe równanie można przepisać jako

{\ Displaystyle {\ Frac {d (x ^ {-2} y)} {dx}} = 0}

Całkując obie strony względem x otrzymujemy

{\ Displaystyle x ^ {-2} y = C}

lub

{\ Displaystyle y = Cx ^ {2}}

Ten sam wynik można osiągnąć, stosując następujące podejście

{\ Displaystyle {\ Frac {y'}{x ^ {2}}} - {\ Frac {2y} {x ^ {3}}} = 0}

{\ Displaystyle {\ Frac {y'x ^ {3} -2 x ^ {2} y} {x ^ {5}}} = 0}

{\ Displaystyle {\ Frac {x (y'x ^ {2} -2xy)} {x ^ {5}}} = 0}

{\ Displaystyle {\ Frac {y'x ^ {2} -2xy} {x ^ {4}}} = 0.}

Odwrócenie reguły ilorazu daje

{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {y} {x ^ {2}}} \ po prawej) '= 0}

lub

{\ Displaystyle {\ Frac {y} {x ^ {2}}} = C}

lub

{\ Displaystyle y = Cx ^ {2}.}

gdzie jest stała. ${\ Displaystyle C}$

Rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu

Metoda całkowania współczynników dla równań pierwszego rzędu może być naturalnie rozszerzona również na równania drugiego rzędu. Głównym celem w rozwiązywaniu równań pierwszego rzędu było znalezienie czynnika integrującego takie, że pomnożenie przez niego przyniesie , po czym kolejna integracja i dzielenie przez przyniesie . W przypadku równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu, jeśli chcemy pracować jako czynnik całkujący, to ${\ Displaystyle M (x)}$ $y'+p(x)y=h(x)$ ${\ Displaystyle (M (x) y) '= M (x) h (x)}$ ${\ Displaystyle M (x)}$ $y$ ${\ Displaystyle M (x) = e ^ {\ int p (x) \ dx}}$

{\ Displaystyle (M (x) y) ''= M (x) \ lewo (y '' + 2 p (x) y '+ \ lewo (p (x) ^ {2} + p '(x)) \ prawo) )y\prawo)=M(x)h(x)}

Oznacza to, że równanie drugiego rzędu musi mieć dokładnie taką postać, aby czynnik całkujący był użyteczny. ${\ Displaystyle y'' + 2 p (x) y '+ \ lewo (p (x) ^ {2} + p' (x) \ prawo) y = h (x)}$

Przykład 1

Na przykład równanie różniczkowe

{\ Displaystyle y''+2xy'+ \ lewo (x ^ {2} +1 \ prawy) y = 0}

można rozwiązać dokładnie za pomocą czynników całkujących. Odpowiednie można wywnioskować, badając termin. W tym przypadku , więc . Po zbadaniu wyrazu widzimy, że w rzeczywistości mamy , więc wszystkie wyrazy pomnożymy przez współczynnik całkujący . To daje nam $p(x)$ $y'$ ${\ Displaystyle 2p (x) = 2x}$ ${\ Displaystyle p (x) = x}$ $y$ ${\ Displaystyle p (x) ^ {2} + p '(x) = x ^ {2} + 1}$ ${\ Displaystyle e ^ {\ int x \ dx} = e ^ {x ^ {2}/2}}$

{\ Displaystyle e ^ {x ^ {2}/2} ''+2e ^ {x ^ {2}/2} p (x) y '+ e ^ {x ^ {2}/2} \ lewo ( p(x)^{2}+p'(x)\right)y=0}

które można przearanżować, aby dać

{\ Displaystyle \ lewo (e ^ {x ^ {2}/2} y \ prawo) ''= 0}

Całkowanie podwójna wydajność

{\ Displaystyle e ^ {x ^ {2}/2} y = c_ {1} x + c_ {2}}

Dzielenie przez współczynnik całkujący daje:

{\ Displaystyle y = {\ Frac {c_ {1} x + c_ {2}} {e ^ {x ^ {2}/2}}}}

Przykład 2

Nieco mniej oczywiste zastosowanie czynników całkujących drugiego rzędu obejmuje następujące równanie różniczkowe:

y''+2\cot(x)y'-y=1

Na pierwszy rzut oka jest to wyraźnie nie w formie potrzebnej dla czynników całkujących drugiego rzędu. Mamy termin przed, ale nie przed . Jednakże, $2p(x)$ $y'$ $p(x)^{2}+p'(x)$ $y$

{\ Displaystyle p (x) ^ {2} + p '(x) = \ łóżeczko ^ {2} (x) - \ csc ^ {2} (x)}

i od tożsamości pitagorejskiej odnoszącej się do cotangens i cosecans,

{\ Displaystyle \ łóżeczko ^ {2} (x) - \ csc ^ {2} (x) = -1}

więc faktycznie mamy wymagany termin przed i możemy użyć czynników całkujących. $y$

{\ Displaystyle e ^ {\ int \ łóżeczko (x) \ dx} = e ^ {\ ln (\ sin (x))} = \ grzech (x)}

Mnożenie każdego wyrazu przez daje ${\ Displaystyle \ sin (x)}$

{\ Displaystyle \ sin (x) y''+2 \ łóżeczko (x) \ sin (x) y'- \ sin (x) y = \ grzech (x)}

które przearanżowane jest

(\sin(x)y)''=\sin(x)

Dwukrotna integracja daje

{\ Displaystyle \ sin (x) y = - \ sin (x) + c_ {1} x + c_ {2}}

Wreszcie dzielenie przez czynnik całkujący daje

{\ Displaystyle y = c_ {1} x \ csc (x) + c_ {2} \ csc (x) -1}

Rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych n-tego rzędu

Czynniki całkujące można rozszerzyć do dowolnego rzędu, chociaż forma równania potrzebna do ich zastosowania staje się coraz bardziej szczegółowa wraz ze wzrostem rzędu, co czyni je mniej użytecznymi dla rzędów 3 i wyższych. Ogólną ideą jest zróżnicowanie czasów funkcji dla równania różniczkowego rzędu i łączenie podobnych terminów. To da równanie w postaci $M(x)y$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n}$

{\ Displaystyle M (x) F \! \ lewo (y, y, y '', \ ldots, y ^ {(n)} \ prawej)}

Jeśli równanie rzędu th pasuje do postaci otrzymanej po czasie różniczkowania , można pomnożyć wszystkie wyrazy przez czynnik całkujący i czasy całkujące , dzieląc przez czynnik całkujący po obu stronach, aby uzyskać wynik końcowy. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle F \! \ lewo (y, y '', y'', \ ldots, y ^ {(n)} \ prawej)}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle h (x) M (x)}$ ${\ Displaystyle n}$