Metoda Galerkina - Galerkin method

W matematyce , w dziedzinie analizy numerycznej , metody Galerkina , nazwane na cześć rosyjskiego matematyka Borisa Galerkina , przekształcają problem operatorów ciągłych , taki jak równanie różniczkowe , zwykle w słabym sformułowaniu , w problem dyskretny , stosując więzy liniowe określone przez skończoną zbiory funkcji bazowych.

Często w odniesieniu do metody Galerkina podaje się również nazwę wraz z typowymi założeniami i zastosowanymi metodami aproksymacji:

Sposób Ritz-Galerkina (po Walther Ritz ) zwykle przyjmuje symetryczny i pozytywny określoną postać dwuliniową na słabą preparatu , gdzie równanie różniczkowe dla układu fizycznego można formułować poprzez minimalizację z kwadratową funkcją reprezentującą układ energii i przybliżoną rozwiązania jest liniowy kombinacja danego zestawu funkcji podstawowych.
Metoda Bubnova-Galerkina (za Ivanem Bubnovem ) nie wymaga, aby forma dwuliniowa była symetryczna i zastępuje minimalizację energii więzami ortogonalności wyznaczonymi przez te same funkcje bazowe, które są używane do aproksymacji rozwiązania. W sformułowaniu operatorowym równania różniczkowego metoda Bubnova-Galerkina może być postrzegana jako zastosowanie rzutu ortogonalnego do operatora.
Metoda Petrova–Galerkina (za Georgii I. Petrov) pozwala na wykorzystanie funkcji bazowych dla ograniczeń ortogonalności (zwanych testowymi funkcjami bazowymi ), które różnią się od funkcji bazowych używanych do aproksymacji rozwiązania. Metoda Petrova-Galerkina może być postrzegana jako rozszerzenie metody Bubnova-Galerkina, stosując rzut, który niekoniecznie jest ortogonalny w sformułowaniu operatorowym równania różniczkowego .

Przykładami metod Galerkina są:

metoda galerkina reszt ważonych , najbardziej powszechnym sposobem obliczania globalnej macierzy sztywności w metodzie elementów skończonych ,
granica metodą elementów do rozwiązywania równania integralnej
Metody podprzestrzeni Kryłowa .

Przykład: macierzowy układ liniowy

Najpierw przedstawiamy i ilustrujemy metodę Galerkina jako stosowaną do układu równań liniowych o następującej symetrycznej i dodatnio określonej macierzy ${\ Displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$

{\ Displaystyle A = {\ zacząć {bmatrix} 2 i 0 i 0 \ \ 0 i 2 i 1 \ \ 0 i 1 i 2 \ koniec {bmatrix}}}

oraz rozwiązanie i wektory prawostronne

{\ Displaystyle \ mathbf {x} = {\ zacząć {bmatrix} 1 \ \ 0 \ \ 0 \ koniec {bmatrix}} \ quad \ mathbf {b} = {\ zacząć {bmatrix} 2 \ \ 0 \ \ 0 \end{bmatryca}}.}

Pozwól nam wziąć

{\ Displaystyle V = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 0 \ \ 1 i 0 \ \ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}

wtedy macierz równania Galerkina to

{\ Displaystyle V ^ {*} AV = {\ zacząć {bmatrix} 2 i 1 \ \ 1 i 2 \ koniec {bmatrix}}}

prawostronny wektor równania Galerkina to

{\ Displaystyle V ^ {*} \ mathbf {b} = {\ zacząć {bmatrix} 0 \ \ 0 \ koniec {bmatrix}}}

aby otrzymać wektor rozwiązania

{\ Displaystyle \ mathbf {y} = {\ zacząć {bmatrix} 0 \ \ 0 \ koniec {bmatrix}}}

do równania Galerkina , które w końcu podnosimy, aby określić przybliżone rozwiązanie pierwotnego równania jako ${\ Displaystyle \ lewo (V ^ {*} AV \ po prawej) \ mathbf {y} = V ^ {*} \ mathbf {b}}$

{\ Displaystyle V \ mathbf {y} = {\ zacząć {bmatrix} 0 \ \ 0 \ \ 0 \ koniec {bmatrix}}.}

W tym przykładzie nasza oryginalna przestrzeń Hilberta jest w rzeczywistości trójwymiarową przestrzenią euklidesową wyposażoną w standardowy iloczyn skalarny , nasza macierz 3 na 3 definiuje formę dwuliniową , a wektor po prawej stronie definiuje ograniczony funkcjonał liniowy . Kolumny ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbf {u} , \ mathbf {v} ) = \ mathbf {u} ^ {T} \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle a (\ mathbf {u} , \ mathbf {v} ) = \ mathbf {u} ^ {T} A \ mathbf {v}}$ $\mathbf {b}$ ${\ Displaystyle f (\ mathbf {v} ) = \ mathbf {b} ^ {T} \ mathbf {v}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = {\ zacząć {bmatrix} 0 \ \ 1 \ \ 0 \ koniec {bmatrix}} \ quad \ mathbf {e} _ {2} = {\ zacząć {bmatrix} 0\\0\\1\koniec{bmatrycy}},}

macierzy tworzą ortonormalną bazę dwuwymiarowej podprzestrzeni rzutu Galerkina. Wpisy macierzy Galerkina 2 na 2 to , natomiast składowe prawostronnego wektora równania Galerkina to . Ostatecznie przybliżone rozwiązanie otrzymuje się ze składowych wektora rozwiązania równania Galerkina i podstawy jako . ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle V ^ {*} AV}$ ${\ Displaystyle a (e_ {j}, e_ {i}), \, i, j = 1,2}$ ${\ Displaystyle V ^ {*} \ mathbf {b}}$ $f(e_{i}),\,i=1,2$ $V\mathbf {y}$ $\mathbf {y}$ ${\ Displaystyle \ suma _ {j = 1} ^ {2} \ mathbf {y} _ {j} \ mathbf {e} _ {j}}$

Równanie liniowe w przestrzeni Hilberta

Słabe sformułowanie równania liniowego

Wprowadźmy metodę Galerkina z abstrakcyjnym problemem przedstawionym jako słabe sformułowanie na przestrzeni Hilberta , a mianowicie: ${\ Displaystyle V}$

znaleźć takie, że dla wszystkich .

{\ Displaystyle u \ w V}

{\ Displaystyle v \ w V, a (u, v) = f (v)}

Tutaj jest formą dwuliniową (dokładne wymagania zostaną określone później) i jest ograniczonym funkcjonałem liniowym on . $a(\cdot ,\cdot )$ $a(\cdot ,\cdot )$ $f$ ${\ Displaystyle V}$

Redukcja wymiarów Galerkina

Wybierz podprzestrzeń wymiaru n i rozwiąż projektowany problem: ${\ Displaystyle V_ {n} \ podzbiór V}$

Znajdź takie dla wszystkich .

{\ Displaystyle u_ {n} \ w V_ {n}}

{\ Displaystyle v_ {n} \ w V_ {n}, a (u_ {n}, v_ {n}) = f (v_ {n})}

Nazywamy to równaniem Galerkina . Zauważ, że równanie pozostało niezmienione i zmieniły się tylko przestrzenie. Redukcja problemu do skończenie wymiarowej podprzestrzeni wektorowej pozwala nam obliczyć numerycznie jako skończoną kombinację liniową wektorów bazowych w . ${\ Displaystyle u_ {n}}$ ${\ Displaystyle V_ {n}}$

Ortogonalność Galerkina

Kluczową właściwością podejścia Galerkina jest to, że błąd jest ortogonalny do wybranych podprzestrzeni. Ponieważ , możemy użyć jako wektora testowego w oryginalnym równaniu. Odejmując te dwa, otrzymujemy relację ortogonalności Galerkina dla błędu, który jest błędem między rozwiązaniem pierwotnego problemu , a rozwiązaniem równania Galerkina, ${\ Displaystyle V_ {n} \ podzbiór V}$ $v_{n}$ ${\ Displaystyle \ epsilon _ {n} = u-u_ {n}}$ ${\ Displaystyle u}$ ${\ Displaystyle u_ {n}}$

{\ Displaystyle a (\ epsilon _ {n}, v_ {n}) = a (u, v_ {n}) -a (u_ {n}, v_ {n}) = f (v_ {n}) -f (v_{n})=0.}

Forma macierzowa równania Galerkina

Ponieważ celem metody Galerkina jest wytworzenie liniowego układu równań , budujemy jego postać macierzową, którą można wykorzystać do algorytmicznego obliczenia rozwiązania.

Niech będzie podstawą dla . Wtedy wystarczy je po kolei wykorzystać do przetestowania równania Galerkina, czyli: znajdź takie, że $e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}$ ${\ Displaystyle V_ {n}}$ ${\ Displaystyle u_ {n} \ w V_ {n}}$

{\ Displaystyle a (u_ {n}, e_ {i}) = f (e_ {i}) \ quad i = 1 \ ldots, n.}

Rozwijamy się względem tej bazy i wstawiamy ją do powyższego równania, aby otrzymać ${\ Displaystyle u_ {n}}$ ${\ Displaystyle u_ {n} = \ suma _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}}$

{\ Displaystyle a \ lewo (\ suma _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}, e_ {i} \ po prawej) = \ suma _ {j = 1} ^ {n} u_ { j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}

To poprzednie równanie jest w rzeczywistości liniowym układem równań , gdzie ${\ Displaystyle Au = f}$

{\ Displaystyle A_ {ij} = a (e_ {j}, e_ {i}), \ quad f_ {i} = f (e_ {i}).}

Symetria matrycy

Ze względu na definicję wpisów macierzowych macierz równania Galerkina jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy postać dwuliniowa jest symetryczna. $a(\cdot ,\cdot )$

Analiza metod Galerkina

Tutaj ograniczymy się do symetrycznych form dwuliniowych , czyli

a(u,v)=a(v,u).

Chociaż tak naprawdę nie jest to ograniczenie metod Galerkina, zastosowanie teorii standardowej staje się znacznie prostsze. Ponadto w przypadku niesymetrycznym może być wymagana metoda Pietrowa-Galerkina .

Analiza tych metod przebiega dwuetapowo. Najpierw pokażemy, że równanie Galerkina jest dobrze postawionym problemem w sensie Hadamarda i dlatego dopuszcza unikalne rozwiązanie. W drugim kroku badamy jakość aproksymacji rozwiązania Galerkina . ${\ Displaystyle u_ {n}}$

Analiza będzie opierać się głównie na dwóch właściwościach postaci dwuliniowej , a mianowicie

Ograniczenie: dla wszystkich uchwytów ${\ Displaystyle u, v \ w V}$
$a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|$ dla jakiegoś stałego $C>0$
Eliptyczność: dla wszystkich uchwytów ${\ Displaystyle u \ w V}$
$a(u,u)\geq c\|u\|^{2}$ dla jakiegoś stałego $c>0.$

Zgodnie z twierdzeniem Laxa-Milgrama (patrz słabe sformułowanie ), te dwa warunki implikują dobre postawienie pierwotnego problemu w słabym sformułowaniu. Wszystkie normy w kolejnych rozdziałach będą normami, dla których występują powyższe nierówności (normy te są często nazywane normą energetyczną).

Dobrze ułożone równanie Galerkina

Ponieważ , do . Dlatego dobrze postawione problem Galerkina jest w rzeczywistości dziedziczone po dobrze postawionym problemie pierwotnym. ${\ Displaystyle V_ {n} \ podzbiór V}$ ${\ Displaystyle V_ {n}}$

Quasi-najlepsze przybliżenie (lemat Cei)

Błąd między oryginałem a rozwiązaniem Galerkina pozwala na oszacowanie ${\ Displaystyle u-u_ {n}}$

{\ Displaystyle \ | u-u_ {n} \ | \ leq {\ Frac {C} {c}} \ inf _ {v_ {n} \ w V_ {n}} \ | u-v_ {n} \ | .}

Oznacza to, że aż do stałej , rozwiązanie Galerkina jest tak bliskie oryginalnemu rozwiązaniu, jak każdy inny wektor w . W szczególności wystarczy przestudiować aproksymację przestrzeniami , całkowicie zapominając o rozwiązywanym równaniu. ${\ Displaystyle C/c}$ ${\ Displaystyle u_ {n}}$ ${\ Displaystyle u}$ ${\ Displaystyle V_ {n}}$ ${\ Displaystyle V_ {n}}$

Dowód

Ponieważ dowód jest bardzo prosty i podstawowa zasada stojąca za wszystkimi metodami Galerkina, uwzględniamy go tutaj: przez eliptyczność i ograniczoność postaci dwuliniowej (nierówności) oraz ortogonalność Galerkina (znak równości w środku) mamy do arbitralnego : ${\ Displaystyle v_ {n} \ w V_ {n}}$

{\ Displaystyle c \ | u-u_ {n} \ | ^ {2} \ leq a (u-u_ {n}, u-u_ {n}) = a (u-u_ {n}, u-v_ { n})\leq C\|u-u_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.}

Dzielenie przez i przejmowanie dołka nad wszystkimi możliwymi daje lemat. $c\|u-u_{n}\|$ $v_{n}$

Najlepsza właściwość aproksymacyjna Galerkina w normie energetycznej

Dla uproszczenia prezentacji w powyższym podrozdziale przyjęliśmy, że forma dwuliniowa jest symetryczna i dodatnio określona, co oznacza, że jest iloczynem skalarnym, a wyrażenie jest w rzeczywistości obowiązującą normą wektorową, zwaną normą energii . Przy tych założeniach można łatwo udowodnić dodatkowo najlepszą właściwość aproksymacyjną Galerkina w normie energetycznej. $a(u,v)$ ${\ Displaystyle \ | u \ | _ {a} = {\ sqrt {a (u, u)}}}$

Wykorzystując a-ortogonalność Galerkina oraz nierówność Cauchy'ego-Schwarza dla normy energetycznej otrzymujemy

{\ Displaystyle \ | u-u_ {n} \ | _ {a} ^ {2} = a (u-u_ {n}, u-u_ {n}) = a (u-u_ {n}, u- v_{n})\leq \|u-u_{n}\|_{a}\,\|u-v_{n}\|_{a}.}

Dzielenie przez i przejmowanie dolnego nad wszystkie możliwe dowodzi, że przybliżenie Galerkina jest najlepszym przybliżeniem w normie energetycznej w obrębie podprzestrzeni , czyli jest niczym innym jak ortogonalnym, względem iloczynu skalarnego , rzutem rozwiązania na podprzestrzeń . ${\ Displaystyle \ | u-u_ {n} \ | _ {a}}$ ${\ Displaystyle v_ {n} \ w V_ {n}}$ ${\ Displaystyle u_ {n} \ w V_ {n}}$ ${\ Displaystyle V_ {n} \ podzbiór V}$ ${\ Displaystyle u_ {n} \ w V_ {n}}$ $a(u,v)$ ${\ Displaystyle u}$ ${\ Displaystyle V_ {n}}$

Metoda Galerkina dla konstrukcji schodkowych

I. Elishakof , M. Amato, A. Marzani, PA Arvan i JN Reddy badali zastosowanie metody Galerkina do konstrukcji schodkowych. Wykazali, że do uzyskania dokładnych wyników potrzebna jest funkcja uogólniona, a mianowicie funkcja kroku jednostkowego, funkcja delta Diraca i funkcja dubletu.

Historia

Takie podejście przypisuje się zwykle Borisowi Galerkinowi . Metoda została wyjaśniona zachodniemu czytelnikowi między innymi przez Hencky'ego i Duncana. Jej zbieżność badali Mikhlin i Leipholz Jej zbieżność z metodą Fouriera zilustrowali Elishakoff i in. Jej równoważność z metodą Ritza dotyczącą problemów konserwatywnych wykazał Singer. Gander i Wanner pokazali, w jaki sposób metody Ritza i Galerkina doprowadziły do powstania nowoczesnej metody elementów skończonych. Sto lat rozwoju metody omówił Repin. Elishakoff, Kaplunov i Kaplunov pokazują, że metoda Galerkina nie została opracowana przez Ritza, wbrew twierdzeniom Tymoszenko.

Zobacz też

Metoda Ritza

Bibliografia

^ A. Ern, JL Guermond, Teoria i praktyka elementów skończonych , Springer, 2004, ISBN 0-387-20574-8
^ „Georgii Iwanowicz Pietrow (w jego setne urodziny)”, Fluid Dynamics, maj 2012, tom 47, wydanie 3, s. 289-291, DOI 10.1134/S0015462812030015
^ S. Brenner, RL Scott, Teoria matematyczna metod elementów skończonych , wydanie 2, Springer, 2005, ISBN 0-387-95451-1
^ PG Ciarlet, Metoda elementów skończonych dla problemów eliptycznych , North-Holland, 1978, ISBN 0-444-85028-7
^ Y. Saad , Metody iteracyjne dla rzadkich układów liniowych , wydanie 2, SIAM, 2003, ISBN 0-89871-534-2
^ Elishakoff I., Marco Amato, Prakash Ankitha Arvan i Alessandro Marzani, 2021 „Rygorystyczne wdrożenie metody Galerkina dla struktur schodkowych wymaga uogólnionych funkcji”, Journal of Sound and Vibration, tom. 490, artykuł 115708
^ Elishakoff I., Marco Amato i Alessandro Marzani, 2021, „Metoda Galerkina ponownie zbadana i poprawiona w problemie Jaworskiego i Dowella”, Mechanical Systems and Signal Processing, tom. 156, artykuł 107604
^ Elishakoff I. i Marco Amato, 2021, „Flutter wiązki w przepływie naddźwiękowym: ścięta wersja równania Timoshenko-Ehrenfesta jest wystarczająca”, International Journal of Mechanics and Materials in Design, w druku.
^ Marco Amato, Elishakoff I. i JN Reddy, 2021, „trzepotanie wiązki wieloskładnikowej w przepływie naddźwiękowym”, AIAA Journal, w druku.
^ Galerkin, BG, 1915, Pręty i płyty, serie występujące w różnych pytaniach dotyczących sprężystej równowagi prętów i płyt , Vestnik Inzhenerov i Tekhnikov, (Inżynierowie i Technolodzy Biuletyn), tom. 19, 897-908 (w języku rosyjskim), (tłumaczenie angielskie: 63-18925, Clearinghouse Fed. Sci. Tech. Info.1963).
^ "Le destin douloureux de Walther Ritz (1878-1909)" (Jean-Claude Pont, redaktor), Cahiers de Vallesia, 24, (2012), ISBN 978-2-9700636-5-0
^ Hencky H., 1927, Eine wichtige Vereinfachung der Methode von Ritz zur angennäherten Behandlung von Variationproblemen, ZAMM: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, tom. 7, 80-81 (w języku niemieckim).
^ Duncan, WJ, 1937, Metoda Galerkina w mechanice i równaniach różniczkowych, Raporty i notatki Komitetu Badań Lotniczych, nr 1798.
^ Duncan, WJ, 1938, Zasady metody Galerkina, Raport z badań lotniczych i notatki, nr 1894.
^ SG Mikhlin, „Metody wariacyjne w fizyce matematycznej”, Pergamon Press, 1964
^ Leipholz HHE, 1976, Zastosowanie metody Galerkina do problemów z wibracjami , Shock and Vibration Digest, tom. 8, 3-18
^ Leipholz HHE, 1967, Über die Wahl der Ansatzfunktionen bei der Durchfuchrung des Verfahrens von Galerkin, Acta Mech., tom. 3, 295-317 (w języku niemieckim).
^ Leipholz HHE, 1967, Über die Befreiung der Anzatzfunktionen des Ritzschen und Galerkinschen Verfahrens von den Randbedingungen, inż. Arch., tom. 36, 251-261 (w języku niemieckim).
^ Leipholz, HHE, 1976, Zastosowanie metody Galerkina do problemów z wibracjami, The Shock and Vibration Digest tom. 8, 3-18, 1976.
^ I. Elishakoff, Lee, LHN, 1986, O równoważności metod serii Galerkina i Fouriera dla jednej klasy problemów, Journal of Sound and Vibration, tom. 109, 174-177.
^ Elishakoff, I., Zingales, M., 2003, Zbieg okoliczności Bubnova-Galerkina i dokładne rozwiązanie problemu mechaniki stosowanej, Journal of Applied Mechanics, tom. 70, 777-779.
^ Elishakoff, I., Zingales M., 2004, Konwergencja metody Bubnova-Galerkina na przykładzie , AIAA Journal, tom. 42(9), 1931-1933.
^ Singer J., 1962, O równoważności metod Galerkina i Rayleigha-Ritza, Journal of the Royal Aeronautical Society, tom. 66, nr 621, s.592.
^ Gander, MJ, Wanner, G., 2012, Od Eulera, Ritza i Galerkina do nowoczesnych komputerów, SIAM Review, tom. 54 ust. 4, 627-666.
^ ] Repin, S., 2017, sto lat metody Galerkina, metody obliczeniowe i matematyka stosowana, Vol.17 (3), 351-357.
^ .Elishakoff, I., Julius Kaplunov, Elizabeth Kaplunov, 2020, „Metoda Galerkina nie została opracowana przez Ritza, w przeciwieństwie do stwierdzenia Timoshenko”, w Nonlinear Dynamics of Discrete and Continuous Systems (A. Abramyan, I. Andrianov and V. Gaiko, red.), s. 63-82, Springer, Berlin.

Zewnętrzne linki

„Metoda Galerkina” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Metoda Galerkina z MathWorld

[ErnGuermond-1] A. Ern, JL Guermond, Teoria i praktyka elementów skończonych , Springer, 2004, ISBN 0-387-20574-8

[Birthday-2] „Georgii Iwanowicz Pietrow (w jego setne urodziny)”, Fluid Dynamics, maj 2012, tom 47, wydanie 3, s. 289-291, DOI 10.1134/S0015462812030015

[BrennerScott-3] S. Brenner, RL Scott, Teoria matematyczna metod elementów skończonych , wydanie 2, Springer, 2005, ISBN 0-387-95451-1

[Ciarlet-4] PG Ciarlet, Metoda elementów skończonych dla problemów eliptycznych , North-Holland, 1978, ISBN 0-444-85028-7

[Saad-5] Y. Saad , Metody iteracyjne dla rzadkich układów liniowych , wydanie 2, SIAM, 2003, ISBN 0-89871-534-2

[6] Elishakoff I., Marco Amato, Prakash Ankitha Arvan i Alessandro Marzani, 2021 „Rygorystyczne wdrożenie metody Galerkina dla struktur schodkowych wymaga uogólnionych funkcji”, Journal of Sound and Vibration, tom. 490, artykuł 115708

[7] Elishakoff I., Marco Amato i Alessandro Marzani, 2021, „Metoda Galerkina ponownie zbadana i poprawiona w problemie Jaworskiego i Dowella”, Mechanical Systems and Signal Processing, tom. 156, artykuł 107604

[8] Elishakoff I. i Marco Amato, 2021, „Flutter wiązki w przepływie naddźwiękowym: ścięta wersja równania Timoshenko-Ehrenfesta jest wystarczająca”, International Journal of Mechanics and Materials in Design, w druku.

[9] Marco Amato, Elishakoff I. i JN Reddy, 2021, „trzepotanie wiązki wieloskładnikowej w przepływie naddźwiękowym”, AIAA Journal, w druku.

[10] Galerkin, BG, 1915, Pręty i płyty, serie występujące w różnych pytaniach dotyczących sprężystej równowagi prętów i płyt , Vestnik Inzhenerov i Tekhnikov, (Inżynierowie i Technolodzy Biuletyn), tom. 19, 897-908 (w języku rosyjskim), (tłumaczenie angielskie: 63-18925, Clearinghouse Fed. Sci. Tech. Info.1963).

[11] "Le destin douloureux de Walther Ritz (1878-1909)" (Jean-Claude Pont, redaktor), Cahiers de Vallesia, 24, (2012), ISBN 978-2-9700636-5-0

[12] Hencky H., 1927, Eine wichtige Vereinfachung der Methode von Ritz zur angennäherten Behandlung von Variationproblemen, ZAMM: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, tom. 7, 80-81 (w języku niemieckim).

[13] Duncan, WJ, 1937, Metoda Galerkina w mechanice i równaniach różniczkowych, Raporty i notatki Komitetu Badań Lotniczych, nr 1798.

[14] Duncan, WJ, 1938, Zasady metody Galerkina, Raport z badań lotniczych i notatki, nr 1894.

[15] SG Mikhlin, „Metody wariacyjne w fizyce matematycznej”, Pergamon Press, 1964

[16] Leipholz HHE, 1976, Zastosowanie metody Galerkina do problemów z wibracjami , Shock and Vibration Digest, tom. 8, 3-18

[17] Leipholz HHE, 1967, Über die Wahl der Ansatzfunktionen bei der Durchfuchrung des Verfahrens von Galerkin, Acta Mech., tom. 3, 295-317 (w języku niemieckim).

[18] Leipholz HHE, 1967, Über die Befreiung der Anzatzfunktionen des Ritzschen und Galerkinschen Verfahrens von den Randbedingungen, inż. Arch., tom. 36, 251-261 (w języku niemieckim).

[19] Leipholz, HHE, 1976, Zastosowanie metody Galerkina do problemów z wibracjami, The Shock and Vibration Digest tom. 8, 3-18, 1976.

[20] I. Elishakoff, Lee, LHN, 1986, O równoważności metod serii Galerkina i Fouriera dla jednej klasy problemów, Journal of Sound and Vibration, tom. 109, 174-177.

[21] Elishakoff, I., Zingales, M., 2003, Zbieg okoliczności Bubnova-Galerkina i dokładne rozwiązanie problemu mechaniki stosowanej, Journal of Applied Mechanics, tom. 70, 777-779.

[22] Elishakoff, I., Zingales M., 2004, Konwergencja metody Bubnova-Galerkina na przykładzie , AIAA Journal, tom. 42(9), 1931-1933.

[23] Singer J., 1962, O równoważności metod Galerkina i Rayleigha-Ritza, Journal of the Royal Aeronautical Society, tom. 66, nr 621, s.592.

[24] Gander, MJ, Wanner, G., 2012, Od Eulera, Ritza i Galerkina do nowoczesnych komputerów, SIAM Review, tom. 54 ust. 4, 627-666.

[25] ] Repin, S., 2017, sto lat metody Galerkina, metody obliczeniowe i matematyka stosowana, Vol.17 (3), 351-357.

[26] .Elishakoff, I., Julius Kaplunov, Elizabeth Kaplunov, 2020, „Metoda Galerkina nie została opracowana przez Ritza, w przeciwieństwie do stwierdzenia Timoshenko”, w Nonlinear Dynamics of Discrete and Continuous Systems (A. Abramyan, I. Andrianov and V. Gaiko, red.), s. 63-82, Springer, Berlin.

Languages

In other projects