Krata E ₈ -E₈ lattice

W matematyce The e ₈ kraty jest specjalnym kraty w R ⁸ . To może być scharakteryzowana jako jedynego dodatniego stała, nawet, unimodular kraty rangi 8. wywodzi się nazwa pochodzi od tego, że jest kratownica pierwiastek z e ₈ systemu korzeniowego .

Normą sieci E ₈ (dzieloną przez 2) jest dodatnio określona, ​​parzysta, jednomodułowa forma kwadratowa w 8 zmiennych, i odwrotnie, taka kwadratowa forma może być użyta do skonstruowania dodatnio określonej, parzystej, jednomodułowej kraty rzędu 8. Istnienie od takiej formie został po raz pierwszy pokazany przez HJS Smith w 1867 roku, a pierwsze wyraźne budowa tej formy kwadratowej została przyznana przez Korkin i Zołotariew w 1873 roku E ₈ krata jest nazywany również siatkę Gosset po Thorold Gosset który był jednym z pierwszych zbadać geometrię samej sieci około 1900 roku.

Punkty kratowe

E ₈ kraty jest dyskretna podgrupa z R ⁸ pełnego szeregu (czyli obejmuje wszystkie R ⁸ ). Może to być podane wprost przez zbiór punktów Γ ₈ ⊂ R ⁸ takich, że

• wszystkie współrzędne są liczbami całkowitymi lub wszystkie współrzędne są liczbami połówkowymi (mieszanka liczb całkowitych i połówkowych jest niedozwolona), oraz
• suma ośmiu współrzędnych jest parzystą liczbą całkowitą .

W symbolach,

${\ Displaystyle \ Gamma _ {8} = \ lewo \ {(x_ {i}) \ w \ mathbb {Z} ^ {8} \ filiżanka (\ mathbb {Z} + {\ tfrac {1} {2}} )^{8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

Nie jest trudno sprawdzić, czy suma dwóch punktów sieci jest kolejnym punktem sieci, więc Γ ₈ jest rzeczywiście podgrupą.

Alternatywnym opisem sieci E _8, który czasami jest wygodny, jest zbiór wszystkich punktów w Γ′ ₈ ⊂ R ⁸ taki, że

• wszystkie współrzędne są liczbami całkowitymi, a suma współrzędnych jest parzysta, lub
• wszystkie współrzędne są liczbami połówkowymi, a suma współrzędnych jest nieparzysta.

W symbolach,

${\ Displaystyle \ Gamma _ {8}' = \ lewo \ {(x_ {i}) \ w \ mathbb {Z} ^ {8} \ filiżanka (\ mathbb {Z} + {\ tfrac {1}{2} })^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_ {5}\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {8} '= \ lewo \ {(x_ {i}) \ w \ mathbb {Z} ^ {8}: {{\ textstyle \ suma _ {i}} x_ {i}} \ equiv 0({\mbox{mod }}2)\right\}\cup \left\{(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{ 8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

Kraty Γ ₈ i Γ′ ₈ są izomorficzne i jedna może przechodzić od jednej do drugiej poprzez zmianę znaków dowolnej nieparzystej liczby współrzędnych połówkowych. Krata ₈ jest czasami nazywana parzystym układem współrzędnych dla E _{8 ,} podczas gdy krata Γ′ ₈ jest nazywana nieparzystym układem współrzędnych . O ile nie określimy inaczej, będziemy pracować w parzystym układzie współrzędnych.

Nieruchomości

Sieć E ₈ Γ ₈ można scharakteryzować jako unikalną sieć w R ⁸ o następujących właściwościach:

• Jest całkowa , co oznacza, że ​​wszystkie iloczyny skalarne elementów sieci są liczbami całkowitymi.
• Jest jednomodułowa , co oznacza, że ​​jest całkowa i może być generowana przez kolumny macierzy 8×8 o wyznaczniku ±1 (tj. objętość podstawowego równoległoboku sieci wynosi 1). Równoważnie Γ ₈ jest samopodwójny , co oznacza, że ​​jest równy swojej podwójnej sieci .
• Jest parzysty , co oznacza, że ​​norma dowolnego wektora sieci jest parzysta.

Nawet kraty jednomodułowe mogą występować tylko w wymiarach podzielnych przez 8. W wymiarze 16 występują dwie takie kraty: Γ ₈ ⊕ Γ ₈ i Γ ₁₆ (zbudowane analogicznie do Γ ₈ . W wymiarze 24 są 24 takie kraty, zwane Niemeierem Gratki . najważniejszą z nich jest kratownica Leech .

Jedną z możliwych podstaw Γ ₈ są kolumny macierzy ( górnego trójkąta )

${\ Displaystyle \ lewo [{\ zacząć {mała matryca} 2 i 1 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 1/2 \ \ 0 i 1 i 1 i 0 i 0 i 0 i 0 i 1/2 \ \ 0 i 0 i 1 i 1 i 0 i 0 i 0 i 1/2 \ \ 0 i 0 i 1 i 1 i 0 i 0 i 1/2 \\ 0 i 0 i 0 i 0 i 1 i 0 i 1 i 1 /2\\0&0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{smallmatrix}}\right].}$

Γ ₈ jest wtedy rozpiętością całkową tych wektorów. Wszystkie inne możliwe zasady uzyskuje się z tego przez prawe mnożenie przez elementy GL(8, Z ).

Najkrótsze niezerowe wektory w Γ ₈ mają długość równą √2. Jest 240 takich wektorów:

• Wszystkie liczby połówkowe (mogą być tylko ±1/2):
  • Wszystkie pozytywne lub wszystkie negatywne: 2
  • Cztery pozytywne, cztery negatywne: (8*7*6*5)/(4*3*2*1)=70
  • Dwa z jednego, sześć pozostałych: 2*(8*7)/(2*1) = 56
• Wszystkie liczby całkowite (może być tylko 0, ±1):
  • Dwa ±1, sześć zer: 4*(8*7)/(2*1)=112

Tworzą one system korzeniowy typu E ₈ . Krata Γ ₈ jest równa sieci pierwiastkowej E ₈ , co oznacza, że ​​jest dana przez całkowitą rozpiętość 240 pierwiastków. Dowolny wybór 8 pierwiastków prostych daje podstawę do Γ ₈ .

Grupa symetrii

Grupa automorfizmu (lub grupa symetrii ) sieci w R ⁿ jest zdefiniowana jako podgrupa grupy ortogonalnej O( n ), która zachowuje sieć. Grupa symetrii E ₈ kraty jest Weyl / grupa Coxeter typu E ₈ . Jest to grupa generowana przez odbicia w hiperpłaszczyznach prostopadłych do 240 pierwiastków sieci. Jego kolejność jest podana przez

${\ Displaystyle | W (\ operatorname {E} _ {8}) | = 696729600 = 4! \ cdot 6! \ cdot 8!.}$

Grupa E ₈ Weyl zawiera podgrupę rzędu 128,8! składający się ze wszystkich permutacji współrzędnych i wszystkich nawet zmian znaków. Ta podgrupa jest grupa Weyl typu D ₈ . Pełna grupa E ₈ Weyl jest generowana przez tę podgrupę i macierz przekątnej bloku H ₄ ⊕ H ₄ gdzie H ₄ jest macierzą Hadamarda

${\ Displaystyle H_ {4} = {\ tfrac {1} {2}} \ lewo [{\ zacząć {smallmatrix} 1 i 1 i 1 i 1 \ \ 1 i 1 i 1 i 1 \ \ 1 i 1 i 1 i 1 \ \ 1 i -1 i 1 i 1 \ \\end{smallmatrix}}\right].}$

Geometria

Zobacz 5 ₂₁ plaster miodu

Punkty kratowe E ₈ są wierzchołkami plastra miodu 5 ₂₁ , który składa się z regularnych ścianek 8-simplex i 8-ortoplex . Ten plaster miodu został po raz pierwszy zbadany przez Gosseta, który nazwał go 9-icą półregularną figurą (Gosset uważał plastry miodu w wymiarach n za zdegenerowane n +1 polytopes). W notacji Coxetera plaster miodu Gosseta jest oznaczony przez 5 ₂₁ i ma diagram Coxetera-Dynkina :

Ten plaster miodu jest bardzo regularny w tym sensie, że jego grupa symetrii ( powinna grupa Weyla) działa przechodnie na k -ścianach dla k ≤ 6. Wszystkie k -ściany dla k ≤ 7 są prostymi. ${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {8}}$

Postać wierzchołka plastra miodu GOSSET jest to semiregular E ₈ Polytope (4 ₂₁ w zapisie Coxeter'S) nadany przez wypukłej od 240 korzeni E ₈ kraty.

Każdy punkt siatki E ₈ jest otoczony przez 2160 8-ortopleksów i 17280 8-simpliców. 2160 głębokich otworów w pobliżu początku to dokładnie połówki normalnych 4 punktów kratowych. Punkty kratowe normy 8 z 17520 dzielą się na dwie klasy (dwie orbity pod działaniem grupy automorfizmu E ₈ ): 240 to dwa razy więcej niż punkty kratowe normy 2, podczas gdy 17280 to 3 razy większe od płytkich otworów otaczających początek.

Dziura w sieci to punkt w otaczającej przestrzeni euklidesowej, którego odległość do najbliższego punktu sieci stanowi lokalne maksimum . (W siatce zdefiniowanej jako jednolity plaster miodu punkty te odpowiadają środkom objętości ścianek .) Głęboki otwór to taki, którego odległość od siatki stanowi globalne maksimum. W siatce E ₈ występują dwa rodzaje otworów :

• Głębokie otwory, takie jak punkt (1,0,0,0,0,0,0,0) znajdują się w odległości 1 od najbliższych punktów sieci. W tej odległości znajduje się 16 punktów siatki, które tworzą wierzchołki 8-ortopleksu wyśrodkowanego na otworze ( komórka Delaunaya dziury).
• Płytkie otwory, takie jak punkt, znajdują się w odległości od najbliższych punktów kratownicy. Na tej odległości znajduje się 9 punktów kratowych tworzących wierzchołki 8-simplexu wyśrodkowanego na otworze.${\ Displaystyle ({\ tfrac {5}{6}}, {\ tfrac {1} {6}}, {\ tfrac {1} {6}}, {\ tfrac {1} {6}}, {\ tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})}$${\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {2}}}{3}}}$

Pakowanie kulek i całowanie liczb

Krata E ₈ jest niezwykła, ponieważ zapewnia optymalne rozwiązania problemu upakowania kuli i problemu liczby całusów w 8 wymiarach.

Problemem pakowania sfera pyta, co jest najgęstsze sposób pakować (stały) n -wymiarowych sfery stałym promieniu w R ⁿ , dzięki czemu nie ma dwóch sfer pokrywać. Uszczelnienia siatkowe to specjalne rodzaje upakowania kulek, w których kulki są wyśrodkowane w punktach sieci. Umieszczenie kul o promieniu 1/ √ 2 w punktach sieci E ₈ daje upakowanie sieci w R ⁸ o gęstości równej

${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi ^ {4}}{2 ^ {4}4!}} \ cong 0.25367.}$

Artykuł Hansa Fredericka Blichfeldta z 1935 r. dowiódł, że jest to maksymalna gęstość, jaką można osiągnąć za pomocą siatki kratowej w 8 wymiarach. Co więcej, sieć E ₈ jest unikalną siecią (aż do izometrii i przeskalowania) o tej gęstości. Maryna Viazovska udowodniła w 2016 roku, że ta gęstość jest w rzeczywistości optymalna nawet wśród nieregularnych upaków.

Problem całowania liczb pyta, jaka jest maksymalna liczba kul o stałym promieniu, które mogą dotykać (lub „całować”) centralną kulę o tym samym promieniu. We wspomnianym powyżej upakowaniu sieciowym E ₈ dowolna sfera dotyka 240 sąsiednich sfer. Dzieje się tak, ponieważ istnieje 240 wektorów sieci o minimalnej niezerowej normie (pierwiastki sieci E ₈ ). W 1979 roku pokazano, że jest to maksymalna możliwa liczba w 8 wymiarach.

Problem upakowania kuli i problem liczby całusów są niezwykle trudne, a optymalne rozwiązania są znane tylko w wymiarach 1, 2, 3, 8 i 24 (plus wymiar 4 dla problemu liczby całusów). To, że znane są rozwiązania w wymiarach 8 i 24, wynika po części ze specjalnych właściwości sieci E ₈ i jej 24-wymiarowego kuzyna, sieci Leech .

Funkcja Theta

Do dowolnej (dodatniookreślonej) sieci można skojarzyć Λ funkcję theta podaną przez

${\ Displaystyle \ Theta _ {\ Lambda} (\ tau) = \ suma _ {x \ w \ Lambda} e ^ {i \ pi \ tau \ | x \ | ^ {2}} \ qquad \ operatorname {im} \,\tau >0.}$

Funkcja theta w sieci jest wtedy funkcją holomorficzną na górnej półpłaszczyźnie . Co więcej, funkcja theta sieci parzystej jednomodułowej rzędu n jest w rzeczywistości modułową formą wagi n /2. Funkcja theta sieci integralnej jest często zapisywana jako szereg potęgowy w taki sposób, że współczynnik q ⁿ daje liczbę wektorów sieci o normie n . ${\ Displaystyle q = e ^ {i \ pi \ tau}}$

Aż do normalizacji istnieje unikalna modułowa forma wagi 4 i poziom 1: seria Eisenstein G ₄ (τ). Funkcja theta dla sieci E ₈ musi być wtedy proporcjonalna do G ₄ (τ). Normalizację można ustalić, zauważając, że istnieje unikalny wektor normy 0. Daje to

${\ Displaystyle \ Theta _ {\ Gamma _ {8}} (\ tau ) = 1 + 240 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sigma _ {3} (n) q ^ {2 n}}$

gdzie σ ₃ ( n ) jest funkcją dzielnika . Wynika z tego, że liczba wektorów sieci E ₈ normy 2 n jest 240 razy większa od sumy sześcianów dzielników n . Kilka pierwszych terminów z tej serii podaje (sekwencja A004009 w OEIS ):

${\ Displaystyle \ Theta _ {\ Gamma _ {8}} (\ tau) = 1 + 240 \ q ^ {2} + 2160 \ q ^ {4} + 6720 \ q ^ {6} + 17520 \ ,q^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).}$

Funkcja teta E ₈ może być zapisana w kategoriach funkcji theta Jacobiego w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ Theta _ {\ Gamma _ {8}} (\ tau) = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ theta _ {2} (q) ^ {8} + \ theta _ { 3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)}$

gdzie

${\ Displaystyle \ theta _ {2} (q) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {(n + {\ Frac {1} {2}}) ^ {2}} \ qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _ {n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.}$

Inne konstrukcje

Kod Hamminga

Krata E ₈ jest bardzo blisko spokrewniona z (rozszerzonym) kodem Hamminga H (8,4) i w rzeczywistości może być z niej skonstruowana. Kod Hamminga H (8,4) jest kodem binarnym o długości 8 i randze 4; czyli jest to 4-wymiarowa podprzestrzeń skończonej przestrzeni wektorowej ( F ₂ ) ⁸ . Zapisując elementy ( F ₂ ) ⁸ jako 8-bitowe liczby całkowite w systemie szesnastkowym , kod H (8,4) można podać jawnie jako zbiór

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

Kod H (8,4) jest istotny częściowo dlatego, że jest to samopodwójny kod typu II . Ma minimalną wagę Hamminga 4, co oznacza, że ​​dowolne dwa słowa kodowe różnią się o co najmniej 4 bity. Jest to kod binarny o największej długości 8 z tą właściwością.

Można skonstruować siatkę Λ z kodu binarnego C o długości n przez pobranie zbioru wszystkich wektorów x w Z ⁿ takiego, że x jest przystające (modulo 2) do słowa kodowego C . Często wygodnie jest przeskalować Λ o współczynnik 1/ √ 2 ,

${\ Displaystyle \ Lambda = {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} \ lewo \ {x \ w \ mathbb {Z} ^ {n}: x \ {\ bmod {\}} 2 \ w C\prawo\}.}$

Stosując tę ​​konstrukcję, samopodwójny kod typu II daje równą, jednomodułową siatkę. W szczególności, stosowanie jej do kodu Hamminga H (8,4) daje e ₈ siatki. Nie jest jednak całkowicie trywialne znalezienie wyraźnego izomorfizmu między tą siecią a siecią Γ ₈ zdefiniowaną powyżej.

Oktony całkowe

Krata E ₈ jest również ściśle związana z nieskojarzeniową algebrą rzeczywistych oktonionów O . Możliwe jest zdefiniowanie pojęcia oktononu całkowego analogicznego do całkowego kwaternionu . Oktony całkowe naturalnie tworzą sieć wewnątrz O . Ta krata jest tylko przeskalowane E ₈ kraty. (Minimalna norma w siatce integralnej oktononu wynosi 1 zamiast 2). W ten sposób osadzona w oktononach sieć E ₈ przyjmuje strukturę pierścienia nieasocjacyjnego .

Ustalając bazę (1, i , j , k , ℓ, ℓ i , ℓ j , ℓ k ) oktonów jednostkowych można zdefiniować oktony całkowe jako maksymalny rząd zawierający tę bazę. (Należy oczywiście rozszerzyć definicje porządku i pierścienia o przypadek nieskojarzony). Stanowi to znalezienie największej podpierścień z O , zawierający jednostki, w którym wyrażenie x * x (norma x ) i x + x * (dwukrotnie część rzeczywistą X ) są liczbami całkowitymi o wartościach. W rzeczywistości istnieje siedem takich maksymalnych porządków, po jednym odpowiadającym każdej z siedmiu jednostek urojonych. Jednak wszystkie siedem rzędów maksymalnych jest izomorficznych. Jeden taki maksymalny porządek jest generowany przez oktonony i , j i1/2( i + j + k + ℓ).

Szczegółowa relacja z integralnych octonions i ich stosunku do E ₈ kraty można znaleźć w Conway i Smith (2003).

Przykładowa definicja oktonów całkowych

Rozważmy mnożenie oktonów określone przez triady: 137, 267, 457, 125, 243, 416, 356. Wtedy całkowite oktony tworzą wektory:

1) , i=0, 1, …, 7 ${\ Displaystyle \ pm e_ {i}}$

2) , indeksy abc przebiegają przez siedem triad 124, 235, 346, 457, 561, 672, 713 ${\ Displaystyle \ pm e_ {0}\ pm e_ {a} \ pm e_ {b} \ pm e_ {c}}$

3) , indeksy pqrs przebiegają przez siedem tetrad 3567, 1467, 1257, 1236, 2347, 1345, 2456. ${\ Displaystyle \ pm e_ {p} \ pm e_ {q} \ pm e_ {r} \ pm e_ {s}}$

Oktony urojone w tym zbiorze, a mianowicie 14 z 1) i 7*16=112 z 3), tworzą pierwiastki algebry Liego . Wraz z pozostałymi 2+112 wektorami otrzymujemy 240 wektorów, które tworzą pierwiastki algebry Liego . ${\ Displaystyle E_ {7}}$${\ Displaystyle E_ {8}}$

Aplikacje

W 1982 r. Michael Freedman stworzył przykład topologicznej 4-rozmaitości , zwanej rozmaitością E ₈ , której formę przecięcia określa siatka E ₈ . Rozmaitość ta jest przykładem rozmaitości topologicznej, która nie ma gładkiej struktury i nie jest nawet triangulalna .

W teorii strun , heterotycznych ciąg jest hybrydą osobliwe z 26-wymiarowej bozonowych sznurka i 10-wymiarowych superstrun . Aby teoria działała poprawnie, 16 niedopasowanych wymiarów musi być zagęszczonych na parzystej, jednomodułowej sieci rzędu 16. Istnieją dwie takie sieci: Γ ₈ > ⊕Γ ₈ i Γ ₁₆ (zbudowane w sposób analogiczny do Γ ₈ ). Prowadzi to do powstania dwóch wersji struny heterotycznej znanej jako struna heterotyczna E ₈ × E ₈ i struna heterotyczna SO(32).

Zobacz też

• Krata pijawek
• E ₈ (matematyka)
• Półregularny E-politop

Bibliografia

• Conway, John H .; Sloane, Neil JA (1998). Opakowania sferyczne, kraty i grupy (3rd ed.). Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-98585-9.
• Conway, John H .; Smith, Derek A. (2003). O kwaternionyach i oktonionach . Natick, MA.: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.Rozdział 9 zawiera omówienie integralnych octonions i E ₈ kraty.