Górna półpłaszczyzna - Upper half-plane
W matematyce , w górnej połowie płaszczyzny , jest zestawem punktów ( x , y ) w kartezjańskim płaszczyźnie z y > 0.
Złożona płaszczyzna
Matematycy czasami utożsamiają płaszczyznę kartezjańską z płaszczyzną zespoloną , a następnie górna półpłaszczyzna odpowiada zbiorowi liczb zespolonych z dodatnią częścią urojoną :
Określenie wynika ze wspólnego wizualizacji liczby zespolonej x + iy jako punkt ( x , y ) w płaszczyźnie obdarzonego kartezjańskich współrzędnych . Gdy oś y jest zorientowana pionowo, „górna półpłaszczyzna ” odpowiada obszarowi powyżej osi x, a zatem liczbom zespolonym, dla których y > 0.
Jest to domena wielu funkcji, które mogą być interesujące w analizie złożonej , zwłaszcza form modułowych . Dolna półpłaszczyzna, zdefiniowana przez y <0, jest równie dobra, ale w konwencji rzadziej używana. Otwarty dyskowym (zbiór wszystkich liczb zespolonych o wartości bezwzględnej mniejszej niż jeden) odpowiada przez mapowanie dopasowanym do (patrz „ Poincare metryki ”), co oznacza, że jest to zwykle możliwe, aby przejść pomiędzy i
Odgrywa również ważną rolę w geometrii hiperbolicznej , gdzie model półpłaszczyzny Poincarégo umożliwia badanie ruchów hiperbolicznych . Metryka Poincarégo zapewnia hiperboliczną metrykę przestrzeni.
Twierdzenie uniformizacji na powierzchniach stanach, w których górnej półpłaszczyźnie jest powszechne miejsca pokrycie powierzchni o stałej ujemnej krzywizny Gaussa .
Zamkniętej górnej półpłaszczyźnie jest związek górnej półpłaszczyźnie i osi rzeczywistej. To zamknięcie górnej półpłaszczyzny.
Geometria afiniczna
Do przekształcenia afiniczne górnej półpłaszczyźnie zawierać
- (1) przesunięcia ( x, y ) → ( x + c, y ), c ∈ ℝ i
- (2) dylatacje ( x, y ) → (λ x , λ y ), λ> 0.
Twierdzenie: Niech A i B będą półkolami w górnej półpłaszczyźnie ze środkami na granicy. Wtedy istnieje odwzorowanie afiniczne że trwa A do B .
- Dowód: najpierw przesuń środek A do (0,0). Następnie weź λ = (średnica B ) / (średnica A ) i rozszerz. Następnie przejście (0,0) do środka B .
Definicja:
można uznać za okręgu o promieniu ½ o środku (pół, 0), a jako wykresie biegunowym z
Twierdzenie: (0,0), w i są punktami współliniowymi .
W rzeczywistości jest odbiciem linii w okręgu jednostkowym . Rzeczywiście, przekątna od (0,0) do ma kwadratową długość , czyli jest odwrotnością tej długości.
Geometria metryczna
Odległość między dowolnymi dwoma punktami p i q w górnej półpłaszczyźnie można konsekwentnie zdefiniować w następujący sposób: Prostopadła dwusieczna segmentu od p do q przecina granicę lub jest do niej równoległa. W tym drugim przypadku p i q leżą na promieniu prostopadłym do granicy, a miara logarytmiczna może być użyta do określenia odległości, która jest niezmienna przy dylatacji. W pierwszym przypadku p i q leżą na okręgu, którego środek znajduje się na przecięciu ich prostopadłej dwusiecznej i granicy. Zgodnie z powyższym twierdzeniem, okrąg ten można przesunąć ruchem afinicznym, a Odległości na można zdefiniować za pomocą zgodności z punktami na tym promieniu i miary logarytmicznej. W konsekwencji górna półpłaszczyzna staje się przestrzenią metryczną . Ogólna nazwa tej przestrzeni metrycznej to płaszczyzna hiperboliczna . Jeśli chodzi o modele geometrii hiperbolicznej , model ten jest często nazywany modelem półpłaszczyzny Poincarégo .
Uogólnienia
Jednym z naturalnych uogólnień w geometrii różniczkowej jest hiperboliczna n- przestrzeń, maksymalnie symetryczna, prosto połączona , n- wymiarowa rozmaitość riemannowska ze stałą krzywizną przekroju -1. W tej terminologii górna półpłaszczyzna jest taka, ponieważ ma rzeczywisty wymiar 2.
W teorii numer teoria Hilberta postaci modułowych dotyczy badań określonych funkcji na bezpośrednie produkty o n kopii górnej półpłaszczyźnie. Jeszcze inną przestrzenią interesującą teoretyków liczb jest górna półprzestrzeń Siegel, która jest domeną form modułowych Siegel .
Zobacz też
- Dzielnica Cusp
- Rozszerzona złożona górna półpłaszczyzna
- Grupa Fuchsa
- Domena podstawowa
- Połowa przestrzeni
- Grupa Kleinian
- Grupa modułowa
- Powierzchnia Riemanna
- Twierdzenie Schwarza – Ahlforsa – Picka
- Stos modułów krzywych eliptycznych