Dyskretna grupa - Discrete group

Liczby całkowite ze swoją zwykłą topologią są dyskretną podgrupą liczb rzeczywistych.

W matematyce , A topologiczna grupy jak G nazywa się dyskretne grupy , jeśli nie ma żadnego punktu granicznego , w tym (czyli, dla każdego elementu G , nie jest w okolicy, która zawiera tylko do tego elementu). Równoważnie grupa G jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy jej tożsamość jest izolowana ; innymi słowy, topologia podprzestrzeni o H w G jest dyskretna topologii . Na przykład liczby całkowite , Z , tworzą dyskretną podgrupę liczb rzeczywistych , R (w standardowej topologii metrycznej ), ale liczby wymierne , Q , nie. Grupa dyskretna to grupa topologiczna G wyposażona w topologię dyskretną .

Dowolnej grupie można nadać dyskretną topologię. Ponieważ każda mapa z dyskretnej przestrzeni jest ciągła , topologiczne homomorfizmy między dyskretnymi grupami są dokładnie homomorfizmami grup między grupami leżącymi poniżej. Stąd istnieje izomorfizm między kategorią grup a kategorią grup dyskretnych. Grupy dyskretne można zatem identyfikować z ich podstawowymi (nietopologicznymi) grupami.

Zdarzają się sytuacje, w których grupa topologiczna lub grupa Liego jest pożytecznie wyposażona w dyskretną topologię „wbrew naturze”. Dzieje się tak na przykład w teorii zagęszczenia Bohra , a także w teorii kohomologii grupowej grup Liego.

Dyskretna grupa izometrii to grupa izometrii taka, że dla każdego punktu przestrzeni metrycznej zbiór obrazów punktu pod izometriami jest zbiorem dyskretnym . Dyskretna grupa symetrii to grupa symetrii, która jest dyskretną grupą izometryczną.

Nieruchomości

Ponieważ grupy topologiczne są jednorodne , wystarczy spojrzeć na jeden punkt, aby określić, czy grupa topologiczna jest dyskretna. W szczególności grupa topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy singleton zawierający tożsamość jest zbiorem otwartym .

Dyskretna grupa jest tym samym, co zerowymiarowa grupa Liego ( niepoliczalne dyskretne grupy nie są przeliczalne jako drugie, więc autorzy, którzy wymagają, aby grupy Liego spełniały ten aksjomat, nie uważają tych grup za grupy Liego). Składnik tożsamości grupy dyskretnej jest po prostu trywialną podgrupą, podczas gdy grupa składników jest izomorficzna z samą grupą.

Ponieważ jedyną topologią Hausdorffa na zbiorze skończonym jest topologia dyskretna, skończona grupa topologiczna Hausdorffa musi być koniecznie dyskretna. Wynika z tego, że każda skończona podgrupa grupy Hausdorffa jest dyskretna.

Dyskretna podgrupa H z G jest współzwarta, jeśli istnieje zwarty podzbiór K z G taki, że HK = G .

Dyskretne podgrupy normalne odgrywają ważną rolę w teorii grup pokrywających i grup lokalnie izomorficznych . Dyskretny normalny podgrupę podłączonego grupy G zawsze znajduje się w środku z G i dlatego abelowa .

Inne właściwości :

każda dyskretna grupa jest całkowicie odłączona
każda podgrupa grupy dyskretnej jest dyskretna.
każdy iloraz grupy dyskretnej jest dyskretny.
iloczyn skończonej liczby grup dyskretnych jest dyskretny.
dyskretna grupa jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończona.
każda dyskretna grupa jest lokalnie zwarta .
każda dyskretna podgrupa grupy Hausdorffa jest zamknięta.
każda dyskretna podgrupa zwartej grupy Hausdorffa jest skończona.

Przykłady

Grupy fryzowe i grupy tapet są dyskretnymi podgrupami grupy izometrycznej płaszczyzny euklidesowej. Grupy tapet są zwarte, ale grupy fryzowe nie.
Grupa krystalograficzna zwykle oznacza zwartą, dyskretną podgrupę izometrii pewnej przestrzeni euklidesowej. Czasami jednak grupa krystalograficzna może być współzwartą dyskretną podgrupą nilpotentnej lub rozwiązywalnej grupy Liego .
Każda grupa trójkątów T jest dyskretną podgrupą grupy izometrycznej sfery (gdy T jest skończone), płaszczyzny euklidesowej (gdy T ma podgrupę Z + Z o skończonym indeksie ) lub płaszczyzny hiperbolicznej .
Grupy fuchsowskie są z definicji odrębnymi podgrupami grupy izometrycznej płaszczyzny hiperbolicznej.
- Grupa fuchsowska, która zachowuje orientację i działa na model górnej połowy płaszczyzny płaszczyzny hiperbolicznej, jest dyskretną podgrupą grupy Liego PSL(2, R ), grupy zachowującej orientację izometrii modelu górnej połowy płaszczyzny hiperbolicznego samolot.
- Grupa fuchsowska jest czasami uważana za szczególny przypadek grupy kleinowskiej , przez osadzenie płaszczyzny hiperbolicznej izometrycznie w trójwymiarowej przestrzeni hiperbolicznej i rozszerzenie działania grupy na płaszczyźnie na całą przestrzeń.
- Grupa modułowa PSL(2, Z ) jest traktowana jako dyskretna podgrupa PSL(2, R ). Grupa modułowa jest siecią w PSL(2, R ), ale nie jest zwarta.
Grupy Kleina są z definicji dyskretnymi podgrupami grupy izometrycznej hiperbolicznej przestrzeni
trójprzestrzennej
. Należą do nich grupy quasi-fuchsowskie .
- Grupa Kleina zachowująca orientację i działająca na model górnej półprzestrzeni hiperbolicznej 3-przestrzeni jest dyskretną podgrupą grupy Liego PSL(2, C ), grupy o orientacji zachowującej izometrie modelu górnej półprzestrzeni hiperbolicznej 3 -przestrzeń.
Kraty w grupie Lie jest dyskretnym podgrupy, tak że środek Haar przestrzeni ilorazu jest skończona.

Zobacz też

Cytaty

Bibliografia

Pontrjagin, Leon (1946). Grupy topologiczne . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton .
„Dyskretna grupa przekształceń” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
„Podgrupa dyskretna” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects