Pół-liczby całkowite - Half-integer

W matematyce , A pół całkowitą jest ilość formy

${\ displaystyle n + {\ tfrac {1} {2}}}$ ,

gdzie jest liczbą całkowitą . Na przykład, ${\ displaystyle n}$

4 + 1 / 2 , ⁷ / ₂ , - + 13 / 2 , 8.5

są liczbami półcałkowitymi . Nazwa „pół-liczba całkowita” może być myląca, ponieważ zbiór może być źle zrozumiany i zawiera liczby takie jak 1 (będące połową liczby całkowitej 2). Nazwa taka jak „liczba całkowita plus połowa” może być dokładniejsza, ale nawet jeśli nie jest dosłownie prawdziwa, termin „połowa liczby całkowitej” jest terminem konwencjonalnym. Liczby półcałkowite występują na tyle często w matematyce i mechanice kwantowej, że inny termin jest wygodny.

Zauważ, że zmniejszenie o połowę liczby całkowitej nie zawsze daje połowę liczby całkowitej; dotyczy to tylko nieparzystych liczb całkowitych . Z tego powodu pół-liczby całkowite są czasami nazywane pół-nieparzystymi liczbami całkowitymi . Liczby półcałkowite są podzbiorem wymiernych diadycznych (liczb tworzonych przez podzielenie liczby całkowitej przez potęgę dwóch ).

Notacja i struktura algebraiczna

Zbiór wszystkich liczb całkowitych jest pół-często oznaczany

${\ Displaystyle \ mathbb {Z} + {\ tfrac {1} {2}} \ quad = \ quad \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} \ prawej) \ smallsetminus \ mathbb { Z} ~.}$

Liczby całkowite i pół-liczby całkowite razem tworzą grupę w ramach operacji dodawania, którą można oznaczyć

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} ~.}$

Jednak liczby te nie tworzą pierścienia, ponieważ iloczyn dwóch pół-liczb całkowitych często nie jest liczbą pół-całkowitą; na przykład ${\ displaystyle ~ {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {1} {2}} ~ = ~ {\ tfrac {1} {4}} ~ \ notin ~ {\ tfrac {1} { 2}} \ mathbb {Z} ~.}$

Używa

Pakowanie kuli

Najgęstsze kratownica upakowania od kul jednostkowych w czterech wymiarach (zwany D ₄ kratownica ) umieszcza kulę w każdym punkcie o współrzędnych albo wszystkie liczby całkowite lub wszystkie pół-całkowitymi. To upakowanie jest ściśle związane z liczbami całkowitymi Hurwitza : kwaternionami, których rzeczywiste współczynniki są albo wszystkimi liczbami całkowitymi, albo pół-liczbami całkowitymi.

Fizyka

W fizyce zasada wykluczenia Pauliego wynika z definicji fermionów jako cząstek, których spiny są pół-liczbami całkowitymi.

Te poziomy energii z oscylatora harmonicznego kwantowej wystąpić na pół całkowitych a tym samym najniższy energia nie jest zerem.

Objętość kuli

Chociaż funkcja silnia jest zdefiniowana tylko dla argumentów całkowitych, można ją rozszerzyć na argumenty ułamkowe za pomocą funkcji gamma . Funkcja gamma dla liczb pół-całkowitych jest ważną częścią wzoru na objętość n- wymiarowej kuli o promieniu R ,

${\ Displaystyle V_ {n} (R) = {\ Frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ Frac {n} {2}} + 1)}} R ^ {n} ~. }$

Wartości funkcji gamma na liczbach połówkowych są całkowitymi wielokrotnościami pierwiastka kwadratowego z liczby pi :

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} + n \ prawo) ~ = ~ {\ Frac {\, (2n-1) !! \,} {2 ^ {n}}} \, {\ sqrt {\ pi \,}} ~ = ~ {\ frac {(2n)!} {\, 4 ^ {n} \, n! \,}} {\ sqrt {\ pi \,}} ~}$

gdzie n !! oznacza podwójną silnię .

Bibliografia