Różnica skończona - Finite difference

Różnic skończonych jest matematycznym ekspresja postaci f  ( x + b ) - f  ( x + ) . Jeśli skończoną różnicę podzielić przez b − a , otrzymujemy iloraz różnicy . Aproksymacja pochodnych różnicami skończonymi odgrywa kluczową rolę w metodach różnic skończonych do numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych , zwłaszcza zagadnień brzegowych .

Niektóre relacje rekurencyjne można zapisać jako równania różnicowe , zastępując notację iteracyjną różnicami skończonymi.

Obecnie termin „różnica skończona” jest często traktowany jako synonim aproksymacji pochodnych różnic skończonych , zwłaszcza w kontekście metod numerycznych . Przybliżenia różnic skończonych są ilorazami różnic skończonych w terminologii zastosowanej powyżej.

Różnice skończone zostały wprowadzone przez Brook Taylora w 1715 i były również badane jako abstrakcyjne samodzielne obiekty matematyczne w pracach George'a Boole'a (1860), LM Milne-Thomsona (1933) i Károly'ego Jordana (1939). Skończone różnice mają swoje początki w jednym z algorytmów Josta Bürgi ( ok.  1592 ) i działają przez innych, w tym Izaaka Newtona . Formalny rachunek różnic skończonych może być postrzegany jako alternatywa dla rachunku nieskończenie małych .

Typy podstawowe

Powszechnie rozważane są trzy podstawowe typy: różnice skończone w przód , wstecz i centralne .

Przodu różnicą , oznaczoną z funkcją F jest określona jako funkcja ${\ Displaystyle \ Delta _ {h} [f],}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {h} [f] (x) = f (x + h) - f (x).}$

W zależności od zastosowania rozstaw h może być zmienny lub stały. Gdy zostanie pominięty, przyjmuje się , że h wynosi 1; to jest,

${\ Displaystyle \ Delta [f] (x) = \ Delta _ {1} [f] (x) = f (x + 1) - f (x).}$

Tyłu różnicę wykorzystuje wartości w funkcji X i x - h , zamiast na wartościach x + h i  x :

${\ Displaystyle \ nabla _ {h} [f] (x) = f (x) - f (xh) = \ Delta _ {h} [f] (xh).}$

Wreszcie, centralna różnica jest dana przez

${\ Displaystyle \ delta _ {h} [f] (x) = f \ lewo (x + {\ tfrac {h} {2}} \ prawo) - f \ lewo (x- {\ tfrac {h} {2}) }\right)=\Delta _{h}[f](x-{\tfrac {h}{2}}).}$

Związek z pochodnymi

Różnica skończona jest często używana jako przybliżenie pochodnej, zwykle w różniczkowaniu numerycznym .

Pochodną z funkcji F w punkcie x jest określony przez ograniczenie .

${\ Displaystyle f '(x) = \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {f (x + h) - f (x)} {h}}.}$

Jeśli h ma stałą (niezerową) wartość zamiast zbliżania się do zera, to prawa strona powyższego równania zostanie zapisana

${\ Displaystyle {\ Frac {f (x + h) - f (x)} {h}} = {\ Frac {\ Delta _ {h} [f] (x)} {h}}.}$

Stąd różnica w przód podzielona przez h przybliża pochodną, ​​gdy h jest małe. Błąd w tym przybliżeniu można wyprowadzić z twierdzenia Taylora . Zakładając, że f jest podwójnie różniczkowalna, mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta _ {h} [f] (x)} {h}}-f '(x) = O (h) \ do 0 \ quad {\ tekst {jako}} h \ do 0.}$

Ta sama formuła obowiązuje dla różnicy wstecznej:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ nabla _ {h} [f] (x)} {h}}-f '(x) = O (h) \ do 0 \ quad {\ tekst {jako}} h \ do 0.}$

Jednak różnica centralna (zwana także wyśrodkowaną) daje dokładniejsze przybliżenie. Jeśli f jest trzykrotnie różniczkowalna,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta _ {h} [f] (x)} {h}}-f '(x) = O \ lewo (h ^ {2} \ prawo).}$

Główny problem z metodą różnic centralnych polega jednak na tym, że funkcje oscylacyjne mogą dawać pochodną zerową. Jeśli f  ( nh ) = 1 dla n nieparzystych i f  ( nh ) = 2 dla n parzystych , wtedy f  ′ ( nh ) = 0 , jeśli jest obliczone za pomocą centralnego schematu różnicowego . Jest to szczególnie kłopotliwe, jeśli dziedzina f jest dyskretna. Zobacz także pochodna symetryczna

Autorzy, dla których różnice skończone oznaczają aproksymacje różnic skończonych, definiują różnice w przód/wstecz/centralne jako ilorazy podane w tej sekcji (zamiast posługiwania się definicjami podanymi w poprzednim podrozdziale).

Różnice wyższego rzędu

W analogiczny sposób można otrzymać przybliżenia różnic skończonych do pochodnych wyższego rzędu i operatorów różniczkowych. Na przykład, używając powyższego wzoru na różnicę centralną dla f  ′( x + h/2) i f  ( x −h/2) i stosując wzór na różnicę centralną dla pochodnej f  ′ w x , otrzymujemy przybliżenie różnicy centralnej drugiej pochodnej f :

Centrala drugiego rzędu

${\ Displaystyle f ''(x) \ około {\ Frac {\ delta _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h ^ {2}}} = {\ Frac {{\ Frac {f (x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(xh)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h) -2f(x)+f(xh)}{h^{2}}}.}$

Podobnie możemy zastosować inne formuły różnicujące w sposób rekurencyjny.

Drugie zamówienie do przodu

${\ Displaystyle f ''(x) \ około {\ Frac {\ Delta _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h ^ {2}}} = {\ Frac {{\ Frac {f (x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f( x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.}$

Drugie zamówienie wstecz

${\ Displaystyle f ''(x) \ około {\ Frac {\ nabla _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h ^ {2}}} = {\ Frac {{\ Frac {f (x)-f(xh)}{h}}-{\frac {f(xh)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f (xh)+f(x-2h)}{h^{2}}}.}$

Bardziej ogólnie, n- te różnice w przód, w tył i w centrum są podane odpowiednio przez

Do przodu

${\ Displaystyle \ Delta _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {n} (-1) ^ {ni} {\ binom {n} {i}} f{\bigl (}x+ih{\bigr )},}$

lub dla h = 1 ,

${\ Displaystyle \ Delta ^ {n} [f] (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ Binom {n} {k}} (-1) ^ {nk} f (x + k)}$

Do tyłu

${\ Displaystyle \ nabla _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {n} (-1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} f(x-ih),}$

Centralny

${\ Displaystyle \ delta _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {n} (-1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).}$

Te równania wykorzystują współczynniki dwumianowe po znaku sumy pokazanym jako (ⁿ
_ja) . Każdy rządtrójkąta Pascaladostarcza współczynnik dla każdej wartościi.

Zauważ, że różnica środkowa dla nieparzystego n będzie h pomnożona przez liczby niecałkowite. Jest to często problem, ponieważ sprowadza się do zmiany interwału dyskretyzacji. Problem można rozwiązać biorąc średnią δ ⁿ [  f  ]( x −h/2) i δ ⁿ [  f  ]( x +h/2) .

Różnice w przód zastosowane do sekwencji są czasami nazywane dwumianową transformacją sekwencji i mają wiele interesujących właściwości kombinatorycznych. Różnice w przód można oszacować za pomocą całki Nörlunda-Rice'a . Całkowa reprezentacja dla tego typu szeregów jest interesująca, ponieważ całkę często można ocenić za pomocą asymptotycznej ekspansji lub technik siodła ; przeciwnie, szeregi różnic postępujących mogą być niezwykle trudne do oszacowania liczbowego, ponieważ współczynniki dwumianowe szybko rosną dla dużych n .

Związek tych różnic wyższego rzędu z odpowiednimi pochodnymi jest prosty,

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}} (x) = {\ Frac {\ Delta _ {h} ^ {n} [f] (x)} {h ^ {n}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac { \delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O\lewo(h^{2}\prawo).}$

Różnice wyższego rzędu można również wykorzystać do skonstruowania lepszych przybliżeń. Jak wspomniano powyżej, różnica pierwszego rzędu przybliża pochodną pierwszego rzędu do terminu rzędu h . Jednak połączenie

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta _ {h} [f] (x) - {\ Frac {1} {2}} \ Delta _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h} }=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}$

przybliża f  ′( x ) do czasu rzędu h ² . Można to udowodnić rozszerzając powyższe wyrażenie w szereg Taylora lub używając rachunku różnic skończonych, wyjaśnionego poniżej.

W razie potrzeby różnicę skończoną można wyśrodkować wokół dowolnego punktu, mieszając różnice w przód, wstecz i centralne.

Jądra o dowolnej wielkości

Za pomocą algebry liniowej można skonstruować przybliżenia różnic skończonych, które wykorzystują dowolną liczbę punktów po lewej stronie i (możliwie różną) liczbę punktów po prawej stronie punktu oceny, dla dowolnej pochodnej rzędu. Wiąże się to z rozwiązaniem układu liniowego takiego, że rozwinięcie Taylora sumy tych punktów wokół punktu oceny najlepiej przybliża rozwinięcie Taylora pożądanej pochodnej. Takie formuły można przedstawić graficznie na siatce sześciokątnej lub w kształcie rombu.

Jest to przydatne do rozróżniania funkcji na siatce, gdzie w miarę zbliżania się do krawędzi siatki należy próbkować coraz mniej punktów po jednej stronie.

Szczegóły są przedstawione w tych uwagach .

Różnic skończonych Współczynniki Kalkulator konstruuje skończonych przybliżeń różnicy niestandardowych (a nawet nie całkowitą) wzorniki przypisano arbitralną szablonu i pożądanej kolejności pochodnych.

Nieruchomości

• Dla wszystkich dodatnich k i n

${\ Displaystyle \ Delta _ {kh} ^ {n} (f, x) = \ suma \ limity _ {i_ {1} = 0} ^ {k-1} \ suma \ limity _ {i_ {2} = 0 }^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}\left(f,x+i_{1}h +i_{2}h+\cdots +i_{n}h\right).}$

• Reguła Leibniza :

${\ Displaystyle \ Delta _ {h} ^ {n} (fg, x) = \ suma \ limity _ {k = 0} ^ {n} {\ Binom {n} {k}} \ Delta _ {h} ^ {k}(f,x)\Delta _{h}^{nk}(g,x+kh).}$

W równaniach różniczkowych

Ważnym zastosowaniem różnic skończonych jest analiza numeryczna , zwłaszcza w numerycznych równaniach różniczkowych , których celem jest numeryczne rozwiązanie równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych . Pomysł polega na zastąpieniu pochodnych występujących w równaniu różniczkowym różnicami skończonymi, które je przybliżają. Otrzymane metody nazywane są metodami różnic skończonych .

Powszechne zastosowania metody różnic skończonych znajdują się w naukach komputerowych i dyscyplinach inżynierskich, takich jak inżynieria cieplna , mechanika płynów itp.

Seria Newtona

Serii Newton składa się z warunkami przodu różnicy równania Newtona , nazwany Isaaca Newtona ; w istocie jest to formuła interpolacyjna Newtona , po raz pierwszy opublikowana w jego Principia Mathematica w 1687 roku, a mianowicie dyskretny analog ciągłego rozwinięcia Taylora,

która obowiązuje dla dowolnej funkcji wielomianowej f i dla wielu (ale nie wszystkich) funkcji analitycznych (nie zachodzi, gdy f jest typem wykładniczym . Łatwo to zauważyć, ponieważ funkcja sinus znika przy całkowitych wielokrotnościach ; odpowiednia seria Newtona jest identycznie zerowa , ponieważ wszystkie różnice skończone są w tym przypadku równe zeru. Jednak wyraźnie funkcja sinus nie jest równa zero.). Tutaj wyrażenie ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$

${\ Displaystyle {\ Binom {x} {k}} = {\ Frac {(x) _ {k}} {k!}}}$

jest współczynnikiem dwumianowym , a

${\ Displaystyle (x) _ {k} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-k + 1)}$

jest „ silnią opadającą ” lub „silnią dolną”, podczas gdy iloczyn pusty ( x ) ₀ jest zdefiniowany jako 1. W tym konkretnym przypadku założono kroki jednostkowe dla zmian wartości x , h = 1 poniższego uogólnienia.

Zwróć uwagę na formalną zgodność tego wyniku z twierdzeniem Taylora . Historycznie to, podobnie jak tożsamość Chu–Vandermonde ,

${\ Displaystyle (x + y) _ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} (x) _ {nk} \ (y) _ {k },}$

(wynikające z tego i odpowiadające twierdzeniu dwumianowemu ) są zawarte w obserwacjach, które dojrzały do ​​systemu rachunku umbralnego .

Aby zilustrować, jak można wykorzystać wzór Newtona w praktyce, rozważmy kilka pierwszych wyrazów podwojenia ciągu Fibonacciego f = 2, 2, 4, ... Można znaleźć wielomian, który odtwarza te wartości, obliczając najpierw tablicę różnic, a następnie podstawienie różnic, które odpowiadają x ₀ (podkreślone) do wzoru w następujący sposób,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} {\ zacząć tablicę} {| c | | | c | c | c |} \ hline x i f = \ delta ^ {0} i \ delta ^ {1} i \ delta ^ {2} }\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array} }&\quad {\begin{wyrównany}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1} }{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\ \&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\ &=2+(x-1)(x-2)\\\end{wyrównany}}\end{macierz}}}$

Dla przypadku niejednorodnych kroków w wartościach x , Newton oblicza podzielone różnice ,

${\ Displaystyle \ Delta _ {j, 0} = y_ {j}, \ qquad \ Delta _ {j, k} = {\ Frac {\ Delta _ {j + 1, k-1} - \ Delta _ {j ,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k \right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}}$

seria produktów,

${\ Displaystyle {P_ {0}} = 1, \ quad \ quad P_ {k + 1} = P_ {k} \ cdot \ lewo (\ xi -x_ {k} \ po prawej),}$

a wynikowy wielomian jest iloczynem skalarnym ,

${\ Displaystyle f (\ xi ) = \ Delta 0 \ cdot P \ po lewej (\ xi \ po prawej)}$ .

W analizie z p liczb -adic , twierdzenie Mahlera stwierdza, że założenie, że f jest wielomianem funkcja może być osłabiony przez całą drogę do założenia, że f jest tylko ciągła.

Twierdzenie Carlsona zapewnia konieczne i wystarczające warunki, aby szereg Newtona był unikalny, jeśli taki istnieje. Jednak seria Newtona generalnie nie istnieje.

Seria Newtona, wraz z serią Stirlinga i serią Selberga , jest szczególnym przypadkiem serii różnic ogólnych , z których wszystkie są zdefiniowane w kategoriach odpowiednio przeskalowanych różnic w przód.

W skróconej i nieco bardziej ogólnej formie i równoodległych węzłach formuła brzmi

${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {k = 0} {\ binom {\ Frac {xa} {h}} {k}} \ suma _ {j = 0} ^ {k} (-1) ^ {kj}{\binom {k}{j}}f(a+jh).}$

Rachunek różnic skończonych

Różnica w przód może być traktowana jako operator , zwany operator różnicy , który odwzorowuje funkcjęfnaΔ _h [  f  ]. Ten operator wynosi

${\ Displaystyle \ Delta _ {h} = T_ {h}-I}$

gdzie T _h jest operatorem przesunięcia z krokiem h , zdefiniowanym przez T _h [  f  ] ( x ) = f  ( x + h ) , a I jest operatorem tożsamości .

Skończoną różnicę wyższych rzędów można zdefiniować w sposób rekurencyjny jako Δⁿ
_godz≡ Δ _h (Δ^{n − 1}
_godz) . Inną równoważną definicją jest Δⁿ
_godz= [ T _h − I ] ⁿ .

Operator różnicy Δ _h jest operatorem liniowym , jako taki spełnia Δ _h [ αf + βg ]( x ) = α Δ _h [  f  ]( x ) + β Δ _h [ g ]( x ) .

Również spełnia specjalne zasada Leibniza wskazano powyżej, Æ _h ( F  ( x ), g ( x )) = (Δ _h f  ( x )), g ( x + h ) + f  ( x ) (Δ _H g ( x )) . Podobne stwierdzenia dotyczą różnic wstecznych i centralnych.

Formalne zastosowanie szeregu Taylora względem h daje wzór

${\ Displaystyle \ Delta _ {h} = hD + {\ Frac {1} {2!}} h ^ {2} D ^ {2} + {\ Frac {1} {3!}} h ^ {3} D ^{3}+\cdots =\mathrm {e} ^{hD}-I,}$

gdzie D oznacza continuum operatora pochodnej, odwzorowujący f na jego pochodną f  ′ . Rozszerzenie jest ważne, gdy obie strony działają na funkcje analityczne , dla wystarczająco małego h . Zatem T _h = e ^hD i formalnie odwracamy wykładnicze plony

${\ Displaystyle hD = \ log (1 + \ Delta _ {h}) = \ Delta _ {h} - {\ tfrac {1} {2}} \ Delta _ {h} ^ {2} + {\ tfrac { 1}{3}}\Delta _{h}^{3}-\cdots .}$

Formuła ta obowiązuje w tym sensie, że oba operatory dają ten sam wynik po zastosowaniu do wielomianu.

Nawet w przypadku funkcji analitycznych szereg po prawej stronie nie gwarantuje zbieżności; może to być seria asymptotyczna . Można go jednak wykorzystać do uzyskania dokładniejszych przybliżeń pochodnej. Na przykład zachowanie pierwszych dwóch wyrazów szeregu daje przybliżenie drugiego rzędu do f  ′( x ) wspomniane na końcu sekcji Różnice wyższego rzędu .

Analogiczne formuły dla wstecznych i centralnych operatorów różnicowych to

${\ Displaystyle hD = - \ log (1- \ nabla _ {h}) \ quad {\ tekst {i}} \ quad hD = 2 \ operatorname {arsinh} \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} \delta _{h}\prawo).}$

Rachunek różnic skończonych jest powiązany z rachunkiem umbralnym kombinatoryki. Ta niezwykle systematyczna zgodność wynika z identyczności komutatorów wielkości umbralnych z ich analogami kontinuum ( h → 0 granic),

Duża liczba formalnych zależności różniczkowych standardowego rachunku różniczkowego obejmujących funkcje f  ( x ) odwzorowuje w ten sposób systematycznie umbralne analogi różnic skończonych obejmujące f  ( xT^-1
_godz) .

Na przykład, umbralny analog jednomianu x ⁿ jest uogólnieniem powyższej silni opadającej ( Pochhammer k-symbol ),

${\ Displaystyle ~ (x) _ {n} \ równoważne \ lewo (xT_ {h} ^ {-1} \ prawej) ^ {n} = x (xh) (x-2h) \ cdots {\ bigl (} x -(n-1)h{\duży )},}$

aby

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta _ {h}} {h}} (x) _ {n} = n (x) _ {n-1}}$

stąd powyższy wzór na interpolację Newtona (przez dopasowanie współczynników w rozwinięciu dowolnej funkcji f  ( x ) w takich symbolach) i tak dalej.

Na przykład sinus umbralny to

${\ Displaystyle \ sin \ lewo (x \ T_ {h} ^ {-1} \ po prawej) = x-{\ Frac {(x) _ {3} {3!}} + {\ Frac {(x )_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots }$

Podobnie jak w granicy kontinuum, funkcja własna Δ _h/h bywa też wykładniczy,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta _ {h}} {h}} (1+ \ lambda h) ^ {\ Frac {x} {h}} = {\ Frac {\ Delta _ {h}} {h }}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}} },}$

stąd sumy Fouriera funkcji kontinuum są łatwo odwzorowywane wiernie na sumy Fouriera umbralne , tj. przy użyciu tych samych współczynników Fouriera mnożących te wykładniki bazy umbralnej. Ten Umbral wykładniczy wynosi zatem wykładniczej funkcji tworzącej z symboli Pochhammer .

Tak więc, na przykład, delta Diraca odwzorowuje swój odpowiednik umbralny, funkcję sinusa kardynalnego ,

${\ Displaystyle \ delta (x) \ mapsto {\ Frac {\ sin \ lewo [{\ Frac {\ pi} {2}} \ po lewej (1 + {\ Frac {x} {h}} \ po prawej) \ po prawej ]}{\pi (x+h)}},}$

i tak dalej. Równania różnicowe można często rozwiązać za pomocą technik bardzo podobnych do rozwiązywania równań różniczkowych .

Operator odwrotny przedniego operatora różnicowego, a więc całka umbralna, jest operatorem sumy nieoznaczonej lub przeciwróżnicowej.

Zasady rachunku różniczkowego operatorów różnic skończonych

Analogicznie do zasad znajdowania pochodnej mamy:

• Stała reguła : Jeśli c jest stałą , wtedy

${\ Displaystyle \ Delta c = 0}$

• Liniowość : jeśli a i b są stałymi ,

${\ Displaystyle \ Delta (af + bg) = a \ \ Delta f + b \ \ Delta g}$

Wszystkie powyższe zasady stosują się równie dobrze do każdego operatora różnicowego, w tym ∇ jak do Δ .

• Zasada produktu :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ Delta (fg) i = f \ \ Delta g + g \ \ Delta f + \ Delta f \ \ Delta g \ \ \ nabla (fg) i = f \ \ nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g\end{wyrównany}}}$

• Reguła ilorazu :

${\ Displaystyle \ nabla \ lewo ({\ Frac {f} {g}} \ prawej) = {\ Frac {1} {g}} \ det {\ zacząć {bmatrix} \ nabla f & \ nabla g \ \ f & g \ end{bmatrix}}\left(\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)^{-1}}$

lub

${\ Displaystyle \ nabla \ lewo ({\ Frac {f} {g}} \ prawej) = {\ Frac {g \ \ nabla ff \ \ nabla g {g \ cdot (g \ nabla g)} }}$

• Zasady sumowania :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ suma _ {n = a} ^ {b} \ Delta f (n) i = f (b + 1) - f (a) \ \ \ suma _ {n = a} ^{b}\nabla f(n)&=f(b)-f(a-1)\end{wyrównany}}}$

Zobacz referencje.

Uogólnienia

• Uogólnione różnic skończonych jest zazwyczaj zdefiniowany jako
  $${\ Displaystyle \ Delta _ {h} ^ {\ mu} [f] (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {N} \ mu _ {k} f (x + kh)}$$

  
  gdzie μ = ( μ ₀ , …, μ _N ) jest jego wektorem współczynnika. Nieskończona różnica jest dalsze uogólnienie, przy czym suma skończonych powyżej zastąpiono nieskończonej serii . Innym sposobem uogólnienia jest uzależnienie współczynników μ _k od punktu x : μ _k = μ _k ( x ) , uwzględniając w ten sposób ważoną różnicę skończoną . Można również uzależnić krok h od punktu x : h = h ( x ) . Takie uogólnienia są przydatne do konstruowania różnych modułów ciągłości .
• Uogólnioną różnicę można zobaczyć jako pierścienie wielomianowe R [ T _h ] . Prowadzi to do algebr różnicowych.
• Operator różnicy uogólnia na inwersję Möbiusa nad częściowo uporządkowanym zbiorem .
• Jako operator splotu: Poprzez formalizm algebr padania , operatory różnicowe i inne inwersje Möbiusa mogą być reprezentowane przez splot z funkcją na posecie, zwaną funkcją Möbiusa μ ; dla operatora różnicy μ jest sekwencją (1, -1, 0, 0, 0, …) .

Wielowymiarowe różnice skończone

Różnice skończone można rozpatrywać w więcej niż jednej zmiennej. Są one analogiczne do pochodnych cząstkowych w kilku zmiennych.

Niektóre przybliżenia pochodne cząstkowe to:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} f_ {x} (x, y) i \ około {\ frac {f (x + h, y) - f (xh, y)} {2 h}} \ \ f_ {y }(x,y)&\około {\frac {f(x,y+k)-f(x,yk)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\około {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(xh,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\ok {\frac { f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,yk)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\ok {\frac {f (x+h,y+k)-f(x+h,yk)-f(xh,y+k)+f(xh,yk)}{4hk}}.\end{wyrównany}}}$

Alternatywnie, dla aplikacji, w których obliczenie f jest najbardziej kosztownym krokiem, a zarówno pierwsza, jak i druga pochodna muszą być obliczone, bardziej wydajnym wzorem dla ostatniego przypadku jest

${\ Displaystyle f_ {xy} (x, y) \ około {\ Frac {f (x + h, y + k) - f (x + h, y) - f (x, y + k) + 2f (x ,y)-f(xh,y)-f(x,yk)+f(xh,yk)}{2hk}},}$

ponieważ jedyne wartości do obliczenia, które nie są już potrzebne dla poprzednich czterech równań, to f  ( x + h , y + k ) i f  ( x − h , y − k ) .

Zobacz też

Bibliografia

• Richardson, CH (1954): Wprowadzenie do rachunku różnic skończonych (Van Nostrand (1954) kopia online
• Mickens, RE (1991): Równania różnicowe: teoria i zastosowania (Chapman i Hall / CRC) ISBN  978-0442001360

Zewnętrzne linki

• „Rachunek różnic skończonych” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Tabela użytecznych wzorów różnic skończonych wygenerowanych za pomocą Mathematica
• D. Gleich (2005), Rachunek skończony: samouczek rozwiązywania paskudnych sum
• Dyskretna druga pochodna z nierówno rozmieszczonych punktów