Aksjomaty prawdopodobieństwa - Probability axioms

Część serii o statystykach
Teoria prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo Aksjomaty Determinizm System Indeterminizm Losowość
Przestrzeń prawdopodobieństwa Przestrzeń próbna Wydarzenie Zbiorowo wyczerpujące wydarzenia Wydarzenie podstawowe Wzajemna wyłączność Wynik Singel Eksperyment Proces Bernoulliego Rozkład prawdopodobieństwa Dystrybucja Bernoulliego Rozkład dwumianowy Normalna dystrybucja Miara prawdopodobieństwa Zmienna losowa Proces Bernoulliego Ciągły lub dyskretny Wartość oczekiwana Łańcuch Markowa Zaobserwowana wartość Losowy spacer Proces stochastyczny
Wydarzenie uzupełniające Wspólne prawdopodobieństwo krańcowe prawdopodobieństwo Warunkowe prawdopodobieństwo
Niezależność Warunkowa niezależność Prawo całkowitego prawdopodobieństwa Prawo wielkich liczb Twierdzenie Bayesa Nierówność Boole'a
Schemat Venna Schemat drzewa
v T mi

Te aksjomaty Kołmogorowa są fundamenty teorii prawdopodobieństwa wprowadzone przez Andrieja Kołmogorowa w roku 1933. Te aksjomaty pozostaną centralny i mają bezpośredni wkład do matematyki, nauk fizycznych i rzeczywistych przypadkach prawdopodobieństwa. Alternatywnym podejściem do formalizowania prawdopodobieństwa, preferowanym przez niektórych bayesowców , jest twierdzenie Coxa .

Aksjomaty

Założenia dotyczące ustalenia aksjomatów można podsumować następująco: Niech (Ω,  F ,  P ) będzie przestrzenią miary, w której będzie prawdopodobieństwem jakiegoś zdarzenia E , oraz . Wtedy (Ω,  F ,  P ) jest przestrzenią prawdopodobieństwa , z przestrzenią próbek Ω, przestrzenią zdarzeń F i miarą prawdopodobieństwa P . ${\ Displaystyle P (E)}$${\ Displaystyle P (\ Omega ) = 1}$  

Pierwszy aksjomat

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest nieujemną liczbą rzeczywistą:

${\ Displaystyle P (E) \ w \ mathbb {R}, P (E) \ geq 0 \ qquad \ forall E \ w F}$

gdzie jest przestrzeń wydarzenia. Wynika z tego, że jest zawsze skończony, w przeciwieństwie do bardziej ogólnej teorii miary . Teorie, które przypisują prawdopodobieństwo ujemne, rozluźniają pierwszy aksjomat. ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle P (E)}$

Drugi aksjomat

Jest to założenie miary jednostkowej : prawdopodobieństwo wystąpienia przynajmniej jednego zdarzenia elementarnego w całej przestrzeni próbki wynosi 1

${\ Displaystyle P (\ Omega ) = 1.}$

Trzeci aksjomat

To jest założenie σ-addytywności :

Dowolna policzalna sekwencja rozłącznych zbiorów (jednoznaczna z wzajemnie wykluczającymi się zdarzeniami) spełnia ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots}$

${\ Displaystyle P \ lewo (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} E_ {i} \ prawej) = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} P (E_ {i}).}$

Niektórzy autorzy rozważają jedynie skończenie addytywne przestrzenie prawdopodobieństwa, w którym to przypadku wystarczy algebry zbiorów , a nie σ-algebry . Rozkłady quasi-prawdopodobieństwa ogólnie rozluźniają trzeci aksjomat.

Konsekwencje

Z aksjomatów Kołmogorowa można wywnioskować inne przydatne zasady badania prawdopodobieństw. Dowody tych reguł są bardzo wnikliwą procedurą, która ilustruje moc trzeciego aksjomatu i jego interakcję z pozostałymi dwoma aksjomatami. Poniżej przedstawiono cztery bezpośrednie następstwa i ich dowody:

Monotoniczność

${\ Displaystyle \ quad {\ tekst {jeśli}} \ quad A \ subseteq B \ quad {\ tekst {wtedy}} \ quad P (A) \ leq P (B).}$

Jeśli A jest podzbiorem lub równym B, to prawdopodobieństwo A jest mniejsze lub równe prawdopodobieństwu B.

Dowód monotonii

W celu weryfikacji własności monotoniczności ustawiamy i , gdzie i dla . Z właściwości pustego zbioru ( ) łatwo zauważyć, że zbiory są parami rozłączne i . Stąd z trzeciego aksjomatu otrzymujemy, że: ${\displaystyle E_{1}=A}$${\ Displaystyle E_ {2} = B \ setminus A}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\ Displaystyle E_ {i} = \ varnothing}$${\displaystyle i\geq 3}$${\displaystyle \varnic}$${\ Displaystyle E_ {i}}$${\ Displaystyle E_ {1} \ filiżanka E_ {2} \ filiżanka \ cdots = B}$

${\ Displaystyle P (A) + P (B \ setminus A) + \ suma _ {i = 3} ^ {\ infty} P (E_ {i}) = P (B).}$

Ponieważ zgodnie z pierwszym aksjomatem lewa strona tego równania jest szeregiem liczb nieujemnych i ponieważ zbiega się do której jest skończona, otrzymujemy zarówno i . ${\ Displaystyle P (B)}$${\ Displaystyle P (A) \ równoważnik P (B)}$${\displaystyle P(\varnic )=0}$

Prawdopodobieństwo pustego zbioru

${\displaystyle P(\varnic )=0.}$

W niektórych przypadkach nie jest to jedyne zdarzenie z prawdopodobieństwem 0. ${\displaystyle \varnic}$

Dowód prawdopodobieństwa pustego zbioru

Jak pokazano w poprzednim dowodzie, . Stwierdzenie to można udowodnić przez sprzeczność: jeśli wtedy lewa strona jest nieskończona;${\displaystyle P(\varnic )=0}$${\displaystyle P(\varnic )=a,a>0}$${\ Displaystyle [P (A) + P (B \ setminus A) + \ suma _ {i = 3} ^ {\ infty} P (E_ {i})]}$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 3} ^ {\ infty} P (E_ {i}) = \ suma _ {i = 3} ^ {\ infty} P (\ varnothing) = \ suma _ {i = 3 }^{\infty }a={\begin{przypadki}0&{\text{if }}a=0,\\\infty &{\text{if }}a>0.\end{przypadki}}}$

Jeśli mamy sprzeczność, bo lewa strona jest nieskończona, podczas gdy musi być skończona (z pierwszego aksjomatu). Tak więc . Jako produkt uboczny dowodu monotoniczności wykazaliśmy, że . ${\displaystyle a>0}$${\ Displaystyle P (B)}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle P(\varnic )=0}$

Reguła dopełnienia

${\ Displaystyle P \ lewo (A ^ {c} \ po prawej) = P (\ Omega \ setminus A) = 1-P (A)}$

Dowód zasady dopełnienia

Biorąc pod uwagę i wzajemnie się wykluczają oraz że : ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A ^ {c}}$${\ Displaystyle A \ filiżanka A ^ {c} = \ Omega}$

${\ Displaystyle P (A \ filiżanka A ^ {c}) = P (A) + P (A ^ {c})}$ ... (przez aksjomat 3)

i ... (przez aksjomat 2)${\ Displaystyle P (A \ filiżanka A ^ {c}) = P (\ Omega) = 1}$

${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo P (A) + P (A ^ {c}) = 1}$

${\ Displaystyle \ dlatego P (A ^ {c}) = 1 - P (A)}$

Ograniczenie liczbowe

Z właściwości monotoniczności wynika od razu, że:

${\ Displaystyle 0 \ leq P (E) \ leq 1 \ qquad \ forall E \ w F.}$

Dowód wiązania liczbowego

Biorąc pod uwagę zasadę dopełnienia i aksjomat 1 : ${\ Displaystyle P (E ^ {c}) = 1-P (E)}$ ${\ Displaystyle P (E ^ {c}) \ geq 0}$

${\ Displaystyle 1-P (E) \ geq 0}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow 1 \ geq P (E)}$

${\ Displaystyle \ zatem 0 \ równoważnik P (E) \ równoważnik 1}$

Dalsze konsekwencje

Kolejną ważną właściwością jest:

${\ Displaystyle P (A \ filiżanka B) = P (A) + P (B)-P (A \ czapka B).}$

Nazywa się to prawem dodawania prawdopodobieństwa lub regułą sumy. Oznacza to, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w A lub B jest sumą prawdopodobieństwa zdarzenia w A i prawdopodobieństwa zdarzenia w B minus prawdopodobieństwo zdarzenia, które występuje zarówno w A, jak i B . Dowodem na to jest:

Po pierwsze,

${\ Displaystyle P (A \ filiżanka B) = P (A) + P (B \ setminus A)}$ ... (przez Aksjomat 3)

Więc,

${\ Displaystyle P (A \ filiżanka B) = P (A) + P (B \ setminus (A \ czapka B))}$(przez ).${\ Displaystyle B \ setminus A = B \ setminus (A \ czapka B)}$

Także,

${\ Displaystyle P (B) = P (B \ setminus (A \ czapka B)) + P (A \ czapka B)}$

a wyeliminowanie z obu równań daje nam pożądany rezultat. ${\ Displaystyle P (B \ setminus (A \ czapka B))}$

Rozszerzeniem prawa dodawania na dowolną liczbę zbiorów jest zasada włączenia-wykluczenia .

Ustawienie B do dopełnienia A ^c z A w prawie dodawania daje

${\ Displaystyle P \ lewo (A ^ {c} \ po prawej) = P (\ Omega \ setminus A) = 1-P (A)}$

Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że jakiekolwiek zdarzenie się nie wydarzy (lub dopełnienie zdarzenia ) wynosi 1 minus prawdopodobieństwo, że tak się stanie.

Prosty przykład: rzut monetą

Rozważ pojedynczy rzut monetą i załóż, że moneta wyląduje orłem (H) lub reszka (T) (ale nie obydwoma). Nie zakłada się, że moneta jest uczciwa.

Możemy zdefiniować:

${\ Displaystyle \ Omega = \ {H, T \}}$

${\ Displaystyle F = \ {\ varnothing, \ {H \}, \ {T \}, \ {H, T \} \}}$

Z aksjomatów Kołmogorowa wynika, że:

${\displaystyle P(\varnic )=0}$

Prawdopodobieństwo ani głowy , ani ogona, to 0.

${\ Displaystyle P (\ {H, T \} ^ {c}) = 0}$

Prawdopodobieństwo albo głów lub ogonów, to 1.

${\ Displaystyle P (\ {H \}) + P (\ {T \}) = 1}$

Suma prawdopodobieństwa orłów i reszek wynosi 1.

Zobacz też

• Algebra borelowska
• Warunkowe prawdopodobieństwo
• W pełni probabilistyczny projekt
• Intuicyjne statystyki
• Quasi-prawdopodobieństwo
• Teoria mnogości  – dział matematyki badający zbiory
• σ-algebra

Bibliografia

Dalsza lektura

• DeGroot, Morris H. (1975). Prawdopodobieństwo i statystyka . Czytanie: Addison-Wesley. s.  12–16 . Numer ISBN 0-201-01503-X.
• McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). „Prawdopodobieństwo aksjomatyczne” . Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa . Nowy Jork: Macmillan. s.  13–28 .
• Formalna definicja prawdopodobieństwa w systemie Mizar oraz lista twierdzeń formalnie o tym dowiodła.