Proces Bernoulliego - Bernoulli trial

Wykresy prawdopodobieństwa P o nie obserwując zdarzenia niezależne od siebie prawdopodobieństwa P po n prób Bernoulliego vs NP dla różnych p . Pokazane są trzy przykłady:
Niebieska krzywa : 6-krotne rzucenie sześciokątną kostką daje 33,5% szansy, że 6 (lub jakakolwiek inna podana liczba) nigdy się nie pojawi; można zaobserwować, że wraz ze wzrostem n prawdopodobieństwo zdarzenia 1 / n -przypadkowego nigdy nie wystąpi po n próbach szybko zbiega się do 0 .
Szara krzywa : aby uzyskać 50-50 szans na rzucenie Yahtzee (5 kostek sześciennych, wszystkie o tej samej liczbie), wymaga 0,69 × 1296 ~ 898 rzutów.
Zielona krzywa : Losowanie karty z talii kart do gry bez jokerów 100 (1,92 × 52) razy z wymianą daje 85,7% szansy na wyciągnięcie asa pik przynajmniej raz.

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce , próba Bernoulliego (lub próba dwumianowa ) jest eksperymentem losowym z dokładnie dwoma możliwymi wynikami , „sukcesem” i „porażką”, w których prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo za każdym razem, gdy przeprowadzany jest eksperyment. Jej nazwa pochodzi od XVII-wiecznego szwajcarskiego matematyka Jacoba Bernoulliego , który przeanalizował je w swoim Ars Conjectandi (1713).

Matematyczna formalizacja próby Bernoulliego jest znana jako proces Bernoulliego . Ten artykuł stanowi elementarne wprowadzenie do koncepcji, podczas gdy artykuł dotyczący procesu Bernoulliego oferuje bardziej zaawansowane leczenie.

Ponieważ proces Bernoulliego ma tylko dwa możliwe wyniki, można go sformułować jako pytanie „tak lub nie”. Na przykład:

  • Czy górna karta z potasowanej talii jest asem?
  • Czy nowo narodzone dziecko było dziewczynką? (Zobacz stosunek płci) .

Dlatego sukces i porażka są jedynie etykietami tych dwóch wyników i nie należy ich interpretować dosłownie. Termin „sukces” w tym sensie polega na spełnieniu określonych warunków, a nie na jakimkolwiek sądzie moralnym. Mówiąc bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę dowolną przestrzeń prawdopodobieństwa , dla dowolnego zdarzenia (zestawu wyników) można zdefiniować próbę Bernoulliego, odpowiadającą temu, czy zdarzenie miało miejsce, czy nie (zdarzenie lub zdarzenie uzupełniające ). Przykłady prób Bernoulliego obejmują:

  • Rzucanie monetą. W tym kontekście awers („głowy”) tradycyjnie oznacza sukces, a rewers („ogony”) oznacza porażkę. Fair moneta ma prawdopodobieństwo sukcesu 0,5 definicji. W tym przypadku są dokładnie dwa możliwe wyniki.
  • Rzut kostką , gdzie szóstka to „sukces”, a wszystko inne „porażka”. W tym przypadku jest sześć możliwych wyników, a zdarzenie to sześć; zdarzenie uzupełniające „nie szóstka” odpowiada pozostałym pięciu możliwym wynikom.
  • Podczas przeprowadzania sondażu politycznego wybiera się losowo wyborcę w celu upewnienia się, czy ten wyborca ​​zagłosuje na „tak” w nadchodzącym referendum.

Definicja

Niezależne powtarzane próby eksperymentu z dokładnie dwoma możliwymi wynikami nazywane są próbami Bernoulliego. Jeden z wyników nazwij „sukcesem”, a drugi „porażką”. Niech będzie prawdopodobieństwo sukcesu w próbie Bernoulliego i będzie prawdopodobieństwem niepowodzenia. Wówczas prawdopodobieństwo sukcesu i prawdopodobieństwo niepowodzenia sumuje się do jednego, ponieważ są to zdarzenia uzupełniające się: „sukces” i „porażka” wykluczają się wzajemnie i wyczerpują . Mamy więc następujące relacje:

Alternatywnie, mogą być zawarte w zakresie kursów : określonym prawdopodobieństwem p sukcesu i q o awarii, kurs na to i kurs na są te mogą być także wyrażone w postaci liczb, dzieląc otrzymując szanse na, i kurs przeciwko ,

Są to multiplikatywne odwrotności , więc mnożą się do 1, z następującymi relacjami:

W przypadku, gdy próba Bernoulliego reprezentuje zdarzenie z nieskończenie wielu równie prawdopodobnych wyników , gdzie S z wyników to sukces, a F z wyników to porażka, szanse na są i przeciwne są To daje następujące wzory na prawdopodobieństwo i szansa:

Zauważ, że tutaj szanse są obliczane przez podzielenie liczby wyników, a nie prawdopodobieństw, ale proporcja jest taka sama, ponieważ te współczynniki różnią się tylko przez pomnożenie obu składników przez ten sam stały współczynnik.

Zmienne losowe opisujące próby Bernoulliego są często kodowane przy użyciu konwencji, że 1 = „sukces”, 0 = „niepowodzenie”.

Ściśle związane z procesu Bernoulliego jest dwumianowy eksperyment, który składa się z określonej liczby o statystycznie niezależnych prób Bernoulliego, każdy z prawdopodobieństwem sukcesu i zlicza liczbę sukcesów. Zmienna losowa odpowiadająca dwumianowi jest oznaczona przez i mówi się, że ma rozkład dwumianowy . Prawdopodobieństwo dokładnych sukcesów w eksperymencie wyraża się wzorem:

gdzie jest dwumianowy współczynnik .

Próby Bernoulliego mogą również prowadzić do ujemnych rozkładów dwumianowych (które zliczają liczbę sukcesów w serii powtarzanych prób Bernoulliego do momentu zauważenia określonej liczby niepowodzeń), a także różnych innych rozkładów.

Kiedy wykonywanych jest wiele prób Bernoulliego, z których każda ma swoje własne prawdopodobieństwo sukcesu, są one czasami nazywane próbami Poissona .

Przykład: rzucanie monetami

Rozważmy prosty eksperyment, w którym uczciwą monetą rzuca się cztery razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że dokładnie dwa z rzutów zakończą się orłami.

Rozwiązanie

W tym eksperymencie niech głowa zostanie zdefiniowana jako sukces, a reszka jako porażka. Ponieważ zakłada się, że moneta jest uczciwa, prawdopodobieństwo sukcesu jest takie . Zatem prawdopodobieństwo niepowodzenia jest wyrażone przez

.

Korzystając z powyższego równania, prawdopodobieństwo dokładnie dwóch rzutów z czterech wszystkich rzutów, w wyniku których uzyskamy orła, jest obliczane wzorem:

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne