Warunkowe prawdopodobieństwo - Conditional probability

Część serii o statystykach
Teoria prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo Aksjomaty Determinizm System Indeterminizm Losowość
Przestrzeń prawdopodobieństwa Przestrzeń próbna Wydarzenie Zbiorowo wyczerpujące wydarzenia Wydarzenie podstawowe Wzajemna wyłączność Wynik Singel Eksperyment Proces Bernoulliego Rozkład prawdopodobieństwa Dystrybucja Bernoulliego Rozkład dwumianowy Normalna dystrybucja Miara prawdopodobieństwa Zmienna losowa Proces Bernoulliego Ciągły lub dyskretny Wartość oczekiwana Łańcuch Markowa Zaobserwowana wartość Losowy spacer Proces stochastyczny
Wydarzenie uzupełniające Wspólne prawdopodobieństwo krańcowe prawdopodobieństwo Warunkowe prawdopodobieństwo
Niezależność Warunkowa niezależność Prawo całkowitego prawdopodobieństwa Prawo wielkich liczb Twierdzenie Bayesa Nierówność Boole'a
Schemat Venna Schemat drzewa
v T mi

W teorii prawdopodobieństwa , prawdopodobieństwa warunkowego jest miara prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia występującego, biorąc pod uwagę, że inne zdarzenia (z założenia, założenia twierdzenie lub objawów) ma już miejsce. Jeśli zdarzeniem będącym przedmiotem zainteresowania jest A i wiadomo lub zakłada się, że zaszło zdarzenie B , „prawdopodobieństwo warunkowe A przy danym B ” lub „prawdopodobieństwo wystąpienia A w warunku B ” jest zwykle zapisywane jako P( A | B ) lub czasami P _B ( ) . Można to również rozumieć jako ułamek prawdopodobieństwa B, który przecina A: . ${\ Displaystyle P (A \ mid B) = {\ Frac {P (A \ czapka B)} {P (B)}}}$

Na przykład prawdopodobieństwo, że dana osoba kaszle w danym dniu może wynosić tylko 5%. Ale jeśli wiemy lub zakładamy, że dana osoba jest chora, jest znacznie bardziej prawdopodobne, że będzie kaszleć. Na przykład warunkowe prawdopodobieństwo, że ktoś chory kaszle może wynosić 75%, w takim przypadku mielibyśmy, że P(kaszel) = 5% i P(kaszel|choroba) = 75%. Chociaż nie musi istnieć związek ani zależność między A i B , i nie muszą zachodzić jednocześnie.

P( A | B ) może, ale nie musi być równe P( A ) (bezwarunkowe prawdopodobieństwo A ). Jeśli P( A | B ) = P( A ) , to zdarzenia A i B są uważane za niezależne : w takim przypadku wiedza o żadnym zdarzeniu nie zmienia prawdopodobieństwa siebie nawzajem. P( A | B ) (warunkowe prawdopodobieństwo A przy danym B ) zazwyczaj różni się od P( B | A ) . Na przykład, jeśli dana osoba ma gorączkę denga , może mieć 90% szans na pozytywny wynik testu na tę chorobę. W tym przypadku, co się mierzy, że jeśli zdarzenie B ( o denga ) nastąpiło prawdopodobieństwo A ( uzyskały wynik pozytywny ), zważywszy, że B wystąpiło 90%: P ( | B ) = 90%. Alternatywnie, jeśli dana osoba ma pozytywny wynik testu na gorączkę denga, może mieć tylko 15% szans na tę rzadką chorobę ze względu na wysoki odsetek wyników fałszywie dodatnich . W tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzenia B ( zakażającego dengę ) przy założeniu, że zdarzenie A ( test pozytywny ) miało miejsce wynosi 15%: P( B | A ) = 15%. Teraz powinno być oczywiste, że błędnie zrównując oba prawdopodobieństwa może prowadzić do różnych błędów w rozumowaniu, co jest powszechnie widoczne w błędach stopy bazowej .

Chociaż prawdopodobieństwa warunkowe mogą dostarczyć niezwykle przydatnych informacji, często są dostarczane lub pod ręką ograniczone informacje. Dlatego może być przydatne odwrócenie lub przekształcenie prawdopodobieństwa warunku za pomocą twierdzenia Bayesa : . Inną opcją jest wyświetlenie prawdopodobieństw warunkowych w tabeli prawdopodobieństw warunkowych w celu wyjaśnienia związku między zdarzeniami. ${\ Displaystyle P (A | B) = {{P (B | A) * P (A)} \ nad {P (B)}}}$

Definicja

Ilustracja prawdopodobieństw warunkowych za pomocą diagramu Eulera . Prawdopodobieństwo bezwarunkowe P( A ) = 0,30 + 0,10 + 0,12 = 0,52. Jednak prawdopodobieństwo warunkowe P ( A | B ₁ ) = 1 , P ( A | B ₂ ) = 0,12 ÷ (0,12 + 0,04) = 0,75 i P( A | B ₃ ) = 0.

Na diagramie drzewa prawdopodobieństwa gałęzi są uzależnione od zdarzenia związanego z węzłem nadrzędnym. (Tutaj górne paski wskazują, że zdarzenie nie występuje.)

Wykres kołowy Venna opisujący prawdopodobieństwa warunkowe

Uwarunkowanie wydarzenia

Definicja Kołmogorowa

Biorąc pod uwagę dwa zdarzenia A i B z Sigma-pole o powierzchni prawdopodobieństwa, z bezwarunkowym prawdopodobieństwa z B jest większa od zera (czyli P ( B )> 0) , warunkowego prawdopodobieństwa A danej B jest zdefiniowany jako iloraz prawdopodobieństwa stawu zdarzeń a i B , a prawdopodobieństwem w B :

${\ Displaystyle P (A \ mid B) = {\ Frac {P (A \ czapka B)} {P (B)}}}$

gdzie jest prawdopodobieństwo, że oba zdarzenia A i B występują. Można to wizualizować jako ograniczenie przestrzeni próbki do sytuacji, w których występuje B. Logika stojąca za tym równaniem polega na tym, że jeśli możliwe wyniki dla A i B są ograniczone do tych, w których występuje B , ten zbiór służy jako nowa przestrzeń próbki. ${\ Displaystyle P (A \ czapka B)}$

Zauważ, że powyższe równanie jest definicją, a nie wynikiem teoretycznym. Po prostu oznaczamy ilość jako , i nazywamy ją prawdopodobieństwem warunkowym A danego B . ${\ Displaystyle {\ Frac {P (A \ czapka B)} {P (B)}}}$${\ Displaystyle P (A \ mid B)}$

Jako aksjomat prawdopodobieństwa

Niektórzy autorzy, tacy jak de Finetti , wolą wprowadzić prawdopodobieństwo warunkowe jako aksjomat prawdopodobieństwa :

${\ Displaystyle P (A \ czapka B) = P (A \ mid B) P (B)}$

Chociaż matematycznie równoważne, może to być preferowane filozoficznie; w głównych interpretacjach prawdopodobieństwa , takich jak teoria subiektywna , prawdopodobieństwo warunkowe jest uważane za byt pierwotny. Co więcej, ta „reguła mnożenia” może być praktycznie użyteczna przy obliczaniu prawdopodobieństwa i wprowadza symetrię z aksjomatem sumowania dla wzajemnie wykluczających się zdarzeń : ${\ Displaystyle A \ czapka B}$

${\ Displaystyle P (A \ filiżanka B) = P (A) + P (B)-P (A \ czapka B)}$

Jako prawdopodobieństwo zdarzenia warunkowego

Prawdopodobieństwo warunkowe można zdefiniować jako prawdopodobieństwo zdarzenia warunkowego . Goodman-Nguyen-van Fraassen zdarzenie warunkowego może być zdefiniowany jako ${\ Displaystyle A_ {B}}$

${\ Displaystyle A_ {B} = \ bigcup _ {i \ geq 1} \ lewo (\ bigcap _ {j <i} {\ overline {B}} _ {j}, A_ {i} B_ {i} \ po prawej ).}$

Można wykazać, że

${\ Displaystyle P (A_ {B}) = {\ Frac {P (A \ czapka B)} {P (B)}}}$

który spełnia definicję prawdopodobieństwa warunkowego Kołmogorowa.

Uwarunkowanie na zdarzeniu o prawdopodobieństwie zerowym

Jeżeli , to zgodnie z definicją jest niezdefiniowane . ${\ Displaystyle P (B) = 0}$${\ Displaystyle P (A | B)}$

Najbardziej interesującym przypadkiem jest przypadek zmiennej losowej Y , uwarunkowanej ciągłą zmienną losową X dającą określony wynik x . Zdarzenie ma prawdopodobieństwo zerowe i jako takie nie może być warunkowane. ${\displaystyle B=\{X=x\}}$

Zamiast warunkować, że X jest dokładnie x , moglibyśmy założyć, że jest ono bliższe niż odległość od x . Zdarzenie będzie na ogół mieć niezerowe prawdopodobieństwo, a zatem może być warunkowane. Możemy wtedy przekroczyć granicę${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle B=\{x-\epsilon <X<x+\epsilon \}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ do 0} P (A \ mid x- \ epsilon <X < x + \ epsilon).}$

Na przykład, jeśli dwie ciągłe zmienne losowe X i Y mają wspólną gęstość , to zgodnie z regułą L'Hôpitala : ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lim _ {\ epsilon \ do 0} P (Y \ w U \ mid X_ {0}- \ epsilon < X < x_ {0} + \ epsilon ) & = \ lim _ {\epsilon \to 0}{\frac {\int _{x_{0}-\epsilon }^{x_{0}+\epsilon }\int _{U}f_{X,Y}(x,y) \mathrm {d} y\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}-\epsilon }^{x_{0}+\epsilon }\int _{\mathbb {R} }f_{X, Y}(x,y)\mathrm {d} y\mathrm {d} x}}\\&={\frac {\int _{U}f_{X,Y}(x_{0},y)\ mathrm {d} y}{\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x_{0},y)\mathrm {d} y}}.\end{wyrównany}}}$

Otrzymany ograniczeniem jest rozkład warunkowy z Y danego X i występuje, gdy mianownik gęstości prawdopodobieństwa jest ściśle dodatni. ${\ Displaystyle f_ {X} (x_ {0})}$

Kuszące jest zdefiniowanie nieokreślonego prawdopodobieństwa przy użyciu tego limitu, ale nie można tego zrobić w sposób konsekwentny. W szczególności można znaleźć zmienne losowe X i W oraz wartości x , w takie, że zdarzenia i są identyczne, ale wynikające z nich granice nie są: ${\ Displaystyle P (A | X = x)}$${\ Displaystyle \ {X = x \}}$${\ Displaystyle \ {W = w \}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ do 0} P (A \ mid x- \ epsilon \ leq X \ leq x + \ epsilon) \ neq \ lim _ {\ epsilon \ do 0} P (A \ mid w- \epsilon \leq W\leq w+\epsilon ).}$

Borel-Kołmogorowa paradoks pokazuje to z geometrycznym argument.

Warunkowanie na dyskretnej zmiennej losowej

Niech X będzie dyskretną zmienną losową, a jej możliwe wyniki oznaczymy V . Na przykład, jeśli X reprezentuje wartość rzuconej kości, to V jest zestawem . Załóżmy dla celów prezentacji, że X jest dyskretną zmienną losową, więc każda wartość w V ma niezerowe prawdopodobieństwo. ${\ Displaystyle \ {1,2,3,4,5,6\}}$

Dla wartości x w V i zdarzenia A prawdopodobieństwo warunkowe jest podane przez . Pismo ${\ Displaystyle P (A \ mid X = x)}$

${\ Displaystyle c (x, A) = P (A \ średni X = x)}$

w skrócie widzimy, że jest to funkcja dwóch zmiennych x i A .

Dla ustalonego A możemy utworzyć zmienną losową . Reprezentuje wynik każdej zaobserwowanej wartości x z X.${\ Displaystyle Y = c (X, A)}$${\ Displaystyle P (A \ mid X = x)}$

Prawdopodobieństwo warunkowe A danego X można zatem traktować jako zmienną losową Y z wynikami w przedziale . Z twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym , jego wartość oczekiwana jest równa bezwarunkowym prawdopodobieństwem od A . ${\displaystyle [0,1]}$

Częściowe prawdopodobieństwo warunkowe

Częściowe prawdopodobieństwo warunkowe dotyczy prawdopodobieństwa zdarzenia , przy założeniu, że każde ze zdarzeń warunkowych wystąpiło w stopniu (stopień wiary, stopień doświadczenia), który może różnić się od 100%. Często częściowe prawdopodobieństwo warunkowe ma sens, jeśli warunki są testowane w powtórzeniach eksperymentu o odpowiedniej długości . Takie ograniczone częściowe prawdopodobieństwo warunkowe można zdefiniować jako warunkowo oczekiwane średnie wystąpienie zdarzenia na stanowiskach testowych o długości, które są zgodne ze wszystkimi specyfikacjami prawdopodobieństwa , tj.: ${\ Displaystyle P (A \ mid B_ {1} \ równoważne b_ {1} \ ldots, B_ {m} \ równoważne b_ {m})}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle B_ {i} \ równoważnik b_ {i}}$

${\ Displaystyle P ^ {n} (A \ mid B_ {1} \ equiv b_ {1} \ ldots, B_ {m} \ equiv b_ {m}) = \ operatorname {E} ({\ overline {A} }^{n}\mid {\overline {B}}_{1}^{n}=b_{1},\ldots ,{\overline {B}}_{m}^{n}=b_{m })}$

Na tej podstawie częściowe prawdopodobieństwo warunkowe można zdefiniować jako

${\ Displaystyle P (A \ mid B_ {1} \ równoważne b_ {1} \ ldots, B_ {m} \ równoważne b_ {m}) = \ lim _ {n \ do \ infty} P ^ { n} ( A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m}),}$

gdzie ${\ Displaystyle b_ {i} n \ w \ mathbb {N}}$

Warunkowanie Jeffreya jest szczególnym przypadkiem częściowego prawdopodobieństwa warunkowego, w którym zdarzenia warunkowe muszą tworzyć podział :

${\ Displaystyle P (A \ mid B_ {1} \ equiv b_ {1} \ ldots, B_ {m} \ equiv b_ {m}) = \ suma _ {i = 1} ^ {m} b_ {i} P(A\środek B_{i})}$

Przykład

Załóżmy, że ktoś potajemnie rzuca dwiema sprawiedliwymi sześciościennymi kośćmi , a my chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że wartość pierwszej z nich wynosi 2, biorąc pod uwagę informację, że ich suma nie jest większa niż 5.

• Niech D ₁ będzie wartością wyrzuconą na kostce 1.
• Niech D ₂ będzie wartością wyrzuconą na kostce 2.

Prawdopodobieństwo, że D ₁  = 2

Tabela 1 pokazuje przykładową przestrzeń 36 kombinacji wyrzuconych wartości dwóch kości, z których każda występuje z prawdopodobieństwem 1/36, z liczbami wyświetlonymi w czerwonych i ciemnoszarych komórkach jako D ₁ + D ₂ .

D ₁  = 2 dokładnie w 6 z 36 wyników; zatem P ( D ₁ = 2) =  6 ⁄ 36  =  1 ⁄ 6 :

Tabela 1

+		D 2
		1	2	3	4	5	6
D 1	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Prawdopodobieństwo, że D ₁  +  D ₂  ≤ 5

Tabela 2 pokazuje, że D ₁  +  D ₂  ≤ 5 dla dokładnie 10 z 36 wyników, stąd P ( D ₁  +  D ₂  ≤ 5) =  10 ⁄ 36 :

Tabela 2

+		D 2
		1	2	3	4	5	6
D 1	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Prawdopodobieństwo, że D ₁  = 2 przy założeniu, że D ₁  +  D ₂  ≤ 5

Tabela 3 pokazuje, że dla 3 z tych 10 wyników D ₁  = 2.

Zatem prawdopodobieństwo warunkowe P( D ₁  = 2 |  D ₁ + D ₂  ≤ 5) =  3 ⁄ 10  = 0,3:

Tabela 3

+		D 2
		1	2	3	4	5	6
D 1	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Tutaj, we wcześniejszym zapisie definicji prawdopodobieństwa warunkowego, zdarzeniem warunkującym B jest to, że D ₁  +  D ₂  ≤ 5, a zdarzeniem A jest D ₁  = 2. Mamy to, co widać w tabeli. ${\ Displaystyle P (A \ mid B) = {\ tfrac {P (A \ czapka B)} {P (B)}} = {\ tfrac {3/36} {10/36}} = {\ tfrac { 3}{10}},}$

Użyj w wnioskowaniu

We wnioskowaniu statystycznym prawdopodobieństwo warunkowe jest aktualizacją prawdopodobieństwa zdarzenia na podstawie nowych informacji. Nowe informacje można wprowadzić w następujący sposób:

• Niech A , zdarzenie będące przedmiotem zainteresowania, będzie w przestrzeni próbki , powiedzmy ( X , P ).
• Wystąpienie zdarzenia A wiedząc, że zdarzenie B miało lub będzie miało miejsce, oznacza wystąpienie zdarzenia A, ponieważ jest ono ograniczone do B , tj . .${\ Displaystyle A \ czapka B}$
• Bez wiedzy o wystąpieniu B informacja o wystąpieniu A byłaby po prostu P ( A )
• Prawdopodobieństwo A wiedząc, że zdarzenie B jest albo będzie miało miejsce, będzie prawdopodobieństwo względem P ( B ), prawdopodobieństwo tego, że B nie wystąpił.${\ Displaystyle A \ czapka B}$
• Powoduje to, gdy P ( B ) > 0 i 0 w przeciwnym razie.${\textstyle P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)}$

Takie podejście daje w wyniku miarę prawdopodobieństwa, która jest zgodna z pierwotną miarą prawdopodobieństwa i spełnia wszystkie aksjomaty Kołmogorowa . Ta miara prawdopodobieństwa warunkowego mogła również wynikać z założenia, że ​​względna wielkość prawdopodobieństwa A w odniesieniu do X zostanie zachowana w odniesieniu do B (por. Formalne wyprowadzenie poniżej).

Sformułowanie „dowód” lub „informacja” jest powszechnie używane w bayesowskiej interpretacji prawdopodobieństwa . Zdarzenie warunkowania jest interpretowane jako dowód na zdarzenie warunkowane. Oznacza to, że P ( A ) jest prawdopodobieństwem A przed uwzględnieniem dowodu E , a P ( A | E ) jest prawdopodobieństwem A po uwzględnieniu dowodu E lub po aktualizacji P ( A ). Jest to zgodne z interpretacją częstą, która jest pierwszą podaną powyżej definicją.

Statystyczna niezależność

Zdarzenia A i B są zdefiniowane jako statystycznie niezależne, jeśli

${\ Displaystyle P (A \ czapka B) = P (A) P (B).}$

Jeśli P ( B ) nie jest zerem, to jest to równoważne stwierdzeniu, że

${\ Displaystyle P (A \ mid B) = P (A).}$

Podobnie, jeśli P ( A ) nie jest zerem, to

${\ Displaystyle P (B \ średni A) = P (B)}$

jest również równoważny. Chociaż formy pochodne mogą wydawać się bardziej intuicyjne, nie są one preferowaną definicją, ponieważ prawdopodobieństwa warunkowe mogą być niezdefiniowane, a preferowana definicja jest symetryczna w A i B .

Niezależne wydarzenia a wzajemnie wykluczające się wydarzenia

Pojęcia zdarzeń wzajemnie niezależnych i wykluczających się wzajemnie są odrębne i odrębne. W poniższej tabeli zestawiono wyniki dla dwóch przypadków (pod warunkiem, że prawdopodobieństwo zdarzenia warunkującego nie jest zerowe).

	Jeśli statystycznie niezależny	Jeśli wzajemnie się wykluczają
${\ Displaystyle P (A \ mid B) =}$	${\ Displaystyle P (A)}$	0
${\ Displaystyle P (B \ średni A) =}$	${\ Displaystyle P (B)}$	0
${\ Displaystyle P (A \ czapka B) =}$	${\ Displaystyle P (A) P (B)}$	0

W rzeczywistości wykluczające się zdarzenia nie mogą być statystycznie niezależne (chyba że oba są niemożliwe), gdyż wiedza o tym, że jedno zajdzie, daje informację o drugim (w szczególności, że to drugie na pewno nie wystąpi).

Powszechne błędy

Tych błędów nie należy mylić z „błędem warunkowym” Roberta K. Shope'a z 1978 roku , który zajmuje się kontrfaktycznymi przykładami, które nasuwają pytanie .

Zakładając, że prawdopodobieństwo warunkowe jest podobnej wielkości do jego odwrotności

Geometryczna wizualizacja twierdzenia Bayesa. W tabeli wartości 2, 3, 6 i 9 podają względne wagi każdego odpowiedniego warunku i przypadku. Liczby oznaczają komórki tabeli związane z każdą metryką, przy czym prawdopodobieństwo to ułamek każdej liczby, który jest zacieniony. To pokazuje, że P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A) tj. P(A|B) = P(B|A) P(A)/P(B). Podobne rozumowanie można wykorzystać do wykazania, że ​​P(Ā|B) =P(B|Ā) P(Ā)/P(B) itp.

Generalnie nie można założyć, że P ( A | B ) ≈  P ( B | A ). Może to być podstępny błąd, nawet dla tych, którzy dobrze znają się na statystykach. Zależność między P ( A | B ) i P ( B | A ) podaje twierdzenie Bayesa :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} P (B \ średni A) i = {\ Frac {P (A \ średni B) P (B)} {P (A)}} \ \ \ Leftrightarrow {\ Frac {P (B\mid A)}{P(A\mid B)}}&={\frac {P(B)}{P(A)}}\end{wyrównany}}}$

To znaczy, P( A | B ) ≈ P( B | A ) tylko wtedy, gdy P ( B )/ P ( A ) ≈ 1 lub równoważnie P ( A ) ≈  P ( B ).

Zakładając, że prawdopodobieństwa marginalne i warunkowe są podobnej wielkości

Generalnie nie można założyć, że P ( A ) ≈  P ( A | B ). Prawdopodobieństwa te są połączone przez prawo prawdopodobieństwa całkowitego :

${\ Displaystyle P (A) = \ suma _ {n} P (A \ czapka B_ {n}) = \ suma _ {n} P (A \ mid B_ {n}) P (B_ {n}).}$

gdzie zdarzenia tworzą przeliczalne partycję z . ${\ Displaystyle (B_ {n})}$${\ Displaystyle \ Omega}$

Ten błąd może powstać w wyniku błędu selekcji . Na przykład, w kontekście oświadczenia medycznego, niech S _C będzie zdarzeniem, w którym następstwo (choroba przewlekła) S występuje jako konsekwencja okoliczności (stan ostry) C . Niech H będzie zdarzeniem, w którym dana osoba szuka pomocy medycznej. Załóżmy, że w większości przypadków C nie powoduje S (a więc P ( S _C ) jest niskie). Załóżmy również, że pomoc medyczna jest poszukiwana tylko wtedy, gdy S wystąpiło z powodu C . Z doświadczenia pacjentów lekarz może zatem błędnie wywnioskować, że P ( S _C ) jest wysokie. Rzeczywiste prawdopodobieństwo zaobserwowane przez lekarza wynosi P ( S _C | H ).

Przeważenie lub niedoważenie priorów

Częściowe lub całkowite nieuwzględnianie prawdopodobieństwa a priori nazywa się zaniedbaniem stopy bazowej . Odwrotna, niewystarczająca korekta z prawdopodobieństwa a priori to konserwatyzm .

Formalne pochodzenie

Formalnie P ( A  |  B ) definiuje się jako prawdopodobieństwo A zgodnie z nową funkcją prawdopodobieństwa w przestrzeni próbki, taką, że wyniki nie w B mają prawdopodobieństwo 0 i są zgodne ze wszystkimi oryginalnymi miarami prawdopodobieństwa .

Niech Ω będzie próbka przestrzeń ze zdarzeń elementarnych { Ohm } i niech P będzie miarą prawdopodobieństwa w odniesieniu do Ď-algebry z Ohm. Załóżmy, że powiedziano nam, że  zaszło zdarzenie B ⊆ Ω. Nowy rozkład prawdopodobieństwa (oznaczony notacją warunkową) należy przypisać do { ω }, aby to odzwierciedlić. Wszystkie zdarzenia, które nie znajdują się w B, będą miały zerowe prawdopodobieństwo w nowym rozkładzie. W przypadku zdarzeń w B muszą być spełnione dwa warunki: prawdopodobieństwo wystąpienia B wynosi jeden i względne wielkości prawdopodobieństw muszą być zachowane. To pierwsze jest wymagane przez aksjomaty prawdopodobieństwa , a drugie wynika z faktu, że nowa miara prawdopodobieństwa musi być analogiem P, w którym prawdopodobieństwo B jest jednością – a zatem każde zdarzenie, które nie jest w B , ma prawdopodobieństwo zerowe. Stąd dla pewnego współczynnika skali α nowy rozkład musi spełniać:

1. ${\ Displaystyle \ omega \ w B: P (\ omega \ mid B) = \ alfa P (\ omega)}$
2. ${\ Displaystyle \ omega \ notin B: P (\ omega \ mid B) = 0}$
3. ${\ Displaystyle \ suma _ {\ omega \ w \ omega {P (\ omega \ mid B)} = 1.}$

Zastępując 1 i 2 na 3, aby wybrać α :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} 1 & = \ suma _ {\ omega \ w \ Omega {P (\ omega \ mid B)} \ \ & = \ suma _ {\ omega \ w B} {P (\ omega \mid B)}+{\cancelto {0}{\sum _{\omega \notin B}P(\omega \mid B)}}\\&=\alpha \sum _{\omega \in B} {P(\omega )}\\[5pt]&=\alpha \cdot P(B)\\[5pt]\Rightarrow \alpha &={\frac {1}{P(B)}}\end{wyrównany }}}$

Zatem nowy rozkład prawdopodobieństwa to

1. ${\ Displaystyle \ omega \ w B: P (\ omega \ mid B) = {\ Frac {P (\ omega)} {P (B)}}}$
2. ${\ Displaystyle \ omega \ notin B: P (\ omega \ mid B) = 0}$

Teraz na ogólne wydarzenie A ,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} P (A \ mid B) i = \ suma _ {\ omega \ w A \ czapka B} {P (\ omega \ mid B)} + {\ anulować {0}{\ sum _{\omega \in A\cap B^{c}}P(\omega \mid B)}}\\&=\sum _{\omega \in A\cap B}{\frac {P(\ omega )}{P(B)}}\\[5pt]&={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\end{wyrównany}}}$

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Prawdopodobieństwo warunkowe” . MatematykaŚwiat .
• F. Thomas Bruss Der Wyatt-Earp-Effekt oder die betörende Macht kleiner Wahrscheinlichkeiten (w języku niemieckim), Spektrum der Wissenschaft (wydanie niemieckie Scientific American), tom 2, 110–113, (2007).
• Wizualne wyjaśnienie prawdopodobieństwa warunkowego