Prawo całkowitego prawdopodobieństwa - Law of total probability

Część serii o statystykach
Teoria prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo Aksjomaty prawdopodobieństwa Determinizm Indeterminizm Losowość
Przestrzeń prawdopodobieństwa Przestrzeń próbna Wydarzenie Zbiorowo wyczerpujące wydarzenia Wydarzenie podstawowe Wzajemna wyłączność Wynik Singel Eksperyment Proces Bernoulliego Rozkład prawdopodobieństwa Dystrybucja Bernoulliego Rozkład dwumianowy Normalna dystrybucja Miara prawdopodobieństwa Zmienna losowa Proces Bernoulliego Ciągły lub dyskretny Wartość oczekiwana Łańcuch Markowa Zaobserwowana wartość Losowy spacer Proces stochastyczny
Wydarzenie uzupełniające Wspólne prawdopodobieństwo krańcowe prawdopodobieństwo Warunkowe prawdopodobieństwo
Niezależność Warunkowa niezależność Prawo całkowitego prawdopodobieństwa Prawo wielkich liczb Twierdzenie Bayesa Nierówność Boole'a
Schemat Venna Schemat drzewa
v T mi

W teorii prawdopodobieństwa The prawo (lub wzorze ) całkowitego prawdopodobieństwa, to podstawowa reguła dotycząca brzegowych prawdopodobieństw do prawdopodobieństw warunkowych . Wyraża całkowite prawdopodobieństwo wyniku, który można zrealizować za pomocą kilku odrębnych zdarzeń — stąd nazwa.

Oświadczenie

Prawo całkowitego prawdopodobieństwa jest twierdzenie , że w swoim dyskretnym przypadku stany jeśli jest skończonym lub przeliczalnie nieskończony partycja o powierzchni próbki (innymi słowy, zbiór parami rozłącznych zdarzeń , których Unia jest cała przestrzeń próbka) i każdego zdarzenia jest mierzalna , to dla każdego zdarzenia o tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa : ${\ Displaystyle \ lewo \ {{B_ {n}: n = 1,2,3 \ ldots} \ prawo \}}$ ${\ Displaystyle B_ {n}}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle P (A) = \ suma _ {n} P (A \ czapka B_ {n})}$

lub alternatywnie

${\ Displaystyle P (A) = \ suma _ {n} P (A \ mid B_ {n}) P (B_ {n})}$

gdzie, dla każdego, dla którego te warunki są po prostu pominięte w sumowaniu, ponieważ jest skończone. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle P (B_ {n}) = 0}$${\ Displaystyle P (A \ mid B_ {n})}$

Sumowanie może być interpretowane jako średnia ważona , a zatem prawdopodobieństwo krańcowe , jest czasami nazywane „prawdopodobieństwem średnim”; „ogólne prawdopodobieństwo” jest czasami używane w mniej formalnych pismach. ${\ Displaystyle P (A)}$

Prawo prawdopodobieństwa całkowitego można również określić dla prawdopodobieństw warunkowych.

${\ Displaystyle P (A \ mid C) = \ suma _ {n} P (A \ mid C \ cap B_ {n}) P (B_ {n} \ mid C)}$

Przyjmując powyższe i zakładając, że jest to zdarzenie niezależne od któregokolwiek z : ${\ Displaystyle B_ {n}}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle B_ {n}}$

${\ Displaystyle P (A \ mid C) = \ suma _ {n} P (A \ mid C \ cap B_ {n}) P (B_ {n})}$

Formuła nieformalna

Powyższe twierdzenie matematyczne można zinterpretować w następujący sposób: przy danym zdarzeniu , ze znanym prawdopodobieństwem warunkowym, przy którymkolwiek ze zdarzeń, każde ze znanym prawdopodobieństwem, jakie jest całkowite prawdopodobieństwo, które się wydarzy? ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B_ {n}}$${\ Displaystyle A}$Odpowiedź na to pytanie udziela . ${\ Displaystyle P (A)}$

Ciągły przypadek

Prawo prawdopodobieństwa całkowitego rozciąga się na przypadek warunkowania na zdarzenia generowane przez ciągłe zmienne losowe. Niech będzie przestrzenią prawdopodobieństwa . Załóżmy, że jest to zmienna losowa z funkcją dystrybucji i zdarzenie na . Wtedy prawo całkowitego prawdopodobieństwa stanów ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F_ {X}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$

${\ Displaystyle P (A) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P (A | X = x) dF_ {X} (x).}$

Jeśli dopuszcza funkcję gęstości , to wynikiem jest ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}}$

${\ Displaystyle P (A) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P (A | X = x) f_ {X} (x) dx.}$

Co więcej, w szczególnym przypadku, gdzie , gdzie jest zbiorem boreli, to daje to ${\ Displaystyle A = \ {Y \ w B \}}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle P (Y \ w B) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P (Y \ w B | X = x) f_ {X} (x) dx.}$

Przykład

Załóżmy, że dwie fabryki dostarczają na rynek żarówki . Żarówki Factory X działają przez ponad 5000 godzin w 99% przypadków, podczas gdy żarówki fabryczne Y działają przez ponad 5000 godzin w 95% przypadków. Wiadomo, że fabryka X dostarcza 60% wszystkich dostępnych żarówek, a Y dostarcza 40% wszystkich dostępnych żarówek. Jaka jest szansa, że ​​zakupiona żarówka będzie działać dłużej niż 5000 godzin?

Stosując prawo prawdopodobieństwa całkowitego, mamy:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} P (A) i = P (A \ Mid B_ {X}) \ cdot P (B_ {X}) + P (A \ mid B_ {Y}) \ cdot P (B_ {Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000 }={974 \ponad 1000}\end{wyrównany}}}$

gdzie

• ${\ Displaystyle P (B_ {X}) = {6 \ ponad 10}}$jest prawdopodobieństwo, że zakupiona żarówka została wyprodukowana przez fabrykę X ;
• ${\ Displaystyle P (B_ {Y}) = {4 \ ponad 10}}$jest prawdopodobieństwem, że zakupiona żarówka została wyprodukowana przez fabrykę Y ;
• ${\ Displaystyle P (A \ mid B_ {X}) = {99 \ ponad 100}}$jest prawdopodobieństwo, że żarówka wyprodukowana przez X będzie działać przez ponad 5000 godzin;
• ${\ Displaystyle P (A \ mid B_ {Y}) = {95 \ ponad 100}}$to prawdopodobieństwo, że żarówka wyprodukowana przez Y będzie działać przez ponad 5000 godzin.

Dzięki temu każda zakupiona żarówka ma 97,4% szansy na pracę przez ponad 5000 godzin.

Inne nazwy

Termin prawo prawdopodobieństwa całkowitego jest czasami rozumiany jako prawo alternatyw , co jest szczególnym przypadkiem prawa całkowitego prawdopodobieństwa mającego zastosowanie do dyskretnych zmiennych losowych . Jeden z autorów posługuje się terminologią „Zasady średnich prawdopodobieństw warunkowych”, podczas gdy inny odnosi się do niej jako do „ciągłego prawa alternatyw” w przypadku ciągłym. Ten wynik został podany przez Grimmetta i Welsha jako twierdzenie o podziale , które również nadają powiązanemu prawu całkowitego oczekiwania .

Zobacz też

• Prawo całkowitego oczekiwania
• Prawo całkowitej wariancji
• Prawo całkowitej kowariancji
• Prawo całkowitej kumulacji
• Rozkład marginalny

Uwagi

Bibliografia

• Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki Roberta J. Beavera, Barbary M. Beavera, Thomson Brooks/Cole, 2005, s. 159.
• Teoria statystyki , Mark J. Schervish, Springer, 1995.
• Schaum's Outline of Probability, wydanie drugie , John J. Schiller, Seymour Lipschutz, McGraw–Hill Professional, 2010, s. 89.
• A First Course in Stochastic Models , HC Tijms, John Wiley and Sons, 2003, strony 431–432.
• An Intermediate Course in Probability , Alan Gut, Springer, 1995, strony 5–6.