Zdarzenie (teoria prawdopodobieństwa) - Event (probability theory)

W teorii prawdopodobieństwa An zdarzenie jest zestaw z wynikami z w eksperymencie (A podzbioru z powierzchni próbki ), w którym przypisuje się prawdopodobieństwa. Pojedynczy wynik może być elementem wielu różnych zdarzeń, a różne zdarzenia w eksperymencie zwykle nie są jednakowo prawdopodobne, ponieważ mogą obejmować bardzo różne grupy wyników. Zdarzenie składające się tylko z jednego wyniku nazywa się zdarzeniem elementarnym lub zdarzeniem atomowym ; czyli jest to zestaw singleton . Zdarzenie mówi się pojawić , jeśli zawiera wynik tego eksperymentu (lub procesu) (to znaczy, jeśli ). Prawdopodobieństwo (w odniesieniu do pewnej miary prawdopodobieństwa ), że zdarzenie ma miejsce, jest prawdopodobieństwem zawierającym wynik eksperymentu (czyli jest to prawdopodobieństwo, że ). Zdarzenie definiuje zdarzenie komplementarne , a mianowicie zbiór komplementarny (zdarzenie nie występujące) i razem te definiują próbę Bernoulliego : czy zdarzenie wystąpiło, czy nie? $S$ $S$ $x$ ${\ Displaystyle x \ w S}$ $S$ $S$ $x$ ${\ Displaystyle x \ w S}$

Zazwyczaj, gdy przestrzeń prób jest skończona, każdy podzbiór przestrzeni prób jest zdarzeniem (tzn. wszystkie elementy zbioru potęgowego przestrzeni prób są definiowane jako zdarzenia). Jednak to podejście nie działa dobrze w przypadkach, gdy przestrzeń próbki jest nieprzeliczalnie nieskończona . Tak więc przy definiowaniu przestrzeni prawdopodobieństwa możliwe jest, a często konieczne, wyłączenie pewnych podzbiorów przestrzeni próbek z bycia zdarzeniami (patrz Zdarzenia w przestrzeniach prawdopodobieństwa poniżej).

Prosty przykład

Jeśli połączymy talię 52 kart do gry bez jokerów i dobierzemy z niej jedną kartę, to obszarem próbki jest zestaw 52-elementowy, ponieważ każda karta jest możliwym wynikiem. Zdarzeniem jest jednak dowolny podzbiór przestrzeni próbek, w tym dowolny zbiór singletonów ( zdarzenie elementarne ), zbiór pusty (zdarzenie niemożliwe, z prawdopodobieństwem zerowym) oraz sama przestrzeń próbek (pewne zdarzenie, z prawdopodobieństwem jeden). Inne zdarzenia są właściwymi podzbiorami przestrzeni próbek, które zawierają wiele elementów. Na przykład potencjalne zdarzenia obejmują:

Eulera schemat zdarzenia. jest przestrzenią próbki i jest wydarzeniem. Przez stosunek ich powierzchni prawdopodobieństwo wynosi około 0,4.

{\ Displaystyle B}

{\ Displaystyle A}

{\ Displaystyle A}

„Czerwony i czarny jednocześnie bez bycia jokerem” (0 elementów),
„Piątka serc” (1 element),
„Król” (4 elementy),
„Karta twarzy” (12 elementów),
„Szpadel” (13 elementów),
„Karta twarzy lub czerwony garnitur” (32 elementy),
„Karta” (52 elementy).

Ponieważ wszystkie zdarzenia są zbiorami, są zwykle zapisywane jako zbiory (na przykład {1, 2, 3}) i reprezentowane graficznie za pomocą diagramów Venna . W sytuacji, gdy każdy wynik w przestrzeni próbek Ω jest jednakowo prawdopodobny, prawdopodobieństwo zdarzenia jest następujące $P$ ${\ Displaystyle A}$ wzór :

{\ Displaystyle \ operatorname {P} (A) = {\ Frac {| A |} {| \ Omega |}} \ \ \ lewo ({\ tekst {alternatywnie:}} \ \ Pr (A) = {\ szczelina {|A|}{|\Omega |}}\prawo)}

Ta reguła może być łatwo zastosowana do każdego z powyższych przykładowych zdarzeń.

Zdarzenia w przestrzeniach probabilistycznych

Definiowanie wszystkich podzbiorów przestrzeni próbek jako zdarzeń działa dobrze, gdy istnieje tylko skończenie wiele wyników, ale stwarza problemy, gdy przestrzeń próbek jest nieskończona. W przypadku wielu standardowych rozkładów prawdopodobieństwa , takich jak rozkład normalny , przestrzenią prób jest zbiór liczb rzeczywistych lub pewien podzbiór liczb rzeczywistych . Próby zdefiniowania prawdopodobieństw dla wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych napotykają trudności, gdy weźmie się pod uwagę „źle zachowane” zbiory, takie jak te, które są niemierzalne . Dlatego konieczne jest ograniczenie uwagi do bardziej ograniczonej rodziny podzbiorów. Aby standardowe narzędzia rachunku prawdopodobieństwa, takie jak prawdopodobieństwa łączne i warunkowe , działały, konieczne jest zastosowanie σ-algebry , czyli rodziny zamkniętej na komplementarność i przeliczalne sumy jej członków. Najbardziej naturalnym wyborem σ-algebry jest mierzalny zbiór borelowski wyprowadzony z sum i przecięć przedziałów. Jednak większa klasa zbiorów mierzalnych Lebesgue'a okazuje się bardziej użyteczna w praktyce.

W ogólnym opisie miarowo-teoretycznym przestrzeni probabilistycznych zdarzenie może być zdefiniowane jako element wybranej 𝜎-algebry podzbiorów przestrzeni prób. Zgodnie z tą definicją każdy podzbiór przestrzeni próbek, który nie jest elementem 𝜎-algebry, nie jest zdarzeniem i nie ma prawdopodobieństwa. Jednak przy rozsądnej specyfikacji przestrzeni prawdopodobieństwa wszystkie interesujące zdarzenia są elementami 𝜎-algebry.

Uwaga o notacji

Chociaż zdarzenia są podzbiorami pewnej przestrzeni próby , często są zapisywane jako predykaty lub wskaźniki obejmujące zmienne losowe . Na przykład, jeśli w przestrzeni próbki zdefiniowano zmienną losową o wartości rzeczywistej, zdarzenie $\omega$ ${\ Displaystyle X}$ $\omega$