Funkcja ograniczona - Bounded function

Schematyczna ilustracja funkcji ograniczonej (kolor czerwony) i funkcji nieograniczonej (kolor niebieski). Intuicyjnie wykres funkcji ograniczonej pozostaje w poziomym paśmie, podczas gdy wykres funkcji nieograniczonej nie.

W matematyce , A funkcji F określa się na pewien zestaw X z rzeczywistych lub złożonych wartości nazywany jest ograniczony , jeśli zestaw jego wartość jest ograniczona . Innymi słowy, istnieje liczba rzeczywista M taka, że

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

dla wszystkich x w X . Funkcja, która nie jest ograniczona, jest nazywana nieograniczoną .

Jeśli f ma wartość rzeczywistą i f ( x ) ≤ A dla wszystkich x w X , to mówi się, że funkcja jest ograniczona (od) powyżej przez A . Jeśli f ( x ) ≥ B dla wszystkich x w X , to mówimy, że funkcja jest ograniczona (od) poniżej przez B . Funkcja o wartościach rzeczywistych jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczona od góry i od dołu.

Ważnym szczególny przypadek jest ograniczonym sekwencji , gdzie x przyjmuje się, że zbiór N z liczb naturalnych . Zatem ciąg f = ( a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...) jest ograniczony, jeśli istnieje liczba rzeczywista M taka, że

${\ Displaystyle | a_ {n} | \ równoważnik M}$

dla każdej liczby naturalnej n . Zbiór wszystkich ograniczonych sekwencji tworzy przestrzeń sekwencji . ${\displaystyle l^{\infty}}$

Definicję granic można uogólnić do funkcji f : X → Y przyjmujących wartości w bardziej ogólnej przestrzeni Y przez wymaganie, aby obraz f(X) był zbiorem ograniczonym w Y .

Powiązane pojęcia

Słabsza od ograniczoności jest ograniczoność lokalna . Rodzina funkcji ograniczonych może być jednolicie ograniczona .

Ograniczonym operator T X → Y nie jest ograniczoną funkcję w sensie definicji tej strony (chyba, t = 0 ), ale ma słabsze właściwości konserwujących ograniczoności : zbiór ograniczony M ⊆ X są odwzorowywane na ograniczonych zestawów T (M) ⊆ Y. Tę definicję można rozszerzyć na dowolną funkcję f  : X → Y jeśli X i Y dopuszczają koncepcję zbioru ograniczonego. Ograniczenie można również określić, patrząc na wykres.

Przykłady

• Funkcja sinus sin : R → R jest ograniczona ponieważ dla wszystkich .${\displaystyle |\sin(x)|\leq 1}$${\ Displaystyle x \ w \ mathbf {R} }$
• Funkcja zdefiniowana dla wszystkich rzeczywistych x z wyjątkiem -1 i 1 jest nieograniczona. Gdy x zbliża się do -1 lub 1, wartości tej funkcji stają się coraz większe. Ta funkcja może być ograniczona, jeśli uznamy, że jej dziedziną jest na przykład [2, ∞) lub (−∞, −2]).${\ Displaystyle f (x) = (x ^ {2}-1) ^ {-1}}$

• Funkcja , określona dla wszystkich rzeczywistych x , jest ograniczona.${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$
• Odwrotności funkcji trygonometrycznych arcus tangens zdefiniowany jako: y = arctan ( X ) lub x = tan ( y ) jest zwiększenie dla wszystkich liczb rzeczywistych x i jest ograniczona przez - π/2< Y <π/2 radiany
• Przez twierdzenie o ograniczoności każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym, taka jak f  : [0, 1] → R , jest ograniczona. Mówiąc bardziej ogólnie, każda funkcja ciągła od przestrzeni zwartej do przestrzeni metrycznej jest ograniczona.
• Wszystkie funkcje o wartościach zespolonych f  : C → C , które są całkowite, są albo nieograniczone, albo stałe w konsekwencji twierdzenia Liouville'a . W szczególności grzech zespolony : C → C musi być nieograniczony, ponieważ jest całkowity.
• Funkcja f, która przyjmuje wartość 0 dla x liczby wymiernej i 1 dla x liczby niewymiernej (por. funkcja Dirichleta ) jest ograniczona. Tak więc funkcja nie musi być „ładna”, aby była ograniczona. Zbiór wszystkich funkcji ograniczonych określonych na [0, 1] jest znacznie większy niż zbiór funkcji ciągłych na tym przedziale. Co więcej, funkcje ciągłe nie muszą być ograniczone; na przykład funkcje i zdefiniowane przez i są zarówno ciągłe, ale żaden nie jest ograniczony. (Jednak funkcja ciągła musi być ograniczona, jeśli jej domena jest zarówno zamknięta, jak i ograniczona).${\ Displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {2} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle h: (0,1) ^ {2} \ do \ mathbb {R}}$${\displaystyle g(x,y):=x+y}$${\ Displaystyle h (x, y): = {\ Frac {1} {x + y}}}$

Bibliografia

Zobacz też

• Ograniczony zestaw
• Kompaktowe wsparcie
• Lokalna granica
• Jednolita granica