Twierdzenie o funkcji odwrotnej - Inverse function theorem

W matematyce , a konkretnie w rachunku różniczkowym , twierdzenie o funkcji odwrotnej daje wystarczający warunek, aby funkcja była odwracalna w sąsiedztwie punktu w swojej dziedzinie, a mianowicie, że jej pochodna jest ciągła i niezerowa w punkcie . Twierdzenie daje również wzór na pochodną o funkcję odwrotną . W wielu zmiennych rachunku , twierdzenie może być uogólnione do każdego ciągłego różniczkowej , wektor wartościami funkcji , której jakobian determinantą jest różna od zera w momencie jej domeny, dając wzór na jakobian matrycy odwrotnego. Istnieją również wersje twierdzenia o funkcji odwrotnej dla złożonych funkcji holomorficznych , dla odwzorowań różniczkowalnych między rozmaitościami , dla funkcji różniczkowalnych między przestrzeniami Banacha i tak dalej.

Oświadczenie

Dla funkcji jednej zmiennej twierdzenie stwierdza, że ​​if jest funkcją ciągle różniczkowalną z niezerową pochodną w punkcie a ; Następnie jest odwracalna w sąsiedztwie , odwrotny sposób ciągły różniczkowalną i pochodną funkcji odwrotnej co jest odwrotnością pochodną w : ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle b=f(a)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

${\ Displaystyle {\ bigl (} f ^ {-1} {\ bigr )} „(b) = {\ Frac {1} {f” (a)}} = {\ Frac {1} {f” (f ^{-1}(b))}}.}$

Alternatywna wersja, która zakłada, że jest ciągła i iniektywna w pobliżu a i różniczkowalna w a z niezerową pochodną, ​​spowoduje również odwracalność w pobliżu a , z odwrotnością, która jest podobnie ciągła i iniektywna, i gdzie powyższy wzór miałby zastosowanie także. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

W konsekwencji widzimy wyraźnie, że jeśli jest -ta różniczkowalna, z niezerową pochodną w punkcie a , to jest odwracalna w sąsiedztwie a , odwrotność jest również -ta różniczkowalna. Oto dodatnia liczba całkowita lub . ${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \infty}$

Dla funkcji więcej niż jednej zmiennej twierdzenie stwierdza, że ​​jeśli F jest funkcją ciągle różniczkowalną z otwartego zbioru do , a całkowita pochodna jest odwracalna w punkcie p (tj. jakobian wyznacznik F w p jest niezerowy ), a M jest odwracalna w pobliżu s : AN odwrotną funkcję do F, definiuje się w pewnej okolicy o . Pisząc , oznacza to, że układ n równań ma unikalne rozwiązanie dla , pod warunkiem, że ograniczymy x i y do odpowiednio małych sąsiedztw p i q . W przypadku nieskończonej wymiarowej twierdzenie wymaga dodatkowego hipotezę, że pochodną Fréchet z F na p ma ograniczone odwrócony. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle q = F (p)}$${\ Displaystyle F = (F_ {1}, \ ldots, F_ {n})}$${\ Displaystyle y_ {i} = F_ {i} (x_ {1}, \ kropki, x_ {n})}$${\displaystyle x_{1},\kropki,x_{n}}$${\ Displaystyle y_ {1}, \ kropki , y_ {n}}$

Wreszcie twierdzenie mówi, że funkcja odwrotna jest w sposób ciągły różniczkowalna, a jej jakobian pochodna w jest macierzą odwrotności jakobianu z F w p : ${\ Displaystyle F ^ {-1}}$${\ Displaystyle q = F (p)}$

${\ Displaystyle J_ {F ^ {-1}} (q) = [J_ {F} (p)] ^ {-1}.}$

Trudną częścią twierdzenia jest istnienie i różniczkowalność . Zakładając to, formuła odwrotnej pochodnej wynika z reguły łańcucha zastosowanej do : ${\ Displaystyle F ^ {-1}}$${\ Displaystyle F ^ {-1} \ circ F = {\ tekst {id}}}$

${\ Displaystyle I = J_ {F ^ {-1} \ Circ F} (p) \ = \ J_ {F ^ {-1}} (F (p)) \ cdot J_ {F} (p) \ = \ J_{F^{-1}}(q)\cdot J_{F}(p).}$

Przykład

Rozważmy funkcję wektorową zdefiniowaną przez: ${\ Displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {2} \ do \ mathbb {R} ^ {2} \!}$

${\ Displaystyle F (x, y) = {\ zacząć {bmatrix} {e ^ {x} \ cos y} \ \ {e ^ {x} \ sin y} \ \ \ koniec {bmatrix}}}.$

Macierz Jakobian to:

${\ Displaystyle J_ {F} (x, y) = {\ zacząć {bmatrix} {e ^ {x} \ cos y} i {-e ^ {x} \ sin y} \ \ {e ^ {x} \ sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}$

z wyznacznikiem jakobianu:

${\ Displaystyle \ Det J_ {F} (x, y) = e ^ {2 x} \ cos ^ {2} y + e ^ {2 x} \ sin ^ {2} y = e ^ {2 x}. \ \ \ !}$

Wyznacznik jest wszędzie niezerowy. Zatem twierdzenie gwarantuje, że dla każdego punktu p w , istnieje sąsiedztwo wokół p, nad którym F jest odwracalne. Nie oznacza to, że F jest odwracalne w całej swojej dziedzinie: w tym przypadku F nie jest nawet iniektywne, ponieważ jest okresowe: . ${\ Displaystyle e ^ {2x} \!}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \!}$${\ Displaystyle F (x, y) = F (x, y + 2 \ pi) \!}$

Kontrprzykład

Funkcja jest ograniczona wewnątrz kwadratowej obwiedni w pobliżu linii , więc . Niemniej jednak, ma lokalne punkty max/min gromadzące się w , więc nie jest jeden do jednego na żadnym otaczającym interwale.${\ Displaystyle f (x) = x + 2 x ^ {2} \ grzech ({\ tfrac {1} {x}})}$${\displaystyle y=x}$${\displaystyle f'(0)=1}$${\displaystyle x=0}$

Jeśli odrzucimy założenie, że pochodna jest ciągła, funkcja nie musi być już odwracalna. Na przykład i ma pochodną nieciągłą i , która znika arbitralnie blisko . Te punkty krytyczne są lokalnymi punktami max/min , więc nie są one jeden do jednego (i nie są odwracalne) na żadnym przedziale zawierającym . Intuicyjnie nachylenie nie rozchodzi się do pobliskich punktów, gdzie zbocza rządzone są słabymi, ale szybkimi oscylacjami. ${\ Displaystyle f (x) = x + 2 x ^ {2} \ grzech ({\ tfrac {1} {x}})}$${\ Displaystyle f (0) = 0}$${\ Displaystyle f '\! (x) = 1-2 \ cos ({\ tfrac {1} {x}}) + 4 x \ grzech ({\ tfrac {1} {x}})}$${\displaystyle f'\!(0)=1}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f'\!(0)=1}$

Metody dowodowe

Jako ważny wynik, twierdzenie o funkcji odwrotnej otrzymało liczne dowody. Dowód najczęściej spotykany w podręcznikach opiera się na zasadzie odwzorowania skrócenia , znanej również jako twierdzenie Banacha o punkcie stałym (które może być również użyte jako kluczowy krok w dowodzie istnienia i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych ).

Ponieważ twierdzenie o punkcie stałym ma zastosowanie w ustawieniach nieskończenie wymiarowych (przestrzeń Banacha), dowód ten natychmiast uogólnia się na nieskończenie wymiarową wersję twierdzenia o funkcji odwrotnej (patrz Uogólnienia poniżej).

Alternatywny dowód w wymiarach skończonych opiera się na twierdzeniu o wartościach ekstremalnych dla funkcji na zbiorze zwartym .

Jeszcze inny dowód wykorzystuje metodę Newtona , która ma tę zaletę, że zapewnia skuteczną wersję twierdzenia: ograniczenia pochodnej funkcji implikują oszacowanie wielkości sąsiedztwa, na którym funkcja jest odwracalna.

Dowód twierdzenia o funkcji odwrotnej

Że funkcja odwrotna Twierdzenie mówi, że jeśli jest to C ¹ wektor funkcja wycenione na otwartym planie , a następnie tylko wtedy, gdy istnieje C ¹ wektor wycenione funkcja zdefiniowana blisko z blisko i blisko . Zostało to po raz pierwszy ustalone przez Picarda i Goursata przy użyciu schematu iteracyjnego: podstawową ideą jest udowodnienie twierdzenia o punkcie stałym za pomocą twierdzenia o odwzorowaniu skróconym . Biorąc pochodne, wynika z tego, że . ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ det f ^ {\ prime} (a) \ neq 0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle b=f(a)}$${\displaystyle g(f(x))=x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(g(y))=y}$${\displaystyle b}$${\ Displaystyle g ^ {\ prime} (y) = f ^ {\ prime} (g (y)) ^ {-1}}$

Zasada łańcucha oznacza, że ​​macierze i są odwrotne. Ciągłość i oznacza, że ​​są to homeomorfizmy , z których każdy jest lokalnie odwrotny. Aby udowodnić istnienie, można założyć po transformacji afinicznej, że i , tak że . ${\ Displaystyle f ^ {\ prime} (a)}$${\ Displaystyle g ^ {\ prime} (b)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle f (0) = 0}$${\ Displaystyle f ^ {\ prime} (0) = ja}$${\displaystyle a=b=0}$

Zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku różniczkowego if jest funkcją C ¹ , więc . Ustawienie , wynika z tego ${\ Displaystyle u}$${\textstyle u(1)-u(0)=\int _{0}^{1}u^{\prime }(t)\,dt}$${\textstyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|}$${\ Displaystyle u (t) = f (x + t (x ^ {\ prime}-x))-xt (x ^ {\ prime}-x)}$

${\ Displaystyle \ | f (x) - f (x ^ {\ prime}) -x + x ^ {\ prime} \ | \ leq \ | xx ^ {\ prime} \ | \ \ sup _ {0 \ leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x))-I\|.}$

Teraz wybierz tak, aby dla . Załóżmy, że i zdefiniuj indukcyjnie przez i . Z założeń wynika, że ​​jeśli wtedy ${\ Displaystyle \ delta > 0}$${\textstyle \|f'(x)-I\|<{1 \over 2}}$${\displaystyle \|x\|<\delta}$${\displaystyle \|y\|<\delta/2}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{0}=0}$${\ Displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} + yf (x_ {n})}$${\displaystyle \|x\|,\,\,\|x^{\prim}\|<\delta}$

${\ Displaystyle \ | f (x) - f (x ^ {\ prime}) -x + x ^ {\ prime} \ | \ leq \ | xx ^ {\ prime} \ |/2}$.

W szczególności oznacza . W schemacie indukcyjnym i . W ten sposób jest sekwencja Cauchy- tendencję do . Według konstrukcji zgodnie z wymaganiami. ${\ Displaystyle f (x) = f (x ^ {\ prime})}$${\displaystyle x=x^{\prim}}$${\ Displaystyle \ | x_ {n} \ | < \ delta}$${\ Displaystyle \ | x_ {n + 1} -x_ {n} \ | < \ delta / 2 ^ {n}}$${\ Displaystyle (x_ {n})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=y}$

Aby sprawdzić, czy jest to C ¹ , napisz tak, że . Przez nierówności powyżej, aby . Z drugiej strony jeśli , to . Korzystając z szeregu geometrycznego dla , wynika z tego, że . Ale wtedy ${\ Displaystyle g = f ^ {-1}}$${\ Displaystyle g (y + k) = x + h}$${\ Displaystyle f (x + h) = f (x) + k}$${\displaystyle \|hk\|<\|h\|/2}$${\displaystyle \|h\|/2<\|k\|<2\|h\|}$${\ Displaystyle A = f ^ {\ prime} (x)}$${\ Displaystyle \ | AI \ | < 1/2}$${\displaystyle B=IA}$${\ Displaystyle \ | A ^ {-1} \ | <2}$

${\ Displaystyle {\ | g (y + k) - g (y) - f ^ {\ prime} (g (y)) ^ {-1} k \ | \over \|k\|}={\|hf^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \nad \|h\|}}$

ma tendencję do 0 jak i ma tendencję do 0, co dowodzi, że jest to C ¹ z . ${\displaystyle k}$${\ Displaystyle h}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle g ^ {\ prime} (y) = f ^ {\ prime} (g (y)) ^ {-1}}$

Powyższy dowód jest przedstawiony dla przestrzeni skończenie wymiarowych, ale równie dobrze odnosi się do przestrzeni Banacha . Jeśli funkcją odwracalną jest C ^k z , to też jest jej odwrotność. Następuje to przez indukcję z wykorzystaniem faktu, że odwzorowanie operatorów to C ^k dla dowolnego (w przypadku skończenie wymiarowym jest to fakt elementarny, ponieważ odwrotność macierzy jest podana jako macierz sprzężona podzielona przez jej wyznacznik ). Metodę dowodową można tu znaleźć w książkach Henri Cartana , Jeana Dieudonnégo , Serge'a Langa , Rogera Godementa i Larsa Hörmandera . ${\displaystyle f}$${\displaystyle k>1}$${\ Displaystyle F (A) = A ^ {-1}}$${\displaystyle k}$

Uogólnienia

Rozdzielacze

Twierdzenie o funkcji odwrotnej można przeformułować w kategoriach odwzorowań różniczkowalnych między rozmaitościami różniczkowymi . W tym kontekście twierdzenie stwierdza, że ​​dla odwzorowania różniczkowalnego (klasy ), jeśli różniczka z , ${\ Displaystyle F: M \ do N}$${\ Displaystyle C ^ {1}}$${\ Displaystyle F}$

${\ Displaystyle dF_ {p}: T_ {p} M \ do T_ {F (p)} N}$

jest liniowy Izomorfizm w punkcie na to istnieje otwarte otoczenie w taki sposób, że ${\displaystyle p}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle U}$${\displaystyle p}$

${\ Displaystyle F | _ {U}: U \ do F (U)}$

jest dyfeomorfizmem . Należy zauważyć, że implikuje to, że połączone komponenty M i N zawierające p i F ( p ) mają ten sam wymiar, co jest już bezpośrednio implikowane z założenia, że dF _p jest izomorfizmem. Jeśli pochodną F jest izomorfizmem we wszystkich punktach p w M , to odwzorowanie F jest lokalnym dyfeomorfizmem .

Przestrzenie Banacha

Twierdzenie o funkcji odwrotnej można również uogólnić na odwzorowania różniczkowe między przestrzeniami Banacha X i Y . Niech u być sąsiedztwo otwartego pochodzenia X i stale różniczkowej funkcji i zakładamy, że pochodną Fréchet z F w 0 to ograniczonym liniowy Izomorfizm z X na Y . Wtedy istnieje otwarte otoczenie V o w Y i różniczkowalne w sposób ciągły mapę tak, że dla każdego y w V . Ponadto jest jedynym wystarczająco małym rozwiązaniem x równania . ${\displaystyle F:U\do Y\!}$${\displaystyle dF_{0}:X\do Y\!}$${\displaystyle F(0)\!}$${\displaystyle G:V\do X\!}$${\displaystyle F(G(y))=y}$${\displaystyle G(y)\!}$${\displaystyle F(x)=y\!}$

Rozmaitości Banacha

Te dwa kierunki uogólnienia można połączyć w twierdzeniu o funkcji odwrotnej dla rozmaitości Banacha .

Twierdzenie o stałym rzędzie

Twierdzenie o funkcji odwrotnej (i twierdzenie o funkcji niejawnej ) może być postrzegane jako szczególny przypadek twierdzenia o stałym rzędzie, które stwierdza, że ​​gładką mapę o stałym rzędzie w pobliżu punktu można umieścić w określonej formie normalnej w pobliżu tego punktu. W szczególności, jeżeli ma stałą pozycję w pobliżu punktu , to jest otwarte okolic ù o s i V o i są Dyfeomorfizm i w taki sposób, i taki, że pochodna jest równa . Oznacza to, że F „wygląda jak” jego pochodna w pobliżu p . Zbiór punktów taki, że rząd jest stały w sąsiedztwie jest otwartym gęstym podzbiorem M ; jest to konsekwencją półciągłości funkcji rang. Tak więc twierdzenie o stałym rzędzie odnosi się do ogólnego punktu dziedziny. ${\ Displaystyle F: M \ do N}$${\displaystyle p\w M\!}$${\displaystyle F(p)\!}$${\ Displaystyle u: T_ {p} M \ do U \!}$${\ Displaystyle v: T_ {F (p)} N \ do V \!}$${\displaystyle F(U)\subseteq V\!}$${\ Displaystyle dF_ {p}: T_ {p} M \ do T_ {F (p)} N \!}$${\ Displaystyle v ^ {-1} \ ok F \ ok u \!}$${\ Displaystyle p \ w M}$${\displaystyle p}$

Gdy pochodna F jest injektywna (odpowiednio suriektywna) w punkcie p , jest również injektywna (odpowiednio suriektywna) w sąsiedztwie p , a zatem rząd F jest stały w tym sąsiedztwie, a twierdzenie o stałej rang ma zastosowanie .

Funkcje holomorficzne

Jeżeli holomorficzny funkcji F określa się z otwartego zestawu U o w i jakobian matrycy o złożonych pochodnych jest odwracalna w punkcie P , a M jest odwracalna funkcja pobliżu p . Wynika to bezpośrednio z rzeczywistej wielowymiarowej wersji twierdzenia. Można również pokazać, że funkcja odwrotna jest znowu holomorficzna. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \!}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \!}$

Funkcje wielomianowe

Gdyby to było prawdą, hipoteza Jakobianu byłaby wariantem twierdzenia o funkcji odwrotnej dla wielomianów. Stwierdza, że ​​jeśli wielomian o wartościach wektorowych ma jakobian wyznacznik, który jest wielomianem odwracalnym (czyli stałą niezerową), to ma odwrotność, która jest również funkcją wielomianową. Nie wiadomo, czy to prawda, czy fałsz, nawet w przypadku dwóch zmiennych. Jest to główny otwarty problem w teorii wielomianów.

Selekcje

Kiedy z , jest razy różniczkowalne w sposób ciągły , a Jacobiego w punkcie jest od rangi , odwrotność nie może być wyjątkowy. Jednakże, istnieje lokalna funkcja wyboru takie, że dla wszystkich w okolicy z , , jest razy różniczkowalne w sposób ciągły w tej okolicy, i ( jest pseudoinverse Moore-Penrose'a z ). ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {m}}$${\displaystyle m\leq n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle A = \ nabla f ({\ overline {x}})}$${\displaystyle {\overline {x}}}$ ${\ Displaystyle m}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$${\displaystyle f(s(y))=y}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle {\ overline {y}} = f ({\ overline {x}})}$${\ Displaystyle s ({\ overline {y}}) = {\ overline {x}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle \ nabla s ({\ overline {y}}) = A ^ {T} (AA ^ {T}) ^ {-1}}$${\ Displaystyle \ nabla s ({\ overline {y}})}$${\ Displaystyle A}$

Zobacz też

• Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
• Twierdzenie o funkcji uwikłanej
• Twierdzenie Nasha-Mosera

Uwagi

Bibliografia

• Allendoerfer, Carl B. (1974). „Twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych”. Rachunek wielu zmiennych i rozmaitości różniczkowych . Nowy Jork: Macmillan. s. 54-88. Numer ISBN 0-02-301840-2.
• Baxandall, Piotr ; Liebeck, Hans (1986). „Twierdzenie o funkcji odwrotnej”. Rachunek wektorów . Nowy Jork: Oxford University Press. s. 214–225. Numer ISBN 0-19-859652-9.
• Nijenhuis, Albert (1974). „Silne pochodne i odwzorowania odwrotne”. Amer. Matematyka. Miesięcznie . 81 (9): 969–980. doi : 10.2307/2319298 . hdl : 10338.dmlcz/102482 .
• Protter, Murray H .; Morrey, Charles B., Jr. (1985). „Przemiany i jakobiany”. Rachunek pośredni (druga ed.). Nowy Jork: Springer. s. 412-420. Numer ISBN 0-387-96058-9.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych . Teksty w Matematyce Stosowanej 13 (wyd. drugie). Nowy Jork: Springer-Verlag. s. 337-338. Numer ISBN 0-387-00444-0.
• Rudin, Walter (1976). Zasady analizy matematycznej . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej (wyd. trzecie). Nowy Jork: Książka McGraw-Hill. str.  221 -223.