Pochodna Frécheta - Fréchet derivative

W matematyce The pochodną Fréchet jest pochodna określona w przestrzeni unormowanych . Nazwany na cześć Maurice'a Frécheta , jest powszechnie używany do uogólniania pochodnej funkcji o wartościach rzeczywistych pojedynczej zmiennej rzeczywistej na przypadek funkcji wektorowej wielu zmiennych rzeczywistych oraz do definiowania pochodnej funkcjonalnej powszechnie używanej w rachunku różniczkowym odmiany .

Na ogół rozszerza ideę pochodnej funkcji o wartościach rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej na funkcje na przestrzeniach unormowanych. Pochodną Frécheta należy przeciwstawić bardziej ogólnej pochodnej Gateaux, która jest uogólnieniem klasycznej pochodnej kierunkowej .

Pochodna Frécheta ma zastosowanie w problemach nieliniowych w analizie matematycznej i naukach fizycznych, szczególnie w rachunku wariacyjnym i wielu analizach nieliniowych i nieliniowej analizie funkcjonalnej .

Definicja

Niech V i W są przestrzeń unormowana i być otwarte podzestawu z V . Funkcję f  : U → W nazywamy różniczkowalną Frécheta przy , jeśli istnieje ograniczony operator liniowy taki, że ${\ Displaystyle U \ podzbiór V}$${\ Displaystyle x \ w U}$ ${\ Displaystyle A: V \ do W}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ | h \ | \ do 0} {\ Frac {\ | f (x + h) - f (x) - Ah \ | _ {W}} {\ | h \ | _ { V}}}=0.}$

Granica jest tu rozumiane w zwykłym sensie granicy funkcji określonej w przestrzeni parametrów (patrz funkcji na przestrzeni metryczne ), stosując V i W w obu przestrzeniach metryczną, powyższe wyrażenie w funkcji argumentu h w V . W konsekwencji musi istnieć dla wszystkich sekwencji niezerowych elementów V, które zbiegają się do wektora zerowego Równoważnie, rozwinięcie pierwszego rzędu zachodzi w notacji Landaua${\ Displaystyle \ langle h_ {n} \ rangle _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle h_ {n} \ do 0.}$

${\ Displaystyle f (x + h) = f (x) + Ah + o (h).}$

Jeśli istnieje taki operator A jest unikalny, więc napisać i nazywają to pochodna Fréchet o f w x . Funkcja f, która jest różniczkowalna Frécheta dla dowolnego punktu U, jest nazywana C ^1, jeśli funkcja ${\ Displaystyle Df (x) = A}$

${\ Displaystyle Df: U \ do B (V, W); x \ mapsto Df (x)}$

jest ciągła ( oznacza przestrzeń wszystkich ograniczonych operatorów liniowych od do ). Zauważ, że nie jest to równoznaczne z wymaganiem, aby mapa była ciągła dla każdej wartości (co zakłada się; ograniczona i ciągła są równoważne). ${\displaystyle B(V,W)}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle Df (x): V \ do W}$${\displaystyle x}$

To pojęcie pochodnej jest uogólnieniem zwykłej pochodnej funkcji na liczbach rzeczywistych, ponieważ odwzorowania liniowe od do to po prostu mnożenie przez liczbę rzeczywistą. W tym przypadku Df ( x ) jest funkcją . ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\displaystyle t\mapsto f'(x)t}$

Nieruchomości

Funkcja różniczkowalna w punkcie jest w tym punkcie ciągła.

Różniczkowanie jest operacją liniową w następującym sensie: jeśli f i g są dwoma odwzorowaniami V → W, które są różniczkowalne w x , a c jest skalarem (liczbą rzeczywistą lub zespoloną ), to pochodna Frécheta ma następujące własności:

${\ Displaystyle D (cf) (x) = cdf (x)}$

${\ Displaystyle D (f + g) (x) = Df (x) + DG (x).}$

W tym kontekście obowiązuje również reguła łańcucha : jeśli f  : U → Y jest różniczkowalna w x ∈ U , a g  : Y → W jest różniczkowalna w y = f ( x ) , to złożenie g ∘ f jest różniczkowalne w x i pochodna to skład pochodnych:

${\ Displaystyle D (g \ ok f) (x) = Dg (f (x)) \ ok Df (x).}$

Skończone wymiary

Pochodna Frécheta w przestrzeniach skończenie wymiarowych jest zwykłą pochodną. W szczególności jest on reprezentowany we współrzędnych przez macierz Jakobian .

Załóżmy, że f jest odwzorowaniem, a U jest zbiorem otwartym. Jeśli f jest różniczkowalną Frécheta w punkcie a ∈ U , to jego pochodną jest ${\ Displaystyle f: U \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} Df (a): \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {m} \ \ Df (a) (v) = J_ {f} (a )v\end{przypadki}}}$

gdzie J _f ( a ) oznacza jakobian macierz f w a .

Ponadto pochodne cząstkowe f są dane przez

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x_ {i}}} (a) = Df (a) (e_ {i}) = J_ {f} (a) e_ {i}}$

gdzie { e _I } kanonicznej podstawą Ponieważ pochodna jest funkcją liniową, mamy dla wszystkich wektorów że kierunkowy pochodną o f wzdłuż h jest wyrażona ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$${\ Displaystyle h \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle Df (a) (h) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} h_ {i} {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x_ {i}}} (a).}$

Jeżeli wszystkie pochodne cząstkowe f istnieją i są ciągłe, to f jest różniczkowalną Frécheta (i faktycznie C ¹ ). Odwrotność nie jest prawdą; funkcja

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ zacząć {przypadki} (x ^ {2} + Y ^ {2}) \ sin \ lewo ((x ^ {2} + Y ^ {2}) ^ {- 1/2}\right)&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

jest różniczkowalna Frécheta, a mimo to nie ma ciągłych pochodnych cząstkowych na . ${\ Displaystyle (0,0)}$

Przykład w nieskończonych wymiarach

Jednym z najprostszych (nietrywialnych) przykładów w nieskończonych wymiarach jest ten, w którym domeną jest przestrzeń Hilberta ( ), a interesującą funkcją jest norma. Zastanów się więc . ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |: H \ do \ mathbb {R}}$

Najpierw załóż, że . Następnie twierdzimy, że pochodna Frécheta z at jest funkcjonałem liniowym , zdefiniowanym przez ${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle D}$

${\ Displaystyle Dv: = \ lewo \ langle v {\ Frac {x} {\ | x \ |}} \ prawo \ rangle.}$

Rzeczywiście,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {| \ | x + h \ | - \ | x \ | - Dh |} {\ | h \ |}} i = {\ Frac {| \ | x \ |\|x+h\|-\langle x,x\rangle -\langle x,h\rangle |}{\|x\|\|h\|}}\\[8pt]&={\frac { |\|x\|\|x+h\|-\langle x,x+h\rangle |}{\|x\|\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {| \langle x,x\rangle \langle x+h,x+h\rangle -\langle x,x+h\rangle ^{2}|}{\|x\|\|h\|(|\|x \|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\[8pt]&={\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\ langle x,h\rangle ^{2}}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}} \\&{}\end{wyrównany}}}$

Wykorzystując ciągłość normy i produktu wewnętrznego uzyskujemy:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {| \ | x + h \ | - \ | x \ | - dh |} {\ | h \ |}} i = \lim _{h\to 0}{\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|x\|\|h\ |(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^ {3}}}\lim _{h\to 0}{\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|h\ |}}\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\lim _{h\to 0}\left(\langle x,x\rangle \| h\|-\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&={\frac {1 }{2\|x\|^{3}}}\left(\lim _{h\to 0}\langle x,x\rangle \|h\|-\lim _{h\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x \|^{3}}}\left(0-\lim _{h\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\ right\rangle \right)\\[8pt]&=-{\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(\lim _{h\to 0}\langle x,h \rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]\end{aligned}}}$

Jak i z powodu nierówności Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz${\ Displaystyle h \ do 0, \ langle x, h \ rangle \ do 0}$

${\ Displaystyle \ lewo \ langle x {\ Frac {h} \ | h \ |}} \ prawo \ rangle}$

jest ograniczony przez co cała granica znika. ${\displaystyle \|x\|}$

Teraz pokazujemy, że przy normie nie jest różniczkowalny, tj. nie istnieje ograniczony funkcjonał liniowy, tak aby granica, o której mowa, była . Niech będzie dowolny liniowy funkcjonał. Twierdzenie Riesza o reprezentacji mówi nam, że dla niektórych może być zdefiniowane przez . Rozważać ${\displaystyle x=0}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle Dv = \ langle a, v \ rangle }$${\ Displaystyle a \ w H}$

${\ Displaystyle A (h) = {\ Frac {| \ | 0 + h \ | - \ | 0 \ | - dh | {\ | h \ |}} = \ lewo | 1- \ lewo \ kąt a, {\frac {h}{\|h\|}}\prawo\rangle \prawo|.}$

Aby norma była różniczkowalna , musimy mieć ${\ Displaystyle 0}$

${\ Displaystyle \ Lim _ {h \ do 0} A (h) = 0.}$

Pokażemy, że nie dotyczy to żadnego . Jeśli oczywiście niezależnie od , to nie jest to pochodna. Załóżmy . Jeśli weźmiemy dążenie do zera w kierunku (tj. , gdzie ) to , stąd ${\displaystyle a}$${\displaystyle a=0}$${\ Displaystyle A (h) = 1}$${\ Displaystyle h}$${\displaystyle a\neq 0}$${\ Displaystyle h}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle h=t\cdot (-a)}$${\ Displaystyle t \ do 0 ^ {+}}$${\ Displaystyle A (h) = | 1 + \ | a \ | | > 1> 0}$

${\ Displaystyle \ lim _ {h \ do 0} A (h) \ neq 0}$

(Jeśli weźmiemy dążenie do zera w kierunku, zobaczymy nawet, że ta granica nie istnieje, ponieważ w tym przypadku otrzymamy ). ${\ Displaystyle h}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |1-\|a\||}$

Otrzymany właśnie wynik zgadza się z wynikami w skończonych wymiarach.

Związek z pochodną Gateaux

Funkcję f  : U ⊂ V → W nazywamy Gateaux różniczkowalną w x  ∈ U , jeśli f ma pochodną kierunkową wzdłuż wszystkich kierunków w  x . Oznacza to, że istnieje funkcja g  : V → W taka, że

${\ Displaystyle g (h) = \ lim _ {t \ do 0} {\ Frac {f (x + th)-f (x)} {t}}}$

dla dowolnego wybranego wektora h w V i gdzie t pochodzi z pola skalarnego związanego z V (zazwyczaj t jest rzeczywiste ).

Jeśli f jest różniczkowalna Frécheta w x , jest tam również różniczkowalna Gateaux, a g jest po prostu operatorem liniowym A  = Df ( x ).

Jednak nie każda różniczkowalna funkcja Gateaux jest różniczkowalna według Frécheta. Jest to analogiczne do tego, że istnienie wszystkich pochodnych kierunkowych w jednym punkcie nie gwarantuje całkowitej zróżnicowalności (czy nawet ciągłości) w tym punkcie. Na przykład funkcja o wartościach rzeczywistych f dwóch zmiennych rzeczywistych zdefiniowanych przez

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ zacząć {przypadki} {\ Frac {x ^ {3}} {x ^ {2} + Y ^ {2}}} i (x, y) \ neq (0 ,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{przypadki}}}$

jest ciągła i różniczkowalna Gateaux przy (0, 0), której pochodną jest

${\ Displaystyle g (a, b) = {\ zacząć {przypadki} {\ Frac {a ^ {3}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} i (a, b) \ neq (0 ,0)\\0&(a,b)=(0,0)\end{przypadki}}}$

Funkcja g nie jest operatorem liniowym, więc ta funkcja nie jest różniczkowalna Frécheta.

Mówiąc bardziej ogólnie, każda funkcja postaci , gdzie r i φ są współrzędnymi biegunowymi ( x , y ), jest ciągła i różniczkowalna Gateaux w (0,0), jeśli g jest różniczkowalna w 0 i , ale pochodna Gateaux jest tylko liniowa a pochodna Frécheta istnieje tylko wtedy, gdy h jest sinusoidalna . ${\displaystyle f(x,y)=g(r)h(\phi)}$${\ Displaystyle h (\ phi + \ pi ) = - h (\ phi )}$

W innej sytuacji funkcja f dana przez

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ zacząć {przypadki} {\ Frac {x ^ {3}y} {x ^ {6} + Y ^ {2}}} i (x, y) \ neq ( 0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{przypadki}}}$

jest różniczkowalna Gateaux na (0, 0), a jej pochodną jest g ( a ,  b ) = 0 dla wszystkich ( a ,  b ), co jest operatorem liniowym. Jednak f nie jest ciągła w (0, 0) (można to zobaczyć zbliżając się do początku wzdłuż krzywej ( t , t ³ )) i dlatego f nie może być różniczkowalna Frécheta w początku.

Bardziej subtelnym przykładem jest

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ zacząć {przypadki} {\ Frac {x ^ {2} r} {x ^ {4} + Y ^ {2}}} {\ sqrt {x ^ {2} +y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{przypadki}}}$

która jest funkcją ciągłą, która jest różniczkowalna Gateaux w punkcie (0, 0), z pochodną g ( a ,  b ) = 0, która jest znowu liniowa. Jednak f nie jest różniczkowalna dla Frécheta. Gdyby tak było, jego pochodna Frécheta pokrywałaby się z jego pochodną Gateaux, a zatem byłaby operatorem zerowym; stąd limit

${\ Displaystyle \ lim _ {(x, y) \ do (0,0)} \ lewo | {\ Frac {x ^ {2} y} {x ^ {4} + Y ^ {2}}} \ prawej |}$

musiałby wynosić zero, podczas gdy zbliżanie się do początku wzdłuż krzywej ( t , t ² ) pokazuje, że ta granica nie istnieje.

Przypadki te mogą wystąpić, ponieważ definicja pochodnej Gateaux wymaga jedynie, aby ilorazy różnic zbiegały się w każdym kierunku indywidualnie, bez stawiania wymagań dotyczących szybkości zbieżności dla różnych kierunków. Zatem dla danego ε, chociaż dla każdego kierunku iloraz różnic mieści się w ε jego granicy w pewnym sąsiedztwie danego punktu, te sąsiedztwa mogą być różne dla różnych kierunków i może istnieć sekwencja kierunków, dla których te sąsiedztwa stają się arbitralnie małe. Jeżeli wzdłuż tych kierunków zostanie wybrany ciąg punktów, iloraz w definicji pochodnej Frécheta, która uwzględnia wszystkie kierunki naraz, może nie być zbieżny. Tak więc, aby liniowa pochodna Gateaux sugerowała istnienie pochodnej Frécheta, ilorazy różnicowe muszą być zbieżne jednorodnie we wszystkich kierunkach.

Poniższy przykład działa tylko w nieskończonych wymiarach. Niech X będzie przestrzenią Banacha, a φ funkcjonałem liniowym na X, który jest nieciągły przy x  = 0 ( nieciągły funkcjonał liniowy ). Pozwolić

${\ Displaystyle f (x) = \ | x \ | \ varphi (x).}$

Wtedy f ( x ) jest różniczkowalna Gateaux przy x  = 0 z pochodną 0. Jednak f ( x ) nie jest różniczkowalna Frécheta, ponieważ granica

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do 0} \ varphi (x)}$

nie istnieje.

Wyższe pochodne

Jeśli F  : U → W jest różniczkowalną funkcją we wszystkich punktach zbioru otwartego U o V wynika, że jego pochodną

${\ Displaystyle Df: U \ do L (V, W)}$

Jest to funkcja od U do przestrzeni L ( V , W ) wszystkich ograniczonych liniowy operatorów od V do W . Ta funkcja może również pochodny, drugi pochodna, z F , co z definicji pochodnej będzie mapa

${\ Displaystyle D ^ {2} f: U \ do L {\ duży (} V, L (V, W) {\ duży)}.}$

Aby ułatwić pracę z pochodnymi drugiego rzędu, przestrzeń po prawej stronie jest utożsamiana z przestrzenią Banacha L ² ( V × V , W ) wszystkich ciągłych dwuliniowych odwzorowań od V do W . Element φ w L ( V , L ( V , W ) jest zatem utożsamiany z ψ w L ² ( V × V , W ) tak, że dla wszystkich x i y w V ,

${\ Displaystyle \ varphi (x) (y) = \ psi (x, y).}$

(Intuicyjnie: funkcja φ liniowa w x z φ ( x ) liniowa w y jest taka sama jak funkcja dwuliniowa ψ w x i y ).

Można się zróżnicować

${\ Displaystyle D ^ {2} f: U \ do L ^ {2} (V \ razy V, W)}$

znowu, aby uzyskać pochodną trzeciego rzędu , która w każdym punkcie będzie mapą trójliniową i tak dalej. N -tej pochodnej będzie funkcją

${\ Displaystyle D ^ {n} f: U \ do L ^ {n} (V \ razy V \ razy \ cdots \ razy V, W),}$

przyjmowanie wartości w przestrzeni Banacha ciągłych przekształceń wieloliniowych w n argumentach od V do W . Rekursywnie funkcja f jest n + 1 razy różniczkowalna na U, jeśli jest n razy różniczkowalna na U i dla każdego x w U istnieje ciągła wieloliniowa mapa A o n + 1 argumentach, tak że granica

${\ Displaystyle \ lim _ {h_ {n + 1} \ do 0} {\ Frac {\ lewo \ | D ^ {n} f \ lewo (x + h_ {n + 1} \ po prawej) (h_ {1} ,h_{2},\ldots ,h_{n})-D^{n}f(x)(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})-A\left(h_{ 1},h_{2},\ldots ,h_{n},h_{n+1}\right)\right\|}{\|h_{n+1}\|}}=0}$

istnieje jednostajnie dla h ₁ , h ₂ , ..., h _n w zbiorach ograniczonych w V . W takim przypadku A jest ( n + 1) pierwszą pochodną f w punkcie x .

Co więcej, możemy oczywiście zidentyfikować element przestrzeni z odwzorowaniem liniowym poprzez identyfikację , a tym samym postrzegając pochodną jako odwzorowanie liniowe. ${\ Displaystyle L ^ {n} (V \ razy V \ razy \ cdots \ razy V, W)}$${\ Displaystyle L (\ bigotimes _ {j = 1} ^ {n} V_ {j}, W)}$${\ Displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = f (x_ {1} \ otimes x_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n})}$

Częściowe pochodne Frécheta

W tej sekcji rozszerzamy zwykłe pojęcie pochodnych cząstkowych, które jest definiowane dla funkcji postaci , na funkcje, których dziedziny i przestrzenie docelowe są arbitralnymi (rzeczywistymi lub złożonymi) przestrzeniami Banacha . W tym celu niech i będą przestrzeniami Banacha (nad tym samym polem skalarów), niech będą daną funkcją i ustalą punkt . Mówimy, że ma i-tą różniczkę cząstkową w punkcie, jeśli funkcja określona przez ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle V_ {1}, \ kropki, V_ {n}}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle f: \ prod _ {i = 1} ^ {n} V_ {i} \ do W}$${\ Displaystyle a = (a_ {1}, \ kropki, a_ {n}) \ w \ prod _ {i = 1} ^ {n} V_ {i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle \ varphi _ {i}: V_ {i} \ do W}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {i} (x) = f (a_ {1}, \ kropki, a_ {i-1}, x, a_ {i + 1}, \ kropki a_ {n})}$

jest różniczkowalna Frécheta w punkcie (w sensie opisanym powyżej). W tym przypadku definiujemy , a i-tą pochodną cząstkową nazywamy w punkcie . Należy zauważyć, że jest to transformacja liniowa z do . Heurystycznie, jeśli ma i-tą różniczkę cząstkową w , to liniowo aproksymuje zmianę funkcji, gdy ustalamy, że wszystkie jej wpisy są dla , a zmieniamy tylko i-ty wpis. Możemy to wyrazić w notacji Landaua jako ${\displaystyle a_{i}}$${\ Displaystyle \ częściowy _ {i} f (a): = D \ varphi _ {i} (a_ {i})}$${\ Displaystyle \ częściowe _ {i} f (a)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle \ częściowe _ {i} f (a)}$${\ Displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle W}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle \ częściowe _ {i} f (a)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{j}}$${\displaystyle j\neq i}$

${\ Displaystyle f (a_ {1}, \ kropki, a_ {i} + h, \ kropki a_ {n}) - f (a_ {1}, \ kropki, a_ {n}) = \ częściowe _ {i} f(a)(h)+o(h).}$

Uogólnienie do topologicznych przestrzeni wektorowych

Pojęcie pochodnej Frécheta można uogólnić na dowolne topologiczne przestrzenie wektorowe (TVS) X i Y . Niech U będzie otwartym podzbiorem X zawierającym początek i daną funkcję taką, że najpierw zdefiniujemy, co to znaczy, że ta funkcja ma 0 jako pochodną. Mówimy, że ta funkcja f jest styczna do 0, jeśli dla każdego otwartego sąsiedztwa 0 istnieje otwarte otoczenie 0 i funkcja taka, że ${\displaystyle f:U\do Y}$${\displaystyle f(0)=0,}$${\ Displaystyle W \ podzbiór Y}$${\ Displaystyle V \ podzbiór X}$${\ Displaystyle o: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ Lim _ {t \ do 0} {\ Frac {o (t)} {t}} = 0,}$

i dla wszystkich t w jakimś sąsiedztwie pochodzenia,${\ Displaystyle f (tV) \ podzbiór o (t) W.}$

Możemy teraz usunąć ograniczenie polegające na tym, że definiując f jako różniczkowalną Frécheta w punkcie, jeśli istnieje ciągły operator liniowy, taki, że , rozpatrywane jako funkcja h , jest styczne do 0. (Lang s. 6) ${\ Displaystyle f (0) = 0}$${\displaystyle X_{0}\w U}$${\ Displaystyle \ lambda: X \ do Y}$${\ Displaystyle f (x_ {0}+ h) - f (x_ {0}) - \ lambda h}$

Jeśli pochodna Frécheta istnieje, to jest unikalna. Ponadto pochodna Gateaux musi również istnieć i być równa pochodnej Frécheta w tym, że dla wszystkich , ${\displaystyle v\w ​​X}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ tau \ do 0} {\ Frac {f (x_ {0}+ \ tau v) - f (x_ {0})} {\ tau}} = f '(x_ {0} )v,}$

gdzie jest pochodna Frécheta. Funkcja, która jest różniczkowalna Frécheta w punkcie, jest tam z konieczności ciągła, a sumy i wielokrotności skalarne funkcji różniczkowalnych Frécheta są różniczkowalne, tak że przestrzeń funkcji różniczkowalnych Frécheta w punkcie tworzy podprzestrzeń funkcji, które są w tym punkcie ciągłe. Reguła łańcucha obowiązuje również, podobnie jak reguła Leibniza, gdy Y jest algebrą i TVS, w którym mnożenie jest ciągłe. ${\displaystyle f'(x_{0})}$

Zobacz też

• Uogólnienia pochodnej
• Gradient#pochodna Fréchet
• Holomorfia nieskończenie wymiarowa

Uwagi

Bibliografia

• Cartan, Henri (1967), Calcul différentiel , Paryż: Hermann, MR  0223194.
• Dieudonné Jean (1969), Podstawy współczesnej analizy , Boston, MA: Academic Press , MR  0349288.
• Lang, Serge (1995), Różnicowe i Riemanna , Springer , ISBN 0-387-94338-2.
• Munkres, James R. (1991), Analiza rozmaitości , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-51035-5, MR  1079066.
• Previato, Emma , wyd. (2003), Słownik matematyki stosowanej dla inżynierów i naukowców , Comprehensive Dictionary of Mathematics, Londyn: CRC Press , ISBN 978-1-58488-053-0, MR  1966695.
• Coleman, Rodney, wyd. (2012), Rachunek na znormalizowanych przestrzeniach wektorowych , Universitext, Springer , ISBN 978-1-4614-3894-6.

Linki zewnętrzne

• BA Frigyik, S. Srivastava i MR Gupta, Wprowadzenie do funkcjonalnych pochodnych , Raport techniczny UWEE 2008-0001.
• http://www.probability.net . Ta strona dotyczy głównie podstawowych prawdopodobieństw i teorii miary, ale jest też fajny rozdział o pochodnej Frecheta w przestrzeniach Banacha (rozdział o wzorze Jakobianu). Wszystkie wyniki są podane z dowodami.