Sekwencja Cauchy'ego - Cauchy sequence

(a) Wykres sekwencji Cauchy'ego pokazanej na niebiesko, jako kontra Jeśli przestrzeń zawierająca ciąg jest kompletna , to ciąg ma granicę .
(b) Sekwencja, która nie jest Cauchym. Te elementy sekwencji nie dostać dowolnie blisko siebie jak postępami sekwencji.

W matematyce , o ciągiem Cauchy'ego ( francuski wymowa: [koʃi] ; angielski: / k ʃ í / KOH -shee ), nazwany Augustin Louis Cauchy , to sekwencja , której elementy stają się dowolnie blisko siebie jak sekwencja postępy. Dokładniej, przy każdej małej dodatniej odległości wszystkie elementy ciągu oprócz skończonej liczby są mniejsze niż ta podana odległość od siebie.

Nie wystarczy, aby każdy termin był arbitralnie zbliżony do poprzedniego . Na przykład w ciągu pierwiastków kwadratowych liczb naturalnych:

kolejne wyrazy arbitralnie zbliżają się do siebie:
Jednak wraz ze wzrostem wartości indeksu n terminy stają się dowolnie duże. Tak więc, dla dowolnego indeksu n i odległości d , istnieje indeks m na tyle duży, że (Właściwie wystarczy.) W rezultacie, niezależnie od tego, jak daleko się posunie, pozostałe wyrazy ciągu nigdy nie zbliżają się do siebie ; stąd sekwencja nie jest Cauchy.

Użyteczność sekwencji Cauchy'ego polega na tym, że w pełnej przestrzeni metrycznej (takiej, w której wszystkie takie sekwencje są znane z tego, że są zbieżne do granicy ) kryterium zbieżności zależy tylko od warunków samej sekwencji, w przeciwieństwie do definicji konwergencji, która wykorzystuje zarówno wartość graniczną, jak i terminy. Jest to często wykorzystywane w algorytmach , zarówno teoretycznych, jak i stosowanych, w których proces iteracyjny może być stosunkowo łatwo przedstawiony w celu utworzenia sekwencji Cauchy'ego, składającej się z iteracji, spełniając w ten sposób warunek logiczny, taki jak zakończenie.

Uogólnienia sekwencji Cauchy'ego w bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach jednorodnych istnieją w postaci filtrów Cauchy'ego i

sieci Cauchy'ego .

W liczbach rzeczywistych

Sekwencja

liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem Cauchy'ego, jeśli dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej istnieje dodatnia
liczba całkowita N taka, że ​​dla wszystkich liczb naturalnych
gdzie pionowe kreski oznaczają wartość bezwzględną . W podobny sposób można zdefiniować ciągi Cauchy'ego liczb wymiernych lub zespolonych. Cauchy sformułował taki warunek, wymagając by był nieskończenie mały dla każdej pary nieskończonych m , n .

Dla dowolnej liczby rzeczywistej r sekwencja obciętych rozwinięć dziesiętnych r tworzy sekwencję Cauchy'ego. Na przykład, gdy ta sekwencja to (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...).

M p i n TH warunki różnią się co najwyżej podczas m < n i a m rośnie staje się mniejszy niż określoną liczbę dodatnią

Moduł zbieżności Cauchyego

Jeśli jest sekwencją w zbiorze, to

moduł zbieżności Cauchy'ego dla sekwencji jest funkcją ze zbioru liczb naturalnych do siebie, tak że dla wszystkich liczb naturalnych i liczb naturalnych

Każda sekwencja o module zbieżności Cauchy'ego jest sekwencją Cauchy'ego. Istnienie modułu dla ciągu Cauchy'ego wynika z właściwości dobrego uporządkowania liczb naturalnych (niech będzie najmniejszym możliwym w definicji ciągu Cauchy'ego, przyjmując za ). Istnienie modułu wynika również z zasady

wyboru zależnego , która jest słabą formą aksjomatu wyboru , a także wynika z jeszcze słabszego warunku zwanego AC 00 . Regularne sekwencje Cauchy'ego to sekwencje o danym module zbieżności Cauchy'ego (zwykle lub ). Każda sekwencja Cauchy'ego z modułem zbieżności Cauchy'ego jest równoważna regularnej sekwencji Cauchy'ego; można to udowodnić bez użycia jakiejkolwiek formy aksjomatu wyboru.

Moduły zbieżności Cauchy'ego są używane przez konstruktywnych matematyków, którzy nie chcą korzystać z żadnej formy wyboru. Użycie modułu zbieżności Cauchy'ego może uprościć zarówno definicje, jak i twierdzenia w analizie konstruktywnej. Regularne sekwencje Cauchy'ego zostały użyte przez Erretta Bishopa w jego Foundations of Constructive Analysis oraz przez Douglasa Bridgesa w niekonstruktywnym podręczniku ( ISBN  978-0-387-98239-7 ).

W przestrzeni metrycznej

Ponieważ definicja sekwencji Cauchy'ego obejmuje tylko koncepcje metryczne, łatwo jest uogólnić ją na dowolną przestrzeń metryczną X . W tym celu wartość bezwzględną zastępuje odległość (gdzie

d oznacza metrykę ) między i

Formalnie, biorąc pod uwagę przestrzeń metryczną, ciąg

jest Cauchy'ego, jeśli dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej istnieje dodatnia
liczba całkowita taka, że ​​dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych odległość

Z grubsza rzecz biorąc, wyrazy ciągu zbliżają się do siebie w sposób, który sugeruje, że ciąg powinien mieć granicę w X . Niemniej jednak taka granica nie zawsze istnieje w X : właściwość przestrzeni, w której każda sekwencja Cauchy'ego jest zbieżna w przestrzeni, nazywana jest kompletnością i jest szczegółowo opisana poniżej.

Kompletność

Przestrzeń metryczna ( X , d ), w której każda sekwencja Cauchy'ego zbiega się do elementu X nazywana jest kompletną .

Przykłady

Te liczby rzeczywiste są kompletne pod metryką indukowaną przez zwykłej wartości bezwzględnej, a jednym ze standardowych konstrukcji liczb rzeczywistych obejmuje sekwencje Cauchy'ego z liczb wymiernych . W tej konstrukcji każda klasa równoważności sekwencji Cauchy'ego liczb wymiernych z pewnym zachowaniem ogona — to znaczy każda klasa sekwencji, które zbliżają się arbitralnie do siebie — jest liczbą rzeczywistą.

Raczej inny rodzaj przykładu daje przestrzeń metryczna X, która ma metrykę dyskretną (gdzie dowolne dwa różne punkty znajdują się w odległości 1 od siebie). Każda sekwencja Cauchy'ego elementów X musi być stała poza pewnym ustalonym punktem i zbiega się do ostatecznie powtarzającego się terminu.

Nieprzykładowe: liczby wymierne

Te liczby wymierne nie jest zakończona (na zwykłej odległości): Jest to sekwencje wymiernych, które zbiegają się (z ) i

liczby nieracjonalne ; są to sekwencje Cauchy'ego, które nie mają granic W rzeczywistości, jeśli liczba rzeczywista x jest niewymierna, to ciąg ( x n ), którego n -ty wyraz jest obcięciem do n miejsc dziesiętnych rozwinięcia dziesiętnego x , daje sekwencję Cauchy'ego liczb wymiernych z niewymierną granicą x . Liczby niewymierne z pewnością istnieją np. w:
  • Ciąg określony przez składa się z liczb wymiernych (1, 3/2, 17/12,...), co wynika z definicji; jednak zbiega się do
irracjonalnego pierwiastka kwadratowego z dwóch, patrz babilońska metoda obliczania pierwiastka kwadratowego .
  • Ciąg stosunków kolejnych
  • liczb Fibonacciego, który, jeśli w ogóle jest zbieżny, jest zbieżny do spełniającej granicy i żadna liczba wymierna nie ma tej własności. Jeśli ktoś uważa to jako ciąg liczb rzeczywistych, jednak zbieżny do liczby rzeczywistej Golden Ratio , który jest nieracjonalne.
  • Wiadomo, że wartości funkcji wykładniczych, sinus i cosinus, exp( x ), sin( x ), cos( x ) są irracjonalne dla dowolnej wartości wymiernej, ale każdą z nich można zdefiniować jako granicę wymiernej sekwencji Cauchy'ego, używając na przykład
  • serii Maclaurin .

    Nieprzykład: otwarty interwał

    Otwarta przerwa w zbiorze liczb rzeczywistych ze zwykłej odległości w nie jest przestrzenią zupełną: jest sekwencja w to, co jest Cauchy'ego (dla dowolnie małej odległości związany wszystkie warunki z pasowaniem w przedziale), jednak nie zbiegają się w — jego „granica”, liczba 0, nie należy do spacji

    Inne właściwości

    • Każdy ciąg zbieżny (z limitem s , powiedzmy) jest ciągiem Cauchy'ego, ponieważ, biorąc pod uwagę każdy prawdziwy numer poza pewnym ustalonym punkcie, każde określenie sekwencji znajduje się w odległości od
    s , więc jakieś dwa terminy sekwencji znajdują się w odległości od siebie .
  • W dowolnej przestrzeni metrycznej ciąg Cauchy'ego jest
  • ograniczony (ponieważ dla niektórych N , wszystkie wyrazy ciągu od N-tego wzwyż znajdują się w odległości 1 od siebie, a jeśli M jest największą odległością między i dowolnymi wyrazami aż do N -th, to żaden wyraz ciągu nie ma odległości większej niż od ).
  • W dowolnej przestrzeni metrycznej ciąg Cauchy'ego, który ma zbieżny podciąg z granicą s, sam jest zbieżny (z tą samą granicą), ponieważ przy dowolnej liczbie rzeczywistej r > 0, poza pewnym ustalonym punktem pierwotnego ciągu, każdy wyraz podciągu znajduje się w odległości r /2 od s , a dowolne dwa wyrazy oryginalnego ciągu znajdują się w odległości r /2 od siebie, więc każdy wyraz oryginalnego ciągu znajduje się w odległości r od s .
  • Te dwie ostatnie własności, wraz z twierdzeniem Bolzano-Weierstrassa , dają jeden standardowy dowód kompletności liczb rzeczywistych, blisko spokrewniony zarówno z twierdzeniem Bolzano-Weierstrassa, jak i twierdzeniem Heinego-Borela . Każdy ciąg liczb rzeczywistych Cauchy'ego jest ograniczony, stąd Bolzano-Weierstrass ma podciąg zbieżny, a więc sam jest zbieżny. Ten dowód zupełności liczb rzeczywistych implicite korzysta z aksjomatu najmniejszej górnej granicy . Wspomniane powyżej alternatywne podejście konstruowania liczb rzeczywistych jako dopełnienia liczb wymiernych powoduje, że zupełność liczb rzeczywistych jest tautologiczna.

    Jedną ze standardowych ilustracji korzyści płynących z możliwości pracy z ciągami Cauchy'ego i korzystania z kompletności jest uwzględnienie sumowania nieskończonej serii liczb rzeczywistych (lub, bardziej ogólnie, elementów dowolnej pełnej unormowanej przestrzeni liniowej , lub przestrzeń Banacha ). Taki szereg jest uważany za zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg

    sum częściowych jest zbieżny, gdzie Ustalenie, czy ciąg sum częściowych jest zbieżny, czy nie, jest rutynową sprawą, ponieważ dla liczb całkowitych dodatnich

    Jeśli jest

    równomiernie ciągły mapy pomiędzy metryki przestrzeni M i N oraz ( x n ) jest sekwencja Cauchy- w M , to jest w sekwencji Cauchy- N . Jeśli i są dwoma ciągami Cauchy'ego w liczbach wymiernych, rzeczywistych lub zespolonych, to suma i iloczyn są również ciągami Cauchy'ego.

    Uogólnienia

    W topologicznych przestrzeniach wektorowych

    Istnieje również koncepcja ciągu Cauchy'ego dla topologicznej przestrzeni wektorowej : Wybierz

    lokalną bazę dla około 0; wtedy ( ) jest sekwencją Cauchy'ego, jeśli dla każdego elementu istnieje pewna liczba taka, że ​​kiedykolwiek jest elementem Jeśli topologia jest zgodna z metryką niezmienną translacji, obie definicje są zgodne.

    W grupach topologicznych

    Ponieważ definicja topologicznej przestrzeni wektorowej ciągu Cauchy'ego wymaga tylko ciągłej operacji „odejmowania”, można to równie dobrze określić w kontekście grupy topologicznej : ciąg w grupie topologicznej jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli dla każdego otwartego sąsiedztwo z

    tożsamością w istnieje jakiś numer taki, że gdy wynika, że jak powyżej, jest wystarczająca, aby to sprawdzić dla dzielnic w każdym lokalnym podstawy tożsamości w

    Podobnie jak w konstrukcji uzupełnienia przestrzeni metrycznej , można ponadto zdefiniować relację binarną na ciągach Cauchy'ego w tym i są równoważne, jeśli dla każdego otwartego

    sąsiedztwa identyczności istnieje pewna liczba taka, że ​​ilekroć z tego wynika, że Ta relacja jest relacja równoważności : jest zwrotna, ponieważ sekwencje są sekwencjami Cauchy'ego. Jest symetryczna, ponieważ przez ciągłość odwrotności jest kolejnym otwartym sąsiedztwem tożsamości. Jest przechodnia, ponieważ gdzie i są otwarte sąsiedztwa tożsamości takie, że ; takie pary istnieją dzięki ciągłości działania grupy.

    W grupach

    Istnieje również pojęcie ciągiem Cauchy'ego w grupie : Pozwolić być malejąca sekwencja

    podgrupa normalna od skończonego indeksu . Wtedy mówimy, że sekwencja in jest Cauchy (w odniesieniu do ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego istnieje taka, że ​​dla wszystkich

    Technicznie jest to to samo, co sekwencja Cauchy'ego dla grupy topologicznej dla konkretnego wyboru topologii, mianowicie tej, dla której jest bazą lokalną.

    Zbiór takich ciągów Cauchy'ego tworzy grupę (dla iloczynu składowego), a zbiór ciągów zerowych (s.th. ) jest normalną podgrupą. Grupa

    czynników nazywana jest dopełnieniem względem

    Można wtedy pokazać, że to uzupełnienie jest izomorficzne z odwrotną granicą ciągu

    Przykładem takiej konstrukcji, znanej w teorii liczb i geometrii algebraicznej jest konstrukcja

    -adic zakończeniu liczb całkowitych, w odniesieniu do sile W tym przypadku, to liczby całkowite z dodatkiem i jest dodatek podgrup składa się z całkowitej wielokrotności

    Jeśli jest sekwencją

    kofinalną (to znaczy każda normalna podgrupa o skończonym indeksie zawiera jakieś ), to to uzupełnienie jest kanoniczne w tym sensie, że jest izomorficzne z odwrotną granicą gdzie zmienia się we wszystkich normalnych podgrupach o skończonym indeksie . Więcej szczegółów w rozdz. I.10 w "Algebrze" Langa .

    W hiperrealnym kontinuum

    Rzeczywisty ciąg ma naturalne rozszerzenie

    hiperrzeczywiste , zdefiniowane dla wartości hipernaturalnych H indeksu n oprócz zwykłego naturalnego n . Sekwencja Cauchy'ego jest wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego nieskończonego H i K , wartości i są nieskończenie bliskie lub adekwatne , to znaczy

    gdzie „st” jest funkcją części standardowej .

    Cauchy uzupełnianie kategorii

    Krause (2018) wprowadził pojęcie dopełnienia kategorii przez Cauchy'ego . Zastosowane do (kategorii, której obiektami są liczby wymierne i istnieje morfizm od

    x do y wtedy i tylko wtedy , gdy ), to uzupełnienie Cauchy'ego daje (znowu interpretowane jako kategoria używająca swojego naturalnego uporządkowania).

    Zobacz też

    Bibliografia

    Dalsza lektura

    Zewnętrzne linki