Równanie różniczkowe zwyczajne - Ordinary differential equation

W matematyce An zwykłe równania różniczkowego ( ODE ), to równanie różniczkowe zawierające jedną lub więcej funkcji jednej zmiennej niezależnej i pochodne tych funkcji. Termin zwykły jest używany w przeciwieństwie do terminu równanie różniczkowe cząstkowe, które może dotyczyć więcej niż jednej zmiennej niezależnej.

Równania różniczkowe

Liniowe równanie różniczkowe JeSt równanie różniczkowe, który jest określony przez liniowe wielomianu w nieznanej funkcji i jego pochodne, która jest równanie formy

gdzie , ..., i są dowolnymi różniczkowymi funkcjami , które nie muszą być liniowe i są kolejnymi pochodnymi nieznanej funkcji y zmiennej x .

Wśród równań różniczkowych zwyczajnych, liniowe równania różniczkowe odgrywają znaczącą rolę z kilku powodów. Większość funkcji elementarnych i specjalnych spotykanych w fizyce i matematyce stosowanej to rozwiązania równań różniczkowych liniowych (patrz Funkcja holonomiczna ). Gdy zjawiska fizyczne są modelowane za pomocą równań nieliniowych, są one na ogół aproksymowane liniowymi równaniami różniczkowymi dla łatwiejszego rozwiązania. Kilka nieliniowych ODE, które można rozwiązać w sposób jawny, zazwyczaj rozwiązuje się przez przekształcenie równania w równoważny liniowy ODE (patrz na przykład równanie Riccati ).

Niektóre ODE mogą być rozwiązane w sposób jawny za pomocą znanych funkcji i całek . Gdy nie jest to możliwe, przydatne może być równanie do obliczania szeregu Taylora rozwiązań. W przypadku problemów stosowanych metody numeryczne dla równań różniczkowych zwyczajnych mogą dostarczyć przybliżenia rozwiązania.

Tło

paraboliczny ruch pocisku pokazujący wektor prędkości
Trajektoria z pocisku rozpoczęto od armaty następujące krzywą określono przez zwykłego równania różnicowego, który wywodzi się z drugą zasadę dynamiki Newtona.

Równania różniczkowe zwyczajne (różniczkowe zwyczajne) pojawiają się w wielu kontekstach matematyki i społecznych i przyrodniczych nauk. Matematyczne opisy zmian wykorzystują różniczki i pochodne. Różne różniczki, pochodne i funkcje stają się powiązane za pomocą równań, tak że równanie różniczkowe jest wynikiem opisującym dynamicznie zmieniające się zjawiska, ewolucję i zmienność. Często wielkości są definiowane jako szybkość zmian innych wielkości (na przykład pochodne przemieszczenia względem czasu) lub gradienty wielkości, i tak wchodzą do równań różniczkowych.

Określone dziedziny matematyki obejmują geometrię i mechanikę analityczną . Dziedziny naukowe obejmują znaczną część fizyki i astronomii (mechanika nieba), meteorologii (modelowanie pogody), chemii (wskaźniki reakcji), biologii (choroby zakaźne, zmienność genetyczna), ekologii i modelowania populacji (konkurencja populacji), ekonomii (trendy giełdowe, stopy procentowe oraz zmiany cen równowagi rynkowej).

Wielu matematyków studiowało równania różniczkowe i wniosło wkład w tę dziedzinę, w tym Newton , Leibniz , rodzina Bernoullich , Riccati , Clairaut , d'Alembert i Euler .

Prostym przykładem jest druga zasada dynamiki Newtona — zależność między przemieszczeniem x a czasem t obiektu pod działaniem siły F dana jest równaniem różniczkowym

który ogranicza ruch cząstki o stałej masie m . Ogólnie rzecz biorąc, F jest funkcją pozycji x ( t ) cząstki w czasie t . Nieznana funkcja x ( t ) pojawia się po obu stronach równania różniczkowego i jest oznaczona zapisem F ( x ( t )).

Definicje

W dalszej, nie mówiąc Y być zmienną zależną , a x jest zmienną niezależną , a y = f ( x ) jest nieznana funkcja X . Notacja dla różnicowania różni się w zależności od autora i na której zapis jest najbardziej przydatna dla zadania pod ręką. W tym kontekście notacja Leibniza ( dy/dx, d 2 r/dx 2, …, d n y/dx n) jest bardziej przydatny do różniczkowania i całkowania , podczas gdy notacja Lagrange'a ( y ′, y ′′, …, y ( n ) ) jest bardziej przydatna do przedstawiania pochodnych dowolnego rzędu w sposób zwarty, a notacja Newtona jest często używana w fizyce do przedstawiania pochodnych niskie zamówienie pod względem czasu.

Ogólna definicja

Biorąc pod uwagę F , funkcję x , y i pochodne y . Następnie równanie postaci

nazywany jest wyraźny zwykły równanie różniczkowe o rzędu n .

Bardziej ogólnie, niejawne równanie różniczkowe zwyczajne rzędu n przyjmuje postać:

Istnieją dalsze klasyfikacje:

Autonomiczny
Równanie różniczkowe niezależne od x nazywa się autonomicznym .
Liniowy
Mówi się, że równanie różniczkowe jest liniowe, jeśli F można zapisać jako liniową kombinację pochodnych y :
gdzie a i ( x ) i r  ( x ) są funkcjami ciągłymi x . Funkcja r ( x ) nazywana jest terminem źródłowym , co prowadzi do dwóch dalszych ważnych klasyfikacji:
Jednorodny
Jeśli R ( x ) = 0, a tym samym „automatyczne”, jedno rozwiązanie jest trywialne rozwiązanie , Y = 0 Rozwiązanie równania liniowego jednorodnego jest komplementarny funkcji , oznaczoną tu y c .
Niejednorodny (lub niejednorodny)
Jeśli R ( x ) ≠ 0. dodatkowe rozwiązanie funkcji komplementarny jest zwłaszcza zintegrowany , oznaczoną tu y p .

Ogólne rozwiązanie równania liniowego można zapisać jako y = y c + y p .

Nieliniowy
Równanie różniczkowe, którego nie można zapisać w postaci kombinacji liniowej.

System ODE

Szereg sprzężonych równań różniczkowych tworzy układ równań. Jeśli y jest wektorem, którego elementami są funkcje; Y ( x ) = [ y 1 ( x ), Y 2 ( x ), ..., y m ( x )] i K jest funkcja wektorowa z Y i jego pochodne, a następnie

jest wyraźnie układ równań różniczkowych z rzędu n oraz wymiarów m . W postaci wektora kolumnowego :

Niekoniecznie są one liniowe. Ukryte analogowe:

gdzie 0 = (0, 0, ..., 0) jest wektorem zerowym . W formie macierzowej

W przypadku układu formy , niektóre źródła wymaga także jakobian matrycy być nieosobliwe w celu wywołania tej niejawnego ODE [system]; niejawny system ODE spełniający ten jakobian nieosobliwy warunek może zostać przekształcony w jawny system ODE. W tych samych źródłach niejawne systemy ODE o liczbie pojedynczej jakobianu są nazywane różniczkowymi równaniami algebraicznymi (DAE). To rozróżnienie nie jest tylko terminologią; DAE mają zasadniczo różne cechy i są na ogół bardziej zaangażowane w rozwiązywanie niż (nieosobliwe) systemy ODE. Przypuszczalnie dla dodatkowych pochodnych, macierz Hessego i tak dalej są również przyjmowane jako nieosobliwe zgodnie z tym schematem, chociaż należy zauważyć, że każdy ODE rzędu większego niż jeden może być (i zwykle jest) przepisany jako system ODE pierwszego rzędu , co sprawia, że kryterium osobliwości jakobianu wystarczające, aby ta taksonomia była wyczerpująca we wszystkich rzędach.

Zachowanie systemu ODE można zwizualizować za pomocą portretu fazowego .

Rozwiązania

Biorąc pod uwagę równanie różniczkowe

funkcja u : IRR , gdzie I jest przedziałem, nazywana jest rozwiązaniem lub krzywą całkową dla F , jeśli u jest n -krotnie różniczkowalna na I , oraz

Biorąc pod uwagę dwa rozwiązania U : JRR i V : IRR , U nazywa się rozszerzenie z v Jeśli IJ i

Rozwiązanie, które nie ma rozszerzenia nazywamy rozwiązaniem maksymalnym . Rozwiązanie zdefiniowane na całym R nazywa się rozwiązaniem globalnym .

Ogólne rozwiązanie o n równania p rzędu jest roztworem zawierającym n dowolnych niezależnych stała całkowania . Szczególności rozwiązanie wynika z rozwiązania ogólnego ustawiając stałe do poszczególnych wartości, często wybierane do wypełnienia zestawu „ warunków początkowych lub warunki brzegowe ”. Rozwiązanie osobliwe to rozwiązanie, którego nie można uzyskać przez przypisanie określonych wartości do dowolnych stałych w rozwiązaniu ogólnym.

W kontekście liniowego ODE terminologia szczególne rozwiązanie może również odnosić się do dowolnego rozwiązania ODE (niekoniecznie spełniającego warunki początkowe), które jest następnie dodawane do rozwiązania jednorodnego (ogólne rozwiązanie jednorodnego ODE), które następnie tworzy ogólne rozwiązanie oryginalnego ODE. Jest to terminologia użyta w tym artykule w sekcji o metodach zgadywania , często używana przy omawianiu metody nieokreślonych współczynników i zmienności parametrów .

Teorie

Pojedyncze rozwiązania

Teoria osobliwych rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych była przedmiotem badań od czasów Leibniza, ale dopiero od połowy XIX wieku poświęcono jej szczególną uwagę. Cenną, ale mało znaną pracą na ten temat jest praca Houtain (1854). Darboux (od 1873) był liderem w teorii, a w geometrycznej interpretacji tych rozwiązań otworzył pole, na którym pracowali różni pisarze, zwłaszcza Casorati i Cayley . Temu drugiemu należy zaliczyć (1872) teorię osobliwych rozwiązań równań różniczkowych pierwszego rzędu przyjętą około 1900 roku.

Redukcja do kwadratur

Prymitywna próba radzenia sobie z równaniami różniczkowymi miała na celu sprowadzenie do kwadratur . Tak jak nadzieją osiemnastowiecznych algebraistów było znalezienie metody rozwiązywania ogólnego równania n- tego stopnia, tak i analityków było nadzieją na znalezienie ogólnej metody całkowania dowolnego równania różniczkowego. Gauss (1799) wykazał jednak, że złożone równania różniczkowe wymagają liczb zespolonych . Stąd analitycy zaczęli zastępować badanie funkcji, otwierając w ten sposób nowe i żyzne pole. Cauchy jako pierwszy docenił wagę tego poglądu. Odtąd prawdziwym pytaniem nie było już, czy możliwe jest rozwiązanie za pomocą znanych funkcji lub ich całek, ale czy dane równanie różniczkowe wystarcza do określenia funkcji zmiennej niezależnej lub zmiennych niezależnych, a jeśli tak, to jakie są charakterystyczne właściwości.

Teoria Fuchsa

Dwa pamiętniki Fuchsa zainspirowały nowatorskie podejście, następnie rozwinięte przez Thomé i Frobeniusa . Collet był wybitnym współpracownikiem począwszy od 1869 roku. Jego metoda całkowania systemu nieliniowego została przekazana Bertrandowi w 1868 roku. Clebsch (1873) zaatakował teorię wzdłuż linii równoległych do tych w jego teorii całek abelowych . Ponieważ tę ostatnią można sklasyfikować zgodnie z właściwościami krzywej podstawowej, która pozostaje niezmieniona w przypadku przekształcenia wymiernego, Clebsch zaproponował klasyfikację funkcji transcendentnych określonych równaniami różniczkowymi zgodnie z niezmiennymi właściwościami odpowiednich powierzchni f = 0 w ramach wymiernego -jeden przekształcenia.

Teoria kłamstwa

Od 1870 r. prace Sophusa Lie kładły teorię równań różniczkowych na lepszych podstawach. Wykazał, że teorie integracji starszych matematyków można, używając grup Liego , odnieść do wspólnego źródła, a równania różniczkowe zwyczajne, które dopuszczają te same nieskończenie małe przekształcenia, stwarzają porównywalne trudności w integracji. Podkreślał także temat przeobrażeń kontaktu .

Grupowa teoria równań różniczkowych Liego została poświadczona, a mianowicie: (1) że ujednolica wiele doraźnych metod znanych z rozwiązywania równań różniczkowych oraz (2) że dostarcza potężnych nowych sposobów znajdowania rozwiązań. Teoria ma zastosowanie zarówno do równań różniczkowych zwyczajnych, jak i cząstkowych.

Ogólne podejście do rozwiązania wykorzystuje właściwość symetrii równań różniczkowych, ciągłe, nieskończenie małe przekształcenia rozwiązań do rozwiązań ( teoria Liego ). Teoria grup ciągłych , algebry Liego i geometria różniczkowa służą do zrozumienia struktury liniowych i nieliniowych (częściowych) równań różniczkowych do generowania równań całkowalnych, do znajdowania par Laxa , operatorów rekurencji, przekształcenia Bäcklunda i wreszcie znajdowania dokładnych rozwiązań analitycznych dla DE .

Metody symetrii zostały zastosowane do równań różniczkowych, które pojawiają się w matematyce, fizyce, inżynierii i innych dyscyplinach.

Teoria Sturma-Liouville'a

Teoria Sturma-Liouville'a jest teorią specjalnego typu liniowego równania różniczkowego zwyczajnego drugiego rzędu. Ich rozwiązania opierają się na wartościach własnych i odpowiadających im funkcjach własnych operatorów liniowych zdefiniowanych za pomocą jednorodnych równań liniowych drugiego rzędu . Problemy są określane jako Sturm-Liouville Problems (SLP) i są nazwane na cześć JCF Sturma i J. Liouville'a , którzy badali je w połowie XIX wieku. SLP mają nieskończoną liczbę wartości własnych, a odpowiadające im funkcje własne tworzą kompletny, ortogonalny zbiór, który umożliwia rozszerzanie ortogonalne. Jest to kluczowa idea w matematyce stosowanej, fizyce i inżynierii. SLP są również przydatne w analizie niektórych równań różniczkowych cząstkowych.

Istnienie i niepowtarzalność rozwiązań

Istnieje kilka twierdzeń, które ustalają istnienie i niepowtarzalność rozwiązań problemów z wartością początkową dotyczących ODE zarówno lokalnie, jak i globalnie. Dwa główne twierdzenia to

Twierdzenie Założenie Wniosek
Twierdzenie o istnieniu Peano F ciągły tylko lokalna egzystencja
Twierdzenie Picarda-Lindelöfa F Lipschitz ciągły lokalna egzystencja i wyjątkowość

W swojej podstawowej formie oba te twierdzenia gwarantują jedynie wyniki lokalne, chociaż to drugie można rozszerzyć, aby dać wynik globalny, na przykład, jeśli spełnione są warunki nierówności Grönwalla .

Ponadto twierdzenia o jednoznaczności, takie jak powyższe Lipschitza, nie mają zastosowania do systemów DAE , które mogą mieć wiele rozwiązań wynikających z ich (nieliniowej) części algebraicznej.

Twierdzenie o istnieniu lokalnym i jedyności uproszczone

Twierdzenie można sformułować po prostu w następujący sposób. Dla zadania równania i wartości początkowej:

jeśli F i ∂ F /∂ y są ciągłe w zamkniętym prostokącie

w płaszczyźnie xy , gdzie a i brzeczywiste (symbolicznie: a, b ∈ ℝ) a × oznacza iloczyn kartezjański , nawiasy kwadratowe oznaczają przedziały domknięte , wtedy jest przedział

jakiegoś h ∈ ℝ gdzie Rozwiązaniem powyższego równania i problemu wartość początkowa może być znaleziony. Oznacza to, że istnieje rozwiązanie i jest wyjątkowe. Ponieważ nie ma ograniczeń co do liniowego F , dotyczy to równań nieliniowych, które przyjmują postać F ( x, y ) i można je również zastosować do układów równań.

Globalna wyjątkowość i maksymalna domena rozwiązania

Gdy spełnione są hipotezy twierdzenia Picarda-Lindelöfa, wówczas lokalne istnienie i jednoznaczność można rozszerzyć na wynik globalny. Dokładniej:

Dla każdego warunku początkowego ( x 0 , y 0 ) istnieje unikalny maksymalny (prawdopodobnie nieskończony) przedział otwarcia

tak, że każde rozwiązanie, które spełnia ten warunek początkowy, jest ograniczeniem rozwiązania spełniającego ten warunek początkowy z domeną .

W takim przypadku istnieją dokładnie dwie możliwości

  • wybuch w skończonym czasie:
  • pozostawia domenę definicji:

gdzie Ω jest zbiorem otwartym, w którym zdefiniowano F i jest jego granicą.

Zauważ, że maksymalna domena rozwiązania

  • jest zawsze interwałem (aby mieć niepowtarzalność)
  • może być mniejszy niż
  • może zależeć od konkretnego wyboru ( x 0 , y 0 ).
Przykład.

Oznacza to, że F ( x, y ) = y 2 , czyli C 1 , a zatem lokalnie ciągła Lipschitza, spełniająca twierdzenie Picarda-Lindelöfa.

Nawet w tak prostym otoczeniu maksymalna domena rozwiązania nie może być wszystkim, ponieważ rozwiązaniem jest

który ma maksymalną domenę:

Pokazuje to wyraźnie, że maksymalny odstęp może zależeć od warunków początkowych. Dziedzinę y można by uznać za byt, ale prowadziłoby to do dziedziny, która nie jest interwałem, tak że strona przeciwna do warunku początkowego byłaby odłączona od warunku początkowego, a zatem nie byłaby przez niego jednoznacznie określona.

Maksymalna domena nie wynika z tego, że

co jest jednym z dwóch możliwych przypadków zgodnie z powyższym twierdzeniem.

Redukcja zamówienia

Równania różniczkowe można zwykle łatwiej rozwiązać, jeśli można zmniejszyć kolejność równania.

Redukcja do systemu pierwszego rzędu

Dowolne jawne równanie różniczkowe rzędu n ,

można zapisać jako układ n równań różniczkowych pierwszego rzędu definiując nową rodzinę nieznanych funkcji

dla i = 1, 2,..., n . N wymiarową układ pierwszego rzędu w połączeniu równań różniczkowych następnie

bardziej zwięźle w notacji wektorowej:

gdzie

Podsumowanie dokładnych rozwiązań

Niektóre równania różniczkowe mają rozwiązania, które można zapisać w postaci dokładnej i zamkniętej. Podano tutaj kilka ważnych klas.

W poniższej tabeli P ( x ), Q ( x ), P ( y ), Q ( y ) i M ( x , y ), N ( x , y ) są dowolnymi całkowalnymi funkcjami x , y i b i c są rzeczywiste dane stałe i C 1 , C, 2 , ... są dowolne stałe ( złożone w ogóle). Równania różniczkowe występują w swoich równoważnych i alternatywnych formach, które prowadzą do rozwiązania przez całkowanie.

W rozwiązaniach całkowych λ i ε są zmiennymi obojętnymi całkowania (kontinuum analogów indeksów w sumowaniu ), a zapis ∫ x F ( λ oznacza po prostu całkowanie F ( λ ) względem λ , a następnie po całkowaniu podstawiamy λ = x , bez dodawania stałych (określonych wyraźnie).

Rozdzielne równania

Równanie różniczkowe Metoda rozwiązania Ogólne rozwiązanie
Pierwszego rzędu, możliwe do rozdzielenia w x i y (przypadek ogólny, patrz poniżej dla przypadków specjalnych)

Separacja zmiennych (podziel przez P 2 Q 1 ).
Pierwszego rzędu, oddzielone w x

Integracja bezpośrednia.
Pierwszego rzędu, autonomiczne, rozdzielne w y

Separacja zmiennych (podziel przez F ).
Pierwszego rzędu, oddzielone w x i y

Integruj przez cały czas.

Ogólne równania pierwszego rzędu

Równanie różniczkowe Metoda rozwiązania Ogólne rozwiązanie
Pierwszego rzędu, jednorodne

Ustaw y = ux , a następnie rozwiąż rozdzielając zmienne w u i x .
Pierwszego rzędu, rozłączne

Rozdzielenie zmiennych (podziel przez xy ).

Jeśli N = M , rozwiązaniem jest xy = C .

Dokładna różnica pierwszego rzędu

gdzie

Integruj przez cały czas.

gdzie Y ( y ) i X ( x ) są funkcjami z całek, a nie wartości stałych, które są ustawione tak, aby końcowa funkcja F ( x,y ) spełniała początkowe równanie.

Niedokładna różnica pierwszego rzędu

gdzie

Współczynnik całkowania μ ( x, y ) spełniający

Jeśli μ ( x , y ) można znaleźć:

Ogólne równania drugiego rzędu

Równanie różniczkowe Metoda rozwiązania Ogólne rozwiązanie
Drugiego rzędu, autonomiczny

Pomnóż obie strony równania przez 2 dy / dx , podstaw , a następnie całkuj dwukrotnie.

Liniowy do równań n- tego rzędu

Równanie różniczkowe Metoda rozwiązania Ogólne rozwiązanie
Współczynniki funkcji pierwszego rzędu, liniowe, niejednorodne

Czynnik całkujący:
Współczynniki drugiego rzędu, liniowe, niejednorodne, funkcyjne

Czynnik całkujący:
Współczynniki drugiego rzędu, liniowe, niejednorodne, stałe

Komplementarną funkcję Y C : Zakładamy, R c = e a x , zastępczych i rozwiązania wielomianem α, aby znaleźć się liniowo niezależne funkcje .

Całka szczegółowa y p : generalnie metoda zmienności parametrów , chociaż dla bardzo prostej r ( x ) kontrola może działać.

Jeżeli b 2 > 4 c , to

Jeśli b 2 = 4 c , to

Jeżeli b 2 < 4 c , to

n -tego rzędu, liniowe, niejednorodne, stałe współczynniki

Komplementarną funkcję Y C : Zakładamy, R c = e a x , zastępczych i rozwiązania wielomianem α, aby znaleźć się liniowo niezależne funkcje .

Całka szczegółowa y p : generalnie metoda zmienności parametrów , chociaż dla bardzo prostej r ( x ) kontrola może działać.

Od alfa j są roztwory wielomianu o stopniu n : , a następnie:

dla α j wszystko inne,

dla każdego pierwiastka α j powtórzonego k j razy,

dla pewnego kompleksu α j , to ustawienie α = χ j + j , oraz użycie wzoru Eulera pozwala na zapisanie niektórych terminów w poprzednich wynikach w postaci

gdzie ϕ j jest dowolną stałą (przesunięcie fazowe).

Metoda zgadywania

Kiedy wszystkie inne metody rozwiązywania ODE zawodzą lub w przypadkach, gdy mamy pewną intuicję, jak może wyglądać rozwiązanie DE, czasami można rozwiązać DE po prostu odgadując rozwiązanie i sprawdzając, czy jest poprawne. Aby użyć tej metody, po prostu zgadujemy rozwiązanie równania różniczkowego, a następnie wstawiamy rozwiązanie do równania różniczkowego, aby sprawdzić, czy jest ono zgodne z równaniem. Jeśli tak, to mamy konkretne rozwiązanie DE, w przeciwnym razie zaczynamy od nowa i próbujemy zgadnąć. Na przykład możemy zgadywać, że rozwiązanie DE ma postać: ponieważ jest to bardzo powszechne rozwiązanie, które fizycznie zachowuje się w sposób sinusoidalny.

W przypadku pierwszego rzędu ODE, który jest niejednorodny, musimy najpierw znaleźć rozwiązanie DE dla jednorodnej części DE, inaczej zwanej równaniem charakterystycznym, a następnie znaleźć rozwiązanie całego niejednorodnego równania przez zgadywanie . Na koniec dodajemy oba te rozwiązania razem, aby uzyskać całkowite rozwiązanie ODE, czyli:

Oprogramowanie do rozwiązywania ODE

  • Maxima , system algebry komputerowej o otwartym kodzie źródłowym .
  • COPASI , darmowy pakiet oprogramowania ( licencja artystyczna 2.0 ) do integracji i analizy ODE.
  • MATLAB , aplikacja do obliczeń technicznych (MAtrix LABoratory)
  • GNU Octave , język wysokiego poziomu, przeznaczony głównie do obliczeń numerycznych.
  • Scilab , aplikacja open source do obliczeń numerycznych.
  • Maple , autorska aplikacja do obliczeń symbolicznych.
  • Mathematica , autorska aplikacja przeznaczona głównie do obliczeń symbolicznych.
  • SymPy , pakiet Pythona, który może symbolicznie rozwiązywać ODE
  • Julia (język programowania) , język wysokiego poziomu przeznaczony głównie do obliczeń numerycznych.
  • SageMath , aplikacja typu open source, która używa składni podobnej do Pythona z szerokim zakresem możliwości obejmujących kilka gałęzi matematyki.
  • SciPy , pakiet Pythona zawierający moduł integracji ODE.
  • Chebfun , pakiet open-source, napisany w MATLAB , do obliczeń z funkcjami z 15-cyfrową dokładnością.
  • GNU R , środowisko obliczeniowe typu open source przeznaczone głównie do statystyk, które zawiera pakiety do rozwiązywania ODE.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

Zewnętrzne linki