Dzielenie przez zero - Division by zero

W matematyce , podział przez zero jest podział gdzie dzielnik (mianownik) jest zerowa . Taki podział można formalnie wyrazić jako gdzie a jest dywidendą (licznikiem). W zwykłej arytmetyce wyrażenie to nie ma znaczenia, ponieważ nie ma liczby, która pomnożona przez 0 daje a (zakładając ), a więc dzielenie przez zero jest nieokreślone . Ponieważ dowolna liczba pomnożona przez zero jest równa zero, wyrażenie jest również niezdefiniowane; gdy jest formą granicy , jest formą nieokreśloną${\textstyle {\tfrac {a}{0}}}$${\textstyle a\neq 0}$${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$. Historycznie, jedno z najwcześniejszych zarejestrowanych odniesień do matematycznej niemożności przypisania wartości jest zawarte w anglo-irlandzkim filozofie George'a Berkeley'a w krytyce rachunku nieskończenie małej w 1734 roku w The Analyst ("duchy ilości odległych"). ${\textstyle {\tfrac {a}{0}}}$

Istnieją konstrukcje, w których matematyczne jest zdefiniowany dla niektórych przykład w sferze Riemanna (w modelu przedłużonej płaszczyźnie zespolonej ) i Projectively wydłużone prostej ; jednak takie struktury nie spełniają wszystkich zwykłych zasad arytmetyki ( aksjomaty pola ). ${\textstyle {\tfrac {a}{0}}}$

W informatyce , wykorzystując błąd programu może wynikać z próby dzielenia przez zero. W zależności od środowiska programistycznego i rodzaju liczby (np. zmiennoprzecinkowa , całkowita ) dzielonej przez zero może generować nieskończoność dodatnią lub ujemną według standardu zmiennoprzecinkowego IEEE 754 , generować wyjątek , generować komunikat o błędzie , powodować zakończyć, spowodować specjalną wartość niebędącą liczbą lub awarię .

Arytmetyka elementarna

Kiedy podział jest wyjaśniany na podstawowym poziomie arytmetycznym , często uważa się go za dzielenie zbioru obiektów na równe części. Jako przykład rozważ posiadanie dziesięciu ciasteczek, a te ciasteczka mają być równomiernie rozprowadzane wśród pięciu osób przy stole. Każda osoba otrzymywała ciasteczka. Podobnie, jeśli przy stole jest dziesięć ciasteczek i tylko jedna osoba przy stole, ta osoba otrzyma ciasteczka. ${\ Displaystyle {\ tfrac {10} {5}} = 2}$${\displaystyle {\tfrac {10}{1}}=10}$

Tak więc, dzieląc przez zero, ile ciasteczek otrzymuje każda osoba, gdy 10 ciasteczek jest równomiernie rozłożonych pomiędzy 0 osób przy stole? W pytaniu można wskazać pewne słowa, aby podkreślić problem. Problemem z tym pytaniem jest „kiedy”. Nie ma sposobu, aby nikomu rozesłać 10 ciasteczek. Tak więc , przynajmniej w elementarnej arytmetyce, mówi się, że jest albo bez znaczenia, albo niezdefiniowany. ${\displaystyle {\tfrac {10}{0}}}$

Jeśli jest, powiedzmy, 5 ciasteczek i 2 osoby, problem polega na „równomiernym rozłożeniu”. W każdym całkowitym podziale 5 rzeczy na 2 części albo jedna z części partycji będzie miała więcej elementów niż druga, albo będzie reszta (zapisana jako5/2= 2 r1). Albo problem z 5 ciasteczkami i 2 osobami można rozwiązać, przecinając jedno ciastko na pół, co wprowadza ideę frakcji (5/2= 2+1/2) . Z drugiej strony problemu z 5 ciasteczkami i 0 osobami nie można rozwiązać w żaden sposób, który zachowuje znaczenie „podziałów”.

W algebrze elementarnej innym sposobem patrzenia na dzielenie przez zero jest to, że dzielenie zawsze można sprawdzić za pomocą mnożenia. Biorąc pod uwagę10/0przykład powyżej, ustawienie x =10/0, jeśli x równa się dziesięć podzielone przez zero, to x razy zero równa się dziesięć, ale nie ma x, które po pomnożeniu przez zero daje dziesięć (lub dowolną liczbę inną niż zero). Jeśli zamiast x =10/0, x =0/0, to każdy x spełnia pytanie 'jaka liczba x pomnożona przez zero daje zero?'

Wczesne próby

Brāhmasphuṭasiddhānta z Brahmagupta (ok. 598-668), to najwcześniejszy tekst traktować zera jako liczby w sobie i zdefiniować operacje związane zero. Autor nie potrafił wytłumaczyć dzielenia przez zero w swoich tekstach: można łatwo udowodnić, że jego definicja prowadzi do absurdów algebraicznych. Według Brahmagupty

Dodatnia lub ujemna liczba po podzieleniu przez zero to ułamek, w którym zero jest mianownikiem. Zero podzielone przez liczbę ujemną lub dodatnią wynosi zero lub jest wyrażone jako ułamek z zerem jako licznikiem i skończoną ilością jako mianownikiem. Zero podzielone przez zero to zero.

W 830 Mahāvira bezskutecznie próbował naprawić błąd Brahmagupty w swojej książce w Ganita Sara Samgraha : „Liczba pozostaje niezmieniona po podzieleniu przez zero”.

Algebra

Cztery podstawowe operacje – dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie – stosowane do liczb całkowitych (dodatnich liczb całkowitych), z pewnymi ograniczeniami, w elementarnej arytmetyce służą jako podstawa do wspierania rozszerzenia dziedziny liczb, do której się odnoszą. Na przykład, aby można było odjąć dowolną liczbę całkowitą od innej, sfera liczb musi zostać rozszerzona na cały zbiór liczb całkowitych w celu włączenia liczb całkowitych ujemnych. Podobnie, aby wspierać dzielenie dowolnej liczby całkowitej przez jakąkolwiek inną, sfera liczb musi się rozszerzyć do liczb wymiernych . Podczas tej stopniowej rozbudowy systemu liczbowego zwraca się uwagę na to, aby „operacje rozszerzone”, stosowane do starszych liczb, nie dawały różnych wyników. Mówiąc ogólnie, ponieważ dzielenie przez zero nie ma znaczenia (jest nieokreślone ) w ustawieniu liczb całkowitych, pozostaje to prawdą, ponieważ ustawienie rozszerza się na liczby rzeczywiste lub nawet zespolone .

W miarę rozszerzania się sfery liczb, na których można zastosować te operacje, zmienia się również sposób postrzegania tych operacji. Na przykład w dziedzinie liczb całkowitych odejmowanie nie jest już uważane za operację podstawową, ponieważ można je zastąpić dodawaniem liczb ze znakiem. Podobnie, gdy dziedzina liczb rozszerza się na liczby wymierne, dzielenie zastępuje się mnożeniem przez pewne liczby wymierne. Zgodnie z tą zmianą punktu widzenia, pytanie „Dlaczego nie możemy dzielić przez zero?” staje się „Dlaczego liczba wymierna nie może mieć zerowego mianownika?”. Precyzyjna odpowiedź na to zrewidowane pytanie wymaga dokładnego zbadania definicji liczb wymiernych.

We współczesnym podejściu do konstruowania ciała liczb rzeczywistych liczby wymierne pojawiają się jako etap pośredni w rozwoju opartym na teorii mnogości. Najpierw liczby naturalne (włącznie z zerem) są ustalane na podstawie aksjomatycznej, takiej jak system aksjomatów Peano, a następnie rozszerza się to do pierścienia liczb całkowitych . Następnym krokiem jest zdefiniowanie liczb wymiernych, pamiętając, że należy to zrobić tylko za pomocą ustalonych już zbiorów i operacji, czyli dodawania, mnożenia i liczb całkowitych. Zaczynając od zbioru uporządkowanych par liczb całkowitych {( a , b )} z b ≠ 0 , zdefiniuj relację binarną na tym zbiorze przez ( a , b ) ≃ ( c , d ) wtedy i tylko wtedy, gdy ad = bc . Wykazano, że ta relacja jest relacją równoważności, a jej klasy równoważności są następnie definiowane jako liczby wymierne. To w formalnym dowodzie, że ta relacja jest relacją równoważności, wymagany jest wymóg, aby druga współrzędna nie była zerem (do weryfikacji przechodniości ).

Powyższe wyjaśnienie może być zbyt abstrakcyjne i techniczne dla wielu celów, ale jeśli założymy istnienie i własności liczb wymiernych, jak to zwykle robi się w elementarnej matematyce, „powód”, dla którego dzielenie przez zero jest niedozwolone, jest ukryty. Niemniej jednak w takim przypadku można podać (nie rygorystyczne) uzasadnienie.

Wynika to z własności systemu liczbowego, którego używamy (czyli liczb całkowitych, wymiernych, liczb rzeczywistych itp.), jeśli b ≠ 0 to równaniea/b= c jest równoważne a = b × c . Przy założeniu, żea/0jest liczbą c , to musi być tak, że a = 0 × c = 0 . Jednak pojedyncza liczba c musiałaby być wtedy określona równaniem 0 = 0 × c , ale każda liczba spełnia to równanie, więc nie możemy przypisać wartości liczbowej do0/0.

Dzielenie jako odwrotność mnożenia

Koncepcja, która wyjaśnia dzielenie w algebrze, polega na tym, że jest to odwrotność mnożenia. Na przykład,

ponieważ 2 jest wartością, dla której nieznana ilość w jest prawdziwy. Ale wyrażenie wymaga znalezienia wartości dla nieznanej wielkości w Ale dowolna liczba pomnożona przez 0 to 0, więc nie ma liczby, która rozwiązuje równanie.

Ekspresja

wymaga znalezienia wartości dla nieznanej wielkości w Ponownie, każda liczba pomnożona przez 0 jest równa 0, więc tym razem każda liczba rozwiązuje równanie zamiast jednej liczby, którą można przyjąć jako wartość0/0.

Ogólnie rzecz biorąc, nie można przypisać pojedynczej wartości do ułamka, którego mianownik wynosi 0, więc wartość pozostaje niezdefiniowana.

Błędy

Przekonującym powodem, dla którego nie zezwala się na dzielenie przez zero, jest to, że gdyby było to dozwolone, powstałoby wiele absurdalnych wyników (tj. błędów ). Podczas pracy z wielkościami liczbowymi łatwo jest określić, kiedy dokonywana jest nielegalna próba dzielenia przez zero. Rozważmy na przykład następujące obliczenia.

Przy założeniach:

prawdziwe jest następujące:

Dzielenie obu stron przez zero daje:

W uproszczeniu daje to:

Błędem jest tutaj założenie, że dzielenie 0 przez 0 jest prawidłową operacją o takich samych właściwościach, jak dzielenie przez dowolną inną liczbę.

Jednak możliwe jest ukrycie dzielenia przez zero w argumencie algebraicznym , co prowadzi do nieważnych dowodów , na przykład 1 = 2, takich jak:

Ukryty dzielenie przez zero występuje, ponieważ x − 1 = 0, gdy x = 1 .

Analiza

Rozszerzona linia rzeczywista

Na pierwszy rzut oka wydaje się możliwe określenie / 0 rozważając granicę z pomocą / b jako b zbliża 0.

Dla dowolnego dodatniego a granica z prawej strony to

jednak granica od lewej to

a więc jest niezdefiniowany (granica jest również niezdefiniowana dla ujemnego a ). ${\ Displaystyle \ lim _ {b \ do 0} {a \ nad b}}$

Co więcej, nie ma oczywistej definicji 0/0, którą można by wyprowadzić z rozważenia granicy stosunku. Limit

nie istnieje. Granice formy w którym zarówno f ( x ), jak i g ( x ) zbliżają się do 0, gdy x zbliżają się do 0, mogą być równe dowolnej wartości rzeczywistej lub nieskończonej, albo mogą w ogóle nie istnieć, w zależności od poszczególnych funkcji f i g .

Rozważmy na przykład:

Początkowo wydaje się to być nieokreślone. Jednakże:

więc granica istnieje i jest równa . ${\displaystyle 2}$

Te i inne podobne fakty pokazują, że wyrażenie nie może być dobrze zdefiniowane jako granica. ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

Operacje formalne

Formalny kalkulacja jest przeprowadzana przy użyciu zasad arytmetyki, bez względu na to, czy wynik obliczeń jest dobrze zdefiniowana. Tak więc, jest to czasami warto pomyśleć o / 0, gdzie  ≠ 0, jako . Ta nieskończoność może być dodatnia, ujemna lub bez znaku, w zależności od kontekstu. Na przykład formalnie: ${\displaystyle \infty}$

Jak w przypadku każdego formalnego obliczenia, wyniki mogą być nieważne. Logicznie rygorystyczne (w przeciwieństwie do formalnego) obliczenie zapewniłoby tylko, że

Ponieważ granice jednostronne są różne, granica dwustronna nie istnieje w standardowym układzie liczb rzeczywistych. Również ułamek 1/0 pozostaje niezdefiniowany w rozszerzonej prostej rzeczywistej , dlatego i

są bezsensownymi wyrażeniami .

Projekcyjnie rozszerzona linia rzeczywista

Zestaw to projekcyjnie przedłużona linia rzeczywista , która jest jednopunktowym zagęszczeniem linii rzeczywistej. Tutaj oznacza nieskończoność bez znaku , nieskończoną ilość, która nie jest ani dodatnia, ani ujemna. Ta ilość spełnia , co w tym kontekście jest konieczne. W tej strukturze można zdefiniować niezerowe a , a gdy a nie jest . Jest to naturalny sposób, aby zobaczyć zakres funkcji stycznej i funkcji cotangens w trygonometrii : tan( x ) zbliża się do pojedynczego punktu w nieskończoności, gdy x zbliża się albo +${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ filiżanka \ {\ infty \}}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle -\infty =\infty}$${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty}$${\ Displaystyle {\ Frac {a} {\ infty}} = 0}$${\displaystyle \infty}$π/2lub −π/2 z obu stron.

Ta definicja prowadzi do wielu interesujących wyników. Jednak uzyskana struktura algebraiczna nie jest pole , i nie należy się spodziewać, aby zachowywać się jak jeden. Na przykład jest niezdefiniowane w tym przedłużeniu rzeczywistej linii. ${\displaystyle \infty +\infty}$

Kula Riemanna

Zbiorem jest sfera Riemanna , która ma duże znaczenie w analizie złożonej . Tutaj również jest nieskończoność bez znaku – lub, jak często się to nazywa w tym kontekście, punkt w nieskończoności . Zestaw ten jest analogiczny do projectively rozszerzonego prostej rzeczywistej, chyba że jest ona oparta na polu z liczb zespolonych . W sferze Riemanna i , ale i są nieokreślone. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ filiżanka \ {\ infty \}}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle {\frac{1}{0}}=\infty}$${\displaystyle {\frac{1}{\infty}}=0}$${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$${\displaystyle 0\razy \infty}$

Rozszerzona nieujemna linia liczb rzeczywistych

Ujemne liczby rzeczywiste można odrzucić i wprowadzić nieskończoność, prowadząc do zbioru [0, ∞] , gdzie dzielenie przez zero można naturalnie zdefiniować jakoa/0= ∞ dla dodatniego  a . Chociaż sprawia to, że dzielenie jest definiowane w większej liczbie przypadków niż zwykle, odejmowanie pozostaje niezdefiniowane w wielu przypadkach, ponieważ nie ma liczb ujemnych.

Wyższa matematyka

Chociaż dzielenia przez zero nie da się sensownie zdefiniować za pomocą liczb rzeczywistych i całkowitych, możliwe jest konsekwentne definiowanie go lub podobnych operacji w innych strukturach matematycznych.

Analiza niestandardowa

W liczbach hiperrzeczywistych i liczbach surrealistycznych dzielenie przez zero jest nadal niemożliwe, ale dzielenie przez niezerowe nieskończenie małe jest możliwe.

Teoria dystrybucji

W teorii dystrybucji można rozszerzyć funkcję na rozkład na całej przestrzeni liczb rzeczywistych (w efekcie wykorzystując wartości główne Cauchy'ego ). Nie ma jednak sensu prosić o „wartość” tego rozkładu przy x  = 0; wyrafinowana odpowiedź odnosi się do pojedynczego wsparcia dystrybucji. ${\textstyle {\frac {1}{x}}}$

Algebra liniowa

W matrycy Algebra (lub Algebra liniowego w ogóle), można określić pseudo-Division, ustawiając się / b  =  ab ⁺ , w którym b ⁺ reprezentuje pseudoinverse z b . Można udowodnić, że jeśli b ⁻¹ istnieje, to b ⁺ = b ⁻¹ . Jeśli b jest równe 0, to b ⁺ = 0.

Algebra abstrakcyjna

Każdy system liczbowy, który tworzy przemienny pierścień — na przykład liczby całkowite, liczby rzeczywiste i liczby zespolone — można rozszerzyć do koła, w którym dzielenie przez zero jest zawsze możliwe; jednak w takim przypadku „podział” ma nieco inne znaczenie.

Koncepcje stosowane w standardowej arytmetyce są podobne do tych w bardziej ogólnych strukturach algebraicznych, takich jak pierścienie i pola . W polu każdy niezerowy element jest odwracalny przy mnożeniu; jak wyżej, dzielenie stwarza problemy tylko przy próbie dzielenia przez zero. Odnosi się to również do pola skośnego (które z tego powodu nazywa się pierścieniem podziału ). Jednak w innych pierścieniach dzielenie przez elementy niezerowe również może stwarzać problemy. Na przykład pierścień Z /6 Z liczb całkowitych mod 6. Znaczenie wyrażenia powinno być rozwiązaniem x równania . Ale w pierścieniu Z /6 Z , 2 jest dzielnikiem zera . To równanie ma dwa różne rozwiązania, x = 1 i x = 4 , więc wyrażenie jest niezdefiniowane . ${\textstyle {\frac {2}{2}}}$${\displaystyle 2x=2}$${\textstyle {\frac {2}{2}}}$

W teorii pola wyrażenie jest tylko skrótem dla wyrażenia formalnego ab ^-1 , gdzie b ^-1 jest odwrotnością multiplikatywną b . Ponieważ aksjomaty pola gwarantują istnienie takich odwrotności tylko dla elementów niezerowych, wyrażenie to nie ma znaczenia, gdy b wynosi zero. Współczesne teksty, które definiują pola jako szczególny rodzaj pierścienia, zawierają aksjomat 0 ≠ 1 dla pól (lub jego odpowiednik) tak, że pierścień zerowy jest wykluczony z bycia ciałem. W pierścieniu zerowym możliwe jest dzielenie przez zero, co pokazuje, że inne aksjomaty pola nie są wystarczające, aby wykluczyć dzielenie przez zero w polu. ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$

Arytmetyka komputerowa

Standardem IEEE zmiennoprzecinkowych , obsługiwana przez niemal wszystkich nowoczesnych jednostek zmiennoprzecinkowych określa, że każdy zmiennoprzecinkowych operacja arytmetyczna, w tym dzielenie przez zero, ma dobrze zdefiniowanego rezultatu. Standard obsługuje znak zero , a także nieskończoność i NaN ( nie liczbę ). Istnieją dwa zera: +0 ( dodatnie zero ) i -0 ( ujemne zero ), co eliminuje wszelkie niejasności podczas dzielenia. W arytmetyce IEEE 754 a  ÷ +0 oznacza dodatnią nieskończoność, gdy a jest dodatnie, ujemną nieskończoność, gdy a jest ujemne, a NaN, gdy a  = ±0. Zamiast tego znaki nieskończoności zmieniają się podczas dzielenia przez -0 .

Uzasadnieniem dla tej definicji jest zachowanie znaku wyniku w przypadku niedomiaru arytmetycznego . Na przykład w obliczeniu o pojedynczej precyzji 1/( x / 2), gdzie x = ±2 ^-149 , obliczenie x /2 jest niedomiarowe i daje ±0 z dopasowaniem znaku x , a wynik będzie ±∞ z dopasowaniem znaku x . Znak będzie pasował do dokładnego wyniku ±2 ¹⁵⁰ , ale wielkość dokładnego wyniku jest zbyt duża, aby go przedstawić, więc nieskończoność jest używana do wskazania przepełnienia.

Dzielenie liczb całkowitych przez zero jest zwykle obsługiwane inaczej niż w przypadku liczby zmiennoprzecinkowej, ponieważ nie ma reprezentacji liczb całkowitych dla wyniku. Niektóre procesory generują wyjątek, gdy podjęto próbę podzielenia liczby całkowitej przez zero, chociaż inne po prostu kontynuują i generują błędny wynik dzielenia. Wynik zależy od tego, jak zaimplementowano dzielenie i może być zerem lub czasami największą możliwą liczbą całkowitą.

Z powodu niewłaściwych wyników algebraicznych przypisywania dowolnej wartości do dzielenia przez zero, wiele języków programowania komputerowego (w tym używanych przez kalkulatory ) wyraźnie zabrania wykonywania operacji i może przedwcześnie zatrzymać program, który ją próbuje, czasami zgłaszając komunikat „Podziel przez zero”. " błąd. W takich przypadkach, jeśli wymagane jest jakieś specjalne zachowanie przy dzieleniu przez zero, warunek musi zostać jawnie przetestowany (na przykład przy użyciu instrukcji if ). Niektóre programy (szczególnie te, które używają arytmetyki stałoprzecinkowej, gdzie nie jest dostępny dedykowany sprzęt zmiennoprzecinkowy) będą używać zachowania podobnego do standardu IEEE, używając dużych liczb dodatnich i ujemnych do przybliżania nieskończoności. W niektórych językach programowania próba dzielenia przez zero skutkuje niezdefiniowanym zachowaniem . Graficzny język programowania Scratch 2.0 i 3.0 używany w wielu szkołach zwraca Infinity lub −Infinity w zależności od znaku dywidendy.

W arytmetyce uzupełnienia do dwóch próbom dzielenia najmniejszej liczby całkowitej ze znakiem przez −1 towarzyszą podobne problemy i są obsługiwane z takim samym zakresem rozwiązań, od jawnych warunków błędu do niezdefiniowanego zachowania .

Większość kalkulatorów albo zwróci błąd, albo stwierdzi, że 1/0 jest niezdefiniowane; jednak niektóre kalkulatory graficzne TI i HP ocenią (1/0) od ² do ∞.

Microsoft Math i Mathematica zwracają ComplexInfinity1/0. Maple i SageMath zwracają komunikat o błędzie dla 1/0, a nieskończoność dla 1/0.0 (0.0 mówi tym systemom, aby używały arytmetyki zmiennoprzecinkowej zamiast arytmetyki algebraicznej).

Niektóre współczesne kalkulatory pozwalają na dzielenie przez zero w szczególnych przypadkach, gdy przyda się to studentom i przypuszczalnie zrozumiane w kontekście przez matematyków. Niektóre kalkulatory, kalkulator online Desmos jest jednym z przykładów, zezwalają na arcus tangens(1/0). Uczniowie są często uczeni, że funkcja arccotangens , arccotangens , powinna być obliczona poprzez wzięcie arcus tangens z odwrotności, więc kalkulator może pozwolić arcus tangens (1/0), dając wynik , który jest poprawną wartością arccotangens 0. matematycznym uzasadnieniem jest to, że granica, gdy x dochodzi do zera arcus tangens 1/x is .${\displaystyle {\tfrac {\pi}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {\pi}{2}}}$

Wypadki historyczne

• 21 września 1997 r., podział przez zero błędów w „Remote Data Base Manager” na pokładzie USS Yorktown (CG-48) zniszczył wszystkie maszyny w sieci, powodując awarię układu napędowego statku.

Zobacz też

• Asymptota
• Zdefiniowane i niezdefiniowane
• Division by Zero , opowiadanie Teda Chiang
• Forma nieokreślona
• Zerowy dzielnik

Bibliografia

Uwagi

Źródła

Dalsza lektura