Niezdefiniowane (matematyka) - Undefined (mathematics)

W matematyce termin niezdefiniowany jest często używany w odniesieniu do wyrażenia, któremu nie przypisano interpretacji lub wartości (takiego jak forma nieokreślona , która ma skłonność do przyjmowania różnych wartości). Termin ten może przybierać różne znaczenia w zależności od kontekstu. Na przykład:

  • W różnych gałęziach matematyki pewne pojęcia są wprowadzane jako pojęcia pierwotne (np. terminy „punkt”, „linia” i „kąt” w geometrii ). Ponieważ terminy te nie są zdefiniowane w terminach innych pojęć, mogą być określane jako „terminy nieokreślone”.
  • Funkcja mówi się, że „nieokreślony” w punktach poza jego domena  - na przykład funkcja o wartościach rzeczywistych jest niezdefiniowana dla ujemny  (czyli przypisuje żadnej wartości dla argumentów ujemnych).
  • W algebrze niektóre operacje arytmetyczne mogą nie przypisywać znaczenia pewnym wartościom operandów (np. dzielenie przez zero ). W takim przypadku wyrażenia zawierające takie argumenty są określane jako „nieokreślone”.

Niezdefiniowane terminy

W starożytności geometrzy próbowali zdefiniować każdy termin. Na przykład Euclid zdefiniował punkt jako „ten, który nie ma części”. W dzisiejszych czasach matematycy uznają, że próba zdefiniowania każdego słowa nieuchronnie prowadzi do kolistych definicji , a zatem pozostawiają niektóre terminy (takie jak „punkt”) niezdefiniowane (więcej informacji na temat pojęcia prymitywnego ).

To bardziej abstrakcyjne podejście pozwala na owocne uogólnienia. W topologii , A topologiczna przestrzeń może być określony jako zbiór punktów obdarzonych pewnych właściwości, ale w ogólnym otoczeniu, charakter tych „punkty” to pozostaje całkowicie nieokreślona. Podobnie w teorii kategorii , A kategoria składa się z „obiektów” i „strzały”, które są ponownie prymitywne, niezdefiniowanych pojęć. Pozwala to na zastosowanie takich abstrakcyjnych teorii matematycznych w bardzo różnych konkretnych sytuacjach.

W arytmetyce

Ekspresja 0/0jest niezdefiniowane w arytmetyce, jak wyjaśniono w dzieleniu przez zero (to samo wyrażenie jest używane w rachunku różniczkowym do przedstawienia nieokreślonej formy ).

Matematycy mają różne opinie co do tego, czy 0 0 należy zdefiniować jako równe 1, czy też pozostawić niezdefiniowane.

Wartości, dla których funkcje są niezdefiniowane

Zbiór liczb, dla których zdefiniowana jest funkcja, nazywa się dziedziną funkcji. Jeśli liczba nie należy do dziedziny funkcji, mówi się, że funkcja jest „niezdefiniowana” dla tej liczby. Dwa typowe przykłady to , który jest niezdefiniowany dla , i , który jest niezdefiniowany (w systemie liczb rzeczywistych) dla ujemnego  .

W trygonometrii

W trygonometrii funkcje i są niezdefiniowane dla wszystkich , natomiast funkcje i są niezdefiniowane dla wszystkich .

W informatyce

Notacja za pomocą ↓ i ↑

W teorii obliczalności , jeśli jest częściowo funkcją na i jest elementem , to jest zapisywane jako i odczytuje się jako „ f ( ) jest zdefiniowany ”.

Jeśli nie należy do domeny , to jest to zapisane jako , a odczytywane jako „ jest niezdefiniowane ”.

Symbole nieskończoności

W analizie , teorii miary i innych dyscyplinach matematycznych symbol ten jest często używany do oznaczenia nieskończonej pseudoliczby wraz z jej liczbą ujemną . Symbol sam w sobie nie ma dobrze zdefiniowanego znaczenia, ale wyrażenie takie jak skrót oznacza ciąg rozbieżny , który w pewnym momencie jest ostatecznie większy niż jakakolwiek podana liczba rzeczywista.

Wykonywanie standardowych operacji arytmetycznych na symbolach jest niezdefiniowane. Niektóre rozszerzenia definiują jednak następujące konwencje dodawania i mnożenia:

  •    dla wszystkich .
  •    dla wszystkich .
  •    dla wszystkich .

Nie ma sensownego rozszerzenia dodawania i mnożenia za pomocą w następujących przypadkach:

  • (chociaż w teorii miary często określa się to jako )

Aby uzyskać więcej informacji, zobacz rozszerzoną linię liczb rzeczywistych .

Osobliwości w analizie złożonej

W analizie złożonej punkt, w którym funkcja holomorficzna jest niezdefiniowana, nazywa się osobliwością . Rozróżnia się usuwalne osobliwości (tj. funkcja może być rozszerzona holomorficznie do ), bieguny (tj. funkcja może być rozszerzona meromorficznie do ) i podstawowe osobliwości (tj. nie może istnieć żadne rozszerzenie meromorficzne ).

Bibliografia

Dalsza lektura