Rozszerzenie Alexandroff - Alexandroff extension

W matematycznej dziedzinie topologii The rozszerzenie Aleksandrowa jest sposobem na przedłużenie niezagęszczonymi przestrzeń topologiczną przez przylegający jeden punkt w taki sposób, że powstała przestrzeń jest zwarta . Jego nazwa pochodzi od rosyjskiego matematyka Pavela Alexandroffa . Dokładniej, niech X będzie przestrzenią topologiczną. Wtedy rozszerzenie Alexandroffa X jest pewną zwartą przestrzenią X * razem z otwartym osadzeniem c  :  X  →  X * takim, że dopełnienie X w X * składa się z pojedynczego punktu, zwykle oznaczanego jako ∞. Mapa c jest zagęszczeniem Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy X jest lokalnie zwartą , niezwartą przestrzenią Hausdorffa . Dla takich przestrzeni rozszerzenie Alexandroffa jest nazywane kompaktowaniem jednopunktowym lub kompaktowaniem Alexandroffa . Zalety zagęszczenia Alexandroffa polegają na jego prostej, często znaczącej geometrycznie strukturze i fakcie, że jest ono w ścisłym sensie minimalne wśród wszystkich zagęszczeń; wada polega na tym, że daje ona zagęszczenie Hausdorffa tylko na klasie lokalnie zwartych, niezwartych przestrzeni Hausdorffa, w przeciwieństwie do zagęszczenia Stone-Čecha, które istnieje dla każdej przestrzeni topologicznej (ale zapewnia osadzenie dokładnie dla przestrzeni Tychonowa ).

Przykład: odwrócona projekcja stereograficzna

Geometrycznie atrakcyjny przykład zagęszczenia jednopunktowego podaje odwrotna projekcja stereograficzna . Przypomnijmy, że rzut stereograficzny S daje wyraźny homeomorfizm od sfery jednostkowej minus biegun północny (0,0,1) do płaszczyzny euklidesowej. Odwrócona projekcja stereograficzna to otwarte, gęste osadzenie w zwartej przestrzeni Hausdorffa, uzyskane przez dołączenie dodatkowego punktu . W projekcji stereograficznej okręgi równoleżnikowe zostają odwzorowane na okręgi planarne . Wynika z tego , że usunięta podstawa sąsiedztwa nadana przez przebite sferyczne czapeczki odpowiada uzupełnieniom zamkniętych dysków płaskich . Bardziej jakościowo, baza sąsiedztwa o jest dostarczana przez zbiory, gdy K przechodzi przez zwarte podzbiory . Ten przykład zawiera już kluczowe koncepcje przypadku ogólnego.

Motywacja

Niech będzie osadzeniem z przestrzeni topologicznej X do zwartej przestrzeni topologicznej Y Hausdorffa , z gęstym obrazem i jednopunktową resztą . Wtedy c ( X ) jest otwarte w zwartej przestrzeni Hausdorffa, więc jest lokalnie zwartym Hausdorffem, stąd jego homeomorficzny przedobraz X jest również lokalnie zwartym Hausdorffem. Co więcej, gdyby X było zwarte, to c ( X ) byłoby zamknięte w Y, a zatem nie gęste. W ten sposób przestrzeń może dopuścić jednopunktowe zagęszczenie Hausdorffa tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta, niezwarta i Hausdorffa. Co więcej, w takim jednopunktowym kompaktowaniu obraz bazy sąsiedztwa dla x w X daje bazę sąsiedztwa dla c ( x ) w c ( X ) i—ponieważ podzbiór zwartej przestrzeni Hausdorffa jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięta — otwarte sąsiedztwo musi być wszystkimi zbiorami uzyskanymi przez przyłączenie do obrazu pod c podzbioru X z dopełnieniem zwartym.

Rozszerzenie Alexandroff

Umieść i ztopologizuj , biorąc jako otwarte zbiory wszystkie otwarte podzbiory U z X wraz ze wszystkimi zbiorami, w których C jest domknięte i zwarte w X . Tutaj oznacza setminus . Należy zauważyć, że jest otwarta sąsiedztwie , i tym samym zamyka otwartą pokrywę zawiera wszystkie z wyjątkiem zbioru zwartego z , co oznacza, że jest kompaktowa ( Kelley, 1975 , str. 150).

Mapa włączenie nazywa się rozszerzenie Aleksandrowa z X (Willard, 19a).

Wszystkie poniższe właściwości wynikają z powyższej dyskusji:

  • Mapa c jest ciągła i otwarta: osadza X jako otwarty podzbiór .
  • Przestrzeń jest zwarta.
  • Obraz c ( X ) jest gęsty w , jeśli X jest niezwarty.
  • Przestrzeń jest Hausdorff wtedy i tylko wtedy, gdy X jest Hausdorff i lokalnie zwarta .
  • Przestrzeń to T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy X jest T 1 .

Zagęszczanie jednopunktowe

W szczególności rozszerzenie Alexandroffa jest kompaktowaniem Hausdorffa dla X wtedy i tylko wtedy, gdy X jest Hausdorffem, niezwartym i lokalnie zwartym. W tym przypadku nazywa się zwartym jednopunktowy lub Aleksandrowa zwartym od X .

Przypomnijmy z powyższej dyskusji, że każde zagęszczenie Hausdorffa z resztą jednego punktu jest koniecznie (izomorficzne z) zagęszczeniem Alexandroffa. W szczególności, jeśli jest przestrzenią zwartą Hausdorffa i jest punkt granica z (nie izolowanego punktu ) jest zwartym z Aleksandrowa .

Niech X będzie dowolną niezwartą przestrzenią Tychonowa . Zgodnie z naturalnym porządkowaniem częściowym na zbiorze klas równoważności zagęszczeń, każdy minimalny element jest równoważny rozszerzeniu Alexandroffa (Engelking, Twierdzenie 3.5.12). Wynika z tego, że niezwarta przestrzeń Tychonowa dopuszcza minimalne zagęszczenie wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta.

Zagęszczanie jednopunktowe inne niż Hausdorff

Niech będzie arbitralną niezwartą przestrzenią topologiczną. Można chcieć wyznaczyć wszystkie kompaktacje (niekoniecznie Hausdorffa) uzyskane przez dodanie pojedynczego punktu, co w tym kontekście można by nazwać kompaktyzacjami jednopunktowymi . Więc chcemy określić wszystkie możliwe sposoby uzyskania topologii zwartej, takiej, która jest w niej gęsta, a topologia podprzestrzenna indukowana z jest taka sama jak topologia oryginalna. Ostatni warunek zgodności w topologii automatycznie oznacza, że jest ona gęsta w , ponieważ nie jest zwarta, więc nie może być zamknięta w zwartej przestrzeni. Faktem jest również, że mapa inkluzji jest z konieczności osadzaniem otwartym , to znaczy musi być otwarta w, a topologia musi zawierać wszystkich członków . Tak więc topologia na jest określona przez sąsiedztwa . Każde sąsiedztwo jest koniecznie dopełnieniem zamkniętego zwartego podzbioru , jak omówiono wcześniej.

Topologie, które sprawiają, że jest to kompaktowanie, są następujące:

  • Rozszerzenie Alexandroff zdefiniowane powyżej. Tutaj bierzemy dopełnienia wszystkich zamkniętych podzbiorów zwartych jako sąsiedztwa . Jest to największa topologia, która umożliwia jednopunktowe kompaktowanie .
  • Otwarta topologia rozszerzenie . Tutaj dodajemy jedno sąsiedztwo , czyli całą przestrzeń . Jest to najmniejsza topologia, która umożliwia jednopunktowe kompaktowanie .
  • Dowolna topologia pośrednia pomiędzy dwiema powyższymi topologiami. Dla sąsiedztw jednego trzeba wybrać odpowiednią podrodzinę dopełnień wszystkich zamkniętych zwartych podzbiorów ; na przykład uzupełnienia wszystkich skończonych zamkniętych podzbiorów zwartych lub uzupełnienia wszystkich policzalnych zamkniętych podzbiorów zwartych.

Dalsze przykłady

Zagęszczenia przestrzeni dyskretnych

  • Jednopunktowe zagęszczenie zbioru dodatnich liczb całkowitych jest homeomorficzne z przestrzenią składającą się z K = {0} U {1/ n | n jest dodatnią liczbą całkowitą} o topologii porządku.
  • Sekwencja w przestrzeni topologicznej zbiega się do punktu w , wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie podane przez for in i jest ciągłe. Tutaj ma dyskretną topologię .
  • Przestrzenie poliadyczne definiuje się jako przestrzenie topologiczne, które są ciągłym obrazem mocy jednopunktowego zagęszczenia dyskretnej, lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Zagęszczenia przestrzeni ciągłych

  • Jednopunktowe zagęszczenie n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej R n jest homeomorficzne z n- sferą S n . Jak wyżej, mapę można podać wprost jako n- wymiarową odwrotną projekcję stereograficzną.
  • Jednopunktowe zagęszczenie iloczynu kopii półzamkniętego przedziału [0,1), czyli , is (homeomorficzne do) .
  • Ponieważ zamknięcie połączonego podzbioru jest połączone, rozszerzenie Alexandroffa niezwartej połączonej przestrzeni jest połączone. Jednak kompaktowanie jednopunktowe może "połączyć" rozłączoną przestrzeń: na przykład kompaktowanie jednopunktowe rozłącznej sumy skończonej liczby kopii przedziału (0,1) jest klinem okręgów .
  • Jednopunktowe zagęszczenie rozłącznego połączenia policzalnej liczby kopii przedziału (0,1) to hawajski kolczyk . Różni się to od klina przeliczalnie wielu kół, który nie jest zwarty.
  • Mając zwarty Hausdorff i dowolny domknięty podzbiór , jednopunktowe kompaktowanie is , gdzie ukośnik oznacza przestrzeń ilorazu .
  • Jeśli i są lokalnie zwarte Hausdorff, to gdzie jest produkt przebojowy . Przypomnijmy, że definicja iloczynu rozbicia: gdzie jest sumą klina i ponownie / oznacza przestrzeń ilorazu.

Jako funktor

Rozszerzenie Alexandroffa może być postrzegane jako funktor z kategorii przestrzeni topologicznych z odpowiednimi ciągłymi odwzorowaniami jako morfizmy do kategorii, której obiekty są ciągłymi odwzorowaniami i dla której morfizmy od do są parami ciągłych odwzorowań takich, że . W szczególności przestrzenie homeomorficzne mają izomorficzne rozszerzenia Alexandroffa.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia