Wyrażenie (matematyka) - Expression (mathematics)

W matematyce An ekspresji lub wyrażenie matematyczne jest skończoną kombinacja symboli , który jest dobrze ukształtowanych zgodnie z regułami, które są zależne od kontekstu. Symbole matematyczne mogą oznaczać liczby ( stałe ), zmienne , operacje , funkcje , nawiasy , interpunkcję i grupowanie , aby pomóc określić kolejność operacji i inne aspekty składni logicznej .

Wielu autorów odróżnia wyrażenie od formuły , przy czym pierwsze oznacza obiekt matematyczny, a drugie stwierdzenie o obiektach matematycznych. Na przykład jest wyrażeniem, a formułą. Jednak we współczesnej matematyce, a w szczególności w algebrze komputerowej , formuły są postrzegane jako wyrażenia, które można ocenić jako prawda lub fałsz , w zależności od wartości nadawanych zmiennym występującym w wyrażeniach. Na przykład przyjmuje wartość fałsz, jeśli x ma wartość mniejszą niż –1, a wartość prawda w przeciwnym razie.

Przykłady

Użycie wyrażeń waha się od prostego:

  ( wielomian liniowy )
  ( wielomian kwadratowy )
  ( ułamek wymierny )

do kompleksu:

Składnia a semantyka

Składnia

Wyrażenie jest konstrukcją składniową. Musi być dobrze sformułowany : dozwolone operatory muszą mieć odpowiednią liczbę wejść w odpowiednich miejscach, znaki tworzące te wejścia muszą być poprawne, mieć wyraźną kolejność operacji itp. Ciągi symboli, które naruszają zasady składnia nie jest poprawnie sformułowana i nie są prawidłowymi wyrażeniami matematycznymi.

Na przykład, w zwykłej notacji z arytmetyki , wyrażenie 1 + 2 x 3 jest sensowne, ale nie jest następujące wyrażenie:

.

Semantyka

Semantyka to nauka o znaczeniu. Semantyka formalna polega na przypisywaniu znaczenia wyrażeniom.

W algebrze wyrażenie może być użyte do oznaczenia wartości, która może zależeć od wartości przypisanych do zmiennych występujących w wyrażeniu. Wyznaczenie tej wartości zależy od semantyki przywiązanej do symboli wyrażenia. Wybór semantyki zależy od kontekstu wyrażenia. To samo wyrażenie składniowe 1 + 2 × 3 może mieć różne wartości (matematycznie 7, ale także 9), w zależności od kolejności operacji wynikającej z kontekstu (Zobacz też Operacje § Kalkulatory ).

Reguły semantyczne mogą deklarować, że pewne wyrażenia nie desygnują żadnej wartości (np. gdy wymagają dzielenia przez 0); mówi się, że takie wyrażenia mają nieokreśloną wartość, ale mimo to są to wyrażenia dobrze uformowane. Ogólnie znaczenie wyrażeń nie ogranicza się do oznaczania wartości; na przykład wyrażenie może oznaczać warunek lub równanie, które ma zostać rozwiązane, lub może być postrzegane jako samodzielny obiekt, którym można manipulować zgodnie z pewnymi zasadami. Niektóre wyrażenia określające wartość jednocześnie wyrażają warunek, który, jak się zakłada, jest spełniony, na przykład te, w których operator wyznacza wewnętrzną sumę bezpośrednią .

Języki formalne i rachunek lambda

Języki formalne umożliwiają sformalizowanie pojęcia dobrze sformułowanych wyrażeń.

W latach 30. XX wieku Alonzo Church i Stephen Kleene wprowadzili nowy typ wyrażeń, zwany wyrażeniami lambda , służący do formalizowania funkcji i ich oceny. Stanowią one podstawę rachunku lambda , formalnego systemu używanego w logice matematycznej i teorii języków programowania .

Równoważność dwóch wyrażeń lambda jest nierozstrzygalna . Dotyczy to również wyrażeń reprezentujących liczby rzeczywiste, które są budowane z liczb całkowitych za pomocą operacji arytmetycznych, logarytmu i wykładniczego ( twierdzenie Richardsona ).

Zmienne

Wiele wyrażeń matematycznych zawiera zmienne . Każdą zmienną można sklasyfikować jako zmienną wolną lub zmienną powiązaną .

Dla danej kombinacji wartości wolnych zmiennych można wyliczyć wyrażenie, chociaż dla niektórych kombinacji wartości wolnych zmiennych wartość wyrażenia może być niezdefiniowana. Zatem wyrażenie reprezentuje funkcję, której dane wejściowe są wartościami przypisanymi do wolnych zmiennych i których dane wyjściowe są wartością wynikową wyrażenia.

Na przykład wyrażenie

obliczone dla x = 10, y = 5, da 2; ale jest niezdefiniowany dla y = 0.

Ocena wyrażenia zależy od definicji operatorów matematycznych oraz systemu wartości, który jest jego kontekstem.

Mówi się, że dwa wyrażenia są równoważne, jeśli dla każdej kombinacji wartości wolnych zmiennych mają one to samo wyjście, tj. reprezentują tę samą funkcję. Przykład:

Ekspresja

ma wolną zmienną x , zmienną związaną n , stałe 1, 2 i 3, dwa wystąpienia niejawnego operatora mnożenia i operatora sumowania. Wyrażenie jest równoważne prostszemu wyrażeniu 12 x . Wartość x  = 3 to 36.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Redden, John (2011). "Algebra elementarna" . Płaska wiedza o świecie .