Model matematyczny - Mathematical model

Model matematyczny jest opis systemu przy użyciu matematycznych pojęć i języka . Proces tworzenia modelu matematycznego określa się mianem modelowania matematycznego . Modele matematyczne wykorzystywane są w naukach przyrodniczych (takich jak fizyka , biologia , nauka o ziemi , chemia ) i inżynierskich (takich jak informatyka , elektrotechnika ), a także w systemach niefizycznych, takich jak nauki społeczne (takie jak ekonomia). , psychologia , socjologia , nauki polityczne ). Wykorzystywanie modeli matematycznych do rozwiązywania problemów w operacjach biznesowych lub wojskowych stanowi dużą część dziedziny badań operacyjnych . Modele matematyczne są również wykorzystywane w muzyce , językoznawstwie , filozofii (na przykład intensywnie w filozofii analitycznej ) i religii (na przykład powtarzające się użycie liczb 7, 12 i 40 w Biblii ).

Model może pomóc w wyjaśnieniu systemu i zbadaniu skutków różnych komponentów oraz w przewidywaniu zachowania.

Elementy modelu matematycznego

Modele matematyczne mogą przybierać różne formy, w tym układy dynamiczne , modele statystyczne , równania różniczkowe lub modele teorii gier . Te i inne typy modeli mogą się pokrywać, przy czym dany model obejmuje różne abstrakcyjne struktury. Ogólnie rzecz biorąc, modele matematyczne mogą zawierać modele logiczne . W wielu przypadkach jakość dziedziny naukowej zależy od tego, jak dobrze modele matematyczne opracowane od strony teoretycznej zgadzają się z wynikami powtarzalnych eksperymentów. Brak zgodności między teoretycznymi modelami matematycznymi a pomiarami eksperymentalnymi często prowadzi do istotnych postępów w miarę opracowywania lepszych teorii.

W naukach fizycznych tradycyjny model matematyczny zawiera większość z następujących elementów:

1. Równania rządzące
2. Podmodele uzupełniające
   1. Definiowanie równań
   2. Równania konstytutywne
3. Założenia i ograniczenia
   1. Warunki początkowe i brzegowe
   2. Klasyczne więzy i równania kinematyczne

Klasyfikacje

Modele matematyczne zazwyczaj składają się z relacji i zmiennych . Zależności mogą być opisywane przez operatory , takie jak operatory algebraiczne, funkcje, operatory różniczkowe itp. Zmienne to abstrakcje interesujących nas parametrów systemu , które można określić ilościowo . W przypadku modeli matematycznych można zastosować kilka kryteriów klasyfikacyjnych zgodnie z ich strukturą:

• Liniowy a nieliniowy: Jeśli wszystkie operatory w modelu matematycznym wykazują liniowość , wynikowy model matematyczny jest definiowany jako liniowy. W przeciwnym razie model jest uważany za nieliniowy. Definicja liniowości i nieliniowości zależy od kontekstu, a modele liniowe mogą zawierać wyrażenia nieliniowe. Na przykład w statystycznym modelu liniowym zakłada się, że zależność jest liniowa w parametrach, ale może być nieliniowa w przypadku zmiennych predykcyjnych. Podobnie o równaniu różniczkowym mówi się, że jest liniowe, jeśli można je zapisać za pomocą liniowych operatorów różniczkowych , ale nadal może zawierać wyrażenia nieliniowe. W modelu programowania matematycznego , jeśli funkcje celu i ograniczenia są w całości reprezentowane przez równania liniowe , wówczas model jest traktowany jako model liniowy. Jeśli jedna lub więcej funkcji celu lub ograniczeń jest reprezentowanych przez równanie nieliniowe , model jest nazywany modelem nieliniowym.
  Struktura liniowa implikuje, że problem można rozłożyć na prostsze części, które można traktować niezależnie i/lub analizować w innej skali, a uzyskane wyniki pozostaną ważne dla początkowego problemu po ponownym złożeniu i przeskalowaniu.
  Nieliniowość, nawet w dość prostych układach, często wiąże się ze zjawiskami takimi jak chaos i nieodwracalność . Chociaż istnieją wyjątki, systemy i modele nieliniowe są zwykle trudniejsze do badania niż liniowe. Powszechnym podejściem do problemów nieliniowych jest linearyzacja , ale może to być problematyczne, jeśli próbuje się badać takie aspekty, jak nieodwracalność, które są silnie związane z nieliniowością.
• Statyczny w porównaniu z dynamiczną: dynamicznego modelu uwzględniającym zmiany czasu zależnych od stanu systemu, podczas gdy statyczna (lub w stanie ustalonym) wyznacza modelu systemu w stanie równowagi, a więc jest niezmienne w czasie. Modele dynamiczne są zazwyczaj reprezentowane przez równania różniczkowe lub równania różnicowe .
• Jawne kontra niejawne: Jeśli znane są wszystkie parametry wejściowe całego modelu, a parametry wyjściowe można obliczyć za pomocą skończonej serii obliczeń, mówi się, że model jest jawny . Czasami jednak znane są parametry wyjściowe , a odpowiadające im dane wejściowe muszą być rozwiązane za pomocą procedury iteracyjnej, takiej jak metoda Newtona lub metoda Broydena . W takim przypadku mówi się, że model jest niejawny . Na przykład właściwości fizyczne silnika odrzutowego, takie jak obszary gardzieli turbiny i dyszy, można wyraźnie obliczyć, biorąc pod uwagę projektowy cykl termodynamiczny (natężenia przepływu powietrza i paliwa, ciśnienia i temperatury) w określonych warunkach lotu i ustawieniu mocy, ale cykle operacyjne w innych warunkach lotu i ustawienia mocy nie mogą być jednoznacznie obliczone na podstawie stałych właściwości fizycznych.
• Dyskretnych porównaniu ciągły: A model dyskretny traktuje obiekty, jak dawek, takich jak cząstki w modelu cząsteczkowego lub stanów w modelach statystycznych ; podczas gdy model ciągły reprezentuje obiekty w sposób ciągły, taki jak pole prędkości płynu w przepływach rurowych, temperatury i naprężenia w ciele stałym oraz pole elektryczne, które jest stosowane w sposób ciągły w całym modelu z powodu ładunku punktowego.
• Deterministyczny porównaniu probabilistycznej (stochastyczny) deterministyczny model, w którym każdy zestaw stanów zmiennych jest jednoznacznie określony przez parametrów modelu i przez zestawy wcześniejszych stanów tych parametrów; dlatego model deterministyczny zawsze działa w ten sam sposób dla danego zestawu warunków początkowych. I odwrotnie, w modelu stochastycznym — zwykle nazywanym „ modelem statystycznym ” — występuje losowość, a stany zmiennych nie są opisywane przez unikalne wartości, ale raczej przez rozkłady prawdopodobieństwa .
• Dedukcyjne, indukcyjne lub pływające: A model dedukcyjny to logiczna struktura oparta na teorii. Model indukcyjny wynika z ustaleń empirycznych i ich uogólnień. Model pływający nie opiera się ani na teorii, ani na obserwacji, lecz jest jedynie wywołaniem oczekiwanej struktury. Zastosowanie matematyki w naukach społecznych poza ekonomią było krytykowane za nieuzasadnione modele. Zastosowanie teorii katastrof w nauce zostało scharakteryzowane jako model pływający.
• Modele strategiczne i niestrategiczne stosowane w teorii gier różnią się w tym sensie, że modelują agentów o niekompatybilnych bodźcach, takich jak gatunki konkurujące lub licytujący na aukcji. Modele strategiczne zakładają, że gracze są autonomicznymi decydentami, którzy racjonalnie wybierają działania maksymalizujące ich funkcję celu. Kluczowym wyzwaniem związanym ze stosowaniem modeli strategicznych jest zdefiniowanie i obliczenie koncepcji rozwiązań, takich jak równowaga Nasha . Ciekawą właściwością modeli strategicznych jest to, że oddzielają wnioskowanie o regułach gry od wnioskowania o zachowaniu graczy.

Budowa

W biznesie i inżynierii modele matematyczne mogą być wykorzystywane do maksymalizacji określonych wyników. Rozważany system będzie wymagał pewnych nakładów. System dotycząca wejścia do wyjścia zależy od innych zmiennych, TOO: zmiennych decyzyjnych , zmiennych stanu , egzogenicznych zmiennych i zmiennych losowych .

Zmienne decyzyjne są czasami nazywane zmiennymi niezależnymi. Zmienne egzogeniczne są czasami nazywane parametrami lub stałymi . Zmienne nie są od siebie niezależne, ponieważ zmienne stanu są zależne od decyzji, zmiennych wejściowych, losowych i egzogenicznych. Ponadto zmienne wyjściowe są zależne od stanu systemu (reprezentowane przez zmienne stanu).

Cele i ograniczenia systemu i jego użytkowników mogą być reprezentowane jako funkcje zmiennych wyjściowych lub zmiennych stanu. Funkcje celu będą zależeć od perspektywy użytkownika modelu. W zależności od kontekstu funkcja celu jest również nazywana wskaźnikiem wydajności , ponieważ jest pewną miarą interesującą użytkownika. Chociaż nie ma ograniczeń co do liczby funkcji celu i ograniczeń, jakie może mieć model, użycie lub optymalizacja modelu staje się bardziej zaangażowana (obliczeniowo) wraz ze wzrostem liczby.

Na przykład ekonomiści często stosują algebrę liniową podczas korzystania z modeli wejścia-wyjścia . Skomplikowane modele matematyczne, które mają wiele zmiennych, można konsolidować za pomocą wektorów, w których jeden symbol reprezentuje kilka zmiennych.

Informacje a priori

Aby przeanalizować coś za pomocą typowego „podejścia czarnoskrzynkowego”, uwzględnione zostanie tylko zachowanie bodźca/odpowiedzi, aby wywnioskować (nieznaną) skrzynkę . Typową reprezentacją tego systemu czarnej skrzynki jest diagram przepływu danych wyśrodkowany w skrzynce.

Matematyczne modelowanie problemy są często klasyfikowane do czarnej skrzynki lub białe pudełko modeli, w zależności ile a priori informacji o systemie jest dostępna. Model czarnoskrzynkowy to system, o którym nie są dostępne żadne informacje a priori. Model white-box (zwany także glass box lub clear box) to system, w którym dostępne są wszystkie niezbędne informacje. Praktycznie wszystkie systemy znajdują się gdzieś pomiędzy modelami czarnoskrzynkowymi i białoskrzynkowymi, więc ta koncepcja jest użyteczna jedynie jako intuicyjny przewodnik przy podejmowaniu decyzji, które podejście zastosować.

Zwykle lepiej jest wykorzystać jak najwięcej informacji a priori, aby model był dokładniejszy. Dlatego modele białoskrzynkowe są zwykle uważane za łatwiejsze, ponieważ jeśli prawidłowo wykorzystałeś informacje, model będzie się zachowywał poprawnie. Często informacje aprioryczne przybierają formę poznania rodzaju funkcji odnoszących się do różnych zmiennych. Na przykład, jeśli stworzymy model działania leku w ludzkim systemie, wiemy, że zazwyczaj ilość leku we krwi jest funkcją zanikającą wykładniczo . Ale wciąż pozostajemy z kilkoma nieznanymi parametrami; jak szybko zanika ilość leku i jaka jest początkowa ilość leku we krwi? Ten przykład nie jest zatem modelem całkowicie białoskrzynkowym. Te parametry muszą zostać oszacowane za pomocą pewnych środków, zanim będzie można użyć modelu.

W modelach czarnoskrzynkowych próbuje się oszacować zarówno funkcjonalną postać relacji między zmiennymi, jak i parametry liczbowe w tych funkcjach. Korzystając z informacji a priori moglibyśmy na przykład otrzymać zestaw funkcji, które prawdopodobnie mogłyby adekwatnie opisać system. Jeśli nie ma informacji a priori, spróbujemy użyć funkcji tak ogólnych, jak to możliwe, aby objąć wszystkie różne modele. Często stosowanym podejściem do modeli czarnoskrzynkowych są sieci neuronowe, które zwykle nie przyjmują założeń dotyczących przychodzących danych. Alternatywnie algorytmy NARMAX (nieliniowej autoregresyjnej średniej ruchomej z eXogenicznymi danymi wejściowymi), które zostały opracowane w ramach nieliniowej identyfikacji systemu, mogą być użyte do wyboru terminów modelu, określenia struktury modelu i oszacowania nieznanych parametrów w obecności skorelowanego i nieliniowego szumu . Zaletą modeli NARMAX w porównaniu z sieciami neuronowymi jest to, że NARMAX tworzy modele, które można zapisać i powiązać z podstawowym procesem, podczas gdy sieci neuronowe dają przybliżenie, które jest nieprzejrzyste.

Informacje subiektywne

Czasami przydatne jest włączenie informacji subiektywnych do modelu matematycznego. Można to zrobić w oparciu o intuicję , doświadczenie lub opinię eksperta , lub w oparciu o wygodę formy matematycznej. Statystyka bayesowska dostarcza ram teoretycznych do włączenia takiej subiektywności do rygorystycznej analizy: określamy wcześniejszy rozkład prawdopodobieństwa (który może być subiektywny), a następnie aktualizujemy ten rozkład na podstawie danych empirycznych.

Przykładem, kiedy takie podejście byłoby konieczne, jest sytuacja, w której eksperymentator lekko zgina monetę i rzuca nią raz, rejestrując, czy wypadnie remis, a następnie otrzymuje zadanie przewidzenia prawdopodobieństwa, że ​​następna rewersem wypadnie. Po zgięciu monety nie jest znane prawdziwe prawdopodobieństwo, że moneta wyrzuci reszki; więc eksperymentator musiałby podjąć decyzję (być może patrząc na kształt monety) o tym, jakiej wcześniejszej dystrybucji użyć. Włączenie takich subiektywnych informacji może być ważne dla uzyskania dokładnego oszacowania prawdopodobieństwa.

Złożoność

Ogólnie rzecz biorąc, złożoność modelu wiąże się z kompromisem między prostotą a dokładnością modelu. Brzytwa Ockhama jest zasadą szczególnie istotną w modelowaniu, a jej zasadniczą ideą jest to, że wśród modeli o mniej więcej równej mocy predykcyjnej najbardziej pożądany jest najprostszy z nich. Chociaż dodatkowa złożoność zwykle poprawia realizm modelu, może utrudnić jego zrozumienie i analizę, a także może powodować problemy obliczeniowe, w tym niestabilność numeryczną . Thomas Kuhn twierdzi, że wraz z postępem nauki wyjaśnienia stają się bardziej złożone, zanim zmiana paradygmatu przyniesie radykalne uproszczenie.

Na przykład, podczas modelowania lotu samolotu, moglibyśmy osadzić w naszym modelu każdą mechaniczną część samolotu, uzyskując w ten sposób niemal białoskrzynkowy model systemu. Jednak koszt obliczeniowy dodania tak dużej ilości szczegółów skutecznie uniemożliwiłby korzystanie z takiego modelu. Dodatkowo niepewność wzrosłaby z powodu zbyt złożonego systemu, ponieważ każda oddzielna część indukuje pewną ilość wariancji w modelu. Dlatego zwykle właściwe jest dokonanie pewnych przybliżeń, aby zmniejszyć model do rozsądnego rozmiaru. Inżynierowie często mogą zaakceptować pewne przybliżenia, aby uzyskać solidniejszy i prostszy model. Na przykład mechanika klasyczna Newtona jest przybliżonym modelem świata rzeczywistego. Mimo to model Newtona jest całkiem wystarczający w większości zwykłych sytuacji życiowych, to znaczy tak długo, jak prędkości cząstek są znacznie poniżej prędkości światła , a badamy tylko makrocząstki.

Zauważ, że lepsza dokładność niekoniecznie oznacza lepszy model. Modele statystyczne są podatne na overfitting, co oznacza, że ​​model jest zbyt mocno dopasowany do danych i utracił zdolność do uogólniania na nowe zdarzenia, których wcześniej nie zaobserwowano.

Trening i tuning

Każdy model, który nie jest czysto białoskrzynkowy, zawiera pewne parametry, które można wykorzystać w celu dopasowania modelu do systemu, który ma opisywać. Jeśli modelowanie odbywa się za pomocą sztucznej sieci neuronowej lub innego uczenia maszynowego , optymalizacja parametrów nazywa trening , podczas gdy optymalizacja modelu hiperparametrów nazywa strojenie i często używa krzyżowej walidacji . W bardziej konwencjonalnym modelowaniu za pomocą jawnie podanych funkcji matematycznych parametry są często określane przez dopasowanie krzywej .

Ocena modelu

Kluczową częścią procesu modelowania jest ocena, czy dany model matematyczny dokładnie opisuje system. Odpowiedź na to pytanie może być trudna, ponieważ obejmuje kilka różnych rodzajów ewaluacji.

Dopasuj do danych empirycznych

Zwykle najłatwiejszą częścią oceny modelu jest sprawdzenie, czy model pasuje do pomiarów eksperymentalnych lub innych danych empirycznych. W modelach z parametrami powszechnym podejściem do testowania tego dopasowania jest podzielenie danych na dwa rozłączne podzbiory: dane uczące i dane weryfikacyjne. Dane uczące są wykorzystywane do oszacowania parametrów modelu. Dokładny model będzie ściśle odpowiadał danym weryfikacyjnym, mimo że dane te nie zostały użyte do ustawienia parametrów modelu. Ta praktyka jest określana w statystykach jako walidacja krzyżowa .

Zdefiniowanie metryki do pomiaru odległości między obserwowanymi i przewidywanymi danymi jest użytecznym narzędziem do oceny dopasowania modelu. W statystyce, teorii decyzji oraz niektórych modelach ekonomicznych , o funkcja straty odgrywa podobną rolę.

Chociaż testowanie adekwatności parametrów jest dość proste, testowanie poprawności ogólnej matematycznej postaci modelu może być trudniejsze. Ogólnie rzecz biorąc, opracowano więcej narzędzi matematycznych do testowania dopasowania modeli statystycznych niż modeli wykorzystujących równania różniczkowe . Narzędzia ze statystyk nieparametrycznych mogą czasami być używane do oceny, jak dobrze dane pasują do znanego rozkładu lub do opracowania ogólnego modelu, który zawiera jedynie minimalne założenia dotyczące formy matematycznej modelu.

Zakres modelu

Ocena zakresu modelu, czyli określenie, do jakich sytuacji model ma zastosowanie, może być mniej prosta. Jeżeli model został zbudowany w oparciu o zbiór danych, należy określić, dla jakich systemów lub sytuacji znane dane są „typowym” zbiorem danych.

Pytanie, czy model dobrze opisuje właściwości systemu między punktami danych, nazywa się interpolacją , a to samo pytanie dotyczące zdarzeń lub punktów danych poza obserwowanymi danymi nazywa się ekstrapolacją .

Jako przykład typowych ograniczeń zakresu modelu, przy ocenie newtonowskiej mechaniki klasycznej , możemy zauważyć, że Newton dokonywał swoich pomiarów bez zaawansowanego sprzętu, więc nie mógł zmierzyć właściwości cząstek poruszających się z prędkościami bliskimi prędkości światła. Podobnie nie mierzył ruchów molekuł i innych małych cząstek, a jedynie makrocząstki. Nic więc dziwnego, że jego model nie daje się dobrze ekstrapolować na te dziedziny, mimo że jego model jest całkiem wystarczający dla zwykłej fizyki życia.

Rozważania filozoficzne

Wiele typów modelowania pośrednio zawiera twierdzenia dotyczące przyczynowości . Dotyczy to zwykle (ale nie zawsze) modeli z równaniami różniczkowymi. Ponieważ celem modelowania jest zwiększenie naszego rozumienia świata, ważność modelu zależy nie tylko od jego dopasowania do obserwacji empirycznych, ale także od jego zdolności do ekstrapolacji na sytuacje lub dane wykraczające poza te pierwotnie opisane w modelu. Można o tym myśleć jako o rozróżnieniu między przewidywaniami jakościowymi i ilościowymi. Można również argumentować, że model jest bezwartościowy, jeśli nie zapewnia pewnego wglądu wykraczającego poza to, co już wiadomo z bezpośredniego badania badanego zjawiska.

Przykładem takiej krytyki jest argument, że modele matematyczne optymalnej teorii żerowania nie oferują wglądu wykraczającego poza zdroworozsądkowe wnioski dotyczące ewolucji i innych podstawowych zasad ekologii.

Znaczenie w naukach przyrodniczych

Modele matematyczne mają duże znaczenie w naukach przyrodniczych, zwłaszcza w fizyce . Teorie fizyczne są prawie zawsze wyrażane za pomocą modeli matematycznych.

Na przestrzeni dziejów opracowywano coraz dokładniejsze modele matematyczne. Prawa Newtona dokładnie opisują wiele codziennych zjawisk, ale w pewnych granicach trzeba stosować teorię względności i mechanikę kwantową .

Powszechnie używa się wyidealizowanych modeli w fizyce, aby uprościć rzeczy. Liny bezmasowe, cząstki punktowe, gazy doskonałe i cząstka w pudełku to jedne z wielu uproszczonych modeli stosowanych w fizyce. Prawa fizyki są reprezentowane za pomocą prostych równań, takich jak prawem Newtona, równania Maxwella i równanie Schrödingera . Prawa te są podstawą tworzenia modeli matematycznych rzeczywistych sytuacji. Wiele rzeczywistych sytuacji jest bardzo złożonych, a zatem modelowanych w sposób przybliżony na komputerze, model, który można obliczyć obliczeniowo, składa się z praw podstawowych lub modeli przybliżonych utworzonych z praw podstawowych. Na przykład cząsteczki można modelować za pomocą molekularnych modeli orbitalnych , które są przybliżonymi rozwiązaniami równania Schrödingera. W inżynierii modele fizyczne są często tworzone metodami matematycznymi, takimi jak analiza elementów skończonych .

Różne modele matematyczne wykorzystują różne geometrie, które niekoniecznie są dokładnymi opisami geometrii wszechświata. Geometria euklidesowa jest często stosowana w fizyce klasycznej, podczas gdy szczególna teoria względności i ogólna teoria względności są przykładami teorii wykorzystujących geometrie, które nie są euklidesowe.

Niektóre aplikacje

Często, gdy inżynierowie analizują system, który ma być kontrolowany lub optymalizowany, używają modelu matematycznego. W ramach analizy inżynierowie mogą zbudować opisowy model systemu jako hipotezę dotyczącą tego, jak system może działać, lub spróbować oszacować, jak nieprzewidziane zdarzenie może wpłynąć na system. Podobnie w przypadku sterowania systemem inżynierowie mogą wypróbować różne podejścia do sterowania w symulacjach .

Model matematyczny zazwyczaj opisuje system za pomocą zestawu zmiennych i zestawu równań, które ustalają relacje między zmiennymi. Zmienne mogą być wielu typów; na przykład liczby rzeczywiste lub całkowite , wartości logiczne lub łańcuchy . Zmienne reprezentują pewne właściwości systemu, na przykład mierzone dane wyjściowe systemu, często w postaci sygnałów , danych czasowych , liczników i występowania zdarzeń (tak/nie). Rzeczywisty model to zestaw funkcji opisujących relacje między różnymi zmiennymi.

Przykłady

• Jednym z popularnych przykładów w informatyce są modele matematyczne różnych maszyn, przykładem jest deterministyczny automat skończony (DFA), który jest zdefiniowany jako abstrakcyjne pojęcie matematyczne, ale ze względu na deterministyczny charakter DFA można go zaimplementować w sprzęcie oraz oprogramowanie do rozwiązywania różnych specyficznych problemów. Na przykład poniżej jest DFA M z alfabetem binarnym, który wymaga, aby dane wejściowe zawierały parzystą liczbę zer.

Diagram stanów dla M

M = ( Q , Σ, δ, q ₀ , F ) gdzie

• Q = { S ₁ , S ₂ },
• = {0, 1},
• q ₀ = S ₁ ,
• F = { S ₁ } i
• δ jest określone przez poniższą tabelę zmian stanów :

	0	1
S 1	S 2	S 1
S 2	S 1	S 2

Stan S ₁ oznacza, że ​​do tej pory na wejściu była parzysta liczba zer, podczas gdy S ₂ oznacza liczbę nieparzystą. 1 na wejściu nie zmienia stanu automatu. Gdy wejście się kończy, stan pokaże, czy wejście zawierało parzystą liczbę zer, czy nie. Jeśli dane wejściowe zawierały parzystą liczbę zer, M zakończy się w stanie S ₁ , czyli stanie akceptującym, więc łańcuch wejściowy zostanie zaakceptowany.

Język rozpoznawany przez M jest językiem regularnym podanym przez wyrażenie regularne 1*( 0 (1*) 0 (1*) )*, gdzie "*" jest gwiazdą Kleene , np. 1* oznacza dowolną liczbę nieujemną ( ewentualnie zero) symboli „1”.

• Wiele codziennych czynności wykonywanych bez zastanowienia wykorzystuje modele matematyczne. Rzut mapy geograficznej regionu Ziemi na małą, płaską powierzchnię to model, który można wykorzystać do wielu celów, takich jak planowanie podróży.
• Inną prostą czynnością jest przewidywanie położenia pojazdu na podstawie jego położenia początkowego, kierunku i prędkości jazdy, przy użyciu równania, że ​​przebyta odległość jest iloczynem czasu i prędkości. Jest to znane jako martwe liczenie, gdy jest używane bardziej formalnie. Modelowanie matematyczne w ten sposób niekoniecznie wymaga matematyki formalnej; wykazano, że zwierzęta stosują liczenie martwych.
• Wzrost populacji . Prostym (choć przybliżonym) modelem wzrostu populacji jest model wzrostu maltuzjańskiego . Nieco bardziej realistycznym i szeroko stosowanym modelem wzrostu populacji jest funkcja logistyczna i jej rozszerzenia.
• Model cząstki w polu potencjałowym . W modelu tym traktujemy cząstkę jako punkt masy, który opisuje trajektorię w przestrzeni, która jest modelowana przez funkcję podającą jej współrzędne w przestrzeni w funkcji czasu. Pole potencjalne dane jest funkcją, a trajektoria, czyli funkcja , jest rozwiązaniem równania różniczkowego:${\displaystyle V\!:\mathbb {R} ^{3}\!\rightarrow \mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} \!: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ Displaystyle - {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {2} \ mathbf {r} (t)} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} m = {\ Frac {\ częściowy V [\ mathbf {r} (t)]}{\częściowy x}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {\częściowy V[\mathbf {r} (t)]}{\częściowy y}}\ mathbf {\hat {y}} +{\frac {\częściowy V[\mathbf {r} (t)]}{\częściowy z}}\mathbf {\hat {z}} ,}$

które można zapisać również jako:

${\ Displaystyle m {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {2} \ mathbf {r} (t)} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = - \ nabla V [\ mathbf {r} (T)].}$

Zauważ, że ten model zakłada, że ​​cząstka jest masą punktową, co z pewnością jest fałszywe w wielu przypadkach, w których używamy tego modelu; na przykład jako model ruchu planet.

• Model racjonalnego zachowania konsumenta . W tym modelu zakładamy, że konsument ma do wyboru n towarów oznaczonych 1,2,..., n każdy o cenie rynkowej p ₁ , p ₂ ,..., p _n . Zakłada się, że konsument ma porządkową funkcję użyteczności U (porządkową w tym sensie, że znaczenie ma tylko znak różnic między dwiema użytecznościami, a nie poziom każdej użyteczności), w zależności od ilości towarów x ₁ , x ₂ ,..., x _n zużytych. Model dalej zakłada, że ​​konsument ma budżet M, który jest wykorzystywany do zakupu wektora x ₁ , x ₂ ,..., x _n w taki sposób, aby zmaksymalizować U ( x ₁ , x ₂ ,..., x _n ). Problem racjonalnego zachowania w tym modelu staje się wówczas problemem optymalizacji matematycznej , czyli:

${\ Displaystyle \ max U (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$

z zastrzeżeniem:

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} x_ {i} \ równa M.}$

${\displaystyle x_{i}\geq 0\;\;\;\forall i\in \{1,2,\ldots,n\}}$

Model ten był używany w wielu różnych kontekstach ekonomicznych, takich jak ogólna teoria równowagi, aby pokazać istnienie i efektywność Pareto równowagi ekonomicznej.

• Model wyczuwania sąsiada to model, który wyjaśniapowstawanie grzybów z początkowo chaotycznejsieci grzybów .
• W informatyce modele matematyczne mogą być wykorzystywane do symulacji sieci komputerowych.
• W mechanice modele matematyczne mogą być wykorzystywane do analizy ruchu modelu rakiety.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Książki

• Aris, Rutherford (1978) (1994). Techniki modelowania matematycznego , Nowy Jork: Dover. ISBN  0-486-68131-9
• Bender, EA [ 1978 ] ( 2000 ). Wprowadzenie do modelowania matematycznego , New York: Dover. ISBN  0-486-41180-X
• Gary Chartrand (1977) Wykresy jako modele matematyczne , Prindle, Webber & Schmidt ISBN  0871502364
• Dubois, G. (2018) „Modelowanie i symulacja” , Taylor & Francis, CRC Press.
• Gershenfeld, N. (1998) Natura modelowania matematycznego , Cambridge University Press ISBN  0-521-57095-6 .
• Lin, CC i Segel, LA (1988). Matematyka stosowana do problemów deterministycznych w naukach przyrodniczych , Filadelfia: SIAM. ISBN  0-89871-229-7

Specyficzne zastosowania

• Papadimitriou, Fivos. (2010). Matematyczne modelowanie przestrzenno-ekologicznych systemów złożonych: ocena. Geografia, środowisko, zrównoważony rozwój 1(3), 67-80. doi : 10.24057/2071-9388-2010-3-1-67-80
• Peierls, R. (1980). „Modelarstwo w fizyce”. Fizyka współczesna . 21 : 3–17. Kod Bibcode : 1980ConPh..21....3P . doi : 10.1080/00107518008210938 .
• Wprowadzenie do modelowania chorób zakaźnych autorstwa Emilii Vynnycky i Richarda G White'a.

Zewnętrzne linki

Ogólne odniesienie

• Patrone, F. Wprowadzenie do modelowania za pomocą równań różniczkowych , z uwagami krytycznymi.
• Plus pakiet dla nauczyciela i ucznia: Modelowanie matematyczne. Zawiera wszystkie artykuły na temat modelowania matematycznego z Plus Magazine , internetowego magazynu matematycznego wydawanego przez Millennium Mathematics Project na Uniwersytecie w Cambridge.

Filozoficzny

• Frigg, R. i S. Hartmann, Models in Science , w: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, (wydanie wiosna 2006)
• Griffiths, EC (2010) Co to jest model?