Kompleks CW - CW complex

CW-kompleks jest rodzajem przestrzeni topologicznej , która jest szczególnie ważna w topologii algebraicznej . Został wprowadzony przez JHC Whiteheada w celu zaspokojenia potrzeb teorii homotopii . Ta klasa przestrzeni jest szersza i ma lepsze właściwości kategoryczne niż kompleksy symplicjalne , ale nadal zachowuje kombinatoryczny charakter, który pozwala na obliczenia (często o znacznie mniejszym zespole). C oznacza „zamknięcie skończone”, a W o „słabym” topologii. Kompleks CW można zdefiniować indukcyjnie.

• 0- wymiarowy kompleks CW jest po prostu zbiorem zerowych lub więcej dyskretnych punktów (z dyskretną topologią ).
• 1- wymiarowe kompleks CW jest wykonana biorąc związek rozłączny z 0 CW przestrzennej złożonej z jednej lub większej liczby kopii w przedziale jednostkowej . Dla każdej kopii istnieje mapa, która „ przykleja ” swoją granicę (dwa punkty końcowe) do elementów kompleksu 0-wymiarowego (punkty). Topologia kompleksu CW jest topologią przestrzeni ilorazowej określonej przez te mapy sklejania.
• Ogólnie rzecz biorąc, n-wymiarowy kompleks CW jest konstruowany poprzez rozłączną sumę k- wymiarowego kompleksu CW (dla niektórych ) z jedną lub większą liczbą kopii n- wymiarowej kuli . Dla każdej kopii istnieje mapa, która „przykleja” jej granicę ( sferę -wymiarową ) do elementów kompleksu -wymiarowego. Topologia kompleksu CW to topologia ilorazowa zdefiniowana przez te mapy sklejania.${\displaystyle k<n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle k}$
• Kompleks CW nieskończonej wymiarowa może być wykonana przez powtórzenie powyższego procesu przeliczalnie wielokrotnie.

W n -wymiarowej kompleksu CW, dla każdego , A K komórek jest wnętrze k wymiarowej kuli dodany w k -tego punktu. K-szkielet kompleksu jest sumą wszystkich jego k komórkom b. ${\displaystyle k\leq n}$

Przykłady

Jak wspomniano powyżej, każdy zbiór punktów dyskretnych jest zespołem CW (o wymiarze 0).

1-wymiarowe kompleksy CW

Niektóre przykłady jednowymiarowych kompleksów CW to:

• Przerwa . Może być skonstruowany z dwóch punktów ( x i y ) i jednowymiarowej kuli B (przedziału), tak że jeden koniec B jest przyklejony do x, a drugi do y . Dwa punkty x i y to komórki zerowe; wnętrze B to 1-komórka. Alternatywnie może być skonstruowany tylko z jednego przedziału, bez komórek zerowych.
• Koło . Może być skonstruowany z pojedynczego punktu x i jednowymiarowej kuli B , tak że oba punkty końcowe B są sklejone z x . Alternatywnie, może być skonstruowany z dwóch punktów x i y oraz dwóch jednowymiarowych kul A i B tak, że punkty końcowe A są przyklejone do x i y , a punkty końcowe B są również przyklejone do x i y .
• Wykres . Jest to jednowymiarowy kompleks CW, w którym komórki zerowe są wierzchołkami, a komórki 1 są krawędziami. Punkty końcowe każdej krawędzi są identyfikowane z sąsiadującymi z nią wierzchołkami.
  • Grafy 3-regularne można uznać za ogólne jednowymiarowe kompleksy CW. Konkretnie, jeśli X jest jednowymiarowym kompleksem CW, mapą przyłączenia dla 1-komórki jest mapa z przestrzeni dwupunktowej do X , . Ta mapa może być zaburzona, aby była rozłączona od 0-szkieletu X wtedy i tylko wtedy, gdy i nie są 0-walencyjnymi wierzchołkami X .${\displaystyle f:\{0,1\}\do X}$${\ Displaystyle f (0)}$${\displaystyle f(1)}$
• Standardową strukturę CW na liczbach rzeczywistych ma wartość 0 szkieletu całkowitymi , jak 1-komórkach odstępach . Podobnie standardowa struktura CW ma komórki sześcienne, które są produktami 0 i 1 komórek z . Jest to standardowa struktura komórek sieci sześciennej na .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ {[n, n + 1]: n \ w \ mathbb {Z} \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Wielowymiarowe kompleksy CW

Niektóre przykłady wielowymiarowych kompleksów CW to:

• N wymiarowa sfera . Przyjmuje strukturę CW z dwiema komórkami, jedną komórką 0 i jedną komórką n. Tutaj komórka n jest przyłączona przez stałe mapowanie od jej granicy do pojedynczej komórki zerowej. Alternatywny rozkład komórek ma jedną ( n- 1)-wymiarową sferę („ równik ”) i dwie n- komórki, które są do niej przyłączone („górna półkula” i „dolna półkula”). Indukcyjnie daje to rozkład CW z dwoma komórkami w każdym wymiarze k takim, że .${\ Displaystyle D ^ {n}}$${\ Displaystyle S ^ {n-1}}$${\ Displaystyle S ^ {n}}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$
• N wymiarową rzeczywistym przestrzeni rzutowej . Dopuszcza strukturę CW z jedną komórką w każdym wymiarze.
• Terminologia ogólnego dwuwymiarowego kompleksu CW to cień .
• Wielościan jest naturalny kompleks CW.
• Rozmaitości Grassmannowskie dopuszczają strukturę CW zwaną komórkami Schuberta .
• Rozmaitość różniczkowa , algebraiczne i rzutowe odmiany mają homotopy typu kompleksów CW.
• Punktowe zwartym z kłowych hiperbolicznej kolektora ma kanoniczną CW rozkładu z tylko jedną 0 komórek (punkt zwarte) zwany Epsteina-Penner rozkładu . Takie rozkłady komórek są często nazywane idealnymi rozkładami wielościennymi i są wykorzystywane w popularnym oprogramowaniu komputerowym, takim jak SnapPea .

Niekompleksy CW

• Nieskończenie wymiarowa przestrzeń Hilberta nie jest kompleksem CW: jest przestrzenią Baire'a i dlatego nie może być zapisana jako policzalna suma n -szkieletów, z których każdy jest zbiorem domkniętym z pustym wnętrzem. Ten argument rozciąga się na wiele innych przestrzeni nieskończenie wymiarowych.
• Przestrzeń ma typ homotopii kompleksu CW (jest kurczliwa), ale nie dopuszcza rozkładu CW, ponieważ nie jest lokalnie kurczliwa .${\ Displaystyle \ {re ^ {2 \ pi ja \ theta}: 0 \ równoważnik r \ równoważnik 1, \ theta \ w \ mathbb {Q} \} \ podseteq \ mathbb {C}}$
• Hawajski kolczyk jest przykładem przestrzeni topologicznej, które nie mają homotopy typu kompleksu CW.

Sformułowanie

Z grubsza mówiąc, kompleks CW składa się z podstawowych cegiełek zwanych komórkami . Dokładna definicja określa, w jaki sposób komórki mogą być topologiczne sklejone ze sobą .

N wymiarowa zamknięta komórka jest obraz n -wymiarowej zamkniętym spotkaniu pod mocowania mapie . Na przykład, simpleks jest komórką zamkniętą, a bardziej ogólnie, politop wypukły jest komórką zamkniętą. N -wymiarowej o otwartych komórkach jest topologiczna przestrzeń, która jest homeomorficzny w n -wymiarowej otwartej kuli . Otwarta (i zamknięta) komórka 0-wymiarowa jest przestrzenią singletonową . Zamknięcie-skończone oznacza, że ​​każda zamknięta komórka jest pokryta skończonym połączeniem otwartych komórek (lub spotyka się tylko skończenie z wieloma innymi komórkami).

Kompleks CW jest do Hausdorffa X wraz z przegrodą z X do otwartych komórkach (na przykład po różnym wymiarze), że spełnia dwie dodatkowe właściwości:

• Dla każdej n- wymiarowej otwartej komórki C w podziale X istnieje ciągła mapa f od n- wymiarowej zamkniętej kuli do X, taka, że
  • ograniczenie f do wnętrza kuli zamkniętej jest homeomorfizmem na komórkę C , a
  • obraz granicy zamkniętej kuli jest zawarty w połączeniu skończonej liczby elementów przegrody, z których każdy ma wymiar komórki mniejszy niż n .
• Podzbiór X jest zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia zamknięcie każdej komórki w zamkniętym zbiorze.

Podział X jest również nazywany cellulacją .

Regularne kompleksy CW

Kompleks CW nazywamy regularnym, jeśli dla każdej n- wymiarowej otwartej komórki C w podziale X , ciągłe odwzorowanie f od n- wymiarowej kuli zamkniętej do X jest homeomorfizmem na zamknięcie komórki C . W związku z tym podział X nazywany jest również zwykłą cellulacją . Loopless wykres jest regularny 1-wymiarowej CW-kompleks. Zamkniętych komórek 2 wykres osadzanie na powierzchni jest regularny trójwymiarowy CW 2-kompleks. Wreszcie, hipoteza 3-sferycznej regularnej cellulacji twierdzi, że każdy 2- spójny wykres jest 1-szkieletem regularnego kompleksu CW na 3-wymiarowej sferze ( https://twiki.di.uniroma1.it/pub/Users/ SergioDeAgostino/DeAgostino.pdf ).

Względne kompleksy CW

Z grubsza mówiąc, względny kompleks CW różni się od kompleksu CW tym, że pozwalamy mu mieć jeden dodatkowy element budulcowy, który niekoniecznie posiada strukturę komórkową. Ten dodatkowy blok może być traktowany jako (-1)-wymiarowa komórka w poprzedniej definicji.

Indukcyjna budowa kompleksów CW

Jeśli największym wymiarem którejkolwiek z komórek jest n , to mówi się, że kompleks CW ma wymiar n . Jeśli nie ma ograniczenia do wymiarów komórki, mówi się, że jest nieskończenie wymiarowa. N -skeleton kompleksu CW jest związek z komórek, których wymiar wynosi co najwyżej n . Jeśli połączenie zbioru komórek jest zamknięte, to połączenie to samo w sobie jest kompleksem CW, zwanym podkompleksem. Zatem n- szkielet jest największym podkompleksem o wymiarze n lub mniejszym.

Kompleks CW jest często konstruowany poprzez indukcyjne definiowanie jego szkieletu poprzez „przyłączanie” komórek o coraz większych wymiarach. Przez „mocowania” w stosunku do N komórek b do topologii powierzchni X jeden oznacza suma spójna gdzie f jest ciągłą mapy z brzegu zamkniętej n -wymiarowej piłki do X . Aby skonstruować kompleks CW, zacznij od 0-wymiarowego kompleksu CW, czyli przestrzeni dyskretnej . Dołącz 1-komórki, aby uzyskać jednowymiarowy kompleks CW . Dołącz 2 komórki, aby uzyskać dwuwymiarowy kompleks CW . Kontynuując w ten sposób, otrzymujemy zagnieżdżony ciąg kompleksów CW o rosnącym wymiarze, taki, że if then jest i- szkieletem . ${\ Displaystyle B \ filiżanka _ {f} X}$${\ Displaystyle B \ podseteq R ^ {n}}$ ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\ Displaystyle X_ {0} \ podseteq X_ {1} \ podseteq \ cdots X_ {n} \ podseteq \ cdots}$${\displaystyle i\leq j}$${\ Displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle X_ {j}}$

Aż do izomorfizmu każdy n- wymiarowy kompleks CW może być otrzymany z jego ( n  − 1)-szkieletu poprzez dołączenie n -komórek, a zatem każdy skończenie wymiarowy kompleks CW może być zbudowany przez powyższy proces. Dotyczy to nawet kompleksów nieskończenie wymiarowych, przy założeniu, że wynikiem procesu nieskończonego jest bezpośrednia granica szkieletu: zbiór jest zamknięty w X wtedy i tylko wtedy, gdy spotyka się z każdym szkieletem w zbiorze domkniętym.

Homologia i kohomologia kompleksów CW

Pojedyncza homologia i kohomologia kompleksów CW jest łatwo obliczona poprzez homologię komórkową . Ponadto, w kategorii kompleksów CW i map komórkowych, homologię komórkową można interpretować jako teorię homologii . Aby obliczyć niezwykłą teorię (ko)homologii dla kompleksu CW, analogiem homologii komórkowej jest sekwencja widmowa Atiyah-Hirzebruch .

Kilka przykładów:

• Dla kuli weź rozkład komórek z dwoma komórkami: pojedynczą komórką 0 i jedną komórką n . Kompleks łańcucha homologii komórkowej i homologia są podane przez:${\ Displaystyle S ^ {n},}$ ${\displaystyle C_{*}}$

${\ Displaystyle C_ {k} = {\ zacząć {przypadki} \ mathbb {Z} & k \ w \ {0, n \} \ \ 0 i k \ notin \ {0, n \} \ koniec {przypadki}} \ quad H_ {k}={\begin{przypadki}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{przypadki}}}$

ponieważ wszystkie różnice są zerowe.

Alternatywnie, jeśli użyjemy rozkładu równikowego z dwiema komórkami w każdym wymiarze

${\ Displaystyle C_ {k} = {\ zacząć {przypadki} \ mathbb {Z} ^ {2} i 0 \ leqslant k \ leqslant n \ \ 0 i {\ tekst {inaczej}} \ koniec {przypadki}}}$

a różniczki są macierzami postaci Daje to te same obliczenia homologii powyżej, ponieważ kompleks łańcucha jest dokładny we wszystkich terminach z wyjątkiem i${\ Displaystyle \ lewo ({\ zacząć {mała matryca} 1 i 1 \ \ 1 i 1 \ koniec {mała matryca}} \ po prawej).}$${\displaystyle C_{0}}$${\ Displaystyle C_ {n}.}$

• Bo dostajemy podobnie${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (\ mathbb {C})}$

${\ Displaystyle H ^ {k} \ lewo (\ mathbb {P} ^ {n} (\ mathbb {C}) \ prawej) = {\ zacząć {przypadki} \ mathbb {Z} i 0 \ leqslant k \ leqslant 2n, {\text{ parzysty}}\\0&{\text{otherwise}}\end{przypadki}}}$

Oba powyższe przykłady są szczególnie proste, ponieważ homologia jest określona przez liczbę komórek — tj. mapy przyczepiania się komórek nie odgrywają żadnej roli w tych obliczeniach. Jest to bardzo szczególne zjawisko i nie wskazuje na ogólny przypadek.

Modyfikacja konstrukcji CW

Istnieje technika, opracowana przez Whiteheada, zastępująca kompleks CW kompleksem CW równoważnym homotopiom, który ma prostszy rozkład CW.

Rozważmy na przykład dowolny kompleks CW. Jego 1-szkielet może być dość skomplikowany, będąc dowolnym wykresem . Rozważmy teraz maksymalny las F na tym wykresie. Ponieważ jest to zbiór drzew, a drzewa są kurczliwe, rozważ przestrzeń, w której generowana jest relacja równoważności, jeśli są one zawarte we wspólnym drzewie w maksymalnym lesie F . Mapa ilorazu jest równoważnością homotopii. Co więcej, naturalnie dziedziczy strukturę CW, z komórkami odpowiadającymi komórkom , które nie są zawarte w F . W szczególności 1-szkielet jest rozłącznym połączeniem klinów kół. ${\displaystyle X/{\sim}}$${\displaystyle x\sim y}$${\ Displaystyle X \ do X/ {\ SIM}}$${\displaystyle X/{\sim}}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim}}$

Innym sposobem stwierdzenia powyższego jest to, że połączony kompleks CW można zastąpić równoważnym homotopijnie kompleksem CW, którego szkielet zerowy składa się z jednego punktu.

Rozważ wspinanie się po drabinie łączności — załóżmy, że X jest prosto połączonym kompleksem CW, którego szkielet zerowy składa się z punktu. Czy możemy, poprzez odpowiednie modyfikacje, zastąpić X kompleksem CW równoważnym homotopiom, w którym składa się z jednego punktu? Odpowiedź brzmi tak. Pierwszym krokiem jest, aby zauważyć, że i dołączanie do skonstruowania mapy z formularza do prezentacji grupy . Twierdzenie Tietze do prezentacji grupy państw, które istnieje sekwencja ruchów możemy wykonać, aby zmniejszyć tę prezentację grupy do banalnej prezentacji grupa trywialna. Istnieją dwa ruchy Tietze: ${\ Displaystyle X ^ {1}}$${\ Displaystyle X ^ {1}}$${\ Displaystyle X ^ {2}}$${\ Displaystyle X ^ {1}}$

1) Dodawanie/usuwanie generatora. Dodanie generatora, z punktu widzenia rozkładu CW, polega na dodaniu 1-komórki i 2-komórki, których mapa dołączania składa się z nowej 1-komórki, a pozostała część mapy dołączania znajduje się w . Jeśli pozwolimy, aby był odpowiadającym kompleksem CW, to istnieje równoważność homotopii dana przez wsunięcie nowej 2-komórki do X .${\ Displaystyle X ^ {1}}$${\ Displaystyle {\ tylda {X}}}$${\ Displaystyle {\ tylda {X}} = X \ filiżanka e ^ {1} \ filiżanka e ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ tylda {X}} \ do X}$

2) Dodawanie/usuwanie relacji. Czynnością dodawania związku jest podobna, tylko jeden jest zastąpienie X w którym nowy 3 komórek beta ma mocującą mapę, która składa się z nowym odwzorowaniu 2-komórka i pozostałego obszaru . Podobny slajd daje równoważność homotopii .${\ Displaystyle {\ tylda {X}} = X \ filiżanka e ^ {2} \ filiżanka e ^ {3}}$${\ Displaystyle X ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ tylda {X}} \ do X}$

Jeśli kompleks CW X jest n- spójny, można znaleźć równoważny homotopijnie kompleks CW, którego n- szkielet składa się z jednego punktu. Argument za jest podobny do przypadku, tylko jeden zastępuje ruchy Tietze dla prezentacji grup podstawowych przez elementarne operacje na macierzach dla prezentacji macierzy dla (używając macierzy prezentacji pochodzących z homologii komórkowej . tj.: można podobnie wykonać elementarne operacje na macierzach przez sekwencję dodawania/usuwania komórek lub odpowiednich homotopii dołączonych map. ${\ Displaystyle {\ tylda {X}}}$${\ Displaystyle X ^ {n}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle n=1}$${\ Displaystyle H_ {n} (X; \ mathbb {Z})}$

„Kategoria homotopii”

Homotopią kategoria kompleksów CW jest, zdaniem niektórych ekspertów, najlepszym, jeśli nie jedynym kandydatem do tej kategorii homotopii (z przyczyn technicznych Wersja dla spiczastych przestrzeni jest rzeczywiście używany). Konstrukcje pomocnicze, które dają przestrzenie, które nie są kompleksami CW, muszą być czasami używane. Jednym z podstawowych wyników jest to, że reprezentowalne funktory w kategorii homotopii mają prostą charakterystykę ( twierdzenie Browna o reprezentacyjności ).

Nieruchomości

• Kompleksy CW są lokalnie kurczliwe.
• Kompleksy CW spełniają twierdzenie Whiteheada : odwzorowanie między kompleksami CW jest równoważnością homotopii wtedy i tylko wtedy, gdy wywołuje izomorfizm na wszystkich grupach homotopii.
• Produkt dwóch kompleksów CW można przekształcić w kompleks CW. W szczególności, jeśli X i Y są kompleksami CW, to można utworzyć kompleks CW X × Y, w którym każda komórka jest produktem komórki w X i komórki w Y , obdarzonej słabą topologią . Zestaw bazowego X x Y jest następnie iloczyn z X i Y , jak oczekiwano. Ponadto słaba topologia w tym zbiorze często zgadza się z bardziej znaną topologią produktu na X × Y , na przykład jeśli X lub Y są skończone. Jednak słaba topologia może być bardziej precyzyjna niż topologia produktu, na przykład jeśli ani X, ani Y nie są lokalnie zwarte . W tym niekorzystnym przypadku iloczyn X × Y w topologii produktu nie jest zespołem CW. Z drugiej strony iloczyn X i Y w kategorii przestrzeni generowanych zwartych zgadza się ze słabą topologią i dlatego definiuje kompleks CW.
• Niech X i Y będą kompleksami CW. Wtedy przestrzenie funkcyjne Hom( X , Y ) (z topologią zwarto-otwartą ) nie są ogólnie zespołami CW. Jeśli X jest skończone, to Hom( X , Y ) jest homotopijnie równoważny kompleksowi CW według twierdzenia Johna Milnora (1959). Zauważ, że X i Y są zwarto wygenerowanymi przestrzeniami Hausdorffa , więc Hom( X , Y ) jest często brane z zwarto wygenerowanym wariantem topologii zwarto-otwartej; powyższe stwierdzenia pozostają prawdziwe.
• Nakrycie kompleksu CW jest również kompleks CW.
• Kompleksy CW są parakompaktowe . Skończone kompleksy CW są kompaktowe . Zwarta podprzestrzeń kompleksu CW jest zawsze zawarta w skończonym podkompleksie.

Zobacz też

• Abstrakcyjny kompleks komórkowy
• Pojęcie kompleksu CW jest przystosowane do gładkich rozmaitości zwanych rozkładem uchwytu , co jest ściśle związane z teorią chirurgii .

Bibliografia

Uwagi

Ogólne odniesienia