Interwał jednostkowy - Unit interval
W matematyce , przedział jednostkowy jest zamknięty przedział [0,1] , to znaczy, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych , które są większe lub równe 0 i mniejsze lub równe 1. To jest często oznaczany I (wielka litera ja ). Oprócz swojej roli w analizie rzeczywistej , przedział jednostkowy jest wykorzystywany do badania teorii homotopii w dziedzinie topologii .
W literaturze termin „przedział jednostkowy” jest czasami stosowany do innych kształtów, które może przyjąć przedział od 0 do 1: (0,1] , [0,1) i (0,1) . Jednak notacja I jest najczęściej zarezerwowana dla przedziału domkniętego [0,1] .
Nieruchomości
Odstęp jednostkowy jest całkowitą przestrzenią metryczną , homeomorficzną względem rozszerzonej linii liczb rzeczywistych . Jako przestrzeń topologiczna jest zwarta , kurczliwa , ścieżkowa i lokalnie ścieżkowa . Hilbert kostka jest otrzymywany poprzez produkt topologiczną przeliczalnie wielu kopii przedział jednostkowy.
W analizie matematycznej przedział jednostkowy jest jednowymiarową rozmaitością analityczną, której granica składa się z dwóch punktów 0 i 1. Jego standardowa orientacja zmienia się od 0 do 1.
Interwał jednostkowy jest całkowicie uporządkowanym zbiorem i kompletną siecią (każdy podzbiór interwału jednostkowego ma wartość supremum i infimum ).
Kardynalność
Rozmiar lub liczność zbioru jest liczba elementów w niej zawartych.
Interwał jednostka jest podzbiorem z liczb rzeczywistych . Ma jednak taki sam rozmiar jak cały zestaw: liczność kontinuum . Ponieważ liczb rzeczywistych można używać do reprezentowania punktów wzdłuż nieskończenie długiej linii , oznacza to, że odcinek o długości 1, który jest częścią tej linii, ma taką samą liczbę punktów jak cała linia. Co więcej, ma taką samą liczbę punktów jak kwadrat o polu 1, jak sześcian o objętości 1, a nawet jako nieograniczona n- wymiarowa przestrzeń euklidesowa (patrz krzywa wypełniania przestrzeni ).
Liczba elementów (zarówno liczb rzeczywistych, jak i punktów) we wszystkich wyżej wymienionych zbiorach jest niepoliczalna , gdyż jest ściśle większa od liczby liczb naturalnych .
Uogólnienia
Odstęp [-1,1] , o długości dwa, ograniczony przez pozytywnych i negatywnych jednostek występuje często, tak jak w zakresie od funkcji trygonometrycznych sinus i cosinus, a hiperbolicznej funkcji Tanh. Okres ten może być stosowany do domeny z funkcji odwrotnych . Na przykład, gdy 𝜃 jest ograniczone do [-π/2, π/2], to znajduje się w tym przedziale i jest tam zdefiniowany arcus sinus.
Czasami termin „przedział jednostkowy” jest używany w odniesieniu do obiektów, które odgrywają rolę w różnych gałęziach matematyki analogiczną do roli, jaką [0,1] odgrywa w teorii homotopii. Na przykład w teorii kołczanów , (analogem) odstępu jednostkowego jest graf, którego zbiór wierzchołków jest i który zawiera pojedynczą krawędź e, której źródłem jest 0, a celem jest 1. Można wtedy zdefiniować pojęcie homotopii między kołczan homomorfizmy analogiczne do pojęcia homotopii pomiędzy ciągłymi mapach.
Logika rozmyta
W logice , przedział jednostkowy [0,1] może być interpretowany jako uogólnienie domeny Boole'a {0,1}, w którym to przypadku zamiast przyjmowania tylko wartości 0 lub 1, można przyjąć dowolną wartość pomiędzy 0 i 1 włącznie. . Algebraicznie negacja (NOT) jest zastępowana przez 1 − x ; koniunkcja (AND) zostaje zastąpiona przez mnożenie ( xy ); a alternatywa (OR) jest zdefiniowana zgodnie z prawami De Morgana jako 1 − (1 − x )(1 − y ) .
Interpretacja tych wartości jako logicznej prawdy daje logikę wielowartościową , która stanowi podstawę logiki rozmytej i logiki probabilistycznej . W tych interpretacjach wartość jest interpretowana jako „stopień” prawdziwości – w jakim stopniu zdanie jest prawdziwe lub prawdopodobieństwo, że zdanie jest prawdziwe.
Zobacz też
- Notacja interwałowa
- Kwadrat jednostkowy , sześcian , koło , hiperbola i sfera
- Impuls jednostkowy
- Wektor jednostkowy
Bibliografia
- Robert G. Bartle, 1964, Elementy analizy rzeczywistej , John Wiley & Sons.