Twierdzenie Whiteheada - Whitehead theorem

W teorii homotopii (gałęzi matematyki ), twierdzenie Whiteheada stwierdza, że ​​jeśli ciągłe mapowanie f między kompleksami X i Y CW indukuje izomorfizmy we wszystkich grupach homotopii , to f jest równoważnością homotopii . Wynik ten został udowodniony przez JHC Whiteheada w dwóch przełomowych pracach z 1949 roku i uzasadnia pracę nad koncepcją kompleksu CW, którą tam przedstawił. Jest to modelowy wynik topologii algebraicznej , w której zachowanie pewnych niezmienników algebraicznych (w tym przypadku grup homotopii) determinuje topologiczną właściwość odwzorowania.

Komunikat

Bardziej szczegółowo, niech X i Y będą przestrzeniami topologicznymi . Biorąc pod uwagę ciągłe mapowanie

${\ displaystyle f \ dwukropek X \ do Y}$

i punkt x w X , rozważmy dla każdego n ≥ 1 indukowany homomorfizm

${\ Displaystyle f _ {*} \ dwukropek \ pi _ {n} (X, x) \ do \ pi _ {n} (Y, f (x)),}$

gdzie π _n ( X , x ) oznacza n-tą grupę homotopii X o punkcie bazowym x . (W przypadku n = 0, π ₀ ( X ), to znaczy zestaw elementów toru z X ). Mapa F jest słaby homotopią równoważne , jeśli funkcja

${\ Displaystyle f _ {*} \ dwukropek \ pi _ {0} (X) \ do \ pi _ {0} (Y)}$

jest bijective oraz homomorfizmy f _* są bijective dla wszystkich x w X i wszystkie n ≥ 1. (W przypadku X i Y ścieżka połączony pierwszy stan jest automatyczne, a wystarczy podać drugi warunek jednym punkcie x w X. ) Twierdzenie Whiteheada stwierdza, że ​​słaba równoważność homotopii od jednego kompleksu CW do drugiego jest równoważnością homotopii. (Oznacza to, że mapa f : X → Y ma odwrotność homotopii g : Y → X , co wcale nie jest jasne z założeń.) Z tego wynika ten sam wniosek dla przestrzeni X i Y, które są homotopiami równoważnymi kompleksom CW.

Połączenie tego z twierdzeniem Hurewicza daje użyteczne następstwo: ciągła mapa między prostymi połączonymi kompleksami CW, która indukuje izomorfizm we wszystkich integralnych grupach homologii , jest równoważnością homotopii. ${\ displaystyle f \ dwukropek X \ do Y}$

Przestrzenie z izomorficznymi grupami homotopii nie mogą być równoważne homotopii

Uwaga: nie wystarczy założyć, że π _n ( X ) jest izomorficzne do π _n ( Y ) dla każdego n , aby stwierdzić, że X i Y są równoważne homotopii. Naprawdę potrzebna jest mapa f  : X → Y indukująca izomorfizm na grupach homotopii. Na przykład, weź X = S ² × RP ³ i Y = RP ² × S ³ . Wtedy X i Y mają tę samą grupę podstawową , a mianowicie cykliczną grupę Z / 2 i to samo uniwersalne pokrycie, mianowicie S ² × S ³ ; zatem mają izomorficzne grupy homotopii. Z drugiej strony ich grupy homologiczne są różne (jak widać ze wzoru Künneth ); zatem X i Y nie są równoważne homotopii.

Twierdzenie Whiteheada nie dotyczy ogólnych przestrzeni topologicznych, a nawet wszystkich podprzestrzeni R ⁿ . Na przykład okrąg warszawski , zwarty podzbiór płaszczyzny, ma wszystkie grupy homotopii równe zero, ale mapa od koła warszawskiego do pojedynczego punktu nie jest równoważnością homotopii. Badanie możliwych uogólnień twierdzenia Whiteheada na bardziej ogólne przestrzenie jest częścią przedmiotu teorii kształtu .

Uogólnienie na kategorie modeli

W każdej kategorii modelowej słaba równoważność między obiektami współwłókniaczko-włóknistymi jest równoważnością homotopii.

Bibliografia

• JHC Whitehead, Kombinatoryczna homotopia. Ja , Bull. Amer. Matematyka. Soc., 55 (1949), 213–245
• JHC Whitehead, Kombinatoryczna homotopia. II. , Byk. Amer. Matematyka. Soc., 55 (1949), 453–496
• A. Hatcher, Algebraic topology , Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii + 544 str. ISBN   0-521-79160-X i ISBN   0-521-79540-0 (patrz Twierdzenie 4.5)