Tensor naprężenia i energii - Stress–energy tensor

Ogólna teoria względności
${\ Displaystyle G_ {\ mu \ nu} + \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ nad c ^ {4}} T_ {\ mu \ nu}}$
Wstęp Historia Sformułowanie matematyczne Testy
Idee fundamentalne Zasada równoważności Szczególna teoria względności Linia światowa Rozmaitość pseudo-Riemanna
Zjawiska Problem Keplera Soczewkowanie grawitacyjne Fale grawitacyjne Przeciąganie ramek Efekt geodezyjny Horyzont zdarzeń Osobliwość Czarna dziura Czas, przestrzeń Diagramy czasoprzestrzeni Czasoprzestrzeń Minkowskiego Most Einsteina-Rosena
Równania Formalizmy Równania Zlinearyzowana grawitacja Równania pola Einsteina Friedmann Geodezja Mathisson–Papapetrou–Dixon Hamilton-Jacobi-Einstein Formalizmy ADM BSSN Post-Newtonowski Zaawansowana teoria Teoria Kaluzy-Kleina Grawitacja kwantowa
Rozwiązania Schwarzschild ( wnętrze ) Reissner-Nordström Godel Kerra Kerr–Newman Kasner Lemaître–Tolman Taub-NUT Milne Robertson-Walker pp-fala van Stockum kurz Weyl-Lewis-Papapetrou
Naukowcy Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschilda de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Godel Kołodziej Robertson Bardeen Piechur Kerra Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Rachaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nowy człowiek Yau Thorne inni
Portal fizyczny  Kategoria
v T mi

Tensor naprężeń energii , czasami nazywany tensor naprężeń energii, pęd lub tensor energii pędu , jest napinacz fizyczną wielkość , która opisuje gęstości i przepływu z energii i pędu w czasoprzestrzeni , uogólniając tensor naprężeń w fizyce Newtona . Jest to atrybut materii , promieniowania i niegrawitacyjnych pól sił . Gęstość i strumień energii i pędu są źródła w polu grawitacyjnym w Równanie Einsteina o ogólnym względność , jak gęstość masy jest źródłem takiego pola w newtonowskiej grawitacji .

Definicja

Tensor naprężenie-energia wykorzystuje zmienne indeksowane w indeksie górnym ( nie wykładniki; patrz notacja indeksu tensora i notacja sumowania Einsteina ). Jeżeli używane są współrzędne kartezjańskie w jednostkach SI , to składowe położenia czterowektorowego są podane przez: x ⁰ = t , x ¹ = x , x ² = y , oraz x ³ = z , gdzie t jest czasem w sekundach, a x , y i z są odległościami w metrach.

Tensor naprężeń energii jest zdefiniowane jako napinacz T ^αβ porządku dwa, że daje strumień z następujących a th składowej pędu wektora całej powierzchni o stałej x ^β współrzędnych . W teorii względności ten wektor pędu jest traktowany jako czteropęd . W ogólnej teorii względności tensor naprężenie–energia jest symetryczny,

${\ Displaystyle T ^ {\ alfa \ beta} = T ^ {\ beta \ alfa}.}$

W niektórych alternatywnych teoriach, takich jak teoria Einsteina-Cartana , tensor naprężenie-energia może nie być idealnie symetryczny z powodu niezerowego tensora spinu , który geometrycznie odpowiada niezerowemu tensorowi torsyjnemu .

Składniki tensora energii naprężenia

Ponieważ tensor naprężenie-energia jest rzędu 2, jego składowe można przedstawić w postaci macierzy 4×4:

${\ Displaystyle (T ^ {\ mu \ nu}) _ {\ mu, \ nu = 0,1,2,3} = {\ zacząć {pmatrix} T ^ {00} i T ^ {01} i T ^ {02 }&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23} \\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}.}$

W dalszej części K i £ -l zakresie od 1 do 3:

W fizyce ciała stałego i mechanice płynów tensor naprężeń definiuje się jako przestrzenne składowe tensora naprężenia i energii we właściwym układzie odniesienia. Innymi słowy, tensor energii naprężenia w inżynierii różni się od relatywistycznego tensora naprężenia i energii terminem pędu i konwekcji.

Formy kowariantne i mieszane

Większość tego artykułu dotyczy formy kontrawariantnej, T ^μν tensora naprężenie-energia. Często jednak konieczna jest praca z formą kowariantną,

${\ Displaystyle T_ {\ mu \ nu} = T ^ {\ alfa \ beta} g_ {\ alfa \ mu} g_ {\ beta \ nu},}$

lub forma mieszana,

${\ Displaystyle T ^ {\ mu} {} _ {\ nu} = T ^ {\ mu \ alfa} g_ {\ alfa \ nu},}$

lub jako mieszana gęstość tensora

${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} ^ {\ mu} {} _ {\ nu} = T ^ {\ mu {} _ {\ nu} {\ sqrt {-g}} \}$

W tym artykule zastosowano konwencję znaków spacji (-+++) dla podpisu metryki.

Prawo konserwatorskie

W szczególnej teorii względności

Tensor naprężenia i energii jest zachowanym prądem Noether związanym z translacją czasoprzestrzeni .

Rozbieżność niegrawitacyjnej energii naprężeń wynosi zero. Innymi słowy, energia niegrawitacyjna i pęd są zachowane,

${\ Displaystyle 0 = T ^ {\ mu \ nu {} _ {; \ nu } = \ nabla _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu} {}. \!}$

Gdy grawitacja jest znikoma i używa kartezjańskiego układu współrzędnych dla czasoprzestrzeni, może to być wyrażone w postaci pochodnych cząstkowych jako

${\ Displaystyle 0 = T ^ {\ mu \ nu} {} _ {\ nu} = \ częściowy _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu}. \!}$

Integralną formą tego jest

${\ Displaystyle 0 = \ int _ {\ częściowy N} T ^ {\ mu \ nu} \ operatorname {d} ^ {3} s_ {\ nu} \!}$

gdzie N jest dowolnym zwartym czterowymiarowym obszarem czasoprzestrzeni; jest jego granicą, trójwymiarową hiperpowierzchnią; i jest elementem granicy uważanej za normalną skierowaną na zewnątrz. ${\ Displaystyle \ częściowe N}$${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}s_{\nu}}$

W płaskiej czasoprzestrzeni i przy użyciu współrzędnych kartezjańskich, jeśli połączy się to z symetrią tensora naprężenie-energia, można wykazać, że moment pędu jest również zachowany:

${\ Displaystyle 0 = (x ^ {\ alfa} T ^ {\ mu \ nu}-x ^ {\ mu} T ^ {\ alfa \ nu}) _ {\ nu}. \!}$

W ogólnej teorii względności

Kiedy grawitacja jest nie do pominięcia lub gdy używa się arbitralnych układów współrzędnych, rozbieżność naprężeń-energii wciąż zanika. Ale w tym przypadku stosuje się definicję dywergencji bez współrzędnych, która zawiera pochodną kowariantną

${\ Displaystyle 0 = \ nazwa operatora {div} T = T ^ {\ mu \ nu {} _ {; \ nu} = \ nabla _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu} = T ^ {\ mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}$

gdzie jest symbol Christoffela, czyli grawitacyjne pole siłowe . ${\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ sigma \ nu}}$

W konsekwencji, jeśli jest dowolnym polem wektora zabijania , to prawo zachowania związane z symetrią generowaną przez pole wektora zabijania może być wyrażone jako ${\ Displaystyle \ xi ^ {\ mu}}$

${\ Displaystyle 0 = \ nabla _ {\ nu} \ lewo (\ xi ^ {\ mu} T_ {\ mu} ^ {\ nu} \ prawej) = {\ Frac {1} {\ sqrt {-g}} }\partial _{\nu }\left({\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)}$

Integralną formą tego jest

${\ Displaystyle 0 = \ int _ {\ częściowy N} {\ sqrt {-g}} \ \ xi ^ {\ mu} T_ {\ mu} ^ {\ nu } \ \ operatorname {d} ^ {3}s_ {\nu }=\int _{\częściowe N}\xi ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\ nie }}$

W szczególnej teorii względności

W szczególnej teorii względności tensor naprężenie-energia zawiera informacje o gęstości energii i pędu danego układu, oprócz gęstości pędu i strumienia energii.

Mając gęstość Lagrange'a, która jest funkcją zbioru pól i ich pochodnych, ale wyraźnie nie żadnej ze współrzędnych czasoprzestrzennych, możemy skonstruować tensor, patrząc na pochodną całkowitą w odniesieniu do jednej z uogólnionych współrzędnych układu. Tak więc z naszym stanem ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \phi _{\alfa}}$

${\displaystyle {\frac {\częściowy {\mathcal {l}}}{\częściowy x_{\nu}}}=0}$

Stosując regułę łańcucha, mamy

${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {l}}}{dx_{\nu}}}=\częściowy ^{\nu}{\mathcal {l}}={\frac {\częściowy {\mathcal { L}}}{\częściowy (\częściowy _{\mu }\phi _{\alpha })}}{\frac {\częściowy (\częściowy _{\mu }\phi _{\alpha })}{\ częściowe x_{\nu }}}+{\frac {\częściowe {\mathcal {L}}}{\częściowe \phi _{\alpha }}}{\frac {\częściowe \phi _{\alpha }}{ \częściowe x_{\nu }}}}$

Napisany przydatnym skrótem,

${\ Displaystyle \ częściowy ^ {\ nu} {\ mathcal {l}} = {\ frac {\ częściowy {\ mathcal {l}}} {\ częściowy (\ częściowy _ {\ mu} \ phi _ {\ alfa} )}}\partial ^{\nu }\partial _{\mu }\phi _{\alpha }+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }} }\częściowy ^{\nu }\phi _{\alpha }}$

Następnie możemy skorzystać z równania Eulera–Lagrange’a:

${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ mu} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy {\ matematyczny {L}}}} \ częściowy (\ częściowy _ {\ mu} \ phi _ {\ alfa})}} \ prawo )={\frac {\częściowy {\mathcal {L}}}{\częściowy \phi _{\alpha }}}}$

A potem wykorzystaj fakt, że pochodne cząstkowe komutują tak, że teraz mamy

${\ Displaystyle \ częściowy ^ {\ nu} {\ mathcal {l}} = {\ frac {\ częściowy {\ mathcal {l}}} {\ częściowy (\ częściowy _ {\ mu} \ phi _ {\ alfa} )}}\partial _{\mu }\partial ^{\nu }\phi _{\alpha }+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{ \partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)\partial ^{\nu }\phi _{\alpha }}$

Prawą stronę możemy uznać za regułę produktu. Zapisanie go jako pochodnej iloczynu funkcji mówi nam, że

${\ Displaystyle \ częściowy ^ {\ nu} {\ mathcal {l}} = \ częściowy _ {\ mu} \ lewo [{\ Frac {\ częściowy {\ mathcal {l}}}} {\ częściowy (\ częściowy _ { \mu }\phi _{\alpha })}}\częściowy ^{\nu }\phi _{\alpha }\right]}$

Teraz w płaskiej przestrzeni można pisać . Zrobienie tego i przeniesienie na drugą stronę równania mówi nam, że ${\ Displaystyle \ częściowy ^ {\ nu} {\ mathcal {L}} = \ częściowy _ {\ mu} g ^ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}}}$

${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ mu} \ lewo [{\ Frac {\ częściowy {\ matematyczny {L}}} {\ częściowy (\ częściowy _ {\ mu} \ phi _ {\ alfa})}} \ częściowy ^{\nu }\phi _{\alpha }\right]-\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

I po przegrupowaniu warunków,

${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ mu} \ lewo [{\ Frac {\ częściowy {\ matematyczny {L}}}} \ częściowy (\ częściowy _ {\ mu} \ phi _ {\ alfa})}} \ częściowy ^{\nu }\phi _{\alpha }-g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}\right]=0}$

To znaczy, że rozbieżność tensora w nawiasach wynosi 0. Rzeczywiście, w ten sposób definiujemy tensor naprężenie-energia:

${\ Displaystyle T ^ {\ mu \ nu } \ równoważny {\ Frac {\ częściowy {\ mathcal {L}}} {\ częściowy (\ częściowy _ {\ mu} \ phi _ {\ alfa})}} \ częściowy ^{\nu }\phi _{\alpha }-g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}}$

Dzięki budowie ma tę właściwość, że

${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} = 0}$

Zauważ, że ta nierozbieżna własność tego tensora jest równoważna czterem równaniom ciągłości . Oznacza to, że pola mają co najmniej cztery zestawy wielkości, które są zgodne z równaniem ciągłości. Jako przykład można zauważyć, że jest to gęstość energii układu, a zatem możliwe jest otrzymanie gęstości Hamiltona z tensora naprężenie–energia. ${\displaystyle T_{0}^{0}}$

Rzeczywiście, skoro tak jest, to obserwując to , to mamy ${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ mu} T ^ {\ mu 0} = 0}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy {\ mathcal {H}}}{\ częściowy t}} + \ nabla \ cdot \ lewo ({\ Frac {\ częściowy {\ matematyczny {L}}}} {\ częściowy \ nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }\right)=0}$

Możemy wtedy wywnioskować, że warunki reprezentują gęstość strumienia energii systemu. ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy {\ mathcal {L}}}{\ częściowy \ nabla \ phi _ {\ alfa}}}{\ kropka {\ phi}} _ {\ alfa}}$

Namierzać

Zauważ, że ślad tensora naprężenia-energii jest zdefiniowany jako , gdzie ${\ Displaystyle T_ {\ mu} ^ {\ mu}}$

${\ Displaystyle T_ {\ mu} ^ {\ mu} = T ^ {\ mu \ nu} g_ {\ nu \ mu}.}$

Kiedy użyjemy wzoru na tensor stresu-energii znalezionego powyżej,

${\ Displaystyle T_ {\ mu } ^ {\ mu} = {\ Frac {\ częściowy {\ matematyczny {L}}} {\ częściowy (\ częściowy _ {\ mu} \ phi _ {\ alfa})}} g_ {\mu \nu }\częściowy ^{\nu }\phi _{\alpha }-g_{\mu \nu }g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}.}$

Wykorzystując podnoszące i obniżające właściwości metryki i że , ${\ Displaystyle g ^ {\ mu \ nu} g_ {\ mu \ alfa} = \ delta _ {\ alfa} ^ {\ nu}}$

${\ Displaystyle T_ {\ mu } ^ {\ mu } = {\ Frac {\ częściowy {\ matematyczny {L}}} {\ częściowy (\ częściowy _ {\ mu} \ phi _ {\ alfa})}} \ częściowe _{\mu }\phi _{\alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\mathcal {L}}.}$

Ponieważ , ${\ Displaystyle \ delta _ {\ mu} ^ {\ mu} = 4}$

${\ Displaystyle T_ {\ mu } ^ {\ mu} = {\ Frac {\ częściowy {\ mathcal {L}}} {\ częściowy (\ częściowy _ {\ mu} \ phi _ {\ alfa})}} \ częściowe _{\mu }\phi _{\alpha }-4{\mathcal {L}}.}$

W ogólnej teorii względności

W ogólnym wzgl The symetryczny tensor naprężeń energii działa jako źródło czasoprzestrzeni krzywizny i jest gęstość prądu związane z przemianami wzorcowych ciężkości, które są ogólnie krzywoliniowy transformacji współrzędnych . (Jeśli występuje skręcanie , to tensor nie jest już symetryczny. Odpowiada to przypadkowi z niezerowym tensorem spinu w teorii grawitacji Einsteina-Cartana ).

W ogólnej teorii względności pochodne cząstkowe używane w szczególnej teorii względności zastępuje się pochodnymi kowariantnymi . Oznacza to, że z równania ciągłości nie wynika już, że niegrawitacyjna energia i pęd wyrażone przez tensor są absolutnie zachowane, tzn. pole grawitacyjne może działać na materię i odwrotnie. W klasycznej granicy grawitacji newtonowskiej ma to prostą interpretację: energia kinetyczna jest wymieniana z grawitacyjną energią potencjalną , która nie jest zawarta w tensorze, a pęd jest przenoszony przez pole na inne ciała. W ogólnej teorii względności pseudotensor Landaua-Lifshitza jest unikalnym sposobem określania energii pola grawitacyjnego i gęstości pędu. Każdy taki pseudotensor naprężeń i energii może zniknąć lokalnie przez transformację współrzędnych.

W zakrzywionej czasoprzestrzeni całka przestrzennopodobna zależy teraz ogólnie od przestrzennopodobnego wycinka. W rzeczywistości nie ma sposobu na zdefiniowanie globalnego wektora energii i pędu w ogólnej zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Równania pola Einsteina

W ogólnej teorii względności tensor naprężenie-energia jest badany w kontekście równań pola Einsteina, które są często zapisywane jako

${\ Displaystyle R_ {\ mu \ nu} - {\ tfrac {1} {2}} R \ g_ {\ mu \ nu} + \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ ponad c ^{4}}T_{\mu \nu },}$

gdzie to tensor Ricciego , to skalar Ricciego ( skrócenie tensora tensora Ricciego), to tensor metryczny , Λ to stała kosmologiczna (nieistotna w skali galaktyki lub mniejszej) i jest uniwersalną stałą grawitacyjną . ${\ Displaystyle R_ {\ mu \ nu}}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle g_{\mu\nu}\,}$${\ Displaystyle G}$

Stres – energia w szczególnych sytuacjach

Izolowana cząsteczka

W szczególnej teorii względności energia naprężenia nieoddziałującej cząstki o masie spoczynkowej m i trajektorii wynosi: ${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {\ tekst {p}} (t)}$

${\ Displaystyle T ^ {\ alfa \ beta} (\ mathbf {x}, t) = {\ Frac {m \, v ^ {\ alfa} (t) v ^ {\ beta} (t)} {\ sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta \left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t)\right)= {\frac {E}{c^{2}}}\;v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf { x} _{\text{p}}(t))}$

gdzie jest wektor prędkości (którego nie należy mylić z czterema prędkościami , ponieważ brakuje w nim a ) ${\ Displaystyle \ lewo (v ^ {\ alfa} \ prawej) _ {\ alfa = 0,1,2,3} \!}$${\ Displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ lewo (v ^ {\ alfa} \ prawej) _ {\ alfa = 0,1, 2, 3} = \ lewo (1, {\ Frac {d \ mathbf {x} _ {\ tekst {p }}}{dt}}(t)\prawo)\,,}$

${\ Displaystyle \ delta}$jest funkcją delta Diraca i jest energią cząstki. ${\ Displaystyle E = {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}}}$

Napisany w języku fizyki klasycznej tensor naprężenia-energii byłby (masą relatywistyczną, pędem, iloczynem diad pędu i prędkości)

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {E} {c ^ {2}}} \ \ mathbf {p} \ \ mathbf {p} \ \ mathbf {v} \ prawej)}$.

Naprężenie-energia płynu w równowadze

Dla płynu doskonałego w równowadze termodynamicznej tensor naprężenia-energii przybiera szczególnie prostą postać

${\ Displaystyle T ^ {\ alfa \ beta} \ = \ lewo (\ rho + {p \ nad c ^ {2}} \ prawej) u ^ {\ alfa} u ^ {\ beta} + pg ^ {\ Alpha beta }}$

gdzie to gęstość masy i energii (kilogramy na metr sześcienny), to ciśnienie hydrostatyczne (w paskalach ), to cztery prędkości płynu i jest odwrotnością tensora metrycznego . Dlatego ślad jest podany przez ${\ Displaystyle \ rho}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle u ^ {\ alfa}}$${\ Displaystyle g ^ {\ alfa \ beta}}$

${\ Displaystyle T_ {\, \ alfa} ^ {\ alfa} = g_ {\ alfa \ beta} T ^ {\ beta \ alfa} = 3p - \ rho c ^ {2} \,.}$

Te cztery prędkości spełnia

${\ Displaystyle u ^ {\ alfa} u ^ {\ beta} g_ {\ alfa \ beta} = - c ^ {2} \,.}$

W bezwładnościowym układzie odniesienia poruszającym się z płynem, lepiej znanym jako właściwy układ odniesienia płynu, cztery prędkości są

${\ Displaystyle (u ^ {\ alfa}) _ {\ alfa = 0,1,2,3} = (1,0,0,0) \ ,,}$

odwrotność tensora metrycznego jest po prostu

${\ Displaystyle (g ^ {\ alfa \ beta}) _ {\ alfa \ beta = 0,1,2,3} \ = \ lewo ({\ zacząć {macierz} - {\ Frac {1} {c ^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,}$

a tensor naprężenie-energia jest macierzą diagonalną

${\ Displaystyle (T ^ {\ alfa \ beta}) _ {\ alfa \ beta = 0,1,2,3} = \ lewo ({\ zacząć {macierz} \ rho i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i p i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i p i 0 \\ 0&0&0&p\end{macierz}}\prawo).}$

Naprężenie elektromagnetyczne – tensor energii

Tensor naprężenia i energii Hilberta pola elektromagnetycznego bez źródła wynosi

${\ Displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ Frac {1} {\ mu _ {0}}} \ lewo (F ^ {\ mu \ alfa} g_ {\ alfa \ beta} F ^ {\ nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)}$

gdzie jest tensor pola elektromagnetycznego . ${\ Displaystyle F_ {\ mu \ nu}}$

Pole skalarne

Tensor naprężenia-energii dla złożonego pola skalarnego spełnia równanie Kleina-Gordona to ${\displaystyle \phi}$

${\ Displaystyle T ^ {\ mu \ nu } = {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ lewo (g ^ {\ mu \ alfa} g ^ {\ nu \ beta} + g ^ { \mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi ,}$

a gdy metryka jest płaska (Minkowski we współrzędnych kartezjańskich) jej składowe okazują się:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} T ^ {00} i = {\ Frac {\ Hbar ^ {2}} {mc ^ {4}}} \ lewo (\ częściowy _ {0}{ \ bar {\ phi }}\partial _{0}\phi +c^{2}\partial _{k}{\bar {\phi }}\partial _{k}\phi \right)+m{\bar {\phi } }\phi ,\\T^{0i}=T^{i0}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{mc^{2}}}\left(\partial _{0}{\ bar {\phi }}\częściowa _{i}\phi +\częściowa _{i}{\bar {\phi }}\częściowa _{0}\phi \right),\ \mathrm {i} \\T ^{ij}&={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{j}\phi +\partial _ {j}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi \right)-\delta _{ij}\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^ {\alpha \beta }\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi +mc^{2}{\bar {\phi }}\phi \right). \end{wyrównany}}}$

Wariantowe definicje stresu–energii

Istnieje szereg nierównoważnych definicji niegrawitacyjnych naprężeń-energii:

Hilbert tensor naprężeń i energii

Tensor naprężenia i energii Hilberta jest zdefiniowany jako pochodna funkcjonalna

${\ Displaystyle T_ {\ mu \ nu } = {\ Frac {-2} {\ sqrt {-g}}} {\ Frac {\ delta S_ {\ operatorname {materia}}} {\ delta g ^ {\ mu \nu }}}={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {materia} }\right)}{\częściowa g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\częściowa {\mathcal {L}}_{\mathrm {materia} }}{\częściowa g ^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {materia} },}$

gdzie jest niegrawitacyjną częścią działania , jest niegrawitacyjną częścią gęstości Lagrange'a i zastosowano równanie Eulera-Lagrange'a . Jest to symetryczna i niezmienna cechowania. Zobacz działanie Einsteina-Hilberta, aby uzyskać więcej informacji. ${\displaystyle S_{\mathrm {materia}}}$${\displaystyle {\mathcal {l}}_{\mathrm {materia}}}$

Tensor naprężeń kanonicznych–energia

Twierdzenie Noether sugeruje, że istnieje zachowany prąd związany z translacją w czasie i przestrzeni. Nazywa się to kanonicznym tensorem naprężeń i energii. Ogólnie rzecz biorąc, nie jest to symetryczne i jeśli mamy jakąś teorię cechowania, może nie być niezmiennikiem cechowania, ponieważ zależne od przestrzeni transformacje cechowania nie komutują z przesunięciami przestrzennymi.

W ogólnej teorii względności translacje są względem układu współrzędnych i jako takie nie przekształcają się kowariantnie. Zobacz sekcję poniżej dotyczącą pseudotensora naprężenia grawitacyjnego i energii.

Belinfante-Rosenfeld naprężenie-tensor energii

W obecności spinu lub innego wewnętrznego momentu pędu, kanoniczny tensor energii naprężeń Noether nie jest symetryczny. Tensor energii naprężeń Belinfante-Rosenfeld jest skonstruowany z kanonicznego tensora naprężenia-energii i prądu spinowego w taki sposób, aby był symetryczny i nadal zachowany. W ogólnej teorii względności ten zmodyfikowany tensor zgadza się z tensorem naprężenia i energii Hilberta.

Stres grawitacyjny – energia

Zgodnie z zasadą równoważności, naprężenie-energia grawitacyjna zawsze znika lokalnie w dowolnym wybranym punkcie w wybranym układzie, dlatego naprężenie-energia grawitacyjna nie może być wyrażona jako niezerowy tensor; zamiast tego musimy użyć pseudotensora .

W ogólnej teorii względności istnieje wiele możliwych odrębnych definicji pseudotensora grawitacyjnego naprężenie-energia-pęd. Należą do nich pseudotensor Einsteina i pseudotensor Landaua-Lifshitza . Pseudotensor Landaua-Lifshitza można zredukować do zera w każdym przypadku w czasoprzestrzeni, wybierając odpowiedni układ współrzędnych.

Zobacz też

• Naprężenie elektromagnetyczne – tensor energii
• Stan energetyczny
• Gęstość energii pól elektrycznych i magnetycznych
• Tensor naprężeń Maxwella
• Poynting wektor
• Rachunek Ricciego
• Klasyfikacja Segre

Uwagi i referencje

• W. Wyssa (2005). „Tensor energii-pędu w klasycznej teorii pola” (PDF) . Kolorado, USA.

Zewnętrzne linki

• Wykład, Stephan Waner
• Caltech Tutorial on Relativity — Proste omówienie relacji między tensorem stresu i energii ogólnej teorii względności a metryką