Cztery prędkości - Four-velocity

W fizyce , w szczególności w szczególnej teorii względności i ogólnej teorii względności , czterobiegowość to czterowymiarowy wektor w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, który reprezentuje relatywistyczny odpowiednik prędkości , która jest trójwymiarowym wektorem w przestrzeni.

Fizyczne zdarzenia odpowiadają matematycznym punktom w czasie i przestrzeni, a zbiór ich wszystkich razem tworzy matematyczny model fizycznej czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Historia obiektu przedstawia krzywą w czasoprzestrzeni, zwaną linią świata . Jeśli obiekt ma masę , tak, że jego prędkość jest zawsze mniejsza niż prędkość światła , linia świat może być parametryzowane przez właściwym czasie obiektu. Cztero-prędkość to szybkość zmiany cztero-pozycji względem właściwego czasu na krzywej. Natomiast prędkość to szybkość zmiany położenia w (trójwymiarowej) przestrzeni obiektu, widzianej przez obserwatora, w odniesieniu do czasu obserwatora.

Wartość wielkości czterech prędkości obiektu, tj. Wielkość uzyskana przez zastosowanie tensora metrycznego g do czterobiegowej prędkości U , czyli || U || ² = U ⋅ U = g _μν U ^ν U ^μ , jest zawsze równe ± c ² , gdzie c jest prędkością światła. To, czy ma zastosowanie znak plus, czy minus, zależy od wyboru podpisu metrycznego . Dla obiektu w spoczynku jego cztery prędkości są równoległe do kierunku współrzędnej czasowej z U ⁰ = c . Czterobiegowość jest zatem znormalizowanym, skierowanym w przyszłość, podobnym do czasu wektorem stycznym do linii świata i jest wektorem kontrawariantnym . Chociaż jest to wektor, dodanie dwóch czterech prędkości nie daje czterech prędkości: przestrzeń czterech prędkości sama w sobie nie jest przestrzenią wektorową .

Prędkość

Ścieżka obiektu w przestrzeni trójwymiarowej (w układzie inercjalnym) może być wyrażona w postaci trzech przestrzennych funkcji współrzędnych x ⁱ ( t ) czasu t , gdzie i jest indeksem, który przyjmuje wartości 1, 2, 3.

Te trzy współrzędne tworzą wektor pozycji 3D , zapisany jako wektor kolumnowy

${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t) = {\ rozpocząć {bmatrix} x ^ {1} (t) \\ x ^ {2} (t) \\ x ^ {3} (t) \ koniec {bmatrix}} \ ,.}$

Składowe prędkości (styczne do krzywej) w dowolnym punkcie na linii świata są równe ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$

${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ begin {bmatrix} u ^ {1} \\ u ^ {2} \\ u ^ {3} \ end {bmatrix}} = {d {\ vec {x }} \ over dt} = {\ begin {bmatrix} {\ tfrac {dx ^ {1}} {dt}} \\ {\ tfrac {dx ^ {2}} {dt}} \\ {\ tfrac {dx ^ {3}} {dt}} \ end {bmatrix}}.}$

Każdy element jest po prostu napisany

${\ Displaystyle u ^ {i} = {dx ^ {i} \ ponad dt}}$

Teoria względności

W teorii względności Einsteina ścieżka poruszającego się obiektu względem określonego układu odniesienia jest zdefiniowana przez cztery funkcje współrzędnych x ^μ ( τ ), gdzie μ jest indeksem czasoprzestrzeni, który przyjmuje wartość 0 dla składowej czasowej, a 1, 2, 3 dla współrzędnych podobnych do kosmosu. Składnik zerowy jest definiowany jako współrzędna czasu pomnożona przez c ,

${\ Displaystyle x ^ {0} = ct \ ,,}$

Każda funkcja zależy od jednego parametru τ nazywanego jej czasem właściwym . Jako wektor kolumnowy

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = {\ rozpocząć {bmatrix} x ^ {0} (\ tau) \\ x ^ {1} (\ tau) \\ x ^ {2} (\ tau) \\ x ^ {3} (\ tau) \\\ end {bmatrix}} \ ,.}$

Dylatacja czasu

Od dylatacji czasu , to różnice w koordynować czasu t i odpowiedni czas τ są powiązane

${\ displaystyle dt = \ gamma (u) d \ tau}$

gdzie współczynnik Lorentza ,

${\ Displaystyle \ gamma (u) = {\ Frac {1} {\ sqrt {1 - {\ Frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ ,,}$

jest funkcją normy euklidesowej u wektora prędkości : ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$

${\ Displaystyle u = \ | \ {\ vec {u}} \ \ | = {\ sqrt {\ lewo (u ^ {1} \ prawo) ^ {2} + \ lewo (u ^ {2} \ prawo) ^ {2} + \ left (u ^ {3} \ right) ^ {2}}} \ ,.}$

Definicja czterech prędkości

Cztero-prędkość jest stycznym czterowektorem podobnej do czasu linii świata . Cztery prędkości w dowolnym punkcie linii świata definiuje się jako: ${\ displaystyle \ mathbf {U}}$${\ Displaystyle \ mathbf {X} (\ tau)}$

${\ displaystyle \ mathbf {U} = {\ Frac {d \ mathbf {X}} {d \ tau}}}$

gdzie jest czterech pozycji i jest właściwy czas . ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ tau}$

Cztery prędkości zdefiniowane tutaj przy użyciu właściwego czasu obiektu nie istnieją dla linii świata dla obiektów bezmasowych, takich jak fotony poruszające się z prędkością światła; nie jest też zdefiniowana dla tachionicznych linii świata, gdzie wektor styczny jest podobny do kosmosu .

Składowe czterobiegowości

Zależność między czasem t a współrzędną czasową x ⁰ jest określona przez

${\ displaystyle x ^ {0} = ct.}$

Biorąc pochodną tego w odniesieniu do czasu właściwego τ , znajdujemy składową prędkości U ^μ dla μ = 0:

${\ Displaystyle U ^ {0} = {\ Frac {dx ^ {0}} {d \ tau}} = {\ Frac {d (ct)} {d \ tau}} = c {\ Frac {dt} { d \ tau}} = c \ gamma (u)}$

a dla pozostałych 3 składowych do właściwego czasu otrzymujemy składową prędkości U ^μ dla μ = 1, 2, 3:

${\ Displaystyle U ^ {i} = {\ Frac {dx ^ {i}} {d \ tau}} = {\ Frac {dx ^ {i}} {dt}} {\ Frac {dt} {d \ tau }} = {\ frac {dx ^ {i}} {dt}} \ gamma (u) = \ gamma (u) u ^ {i}}$

gdzie użyliśmy reguły łańcucha i relacji

${\ Displaystyle u ^ {i} = {dx ^ {i} \ ponad dt} \ ,, \ quad {\ Frac {dt} {d \ tau}} = \ gamma (u)}$

W ten sposób znajdujemy dla czterech prędkości : ${\ displaystyle \ mathbf {U}}$

${\ displaystyle \ mathbf {U} = \ gamma {\ begin {bmatrix} c \\ {\ vec {u}} \\\ end {bmatrix}}.}$

Zapisane w standardowej notacji czterowektorowej to:

${\ Displaystyle \ mathbf {U} = \ gamma \ lewo (c, {\ vec {u}} \ prawo) = \ lewo (\ gamma c, \ gamma {\ vec {u}} \ po prawej)}$

gdzie jest komponent czasowy i komponent przestrzenny. ${\ displaystyle \ gamma c}$${\ displaystyle \ gamma {\ vec {u}}}$

Jeśli chodzi o zsynchronizowane zegary i linijki związane z określonym wycinkiem płaskiej czasoprzestrzeni, trzy podobne do kosmosu składowe czterech prędkości określają właściwą prędkość poruszającego się obiektu, tj. Szybkość, z jaką odległość pokonywana jest w ramce mapy odniesienia na jednostkę czasu, jaki upłynął zegary podróżujące z obiektem. ${\ displaystyle \ gamma {\ vec {u}} = d {\ vec {x}} / d \ tau}$

W przeciwieństwie do większości innych czterech wektorów, prędkość czterech ma tylko 3 niezależne składowe zamiast 4. Współczynnik jest funkcją prędkości trójwymiarowej . ${\ Displaystyle u_ {x}, u_ {y}, u_ {z}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle {\ vec {u}}}$

Kiedy pewne skalary Lorentza zostaną pomnożone przez cztery prędkości, otrzymamy nowe fizyczne cztery wektory, które mają 4 niezależne składowe.

Na przykład:

Four-pęd : gdzie jest masa ${\ Displaystyle \ mathbf {P} = m_ {o} \ mathbf {U} = \ gamma m_ {o} \ lewo (c, {\ vec {u}} \ prawej) = m \ lewo (c, {\ vec {u}} \ right) = \ left (mc, m {\ vec {u}} \ right) = \ left (mc, {\ vec {p}} \ right) = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {p}} \ right)}$${\ displaystyle m_ {o}}$

Gęstość czterech prądów : gdzie jest gęstość ładunku ${\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ rho _ {o} \ mathbf {U} = \ gamma \ rho _ {o} \ lewo (c, {\ vec {u}} \ prawo) = \ rho \ lewo ( c, {\ vec {u}} \ right) = \ left (\ rho c, \ rho {\ vec {u}} \ right) = \ left (\ rho c, {\ vec {j}} \ right) }$${\ displaystyle \ rho _ {o}}$

W efekcie czynnik łączy się z członem skalarnym Lorentza, tworząc 4. niezależną składową ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle m = \ gamma m_ {o}}$ i ${\ displaystyle \ rho = \ gamma \ rho _ {o}}$

Wielkość

Korzystając z różniczki czteropozycyjnej, można otrzymać wielkość czterech prędkości:

${\ Displaystyle \ | \ mathbf {U} \ | ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} U ^ {\ mu} U ^ {\ nu} = g _ {\ mu \ nu} {\ Frac {dX ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dX ^ {\ nu}} {d \ tau}} = {\ frac {g _ {\ mu \ nu} dX ^ {\ mu} dX ^ {\ nu}} {d \ tau ^ {2}}} = c ^ {2} \ ,,}$

w skrócie, wielkość czterech prędkości dowolnego obiektu jest zawsze stałą stałą:

${\ Displaystyle \ | \ mathbf {U} \ | ^ {2} = c ^ {2} \,}$

Normą jest również:

${\ Displaystyle \ | \ mathbf {U} \ | ^ {2} = {\ gamma (u)} ^ {2} \ lewo (c ^ {2} - {\ vec {u}} \ cdot {\ vec { masz rację)\,,}$

po to aby:

${\ Displaystyle c ^ {2} = {\ gamma (u)} ^ {2} \ lewo (c ^ {2} - {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {u}} \ prawo) \, ,}$

co sprowadza się do definicji współczynnika Lorentza.

Zobacz też

• Cztery przyspieszenia
• Czteropęd
• Cztery siły
• Cztery gradienty
• Algebra przestrzeni fizycznej
• Kongruencja (ogólna teoria względności)
• Model hiperboloidalny
• Szybkość

Uwagi

Bibliografia

• Einstein, Albert (1920). Względność: teoria specjalna i ogólna . Przetłumaczone przez Roberta W. Lawsona. Nowy Jork: oryginał: Henry Holt, 1920; Przedruk: Prometheus Books, 1995.
• Rindler, Wolfgang (1991). Wprowadzenie do szczególnej teorii względności (2.) . Oxford: Oxford University Press. ISBN   0-19-853952-5 .