Snub 24-ogniwowy - Snub 24-cell
| Snub 24-ogniwowy | ||
 Rzut prostopadły Wyśrodkowany na hiperpłaszczyźnie jednego dwudziestościanu. |
||
| Rodzaj | Jednolity 4-polytope | |
| Symbol Schläfli | s {3,4,3} sr {3,3,4} s {3 1,1,1 } |
|
|
Diagramy Coxetera-Dynkina |
|
|
| Komórki | 144 | 96 3.3.3 (ukośne) 24 3.3.3 24 3.3.3.3.3 
|
| Twarze | 480 {3} | |
| Krawędzie | 432 | |
| Wierzchołki | 96 | |
| Figura wierzchołka |
 ( Trójkącik dwudziestościan ) |
|
| Grupy symetrii |
[3 + , 4,3] ,
1 / 2 F 4 , zamówienie 576
[(3,3) + , 4] , 1 / 2 B 4 , zamówienie 192 |
|
| Nieruchomości | wypukły | |
| Jednolity indeks | 30 31 32 | |
W geometrii , snub 24-komorowy lub snub disicositetrachoron jest wypukłym jednolitym 4-polytopem złożonym ze 120 regularnych komórek tetraedrycznych i 24 ikosaedrycznych komórek . Pięć czworościanów i trzy dwudziestościany spotykają się na każdym wierzchołku. W sumie ma 480 trójkątnych ścian, 432 krawędzie i 96 wierzchołków. Można go zbudować z komórki 600, zmniejszając wybrany podzbiór ikozaedrycznych piramid i pozostawiając tylko ich dwudziestościerną podstawę, usuwając w ten sposób 480 czworościanów i zastępując je 24 dwudziestościanami.
Topologicznie, pod swoją najwyższą symetrią, [3 + , 4,3], jako naprzemienność ściętego 24-ogniwa , zawiera 24 pirydościany (dwudziestościan o symetrii T h ), 24 regularne czworościany i 96 trójkątnych piramid.
Półregularny polytope
Jest to jeden z trzech półregularnych 4-polytopów zbudowanych z dwóch lub więcej komórek będących bryłami platońskimi , odkrytych przez Thorolda Gosseta w jego artykule z 1900 roku. Nazwał to tetrikosaedrykiem, ponieważ składa się z komórek czworościanu i dwudziestościanu . (Pozostałe dwa to rektyfikowane 5-ogniwowe i rektyfikowane 600-ogniwowe ).
Alternatywne nazwy
- Snub icositetrachoron
- Snub demitesseract
- Półzatrzymany polioctaedr ( John Conway )
- Sadi (Jonathan Bowers: for snub disicositetrachoron)
- Tetricosahedric Thorold Gosset , 1900
Geometria
Współrzędne
Wierzchołkami zadartym 24 komórek wyśrodkowany na początku 4-przestrzeń, z krawędziami o długości 2, uzyskuje się poprzez nawet permutacji z
- (0, ± 1, ± φ, ± φ 2 )
(gdzie φ = (1+ √ 5 ) / 2 ≈ 1,618 to złoty podział ).
Te 96 wierzchołków można znaleźć, dzieląc każdą z 96 krawędzi 24-ogniwa w złotym stosunku w spójny sposób, w podobny sposób, w jaki 12 wierzchołków dwudziestościanu lub „ośmiościanu” można utworzyć przez podzielenie 12 krawędzi ośmiościanu w złotym stosunku. Można to zrobić, najpierw umieszczając wektory wzdłuż krawędzi 24 komórek, tak aby każda dwuwymiarowa powierzchnia była ograniczona cyklem, a następnie podobnie dzieląc każdą krawędź na złoty współczynnik wzdłuż kierunku jej wektora. Jest to równoważne z szybkim obcięciem 24-komórkowym opisanym poniżej.
96 wierzchołków przyłożonej 24-komórki, razem z 24 wierzchołkami 24-komórkowej komórki, tworzy 120 wierzchołków 600-komórkowej komórki .
Konstrukcje
Komórka snub 24 jest wyprowadzana z komórki 24 przez specjalną formę obcięcia .
Ścięcia usuwają wierzchołki, przecinając krawędzie padające na wierzchołek; formy obcięcia różnią się w zależności od tego, gdzie na krawędzi wykonuje się cięcie. Typowe skróty 24-ogniw obejmują wyrecytowane 24-ogniwa (które przecinają każdą krawędź w punkcie środkowym, tworząc polytop ograniczony 24 sześcianami i 24 kuboktaedrami ) oraz ściętą 24-komórkową (która przecina każdą krawędź o jedną trzecią jego długość od wierzchołka, tworząc polytop ograniczony 24 sześcianami i 24 obciętymi ośmiościanami ). W tych obcięciach sześcian jest tworzony zamiast usuniętego wierzchołka, ponieważ figura wierzchołka 24-ogniwa jest sześcianem, a nacięcia są w równej odległości od wierzchołka.
Ścięcie 24 ogniw tnie każdą krawędź na dwie złote sekcje (tak, że większa sekcja ma złoty stosunek ~ 1,618 do mniejszej sekcji, a oryginalna krawędź jest w złotym stosunku do większej sekcji). Cięcie należy wykonać w naprzemiennych kierunkach na naprzemiennych krawędziach padających na każdy wierzchołek, aby uzyskać spójny wynik. Krawędzie padające na wierzchołek w 24-komórce to 8 promieni jego sześciennej figury wierzchołkowej. Jedynym sposobem wyboru alternatywnych promieni sześcianu jest wybranie czterech promieni czworościanu (wpisanego w sześcian) do wycięcia w mniejszej części ich długości od wierzchołka oraz czterech przeciwległych promieni (drugiego czworościanu, który mogą być wpisane w sześcian) do wycięcia na większym odcinku ich długości od wierzchołka. Oczywiście można to zrobić na dwa sposoby; oba tworzą skupisko pięciu regularnych czworościanów zamiast usuniętego wierzchołka zamiast sześcianu.
Konstrukcja ta ma analogię w trzech wymiarach: budowę dwudziestościanu („ ośmiościanu przyłapanego ”) z ośmiościanu tą samą metodą. W ten sposób dwudziestościany komórki snub-24 są wytwarzane z ośmiościanów 24-komórkowych podczas obcięcia.
Obcięte 24 ogniwa jest powiązane z obciętymi 24 ogniwami przez operację naprzemienną . Połowa wierzchołków zostaje usunięta, 24 obcięte komórki oktaedrowe stają się 24 komórkami dwudziestościanu , 24 kostki stają się 24 komórkami czworościanów , a 96 usuniętych pustych wierzchołków tworzy 96 nowych komórek czworościanu.
| Snub 24-ogniwowy | 600-ogniwowy |
|---|---|
|
|
Zadarty 24 komórek mogą być również wykonana za pomocą określonego pomniejszenia do 600 komórek : usuwając 24 wierzchołki 600 komórek odpowiadające tym z wpisanego 24 komórek , a następnie biorąc wypukłej pozostałych wierzchołków. Odpowiada to usunięciu 24 ikosaedrycznych piramid z komórki 600.
Struktura
 Netto z zadartym 24 komórek z icosahedra niebieskiego i czerwonego i żółtego czworościanów. |
Komórki ikozaedryczne pasują do siebie twarzą w twarz, pozostawiając między nimi puste przestrzenie wypełnione skupiskami pięciu czworościennych komórek.
Każda ikosaedryczna komórka jest połączona z 8 innymi ikosaedrycznymi komórkami na 8 trójkątnych ścianach w pozycjach odpowiadających wpisującemu się ośmiościanowi. Pozostałe trójkątne ściany są połączone z czworościennymi komórkami, które występują parami, które mają wspólną krawędź z ikosaedryczną komórką.
Czworościenne komórki można podzielić na dwie grupy, odpowiednio 96 żółtych i 24 czerwonych krwinek (jak zaznaczono na ilustracji sieciowej). Każda żółta komórka czworościenna jest połączona poprzez swoje trójkątne powierzchnie z 3 niebieskimi ikozaedrycznymi komórkami i jedną czerwoną komórką czworościenną, podczas gdy każda czerwona komórka czworościenna jest połączona z 4 żółtymi czworościanami. Tak więc komórki czworościenne występują w skupieniach po pięć (cztery żółte komórki połączone czołowo wokół czerwonej centralnej, każda para czerwono / żółta leży w innej hiperpłaszczyźnie). Czerwony środkowy czworościan pięciu dzieli każdą z sześciu krawędzi z inną ikosaedryczną komórką i parą żółtych czworościanów, które dzielą tę krawędź z ikosaedryczną komórką.
Symetria
24-ogniwowa komórka ma trzy kolory przechodniowe w oparciu o konstrukcję Wythoffa na grupie Coxetera, z której jest naprzemiennie : F 4 definiuje 24 wymienne dwudziestościany, podczas gdy grupa B 4 definiuje dwie grupy dwudziestościanów w liczbie 8:16, i wreszcie grupa D 4 ma 3 grupy dwudziestościanów z liczbą 8: 8: 8.
|
Symetria (kolejność) |
Konstruktywna nazwa |
Diagram Coxetera-Dynkina Rozszerzony symbol Schläfliego |
Figura wierzchołka ( dwudziestościan z potrójnym zmniejszeniem ) |
Komórki (pokolorowane jak twarze w figurach wierzchołków) |
|---|---|---|---|---|
|
1 / 2 F 4 [3 + , 4,3] (576) |
Snub 24-ogniwowy |
    s {3,4,3} |
|
Jeden zestaw 24 dwudziestościanów (niebieski) Dwa zestawy czworościanów: 96 (żółty) i 24 (cyjan) |
|
1 / 2 B 4 [(3,3) + , 4] (192) |
Snub rektyfikowany 16-ogniwowy |
sr {3,3,4} |
|
Dwa zestawy dwudziestościanów: 8, 16 każdy (czerwony i niebieski) Dwa zestawy czworościanów: 96 (żółty) i 24 (cyjan) |
|
1 / 2 D 4 [3 1,1,1 ] + (96) |
Omnisnub demitesseract |
  s {3 1,1,1 } |
|
Trzy zestawy po 8 dwudziestościanów (czerwony, zielony i niebieski) Dwa zestawy czworościanów: 96 (żółty) i 24 (cyjan) |
I odwrotnie, ogniwo 600 może być zbudowane z ogniwa 24-ogniwowego, przez uzupełnienie go o 24 piramidy ikosaedryczne.
Projekcje
Rzuty ortograficzne
| Samolot Coxetera | F 4 | B 4 |
|---|---|---|
| Wykres |
|
|
| Symetria dwuścienna | [12] + | [8/2] |
| Samolot Coxetera | D 4 / B 3 / A 2 | B 2 / A 3 |
| Wykres |
|
|
| Symetria dwuścienna | [6] + | [4] |
Prognozy perspektywiczne
| Prognozy perspektywiczne | |
|---|---|
 Rzut perspektywiczny wyśrodkowany na ikosaedrycznej komórce, z punktem widzenia 4D umieszczonym w odległości 5 razy większej od promienia środka wierzchołka. Najbliższa ikosaedryczna komórka jest renderowana w jednolitym kolorze, a pozostałe komórki mają kontury krawędzi. Komórki odwrócone od punktu widzenia 4D są usuwane, aby zmniejszyć bałagan wizualny. |
 Ta sama projekcja, teraz z 4 z 8 ikosaedrycznych komórek otaczających centralną komórkę pokazaną na zielono. |
 Ta sama projekcja jak powyżej, teraz z pozostałymi 4 ikosaedrycznymi komórkami otaczającymi centralną komórkę pokazaną w kolorze magenta. Animowana wersja tego obrazu daje dobry pogląd na kształt tych komórek. Z tego szczególnego punktu widzenia można dostrzec jedną z luk zawierających komórki czworościenne. Każda z tych luk jest wypełniona 5 czworościennymi komórkami, nie pokazanymi tutaj. |
 Taka sama projekcja jak powyżej, teraz z wypełnioną centralną komórką czworościenną w szczelinie. Ta komórka czworościenna jest połączona z 4 innymi komórkami czworościennymi, z których dwie wypełniają dwie luki widoczne na tym obrazie. Pozostałe dwa znajdują się między zieloną komórką czworościenną, komórką w kolorze magenta i komórką centralną, po lewej i prawej stronie żółtej komórki czworościennej. Zauważ, że na tych obrazach komórki odwrócone od punktu widzenia 4D zostały usunięte; stąd w sumie uwzględniono tylko 1 + 8 + 6 + 24 = 39 komórek. Pozostałe komórki znajdują się po drugiej stronie 24-ogniwa przyhamowanego. Można tu dostrzec część obrysu krawędzi jednej z nich, dwudziestościenną komórkę, pokrywającą żółty czworościan. |
 Na tym zdjęciu pokazano tylko najbliższą ikosaedryczną komórkę i 6 żółtych czworościennych komórek z poprzedniego obrazu. |
 Teraz pokazano 12 tetraedrycznych komórek połączonych z centralną ikosaedryczną komórką i 6 żółtych tetraedrycznych komórek. Każda z tych komórek jest otoczona centralnym dwudziestościanem i dwoma innymi komórkami ikosaedrycznymi pokazanymi wcześniej. |
 Na koniec pokazano tutaj pozostałe 12 tetraedrycznych komórek połączonych z 6 żółtymi tetraedrycznymi komórkami. Komórki te, wraz z 8 komórkami ikosaedrycznymi pokazanymi wcześniej, obejmują wszystkie komórki, które mają co najmniej 1 wierzchołek z komórką centralną. |
|
Powiązane polytopy
Zadarty 24 komórek można otrzymać w postaci zmniejszającej się do 600 komórek na 24 swoich wierzchołkach, w rzeczywistości te wierzchołka wpisane 24-komórka . Jest też dodatkowo takie bi- zmniejsza, gdy wierzchołki drugiego wierzchołka wpisany 24-komórka zostanie zmniejszona, jak również. W związku z tym ten jest znany jako 600-komorowy bi-24-zmniejszony .
| D 4 jednolita polichora | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
  
|
|
|
|
 
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
{3,3 1,1 } h {4,3,3} |
2r {3,3 1,1 } h 3 {4,3,3} |
t {3,3 1,1 } h 2 {4,3,3} |
2t {3,3 1,1 } h 2,3 {4,3,3} |
r {3,3 1,1 } {3 1,1,1 } = {3,4,3} |
rr {3,3 1,1 } r {3 1,1,1 } = r {3,4,3} |
tr {3,3 1,1 } t {3 1,1,1 } = t {3,4,3} |
sr {3,3 1,1 } s {3 1,1,1 } = s {3,4,3} |
||||
Zadartym 24 komórek nazywany jest również pół-afront 24 komórek, ponieważ nie jest to prawdziwy afront (naprzemienne o omnitruncated 24-ogniwowym). Pełny zadarty 24 komórek mogą być także skonstruowane, chociaż nie jest jednolity, i składają nieregularnym czworościanów na naprzemienny wierzchołków.
24-komorowy element typu snub to największa faseta 4-wymiarowego plastra miodu, 24-komorowego typu "snub" o strukturze plastra miodu .
24-ogniwowe ogniwo typu snub należy do rodziny jednorodnych 4-polytopów o symetrii F 4 .
| 24-komórkowe polytopy rodzinne | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nazwa | 24 ogniwa | obcięty 24-komorowy | snub 24-ogniwowy | rektyfikowane 24-ogniwowe | kantelowany 24-komorowy | bitruncated 24 komórki | cantitruncated 24-komorowy | runcynowany 24-komorowy | runcitruncated 24-komorowy | omnitruncated 24-komorowy | |
|
Symbol Schläfli |
{3,4,3} | t 0,1 {3,4,3} t {3,4,3} |
s {3,4,3} | t 1 {3,4,3} r {3,4,3} |
t 0,2 {3,4,3} rr {3,4,3} |
t 1,2 {3,4,3} 2t {3,4,3} |
t 0,1,2 {3,4,3} tr {3,4,3} |
t 0,3 {3,4,3} | t 0,1,3 {3,4,3} | t 0,1,2,3 {3,4,3} | |
|
Diagram Coxetera |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Diagram Schlegla |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| F 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| B 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| B 3 (a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| B 3 b) |
|
|
|
|
|
|
|||||
| B 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- T. Gosset : On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
- HSM Coxeter (1973). Regularne polytopy . New York. Dover Publications Inc. pp 151 -152, 156-157.
- Snub icositetrachoron - Dane i obrazy
- 3. Wypukła jednorodna polichora oparta na icositetrachoron (24-komorowa) - Model 31 , George Olshevsky.
- Klitzing, Richard. „Jednolite polytopy 4D (polychora) s3s4o3o - sadi” .
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (rozdział 26)
- Snub 24-Cell Pochodzące z Coxeter-Weyl Group W (D4) [1] , Mehmet Koca, Nazife Ozdes Koca, Muataz Al-Barwani (2012); Int. J. Geom. Methods Mod. Fiz. 09, 1250068 (2012)
Zewnętrzne linki
- Wydruk # 11: Snub icositetrachoron net , George Olshevsky.