Geodezja Schwarzschilda - Schwarzschild geodesics

Ogólna teoria względności
${\ Displaystyle G_ {\ mu \ nu} + \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ nad c ^ {4}} T_ {\ mu \ nu}}$
Wstęp Historia Sformułowanie matematyczne Testy
Idee fundamentalne Zasada równoważności Szczególna teoria względności Linia światowa Rozmaitość pseudo-Riemanna
Zjawiska Problem Keplera Soczewkowanie grawitacyjne Fale grawitacyjne Przeciąganie ramek Efekt geodezyjny Horyzont zdarzeń Osobliwość Czarna dziura Czas, przestrzeń Diagramy czasoprzestrzeni Czasoprzestrzeń Minkowskiego Most Einsteina-Rosena
Równania Formalizmy Równania Zlinearyzowana grawitacja Równania pola Einsteina Friedmann Geodezja Mathisson–Papapetrou–Dixon Hamilton-Jacobi-Einstein Formalizmy ADM BSSN Post-Newtonowski Zaawansowana teoria Teoria Kaluzy-Kleina Grawitacja kwantowa
Rozwiązania Schwarzschild ( wnętrze ) Reissner-Nordström Godel Kerra Kerr–Newman Kasner Lemaître–Tolman Taub-NUT Milne Robertson-Walker pp-fala kurz van Stockum Weyl-Lewis-Papapetrou
Naukowcy Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschilda de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Godel Kołodziej Robertson Bardeen Piechur Kerra Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Rachaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nowy człowiek Yau Thorne inni
Portal fizyczny  Kategoria
v T mi

W ogólnym wzgl , geodezyjne Schwarzschilda opisu ruchu cząsteczek testowych w polu grawitacyjnym centralnej masy stałej , która, ruchu w Schwarzschilda metryki. Schwarzschilda geodezyjne były decydujące w walidacji Einsteina teorii względności . Na przykład dostarczają dokładnych prognoz anomalnej precesji planet w Układzie Słonecznym i odchylania światła przez grawitację. ${\textstyle M,}$

Geodezja Schwarzschilda dotyczy tylko ruchu cząstek o masach tak małych, że niewiele wnoszą do pola grawitacyjnego. Są one jednak bardzo dokładne w wielu scenariuszach astrofizycznych, pod warunkiem, że jest wielokrotnie mniejsza niż masa centralna , np. dla planet krążących wokół Słońca. Geodezja Schwarzschilda jest również dobrym przybliżeniem względnego ruchu dwóch ciał o dowolnej masie, pod warunkiem, że masa Schwarzschilda jest równa sumie dwóch indywidualnych mas i . Jest to ważne w przewidywaniu ruchu gwiazd podwójnych w ogólnej teorii względności. ${\textstyle m}$${\textstyle M}$${\textstyle M}$${\textstyle m_{1}}$${\textstyle m_{2}}$

Kontekst historyczny

Metryka Schwarzschilda została nazwana na cześć jej odkrywcy Karla Schwarzschilda , który znalazł rozwiązanie w 1915 roku, zaledwie około miesiąc po opublikowaniu ogólnej teorii względności Einsteina. Było to pierwsze dokładne rozwiązanie równań pola Einsteina inne niż rozwiązanie trywialnej płaskiej przestrzeni .

W 1931 roku Yusuke Hagihara opublikował artykuł pokazujący, że trajektorię cząstki testowej w metryce Schwarzschilda można wyrazić za pomocą funkcji eliptycznych .

Metryka Schwarzschilda

Dokładnym rozwiązaniem równań pola Einsteina jest metryka Schwarzschilda , która odpowiada zewnętrznemu polu grawitacyjnemu nienaładowanego, nie obracającego się, sferycznie symetrycznego ciała masowego . Rozwiązanie Schwarzschilda można zapisać jako ${\textstyle M}$

${\ Displaystyle C ^ {2} {d \ tau} ^ {2} = \ lewo (1- {\ Frac {R_ {\ rm {s}}} {r}} \ prawej) c ^ {2} dt ^ {2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}-r^{2}d\theta ^{2}- r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ tau}$ to właściwy czas (czas mierzony przez zegar poruszający się z cząsteczką) w sekundach,

${\displaystyle c}$to prędkość światła w metrach na sekundę,

${\displaystyle t}$ jest współrzędną czasową (czas mierzony przez zegar stacjonarny w nieskończoności) w sekundach,

${\ Displaystyle r}$jest współrzędną promieniową (obwód okręgu o środku gwiazdy podzielony przez ) w metrach,${\displaystyle 2\pi}$

${\displaystyle \theta}$to colatitude (kąt od północy) w radianach,

${\displaystyle \varphi}$to długość geograficzna w radianach i

${\displaystyle r_{s}}$to promień Schwarzschilda masywnego ciała (w metrach), który jest związany z jego masą przez ${\textstyle M}$

${\ Displaystyle R_ {\ rm {s}} = {\ Frac {2GM} {c ^ {2}}},}$

gdzie jest stała grawitacyjna . Klasyczna teoria grawitacji Newtona jest odtwarzana w granicy, gdy stosunek dochodzi do zera. W tym limicie metryka powraca do wartości określonej przez szczególną teorię względności .${\textstyle G}$${\textstyle {\frac {r_{s}}{r}}}$

W praktyce stosunek ten jest prawie zawsze bardzo mały. Na przykład promień Schwarzschilda Ziemi wynosi około 9 mm ( 3 ⁄ 8  cali); na powierzchni Ziemi poprawki do grawitacji newtonowskiej są tylko jedną częścią na miliard. Promień Schwarzschilda Słońca jest znacznie większy, około 2953 metrów, ale na jego powierzchni stosunek ten wynosi około 4 części na milion. Biały karzeł gwiazda jest znacznie gęstsza, ale nawet tutaj wskaźnik na jej powierzchni wynosi około 250 części na milion. Stosunek ten staje się duży dopiero w pobliżu bardzo gęstych obiektów, takich jak gwiazdy neutronowe (gdzie stosunek wynosi około 50%) i czarne dziury . ${\textstyle r_{s}}$${\textstyle {\frac {r_{s}}{r}}}$

Orbity cząstek testowych

Porównanie orbity cząstki testowej w czasoprzestrzeni Newtona (po lewej) i Schwarzschilda (po prawej); zwróć uwagę na precesję absydową po prawej stronie.

Możemy uprościć problem, używając symetrii, aby wyeliminować jedną zmienną z rozważań. Ponieważ metryka Schwarzschilda jest symetryczna względem , każda geodezja, która zaczyna się poruszać w tej płaszczyźnie, pozostanie w tej płaszczyźnie przez czas nieokreślony (płaszczyzna jest całkowicie geodezyjna ). Dlatego orientujemy układ współrzędnych tak, aby orbita cząstki leżała w tej płaszczyźnie, i ustalamy współrzędną tak, aby metryka (tej płaszczyzny) była uproszczona do ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle \theta }$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

${\ Displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = \ lewo (1- {\ Frac {r_ {\ rm {s}}} {r}} \ prawej) c ^ {2} dt ^ {2 }-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}-r^{2}d\varphi ^{2}.}$

Można zidentyfikować dwie stałe ruchu (wartości, które nie zmieniają się w odpowiednim czasie ) (por. wyprowadzenie podane poniżej ). Jedna to całkowita energia : ${\ Displaystyle \ tau}$${\textstyle E}$

${\ Displaystyle \ lewo (1-{\ Frac {R_ {\ rm {s}}} {r}} \ prawej) {\ Frac {dt} {d \ tau}} = {\ Frac {E} {mc ^ {2}}}.}$

a drugi to specyficzny moment pędu :

${\ Displaystyle h = {\ Frac {L} {\ mu}} = r ^ {2} {\ Frac {d \ varphi} {d \ tau}}}$

gdzie L jest całkowitym momentem pędu dwóch ciał i jest masą zredukowaną . Kiedy zmniejszona masa jest w przybliżeniu równa . Czasami zakłada się, że . W przypadku planety Merkury to uproszczenie wprowadza błąd ponad dwukrotnie większy niż efekt relatywistyczny. Przy omawianiu geodezji można uznać za fikcyjne, a ważne są stałe i . Aby objąć wszystkie możliwe geodezyjne, należy rozważyć przypadki, w których jest nieskończona (podając trajektorie fotonów ) lub urojona (dla geodezji tachionicznej ). Dla przypadku fotonicznego musimy również podać liczbę odpowiadającą stosunkowi dwóch stałych, a mianowicie , która może być zerowa lub niezerowa liczba rzeczywista. ${\textstyle \mu}$${\textstyle M\gg m}$${\textstyle m}$${\textstyle m=\mu }$${\textstyle m}$${\textstyle {\frac {E}{m}}}$${\textstyle h}$${\textstyle {\frac {E}{m}}}$${\textstyle {\frac {mh}{E}}}$

Podstawiając te stałe do definicji metryki Schwarzschilda

${\ Displaystyle c ^ {2} = \ lewo (1-{\ Frac {r_ {\ rm {s}}} {r}} \ prawo) c ^ {2} \ lewo ({\ Frac {dt} {d \tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}\left({\frac {dr}{ d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2},}$

daje równanie ruchu dla promienia w funkcji czasu właściwego : ${\textstyle \tau}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dr} {d \ tau}} \ prawej) ^ {2} = {\ Frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} - \left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2} }}\Prawidłowy).}$

Formalnym rozwiązaniem tego jest:

${\ Displaystyle \ tau = \ int {\ Frac {dr} {\ pm {\ sqrt {{\ Frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} - \ lewo (1- {\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right) }}}}.}$

Zauważ, że pierwiastek kwadratowy będzie urojony dla geodezji tachionicznej.

Używając relacji znajdującej się wyżej między i , możemy również napisać ${\textstyle {\frac {dt}{d\tau }}}$${\textstyle E}$

${\ Displaystyle t = \ int {\ Frac {dr} {\ pm c \ lewo (1-{\ Frac {r_ {\ rm {s}}} {r}} \ prawej) {\ sqrt {1-\ lewo (1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}} \right){\frac {m^{2}c^{2}}{E^{2}}}}}}.}$

Ponieważ asymptotycznie całka jest odwrotnie proporcjonalna do , pokazuje to, że w układzie odniesienia, jeśli zbliża się , robi to wykładniczo, nigdy go nie osiągając. Jednak w funkcji , osiąga . ${\textstyle r-r_{\rm {s}}}$${\textstyle r,\theta ,\varphi ,t}$${\textstyle r}$${\textstyle r_{s}}$${\textstyle \tau}$${\textstyle r}$${\textstyle r_{s}}$

Powyższe rozwiązania są ważne, gdy całka jest skończona, ale rozwiązanie całkowite może obejmować dwie lub nieskończoność części, z których każda jest opisana przez całkę, ale z naprzemiennymi znakami pierwiastka kwadratowego.

Kiedy i , możemy rozwiązać i jednoznacznie: ${\textstyle E=mc^{2}}$${\textstyle h=0}$${\textstyle t}$${\textstyle \tau}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} t & = {\ tekst {stała}} \ pm {\ Frac {r_ {\ rm {s}}} {c}} \ lewo ({\ Frac {2} {3}} \left({\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\right)^{\frac {3}{2}}+2{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}+\ln {\frac {\left|{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}-1\right|}{{\sqrt {\ frac {r}{r_{\rm {s}}}}+1}}\right)\\\tau &={\text{stała}}\pm {\frac {2}{3}}{\ frac {r_{\rm {s}}}{c}}\left({\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\right)^{\frac {3}{2}}\ koniec{wyrównany}}}$

oraz dla geodezji fotonicznej ( ) z zerowym momentem pędu ${\textstyle m=0}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} t & = {\ tekst {stała}} \ pm {\ Frac {1} {c}} \ lewo (r + r_ {\ rm {s}} \ ln \ lewo | {\ szczelina {r}{r_{\rm {s}}}}-1\right|\right)\\\tau &={\text{stała}}.\end{aligned}}}$

(Chociaż właściwy czas jest trywialny w przypadku fotoniki, można zdefiniować parametr afiniczny i wtedy rozwiązaniem równania geodezyjnego jest .) ${\textstyle \lambda}$${\textstyle r=c_{1}\lambda +c_{2}}$

Innym rozwiązywalnym przypadkiem jest ten, w którym i i są stałe. W objętości, w której to daje na właściwy czas ${\textstyle E=0}$${\textstyle t}$${\textstyle \varphi }$${\textstyle r<r_{s}}$

${\ Displaystyle \ tau = {\ tekst {stała}} \ pm {\ Frac {r_ {\ rm {s}}} {c}} \ lewo (\ arcsin {\ sqrt {\ Frac {r} {r_ {\ rm {s}}}}-{\sqrt {{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\left(1-{\frac {r}{r_{\rm {s}} }}\prawo)}}\prawo).}$

Jest to bliskie rozwiązaniom z małymi i pozytywnymi. Poza tym rozwiązanie to tachyonic i „właściwy czas” to przestrzeń, jak: ${\textstyle {\frac {E^{2}}{m^{2}}}}$${\textstyle r_{s}}$${\textstyle E=0}$

${\ Displaystyle \ tau = {\ tekst {stała}} \ pm ja {\ frac {r_ {\ rm {s}}} {c}} \ lewo (\ ln \ lewo ({\ sqrt {\ frac {r}) {r_{\rm {s}}}}}+{\sqrt {{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1}}\right)+{\sqrt {{\frac { r}{r_{\rm {s}}}}\lewo({\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1\prawo)}}\prawo).}$

Jest to zbliżone do innych rozwiązań tachionicznych z małym i ujemnym. Stała tachioniczna geodezyjna na zewnątrz nie jest kontynuowana przez stałą geodezyjną wewnątrz , ale raczej kontynuuje się w „równoległym regionie zewnętrznym” (patrz współrzędne Kruskal-Szekeres ). Inne rozwiązania tachioniczne mogą wejść do czarnej dziury i ponownie wyjść do równoległego obszaru zewnętrznego. Stałe t rozwiązanie wewnątrz horyzontu zdarzeń ( ) jest kontynuowane przez stałe t rozwiązanie w białej dziurze . ${\textstyle {\frac {E^{2}}{m^{2}}}}$${\textstyle t}$${\textstyle r_{s}}$${\textstyle t}$${\textstyle r_{s}}$${\textstyle r_{s}}$

Gdy moment pędu nie jest zerowy, możemy zastąpić zależność od właściwego czasu zależnością od kąta, korzystając z definicji${\textstyle \varphi }$${\textstyle h}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dr} {d \ Varphi}} \ po prawej) ^ {2} = \ po lewej ({\ Frac {dr} {d \ tau}} \ po prawej) ^ {2} \ po lewej ({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\ szczelina {r^{2}}{h}}\prawo)^{2},}$

co daje równanie orbity

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dr} {d \ Varphi}} \ prawej) ^ {2} = {\ Frac {r ^ {4}} {b ^ {2}}} - \ po lewej (1- {\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right) }$

gdzie dla zwięzłości dwie skale długości oraz , zostały zdefiniowane przez ${\textstyle a}$${\textstyle b}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} a & = {\ Frac {h} {c}} \ \ b & = {\ Frac {cL} {E}} = {\ Frac {hmc} {E}}. \ koniec {wyrównany}}}$

Zauważ, że w przypadku tachionicznym będzie wyimaginowany i rzeczywisty lub nieskończony. ${\textstyle a}$${\textstyle b}$

To samo równanie można również wyprowadzić za pomocą podejścia Lagrange'a lub równania Hamiltona-Jacobiego (patrz poniżej ). Rozwiązaniem równania orbity jest

${\ Displaystyle \ varphi = \ int {\ Frac {dr} {\ pm R ^ {2} {\ sqrt {{\ Frac {1} {b ^ {2}}} - \ lewo (1-{\ Frac { r_{\rm {s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right )}}}}.}$

Można to wyrazić za pomocą funkcji eliptycznej Weierstrassa . ${\textstyle \wp }$

Prędkości lokalne i opóźnione

Inaczej niż w mechanice, we współrzędnych Schwarzschilda a nie promieniowe i poprzeczne elementy miejscowego prędkości (w odniesieniu do nieruchomego obserwatora) zamiast dają elementy o celerity które są związane przez ${\textstyle {\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}\tau }}}$${\textstyle r\ {\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}\tau }}}$${\textstyle v_{\równoległy }}$${\textstyle v_{\perp}}$ ${\textstyle v}$${\textstyle v}$

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}\tau}}=v_ {\równoległy}}\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s }}}{r}}}}\ \gamma }$

dla promieniowego i

${\ Displaystyle {\ Frac {{\ rm {d}} \ varphi {{\ rm {d}} \ tau}} = {\ Frac {v_ {\ sprawca}} {r}} \ \ gamma}$

dla poprzecznej składowej ruchu, z . Księgowy współrzędnych daleko od miejsca zdarzenia obserwuje prędkość opóźnioną shapiro , która jest określona zależnością ${\textstyle v^{2}=v_{\parallel }^{2}+v_{\perp }^{2}}$${\textstyle {\hat {v}}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {v}} _ {\ sprawca} = v_ {\ sprawca} {\ sqrt {1-{\ Frac {r_ {\ rm {s}}} {r}}}}}$i .${\ Displaystyle {\ kapelusz {v}} _ {\ równoległy} = v_ {\ równoległy} \ lewo (1-{\ Frac {r_ {\ rm {s}}} {r}} \ prawej)}$

W formularzu można również umieścić współczynnik dylatacji czasu między księgowym a poruszającą się próbką

${\ Displaystyle {\ Frac {{\ rm {d}} \ tau {{\ rm {d}} t}} = {\ Frac {\ sqrt {1-{\ Frac {r_ {\ rm {s}} }{r}}}}{\gamma }}}$

gdzie licznik to grawitacja, a mianownik to kinematyczna składowa dylatacji czasu. Dla cząstki opadającej z nieskończoności lewy czynnik jest równy prawemu czynnikowi, ponieważ prędkość opadania odpowiada w tym przypadku prędkości ucieczki . ${\textstyle v}$${\textstyle c{\sqrt {\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}$

Dwie stałe: moment pędu i całkowita energia badanej cząstki o masie są wyrażone w${\styl tekstu L}$${\textstyle E}$${\textstyle m}$${\textstyle v}$

${\ Displaystyle L = m \ v_ {\ sprawca} \ r \ \ gamma}$

oraz

${\ Displaystyle E = mc ^ {2} \ {\ sqrt {1-{\ Frac {r_ {\ rm {s}}} {r}}}} \ \ gamma}$

gdzie

${\ Displaystyle E = E_ {\ rm {odpoczynek}} + E_ {\ rm {kin}} + E_ {\ rm {garnek}}}$

oraz

${\ Displaystyle e_ {\ rm {odpoczynek}} = mc ^ {2} \ \ \ e _ {\ rm {kin}} = (\ gamma -1) mc ^ {2} \ \ \ e_ {\ rm { pot}}=\left({\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}-1\right)\ \gamma \ mc^{2}}$

Dla masywnych cząstek testowych jest to czynnik Lorentza i jest to właściwy czas, podczas gdy dla cząstek bezmasowych, takich jak fotony, jest ustawiony i pełni rolę parametru afinicznego. Jeśli cząstka bezmasowymi jest zastąpiony i z , gdzie jest stałą Plancka , a lokalnie obserwowana częstotliwości. ${\textstyle \gamma}$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$${\textstyle \tau}$${\textstyle \gamma}$${\textstyle 1}$${\textstyle \tau}$${\textstyle E_{\rm {reszta}}}$${\textstyle E_{\rm {kin}}}$${\textstyle mc^{2}}$${\textstyle hf}$${\textstyle h}$${\textstyle f}$

Dokładne rozwiązanie za pomocą funkcji eliptycznych

Podstawowe równanie orbity jest łatwiejsze do rozwiązania, jeśli jest wyrażone w postaci promienia odwrotnego ${\textstyle u={\frac {1}{r}}}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {du} {d \ Varphi}} \ prawej) ^ {2} = {\ Frac {1} {b ^ {2}}} - \ po lewej (1-ur_ {\ rm {s}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+u^{2}\right)}$

Prawa strona tego równania to wielomian sześcienny , który ma trzy pierwiastki , oznaczane tutaj jako u ₁ , u ₂ , i u ₃

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {du} {d \ Varphi}} \ po prawej) ^ {2} = r_ {\ rm {s}} \ po lewej (u-u_ {1} \ po prawej) \ po lewej (u -u_{2}\prawo)\lewo(u-u_{3}\prawo)}$

Suma tych trzech pierwiastków równy współczynnik U ² termin

${\displaystyle u_{1}+u_{2}+u_{3}={\frac {1}{r_{\rm {s}}}}}$

Wielomian sześcienny o współczynnikach rzeczywistych może mieć albo trzy pierwiastki rzeczywiste, albo jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa złożone pierwiastki sprzężone . Jeśli wszystkie trzy pierwiastki są liczbami rzeczywistymi , pierwiastki są oznaczone tak , że u ₁ < u ₂ < u ₃ . Jeśli zamiast tego istnieje tylko jeden prawdziwy pierwiastek, oznaczamy go jako u ₃ ; złożone sprzężone korzenie są oznaczone jako u ₁ i u ₂ . Stosując regułę znaków Kartezjusza , może istnieć co najwyżej jeden pierwiastek ujemny; u ₁ jest ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy b < a . Jak omówiono poniżej, pierwiastki są przydatne w określaniu typów możliwych orbit.

Biorąc pod uwagę to oznakowanie pierwiastków, rozwiązaniem podstawowego równania orbitalnego jest

${\ Displaystyle u = u_ {1} + \ lewo (u_ {2}-u_ {1} \ prawo) \ \ operatorname {sn} ^ {2} \ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ varphi {\sqrt {r_{\rm {s}}\left(u_{3}-u_{1}\right)}}+\delta \right)}$

gdzie sn reprezentuje funkcję sinus amplitudinus (jedna z funkcji eliptycznych Jacobiego ), a δ jest stałą całkowania odzwierciedlającą pozycję początkową. Moduł eliptyczny k tej funkcji eliptycznej jest określony wzorem

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{3}-u_{1}}}}}$

Granica Newtona

Aby uzyskać rozwiązanie newtonowskie dla orbit planet, należy przyjąć granicę, ponieważ promień Schwarzschilda r _s zbliża się do zera. W tym przypadku, trzeci korzenia u ₃ staje się grubsza , i znacznie większe niż ù ₁ OR ù ₂ . Dlatego moduł k dąży do zera; w tej granicy sn staje się trygonometryczną funkcją sinus${\textstyle {\frac {1}{r_{\text{s}}}}}$

${\ Displaystyle u = u_ {1} + \ lewo (u_ {2}-u_ {1} \ prawo) \ \ grzech ^ {2} \ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ Varphi + \ delta \prawo)}$

Zgodnie z rozwiązaniami Newtona dotyczącymi ruchów planet, wzór ten opisuje ogniskową stożkową mimośrodu e

${\displaystyle e={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{2}+u_{1}}}}$

Jeśli u ₁ jest dodatnią liczbą rzeczywistą, to orbita jest elipsą, gdzie u ₁ i u ₂ oznaczają odpowiednio odległości najdalszego i najbliższego podejścia. Jeśli u ₁ jest zerem lub ujemną liczbą rzeczywistą, orbita jest odpowiednio parabolą lub hiperbolą . W tych dwóch ostatnich przypadkach u ₂ reprezentuje odległość najbliższego zbliżenia; ponieważ orbita zbliża się do nieskończoności ( u = 0), nie ma odległości najdalszego podejścia.

Korzenie i przegląd możliwych orbit

Pierwiastek reprezentuje punkt orbity, w którym znika pochodna, czyli gdzie . W takim punkcie zwrotnym u osiąga maksimum, minimum lub punkt przegięcia w zależności od wartości drugiej pochodnej, która jest wyrażona wzorem ${\textstyle {\frac {du}{d\phi }}=0}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} u} {d \ Varphi ^ {2}}} = {\ Frac {R_ {\ RM {s}}} {2}} \ lewo [\ lewo (u- u_{2}\right)\left(u-u_{3}\right)+\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{3}\right)+\left(u- u_{1}\prawo)\lewo(u-u_{2}\prawo)\prawo]}$

Jeśli wszystkie trzy pierwiastki są różnymi liczbami rzeczywistymi, druga pochodna jest dodatnia, ujemna i dodatnia przy u ₁ , u ₂ i u ₃ . Wynika z tego, że wykres u w funkcji φ może albo oscylować między u ₁ i u ₂ , albo oddalać się od u _{3 w} kierunku nieskończoności (co odpowiada r dążącemu do zera). Jeśli u ₁ jest ujemne, faktycznie wystąpi tylko część „oscylacji”. Odpowiada to cząstce wychodzącej z nieskończoności, zbliżającej się do masy centralnej, a następnie oddalającej się ponownie w kierunku nieskończoności, podobnie jak trajektoria hiperboliczna w rozwiązaniu klasycznym.

Jeśli cząstka ma odpowiednią ilość energii dla swojego momentu pędu, u ₂ i u ₃ połączą się. W tym przypadku istnieją trzy rozwiązania. Orbita może kręcić się spiralnie do , zbliżając się do tego promienia jako (asymptotycznie) malejący wykładniczy w φ, τ lub t . Albo można mieć orbitę kołową o tym promieniu. Albo można mieć orbitę, która opada spiralnie od tego promienia do punktu centralnego. Promień, o którym mowa, nazywa się promieniem wewnętrznym i wynosi od do 3 razy r _s . Orbita kołowa powstaje również wtedy, gdy u ₂ jest równe u ₁ i nazywa się to promieniem zewnętrznym. Te różne typy orbit omówiono poniżej. ${\textstyle r={\frac {1}{u_{2}}}={\frac {1}{u_{3}}}}$${\textstyle {\frac {3}{2}}}$

Jeśli cząstka dociera do masy centralnej z wystarczającą energią i wystarczająco małym momentem pędu, to tylko u ₁ będzie rzeczywiste. Odpowiada to cząsteczce wpadającej do czarnej dziury. Orbita skręca się spiralnie ze skończoną zmianą φ.

Precesja orbit

Funkcja sn i jej kwadrat sn ² mają okresy odpowiednio 4 K i 2 K , gdzie K jest określone równaniem

${\ Displaystyle K = \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {dy} {\ sqrt {\ lewo (1-y ^ {2} \ po prawej) \ lewo (1- k ^ {2} y ^ {2}\prawo)}}}}$

Dlatego zmiana φ o jedną oscylację u (lub równoważnie jedną oscylację r ) jest równa

${\ Displaystyle \ Delta \ varphi = {\ Frac {4 K} {\ sqrt {r_ {\ tekst {s}} \ po lewej (u_ {3}-u_ {1} \ po prawej)}}}}$

W granicy klasycznej u ₃ zbliża się i jest znacznie większe niż u ₁ lub u ₂ . Stąd k ² jest w przybliżeniu ${\textstyle {\frac {1}{r_{\text{s}}}}}$

${\ Displaystyle k ^ {2} = {\ Frac {u_ {2}-u_ {1}} {u_ {3}-u_ {1}}} \ około r_ {\ tekst {s}} \ lewo (u_ { 2}-u_{1}\prawo)\ll 1}$

Z tych samych powodów mianownik Δφ wynosi w przybliżeniu

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {r_ {\ tekst {s}} \ lewo (u_ {3}-u_ {1} \ prawo)}}} = {\ Frac {1} {\ sqrt { 1-r_{\text{s}}\left(2u_{1}+u_{2}\right)}}}\ok 1+{\frac {1}{2}}r_{\text{s}} \lewo(2u_{1}+u_{2}\prawo)}$

Ponieważ moduł k jest bliski zeru, okres K można rozszerzyć w potęgach k ; do najniższego rzędu ta ekspansja ustępuje

${\ Displaystyle K \ około \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {dy} {\ sqrt {1-y ^ {2}}}} \ lewo (1 + {\ Frac {1} {2} }k^{2}y^{2}\right)={\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {k^{2}}{4}}\right)}$

Podstawienie tych przybliżeń do wzoru na daje wzór na posuw kątowy na oscylację promieniową

${\ Displaystyle \ delta \ varphi = \ Delta \ varphi -2 \ pi \ około {\ Frac {3} {2}} \ pi r_ {\ tekst {s}} \ lewo (u_ {1} + u_ {2} \Prawidłowy)}$

W przypadku orbity eliptycznej u ₁ i u ₂ reprezentują odpowiednio odwrotności najdłuższej i najkrótszej odległości. Można je wyrazić w postaci półosi wielkiej elipsy A i jej mimośrodu orbitalnego e ,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} r_ {\ tekst {maks}} i = {\ Frac {1} {u_ {1}}} = A (1 + e) ​​\ \ r_ {\ tekst {min}} i ={\frac {1}{u_{2}}}=A(1-e)\end{wyrównany}}}$

dający

${\ Displaystyle u_ {1} + u_ {2} = {\ Frac {2} {\ lewo (1-e ^ {2} \ prawo)}}}$

Podstawiając definicję r _s otrzymujemy końcowe równanie

${\ Displaystyle \ delta \ varphi \ około {\ Frac {6 \ pi GM} {c ^ {2} A \ po lewej (1-e ^ {2} \ po prawej)}}}$

Uginanie światła pod wpływem grawitacji

Schemat soczewkowania grawitacyjnego przez kompaktowy korpus

W granicy, gdy masa cząstki m zbliża się do zera (lub, równoważnie, jeśli światło zmierza bezpośrednio w kierunku masy centralnej, gdy skala długości a zbliża się do nieskończoności), równanie orbity staje się

${\ Displaystyle \ varphi = \ int {\ Frac {dr} {r ^ {2} {\ sqrt {{\ Frac {1} {b ^ {2}}} - \ lewo (1-{\ Frac {R_ { \rm {s}}}{r}}\right){\frac {1}{r^{2}}}}}}}$

Rozwijając się w potęgach , wiodący wyraz porządku w tym wzorze daje przybliżone odchylenie kątowe δ φ dla bezmasowej cząstki przychodzącej z nieskończoności i wychodzącej z powrotem do nieskończoności: ${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

${\ Displaystyle \ delta \ varphi \ około {\ Frac {2r_ {\ rm {s}}} {b}} = {\ Frac {4GM} {c ^ {2} b}}.}$

Tutaj b jest parametrem uderzenia , nieco większym niż odległość najbliższego podejścia , r ₃ :

${\displaystyle b=r_{3}{\sqrt {\frac {r_{3}}{r_{3}-r_{\rm {s}}}}}}$

Chociaż ten wzór jest przybliżony, jest dokładny dla większości pomiarów soczewkowania grawitacyjnego , ze względu na mały stosunek . W przypadku światła padającego na powierzchnię Słońca przybliżone odchylenie kątowe wynosi około 1,75  sekundy kątowej , czyli około jednej milionowej części okręgu. ${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

Gdy pakiet fal świetlnych (lub jego kwant, foton) przemieszcza się po odchylonej ścieżce, która jest przewidywana przez zginanie światła, jego funkcja falowa nadal oddziałuje z zakrzywioną geometrią czasoprzestrzeni wokół geodezji i ulega zniekształceniu. Poinformowano, że zniekształcenie jest znaczące w stosunku do poziomu, który można zmierzyć.

Związek z fizyką Newtona

Efektywna promieniowa energia potencjalna

Wyprowadzone powyżej równanie ruchu dla cząstki

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dr} {d \ tau}} \ prawej) ^ {2} = {\ Frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} - c^{2}+{\frac {r_{\rm {s}}c^{2}}{r}}-{\frac {L^{2}}{m\mu r^{2}}} +{\frac {r_{\rm {s}}L^{2}}{m\mu r^{3}}}}$

można przepisać używając definicji promienia Schwarzschilda r _s as

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} m \ lewo ({\ Frac {dr} {d \ tau}} \ prawej) ^ {2} = \ lewo [{\ Frac {E ^ {2}} {2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{ 2\mu r^{2}}}+{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}},}$

co jest równoważne cząstce poruszającej się w jednowymiarowym potencjale efektywnym

${\ Displaystyle V (R) = - {\ Frac {GMm} {R}} + {\ Frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ Frac {G (M + m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$

Pierwsze dwa terminy są dobrze znanymi energiami klasycznymi, pierwszy to przyciągająca newtonowska energia potencjalna grawitacji, a drugi odpowiada odpychającej „odśrodkowej” energii potencjalnej ; jednak trzeci termin to atrakcyjna energia, unikalna dla ogólnej teorii względności . Jak pokazano poniżej i gdzie indziej , ta odwrotna energia sześcienna powoduje stopniową precesję orbit eliptycznych o kąt δφ na obrót

${\ Displaystyle \ delta \ varphi \ około {\ Frac {6 \ pi G (M + m)} {c ^ {2} A \ po lewej (1-e ^ {2} \ po prawej)}}}$

gdzie A to wielka półoś, a e to mimośród.

Trzeci człon jest atrakcyjny i dominuje przy małych wartościach r , dając krytyczny promień _wewnętrzny r _wewnętrzny, przy którym cząstka jest nieuchronnie przyciągana do środka do r = 0; Ten wewnętrzny promień jest funkcją momentu pędu tych cząstek na jednostkę masy lub równoważnie skala długości określonej powyżej.

Orbity kołowe i ich stabilność

Efektywny potencjał promieniowy dla różnych momentów kątowych. Przy małych promieniach energia gwałtownie spada, powodując nieuchronne przyciąganie cząstki do środka do r = 0. Jednak gdy znormalizowany moment pędu jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z trzech, możliwa jest metastabilna orbita kołowa przy promieniu zaznaczonym zielonym kółkiem . Przy wyższych momentach pędu występuje znaczna bariera odśrodkowa (krzywa pomarańczowa) i niestabilny promień wewnętrzny, zaznaczony na czerwono.${\textstyle {\frac {a}{r_{\text{s}}}}={\frac {L}{mcr_{\text{s}}}}}$

Potencjał efektywny V można przepisać na podstawie długości . ${\textstyle a={\frac {h}{c}}}$

${\ Displaystyle V (r) = {\ Frac {\ mu c ^ {2}} {2}} \ lewo [- {\ Frac {r_ {\ rm {s}}} {r}} + {\ Frac { a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{\rm {s}}a^{2}}{r^{3}}}\right]}$

Orbity kołowe są możliwe, gdy efektywna siła wynosi zero

${\ Displaystyle F = - {\ Frac {dV} {dr}} = - {\ Frac {\ mu c ^ {2}} {2r ^ {4}}} \ lewo [r_ {\ rm {s}} r ^{2}-2a^{2}r+3r_{\rm {s}}a^{2}\right]=0}$

tzn. gdy dwie siły przyciągania — grawitacja newtonowska (pierwszy element) i przyciąganie charakterystyczne dla ogólnej teorii względności (trzeci element) — są dokładnie zrównoważone przez odpychającą siłę odśrodkową (drugi element). Istnieją dwa promienie, przy których może nastąpić to równoważenie, oznaczone tutaj jako r _wewnętrzny i r _zewnętrzny

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} r_ {\ tekst {zewnętrzny}} i = {\ Frac {a ^ {2}} {r_ {\ rm {s}}}} \ lewo (1 + {\ sqrt {1 -{\frac {3r_{\rm {s}}^{2}}{a^{2}}}}\right)\\[3pt]r_{\text{wewnętrzna}}&={\frac { a^{2}}{r_{\rm {s}}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{\rm {s}}^{2}}{a^{2 }}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\text{zewnętrzny}}}}\end{wyrównany}}}$

które uzyskuje się za pomocą wzoru kwadratowego . Wewnętrzny promień r _wewnętrzny jest niestabilny, ponieważ przyciągająca trzecia siła wzmacnia się znacznie szybciej niż pozostałe dwie siły, gdy r staje się małe; jeśli cząstka ześlizguje się nieco do wewnątrz z r _{wewnętrznego} (gdzie wszystkie trzy siły są w równowadze), trzecia siła dominuje nad pozostałymi dwoma i przyciąga cząstkę nieubłaganie do środka do r = 0. Jednak na zewnętrznym promieniu orbity kołowe są stabilne; trzeci wyraz jest mniej ważny, a system zachowuje się bardziej jak nierelatywistyczny problem Keplera .

Gdy a jest znacznie większe niż r _s (przypadek klasyczny), wzory te stają się w przybliżeniu

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} r_ {\ tekst {zewnętrzny}} i \ około {\ Frac {2a ^ {2}} {r_ {\ rm {s}}}} \ \ [3 pkt] r_ {\ tekst {wewnętrzny}} i około {\frac {3}{2}}r_{\rm {s}}\end{wyrównany}}}$

Stabilne i niestabilne promienie są wykreślane w zależności od znormalizowanego momentu pędu odpowiednio w kolorze niebieskim i czerwonym. Krzywe te spotykają się na unikalnej orbicie kołowej (zielone kółko), gdy znormalizowany moment pędu jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z trzech. Dla porównania, klasyczny promień przewidywany na podstawie przyspieszenia dośrodkowego i prawa grawitacji Newtona zaznaczono na czarno.${\textstyle {\frac {a}{r_{\text{s}}}}={\frac {L}{mcr_{\text{s}}}}}$

Podstawienie definicji a i r _s na r _zewnętrzne daje klasyczny wzór na cząstkę o masie m krążącą wokół ciała o masie M .

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {zewnętrzny} } ^ {3} = {\ Frac {G (M + m)} {\ omega _ {\ varphi} ^ {2}}}}$

gdzie ω _φ jest orbitalną prędkością kątową cząstki. Wzór ten uzyskuje się w mechanice nierelatywistycznej przez ustawienie siły odśrodkowej równej Newtonowskiej sile grawitacyjnej:

${\ Displaystyle {\ Frac {GMm} {r ^ {2}}} = \ mu \ omega _ {\ varphi} ^ {2} r}$

Gdzie jest zmniejszona masa . ${\textstyle \mu}$

W naszym zapisie klasyczna orbitalna prędkość kątowa równa się

${\ Displaystyle \ omega _ {\ varphi } ^ {2} \ około {\ Frac {GM} {r_ {\ operatorname {zewnętrzny}} ^ {3}}} = \ lewo ({\ Frac {r_ {\ rm { s}}c^{2}}{2r_{\mathrm {zewnętrzny} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{\rm {s}}c^{2}}{ 2}}\right)\left({\frac {r_{\rm {s}}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{\ rm {s}}^{4}}{16a^{6}}}}$

Na drugim końcu, po ² zbliża 3 r _y ² z góry, dwa promienie zbiegają się w jednej wartości

${\ Displaystyle R_ {\ operatorname {zewnętrzny}} \ około r_ {\ operatorname {wewnętrzny}} \ około 3r_ {\ rm {s}}}$

Powyższe rozwiązania kwadratowe zapewniają, że r _zewnętrzne jest zawsze większe niż 3 r _s , podczas gdy r _wewnętrzne leży między 3 ⁄ 2  r _s i 3 r _s . Orbity kołowe mniejsze niż 3 ⁄ 2  r _s nie są możliwe. Dla cząstek bezmasowych, a idzie do nieskończoności, co oznacza, że ​​fotony mają orbitę kołową przy r _inner = 3 ⁄ 2  r _s . Sfera o tym promieniu jest czasami nazywana sferą fotonową .

Precesja orbit eliptycznych

W nierelatywistycznym zagadnieniu Keplera cząstka wiecznie podąża tą samą idealną elipsą (czerwoną orbitą). Ogólna teoria względności wprowadza trzecią siłę, która przyciąga cząstkę nieco silniej niż grawitacja newtonowska, zwłaszcza przy małych promieniach. Ta trzecia siła powoduje preces eliptycznej orbity cząstki (orbita cyjanowa) w kierunku jej rotacji; efekt ten został zmierzony na Merkurym , Wenus i Ziemi. Żółta kropka na orbitach reprezentuje środek przyciągania, taki jak Słońce .

Szybkość precesji orbitalnej można wyznaczyć przy użyciu tego promieniowego potencjału efektywnego V . Małe odchylenie promieniowe od orbity kołowej o promieniu r _zewnętrznym będzie oscylować stabilnie z częstotliwością kątową

${\ Displaystyle \ omega _ {R} ^ {2} = {\ Frac {1} {m}} \ lewo [{\ Frac {d ^ {2} V} {dr ^ {2}}} \ prawej] _ {r=r_{\mathrm {zewnętrzny}}}}$

co równa się

${\ Displaystyle \ omega _ {r} ^ {2} = \ lewo ({\ Frac {c ^ {2} r_ {\ rm {s}}} {2r_ {\ operatorname {zewnętrzny}} ^ {4}}} \right)\left(r_{\mathrm {zewnętrzny} }-r_{\mathrm {wewnętrzny} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{ \rm {s}}^{2}}{a^{2}}}}}}$

Wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z obu stron i wykonanie rozwinięcia szeregu Taylora daje

${\ Displaystyle \ omega _ {r} = \ omega _ {\ varphi} \ lewo [1-{\ frac {3r_ {\ rm {s}} ^ {2}} {4a ^ {2}}} + {\ mathcal {O}}\left({\frac {r_{\rm {s}}^{4}}{a^{4}}}\right)\right]}$

Pomnożenie przez okres T jednego obrotu daje precesję orbity na obrót

${\ Displaystyle \ delta \ varphi = T \ lewo (\ omega _ {\ varphi} - \ omega _ {r} \ po prawej) \ około 2 \ pi \ lewo ({\ Frac {3r_ {\ rm {s}}} ^ {2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{\rm {s}} ^{2}}$

gdzie użyliśmy ω _φ T = 2 п oraz definicję skali długości a . Podstawiając definicję promienia Schwarzschilda r _s daje

${\ Displaystyle \ delta \ varphi \ około {\ Frac {3 \ pi m ^ {2} c ^ {2}} {2L ^ {2}}} \ lewo ({\ Frac {4 G ^ {2} M ^ { 2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}} }}$

Można to uprościć za pomocą półosi eliptycznej orbity A i mimośrodu e, związanych wzorem

${\ Displaystyle {\ Frac {h ^ {2}} {G (M + m)}} = A \ lewo (1-e ^ {2} \ prawo)}$

dać kąt precesji

${\ Displaystyle \ delta \ varphi \ około {\ Frac {6 \ pi G (M + m)} {c ^ {2} A \ po lewej (1-e ^ {2} \ po prawej)}}}$

Matematyczne wyprowadzenia równania orbitalnego

Symbole Christoffela

Nieznikające symbole Christoffela dla metryki Schwarzschilda to:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ gamma _ {rt} ^ {t} = - \ gamma _ {rr} ^ {r} i = {\ Frac {r_ {\ rm {s}}} {2r (r -r_{\rm {s}})}}\\[3pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {r_{\rm {s}}(r-r_{\rm {s }})}{2r^{3}}}\\[3pt]\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=(r_{\rm {s}}-r)\sin ^{2} (\theta )\\[3pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=r_{\rm {s}}-r\\[3pt]\Gamma _{r\theta }^{\ theta }=\Gamma _{r\phi }^{\phi }&={\frac {1}{r}}\\[3pt]\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }&=- \sin(\theta )\cos(\theta )\\[3pt]\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }&=\cot(\theta )\end{aligned}}}$

Równanie geodezyjne

Zgodnie z ogólną teorią względności Einsteina cząstki o znikomej masie przemieszczają się wzdłuż geodezji w czasoprzestrzeni. W płaskiej czasoprzestrzeni, z dala od źródła grawitacji, te geodezyjnie odpowiadają liniom prostym; mogą jednak odbiegać od linii prostych, gdy czasoprzestrzeń jest zakrzywiona. Równanie dla linii geodezyjnych to

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x ^ {\ lambda}} {dq ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} {\ Frac {dx ^ {\ mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=0}$

gdzie Γ reprezentuje symbol Christoffela, a zmienna parametryzuje drogę cząstki w czasoprzestrzeni , jej tzw. linię świata . Symbol Christoffela zależy tylko od tensora metrycznego , a raczej od tego, jak zmienia się wraz z pozycją. Zmienna jest stałą wielokrotnością czasu właściwego dla orbit czasopodobnych (które podróżują masywne cząstki) i zwykle przyjmuje się, że jest jej równa. Dla lekkich (lub zerowych) orbit (które poruszają się bezmasowe cząstki, takie jak foton ), właściwy czas wynosi zero i, ściśle mówiąc, nie może być używany jako zmienna . Niemniej jednak orbity światłopodobne można wyprowadzić jako ultrarelatywistyczną granicę orbit podobnych do czasu, to znaczy granicę, gdy masa cząstki m spada do zera, przy zachowaniu stałej całkowitej energii . ${\textstyle q}$ ${\textstyle g_{\mu \nu }}$${\textstyle q}$ ${\textstyle \tau}$${\textstyle q}$

Dlatego najprostszym sposobem rozwiązania ruchu cząstki jest rozwiązanie równania geodezyjnego, podejście przyjęte przez Einsteina i innych. Metryka Schwarzschilda może być zapisana jako

${\ Displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = w (r) c ^ {2} dt ^ {2} - v (r) dr ^ {2} - r ^ {2} d \ teta ^ {2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$

gdzie dwie funkcje i ich odwrotność są zdefiniowane dla zwięzłości. Z tej metryki można obliczyć symbole Christoffela , a wyniki zastąpić równaniami geodezyjnymi ${\textstyle w(r)=1-{\frac {r_{s}}{r}}}$${\textstyle v(r)={\frac {1}{w(r)}}}$${\textstyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} 0 i = {\ Frac {d ^ {2} \ theta} {dq ^ {2}}} + {\ Frac {2} {r}} {\ Frac {d \ theta} {dq}}{\frac {dr}{dq}}-\sin \theta \cos \theta \left({\frac {d\phi }{dq}}\right)^{2}\\[3pt] 0&={\frac {d^{2}\phi }{dq^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\phi }{dq}}{\frac {dr }{dq}}+2\cot \theta {\frac {d\phi }{dq}}{\frac {d\theta }{dq}}\\[3pt]0&={\frac {d^{2 }t}{dq^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {dw}{dr}}{\frac {dt}{dq}}{\frac {dr}{dq }}\\[3pt]0&={\frac {d^{2}r}{dq^{2}}}+{\frac {1}{2v}}{\frac {dv}{dr}}\ left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-{\frac {r}{v}}\left({\frac {d\theta }{dq}}\right)^{ 2}-{\frac {r\sin ^{2}\theta }{v}}\left({\frac {d\phi }{dq}}\right)^{2}+{\frac {c^ {2}}{2v}}{\frac {dw}{dr}}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Można sprawdzić, czy jest to poprawne rozwiązanie, podstawiając do pierwszego z tych czterech równań. Zgodnie z symetrią, orbita musi być płaska i możemy dowolnie ustawić układ współrzędnych tak, aby płaszczyzna równika była płaszczyzną orbity. To rozwiązanie upraszcza równania drugie i czwarte. ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle \theta }$

Aby rozwiązać drugie i trzecie równanie, wystarczy podzielić je odpowiednio przez i . ${\textstyle {\frac {d\phi }{dq}}}$${\textstyle {\frac {dt}{dq}}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} 0 i = {\ Frac {d} {dq}} \ lewo [\ ln {\ Frac {d \ phi} {dq}} + \ ln r ^ {2} \ prawej] \ \[3pt]0&={\frac {d}{dq}}\left[\ln {\frac {dt}{dq}}+\ln w\right],\end{aligned}}}$

co daje dwie stałe ruchu.

Podejście Lagrange'a

Ponieważ cząstki testowe podążają za geodezją w ustalonej metryce, orbity tych cząstek można określić za pomocą rachunku wariacji, zwanego również podejściem Lagrange'a. Geodezyjne w czasoprzestrzeni są definiowane jako krzywe, dla których niewielkie lokalne zmiany w ich współrzędnych (przy utrzymywaniu stałych zdarzeń punktów końcowych) nie powodują znaczących zmian w ich całkowitej długości s . Można to wyrazić matematycznie za pomocą rachunku wariacyjnego

${\ Displaystyle 0 = \ delta s = \ delta \ int ds = \ delta \ int {\ sqrt {g_ {\ mu \ nu} {\ Frac {dx ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ Frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau }$

gdzie τ jest właściwym czasem , s = cτ jest długością łuku w czasoprzestrzeni, a T jest zdefiniowane jako

${\ Displaystyle 2T = c ^ {2} = \ lewo ({\ Frac {ds} {d \ tau}} \ prawej) ^ {2} = g_ {\ mu \ nu} {\ Frac {dx ^ {\ mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right )c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}} }{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\prawo)^{2}}$

analogicznie do energii kinetycznej . Jeśli pochodną po właściwym czasie reprezentuje kropka dla zwięzłości

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} ^ {\ mu} = {\ Frac {dx ^ {\ mu}} {d \ tau}}}$

T można zapisać jako

${\ Displaystyle 2T = c ^ {2} = \ lewo (1-{\ Frac {r_ {\ rm {s}}} {r}} \ prawej) c ^ {2} \ lewo ({\ kropka {t} }\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right) ^{2}-r^{2}\left({\dot {\varphi }}\right)^{2}}$

Czynniki stałe (takie jak c lub pierwiastek kwadratowy z dwóch) nie wpływają na odpowiedź na problem wariacyjny; dlatego przyjęcie wariacji wewnątrz całki daje zasadę Hamiltona

${\ Displaystyle 0 = \ delta \ int {\ sqrt {2 T}} d \ tau = \ int {\ frac {\ delta T} {\ sqrt {2 T}}} d \ tau = {\ frac {1} {c }}\delta \int Td\tau .}$

Rozwiązanie problemu wariacyjnego podają równania Lagrange'a

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {d \ tau}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy T}} {\ częściowy {\ kropka {x}} ^ {\ sigma}}} \ po prawej) = {\ Frac {\częściowy T}{\częściowy x^{\sigma }}}.}$

W zastosowaniu do t i φ równania te ujawniają dwie stałe ruchu

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {d} {d \ tau}} \ lewo [r ^ {2} {\ Frac {d \ varphi} {d \ tau}} \ po prawej] i = 0, \\{\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d \tau }}\right]&=0,\end{wyrównany}}}$

co można wyrazić w postaci dwóch stałych skal długości, oraz${\textstyle a}$${\textstyle b}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} r ^ {2} {\ Frac {d \ varphi} {d \ tau}} i = ac \ \ \ lewo (1- {\ Frac {r_ {\ rm {s}} }}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}&={\frac {a}{b}}.\end{aligned}}}$

Jak pokazano powyżej , podstawienie tych równań do definicji metryki Schwarzschilda daje równanie orbity.

Podejście hamiltonowskie

Rozwiązanie Lagrange'a można przekształcić w równoważną postać Hamiltona. W tym przypadku hamiltonian jest podany przez ${\ Displaystyle H}$

${\ Displaystyle 2H = c ^ {2} = {\ Frac {p_ {t} ^ {2}} {c ^ {2} \ lewo (1-{\ Frac {R_ {\ rm {s}}} {r }}\right)}}-\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)p_{r}^{2}-{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}-{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

Po raz kolejny orbita może być ograniczona przez symetrię. Ponieważ i nie występują w hamiltonianie, ich pędy sprzężone są stałe; mogą być wyrażone jako prędkość światła i dwie stałe skale długości oraz${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle t}$${\textstyle \varphi }$${\textstyle c}$${\textstyle a}$${\textstyle b}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} p_ {\ varphi} & = -ac \ \ p_ {\ theta} i = 0 \ \ p_ {t} i = {\ Frac {ac ^ {2}} {b}} \end{wyrównany}}}$