Wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda - Derivation of the Schwarzschild solution

Rozwiązanie Schwarzschilda opisuje czasoprzestrzeń pod wpływem masywnego, nieobrotowego, sferycznie symetrycznego obiektu. Niektórzy uważają, że jest to jedno z najprostszych i najbardziej użytecznych rozwiązań równań pola Einsteina .

Założenia i zapis

Pracując na wykresie współrzędnych ze współrzędnymi oznaczonymi odpowiednio od 1 do 4, zaczynamy od metryki w jej najbardziej ogólnej postaci (10 niezależnych składników, z których każdy jest płynną funkcją 4 zmiennych). Zakłada się, że rozwiązanie jest sferycznie symetryczne, statyczne i próżniowe. Na potrzeby tego artykułu założenia te można sformułować w następujący sposób (szczegółowe definicje znajdują się w odpowiednich odsyłaczach): ${\ Displaystyle \ lewo (r, \ theta, \ phi, t \ prawej)}$

1. Sferycznie symetryczna czasoprzestrzeń jest jeden, który jest niezmienny i biorąc pod obrotów lustrzane odbicie.
2. Czasoprzestrzeni statyczny jest taka, w której wszystkie elementy metryczne są niezależne od czasu współrzędnych (tak ) i geometrii czasoprzestrzeni pozostaje niezmieniony pod czas odwrócenia . ${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ częściowe} {\ częściowe t}} g _ {\ mu \ nu} = 0}$${\ displaystyle t \ rightarrow -t}$
3. Rozwiązanie próżniowe to takie, które spełnia równanie . Z równań pola Einsteina (z zerową stałą kosmologiczną ) wynika, że od kurczenia się plony . ${\ displaystyle T_ {ab} = 0}$${\ displaystyle R_ {ab} = 0}$ ${\ displaystyle R_ {ab} - {\ tfrac {R} {2}} g_ {ab} = 0}$${\ displaystyle R = 0}$
4. Użyty tutaj podpis metryczny to (+, +, +, -).

Przekątna metryki

Pierwszym uproszczeniem, które należy wprowadzić, jest przekątna metryki. W ramach transformacji współrzędnych , wszystkie komponenty metryczne powinna pozostać taka sama. Składniki metryczne ( ) zmieniają się pod wpływem tej transformacji jako: ${\ Displaystyle (r, \ teta, \ phi, t) \ rightarrow (r, \ teta, \ phi, -t)}$${\ displaystyle g _ {\ mu 4}}$${\ displaystyle \ mu \ neq 4}$

${\ Displaystyle g _ {\ mu 4} '= {\ Frac {\ częściowe x ^ {\ alfa}} {\ częściowe x ^ {' \ mu}}} {\ Frac {\ częściowe x ^ {\ beta}} { \ częściowe x ^ {'4}}} g _ {\ alpha \ beta} = - g _ {\ mu 4}}$ ( ) ${\ displaystyle \ mu \ neq 4}$

Ale, jak się spodziewamy (komponenty metryczne pozostają takie same), oznacza to, że: ${\ displaystyle g '_ {\ mu 4} = g _ {\ mu 4}}$

${\ Displaystyle g _ {\ mu 4} = \, 0}$ ( ) ${\ displaystyle \ mu \ neq 4}$

Podobnie transformacje współrzędnych i odpowiednio dają: ${\ Displaystyle (r, \ teta, \ phi, t) \ rightarrow (r, \ teta, - \ phi, t)}$${\ Displaystyle (r, \ teta, \ phi, t) \ rightarrow (r, - \ teta, \ phi, t)}$

${\ Displaystyle g _ {\ mu 3} = \, 0}$ ( ) ${\ displaystyle \ mu \ neq 3}$

${\ Displaystyle g _ {\ mu 2} = \, 0}$ ( ) ${\ displaystyle \ mu \ neq 2}$

Połączenie tego wszystkiego razem daje:

${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \, 0}$ ( ) ${\ displaystyle \ mu \ neq \ nu}$

stąd metryka musi mieć postać:

${\ Displaystyle ds ^ {2} = \, g_ {11} \, dr ^ {2} + g_ {22} \, d \ theta ^ {2} + g_ {33} \, d \ phi ^ {2} + g_ {44} \, dt ^ {2}}$

gdzie cztery składowe metryczne są niezależne od współrzędnej czasu (przy założeniu statycznym). ${\ displaystyle t}$

Uproszczenie komponentów

Na każdej hiperpowierzchni stałej , stałej i stałej (tj. Na każdej linii radialnej), powinna zależeć tylko od (przez symetrię sferyczną). Stąd jest funkcją pojedynczej zmiennej: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle g_ {11}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle g_ {11}}$

${\ Displaystyle g_ {11} = A \ lewo (r \ prawo)}$

Podobny argument zastosowany do pokazuje, że: ${\ displaystyle g_ {44}}$

${\ Displaystyle g_ {44} = B \ lewo (r \ prawej)}$

Na hiperpowierzchniach stałych i stałych wymagane jest, aby metryka była metryką 2-sfery: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle dl ^ {2} = r_ {0} ^ {2} (d \ teta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ teta \, d \ phi ^ {2})}$

Wybierając jedną z tych hiperpowierzchni ( powiedzmy tę z promieniem ), składowe metryczne ograniczone do tej hiperpowierzchni (którą oznaczamy i ) powinny pozostać niezmienione pod wpływem obrotów do i (ponownie przez symetrię sferyczną). Porównanie form metryki na tej hiperpowierzchni daje: ${\ displaystyle r_ {0}}$${\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {22}}$${\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {33}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle {\ tilde {g}} _ {22} \ left (d \ theta ^ {2} + {\ Frac {{\ tilde {g}} _ {33}} {{\ tilde {g}} _ {22}}} \, d \ phi ^ {2} \ right) = r_ {0} ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ { 2})}$

co natychmiast daje:

${\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {22} = r_ {0} ^ {2}}$ i ${\ Displaystyle {\ tilde {g}} _ {33} = r_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}$

Ale jest to wymagane, aby utrzymać każdą hiperpowierzchnię; W związku z tym,

${\ Displaystyle g_ {22} = \, r ^ {2}}$ i ${\ Displaystyle g_ {33} = \, r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}$

Alternatywnym intuicyjnym sposobem, aby to zobaczyć i musi być taki sam jak w przypadku płaskiej czasoprzestrzeni, jest to, że rozciąganie lub ściskanie elastycznego materiału w sferycznie symetryczny sposób (promieniowo) nie zmieni odległości kątowej między dwoma punktami. ${\ displaystyle g_ {22}}$${\ displaystyle g_ {33}}$

Zatem metrykę można zapisać w postaci:

${\ Displaystyle ds ^ {2} = A \ lewo (r \ prawej) dr ^ {2} + r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} + B \ left (r \ right) dt ^ {2}}$

z i jeszcze nieustalone funkcje . Zwróć uwagę, że jeśli w pewnym momencie wartość lub jest równa zeru, metryka byłaby w tym momencie osobliwa . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Obliczanie symboli Christoffela

Korzystając z powyższej metryki, znajdujemy symbole Christoffela , w których znajdują się indeksy . Znak oznacza całkowitą pochodną funkcji. ${\ Displaystyle (1, 2, 3, 4) = (r, \ teta, \ phi, t)}$${\ displaystyle '}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {ik} ^ {1} = {\ rozpocząć {bmatrix} A '/ \ lewo (2A \ prawo) i 0 i 0 i 0 \\ 0 i -r / A i 0 i 0 \\ 0 i 0 i -r \ sin ^ {2} \ theta / A & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -B '/ \ left (2A \ right) \ end {bmatrix}}}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {ik} ^ {2} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 1 / r i 0 i 0 \\ 1 / r i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 & - \ sin \ theta \ cos \ theta i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 0 \ koniec {bmatrix}} }$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {ik} ^ {3} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 0 i 1 / r & 0 \\ 0 i 0 i \ cot \ theta i 0 \\ 1 / r & \ cot \ teta i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 0 \ koniec {bmatrix}} }$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {ik} ^ {4} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 0 i 0 i B '/ \ lewo (2B \ prawo) \\ 0 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 0 \\ B' / \ lewo (2B \ prawo) i 0 i 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

Użycie równań pola do znalezienia A (r) i B (r)

Aby określić i , wykorzystuje się równania pola próżniowego : ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle R _ {\ alpha \ beta} = \, 0}$

W związku z tym:

${\ Displaystyle {\ Gamma _ {\ beta \ alpha, \ rho} ^ {\ rho}} - \ Gamma _ {\ rho \ alpha, \ beta} ^ {\ rho} + \ Gamma _ {\ rho \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ beta \ alpha} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ beta \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ rho \ alpha} ^ {\ lambda} = 0 \ ,,}$

gdzie przecinek jest używany do wyodrębnienia indeksu używanego dla instrumentu pochodnego. Tylko trzy z tych równań są nietrywialne i po uproszczeniu stają się:

${\ Displaystyle 4A'B ^ {2} -2rB''AB + rA'B'B + rB '^ {2} A = 0 \ ,,}$

${\ Displaystyle rA'B + 2A ^ {2} B-2AB-rB'A = 0 \ ,,}$

${\ Displaystyle -2rB''AB + rA'B'B + rB '^ {2} A-4B'AB = 0}$

(czwarte równanie jest po prostu pomnożone przez drugie równanie), gdzie pierwsza oznacza pochodną r funkcji. Odejmowanie pierwszego i trzeciego równania daje: ${\ Displaystyle \ sin ^ {2} \ theta}$

${\ Displaystyle A'B + AB '= 0 \ Rightarrow A (r) B (r) = K}$

gdzie jest niezerową stałą rzeczywistą. Podstawienie do drugiego równania i uporządkowanie daje: ${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle A (r) B (r) \ = K}$

${\ displaystyle rA '= A (1-A)}$

który ma ogólne rozwiązanie:

${\ Displaystyle A (r) = \ lewo (1 + {\ Frac {1} {Sr}} \ prawo) ^ {- 1}}$

dla jakiejś niezerowej stałej rzeczywistej . Stąd metryka statycznego, sferycznie symetrycznego rozwiązania próżniowego ma teraz postać: ${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle ds ^ {2} = \ lewo (1 + {\ Frac {1} {Sr}} \ prawej) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d \ theta ^ {2 } + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}) + K \ left (1 + {\ frac {1} {Sr}} \ right) dt ^ {2}}$

Zauważ, że czasoprzestrzeń reprezentowana przez powyższą metrykę jest asymptotycznie płaska , tj. Ponieważ metryka zbliża się do metryki Minkowskiego, a rozmaitość czasoprzestrzeni przypomina przestrzeń Minkowskiego . ${\ displaystyle r \ rightarrow \ infty}$

Użycie przybliżenia słabego pola do znalezienia K i S.

Ten diagram podaje drogę do znalezienia rozwiązania Schwarzschilda przy użyciu przybliżenia słabego pola. Równość w drugim rzędzie daje g ₄₄ = - c ² + 2 GM / r , zakładając, że pożądane rozwiązanie degeneruje się do metryki Minkowskiego, gdy ruch odbywa się daleko od czarnej dziury ( r zbliża się do dodatniej nieskończoności).

Geodezja metryki (uzyskana tam, gdzie jest ekstremalna) musi w pewnym zakresie (np. W kierunku nieskończonej prędkości światła) zgadzać się z rozwiązaniami ruchu Newtona (np. Uzyskanymi z równań Lagrange'a ). (Metryka musi również ograniczać się do przestrzeni Minkowskiego, gdy masa, którą reprezentuje, znika.) ${\ displaystyle ds}$

${\ Displaystyle 0 = \ delta \ int {\ Frac {ds} {dt}} dt = \ delta \ int (KE + PE_ {g}) dt}$

(gdzie jest energią kinetyczną i jest energią potencjalną grawitacji) Stałe i są w pełni określone przez pewien wariant tego podejścia; z przybliżenia słabego pola otrzymujemy wynik: ${\ displaystyle KE}$${\ displaystyle PE_ {g}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle g_ {44} = K \ lewo (1 + {\ Frac {1} {Sr}} \ prawej) \ ok. -c ^ {2} + {\ Frac {2Gm} {r}} = - c ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2Gm} {c ^ {2} r}} \ right)}$

gdzie jest stała grawitacji , jest masą źródła grawitacyjnego i jest prędkością światła. Stwierdzono, że: ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle c}$

${\ Displaystyle K = \, - c ^ {2}}$ i ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {S}} = - {\ Frac {2Gm} {C ^ {2}}}}$

W związku z tym:

${\ Displaystyle A (r) = \ lewo (1 - {\ Frac {2Gm} {c ^ {2} r}} \ prawej) ^ {- 1}}$ i ${\ Displaystyle B (r) = - c ^ {2} \ lewo (1 - {\ Frac {2Gm} {c ^ {2} r}} \ prawej)}$

Tak więc metryka Schwarzschilda może ostatecznie zostać zapisana w postaci:

${\ Displaystyle ds ^ {2} = \ lewo (1 - {\ Frac {2Gm} {c ^ {2} r}} \ prawej) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}) - c ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2Gm} {c ^ {2} r}} \ po prawej) dt ^ {2}}$

Zauważ, że:

${\ Displaystyle {\ Frac {2Gm} {C ^ {2}}} = r_ {s}}$

jest definicją promienia Schwarzschilda dla obiektu masy , więc metryka Schwarzschilda może zostać przepisana w alternatywnej formie: ${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle ds ^ {2} = \ lewo (1 - {\ Frac {r_ {s}} {r}} \ prawej) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}) - c ^ {2} \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) dt ^ {2}}$

co pokazuje, że metryka staje się osobliwa, zbliżając się do horyzontu zdarzeń (to znaczy ). Osobliwość metryczna nie jest jednostką fizyczną (chociaż występuje rzeczywista osobliwość fizyczna w ), co można wykazać stosując odpowiednią transformację współrzędnych (np. Układ współrzędnych Kruskala – Szekeresa ). ${\ displaystyle r \ rightarrow r_ {s}}$${\ displaystyle r = 0}$

Alternatywne wyprowadzenie przy użyciu znanej fizyki w szczególnych przypadkach

Metrykę Schwarzschilda można również wyprowadzić przy użyciu znanej fizyki dla orbity kołowej i tymczasowo stacjonarnej masy punktowej. Zacznij od metryki ze współczynnikami, które są nieznanymi współczynnikami : ${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle -c ^ {2} = \ lewo ({ds \ nad d \ tau} \ prawej) ^ {2} = A (r) \ lewo ({dr \ nad d \ tau} \ prawej) ^ {2 } + r ^ {2} \ left ({d \ phi \ over d \ tau} \ right) ^ {2} + B (r) \ left ({dt \ over d \ tau} \ right) ^ {2} .}$

Teraz zastosuj równanie Eulera-Lagrange'a do całki długości łuku Ponieważ jest stała, całkę można zastąpić, ponieważ równanie EL jest dokładnie takie samo, jeśli całka zostanie pomnożona przez dowolną stałą. Zastosowanie równania EL do ze zmodyfikowaną całką daje: ${\ Displaystyle {J = \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} {\ sqrt {- \ left ({\ text {d}} s / {\ text {d}}) \ tau \ right) ^ {2}}} \, {\ text {d}} \ tau.}}$${\ Displaystyle ds / d \ tau}$${\ Displaystyle ({\ tekst {d}} s / {\ tekst {d}} \ tau) ^ {2},}$${\ displaystyle J}$

${\ Displaystyle {\ początek {tablica} {lcl} A '(r) {\ kropka {r}} ^ {2} + 2r {\ kropka {\ phi}} ^ {2} + B' (r) {\ kropka {t}} ^ {2} & = & 2A '(r) {\ dot {r}} ^ {2} + 2A (r) {\ ddot {r}} \\ 0 & = & 2r {\ dot {r} } {\ dot {\ phi}} + r ^ {2} {\ ddot {\ phi}} \\ 0 & = & B '(r) {\ dot {r}} {\ dot {t}} + B (r ) {\ ddot {t}} \ end {tablica}}}$

gdzie kropka oznacza zróżnicowanie względem ${\ displaystyle \ tau.}$

Na orbicie kołowej pierwsze równanie EL powyżej jest równoważne ${\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ ddot {r}} = 0,}$

${\ Displaystyle 2r {\ kropka {\ phi}} ^ {2} + B '(r) {\ kropka {t}} ^ {2} = 0 \ Leftrightarrow B' (r) = - 2r {\ kropka {\ phi}} ^ {2} / {\ dot {t}} ^ {2} = - 2r (d \ phi / dt) ^ {2}.}$

Trzecią zasadą ruchu Keplera jest

${\ Displaystyle {\ Frac {T ^ {2}} {r ^ {3}}} = {\ Frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}}.}$

Na orbicie kołowej okres jest równy implikacji ${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle 2 \ pi / (d \ phi / dt),}$

${\ Displaystyle \ lewo ({d \ phi \ ponad dt} \ prawej) ^ {2} = GM / r ^ {3}}$

ponieważ masa punktowa jest pomijalna w porównaniu z masą ciała centralnego So, a całkowanie to daje gdzie jest nieznana stała całkowania. można określić, ustawiając, w którym przypadku czasoprzestrzeń jest płaska, a więc i ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M.}$${\ Displaystyle B '(r) = - 2GM / r ^ {2}}$${\ Displaystyle B (r) = 2GM / r + C,}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle M = 0,}$${\ Displaystyle B (r) = - c ^ {2}.}$${\ displaystyle C = -c ^ {2}}$

${\ Displaystyle B (r) = 2GM / RC ^ {2} = c ^ {2} (2GM / c ^ {2} r-1) = c ^ {2} (r_ {s} / r-1). }$

Kiedy masa punktowa jest tymczasowo nieruchoma, a pierwotne równanie metryczne staje się, a pierwsze równanie EL powyżej staje się Kiedy masa punktowa jest tymczasowo nieruchoma, jest przyspieszenie ziemskie , więc ${\ displaystyle {\ kropka {r}} = 0}$${\ displaystyle {\ kropka {\ phi}} = 0.}$${\ Displaystyle {\ kropka {t}} ^ {2} = - c ^ {2} / B (r)}$${\ Displaystyle A (r) = B '(r) {\ kropka {t}} ^ {2} / (2 {\ ddot {r}}).}$${\ displaystyle {\ ddot {r}}}$${\ Displaystyle -MG / r ^ {2}.}$

${\ Displaystyle A (r) = \ lewo ({\ Frac {-2MG} {r ^ {2}}} \ prawo) \ lewo ({\ Frac {-c ^ {2}} {2MG / rc ^ {2 }}} \ right) \ left (- {\ frac {r ^ {2}} {2MG}} \ right) = {\ frac {1} {1-2MG / (rc ^ {2})}} = { \ frac {1} {1-r_ {s} / r}}.}$

Alternatywna forma we współrzędnych izotropowych

Oryginalne sformułowanie metryki wykorzystuje współrzędne anizotropowe, w których prędkość światła nie jest taka sama w kierunku promieniowym i poprzecznym. Arthur Eddington podał alternatywne formy we współrzędnych izotropowych . Do izotropowych sferycznych współrzędnych , , , współrzędnych i są bez zmian, a następnie (pod ) ${\ displaystyle r_ {1}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle r \ geq {\ frac {2Gm} {c ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle r = r_ {1} \ lewo (1 + {\ Frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} \ prawej) ^ {2}}$     ,       i ${\ Displaystyle dr = dr_ {1} \ lewo (1 - {\ Frac {(Gm) ^ {2}} {4c ^ {4} r_ {1} ^ {2}}} \ prawej)}$

${\ Displaystyle \ lewo (1 - {\ Frac {2Gm} {c ^ {2} r}} \ prawej) = \ lewo (1 - {\ Frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} \ right) ^ {2} / \ left (1 + {\ frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} \ right) ^ {2}}$

Następnie dla współrzędnych prostokątnych izotropowych , , , ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$

${\ Displaystyle x = r_ {1} \, \ sin (\ teta) \, \ cos (\ phi) \ quad,}$   ${\ Displaystyle y = r_ {1} \, \ sin (\ teta) \, \ sin (\ phi) \ quad,}$   ${\ displaystyle z = r_ {1} \, \ cos (\ theta)}$

Metryka staje się wtedy, we współrzędnych prostokątnych izotropowych:

${\ Displaystyle ds ^ {2} = \ lewo (1 + {\ Frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} \ prawej) ^ {4} (dx ^ {2} + dy ^ {2 } + dz ^ {2}) - c ^ {2} dt ^ {2} \ left (1 - {\ frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} \ right) ^ {2} / \ left (1 + {\ frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} \ right) ^ {2}}$

Rezygnacja z założenia statycznego - twierdzenie Birkhoffa

Wyprowadzając metrykę Schwarzschilda, założono, że metryka była próżni, sferycznie symetryczna i statyczna . W rzeczywistości założenie statyczne jest silniejsze niż wymagane, ponieważ twierdzenie Birkhoffa stwierdza, że ​​każde sferycznie symetryczne próżniowe rozwiązanie równań pola Einsteina jest stacjonarne ; wtedy uzyskuje się rozwiązanie Schwarzschilda. Twierdzenie Birkhoffa powoduje, że każda pulsująca gwiazda, która pozostaje sferycznie symetryczna, nie może generować fal grawitacyjnych (ponieważ obszar na zewnątrz gwiazdy musi pozostać statyczny).

Zobacz też

• Karl Schwarzschild
• Metryka Kerra
• Metryka Reissnera – Nordströma

Bibliografia