Funkcja różniczkowalna - Differentiable function

Funkcja różniczkowalna

W matematyce , A różniczkowalną funkcją jednej prawdziwej zmiennej jest funkcja której pochodna występuje w każdym punkcie jego domeny . Innymi słowy wykres z różniczkowej funkcja ma niebędącą pionową linię styczną w każdym punkcie wewnętrznym w jego domenie. Funkcja różniczkowalna jest gładka (funkcja jest lokalnie dobrze aproksymowana jako funkcja liniowa w każdym punkcie wewnętrznym) i nie zawiera żadnego break, angle ani cusp .

Jeśli x ₀ jest punktem wewnętrznym w dziedzinie funkcji f , to mówimy, że f jest różniczkowalna przy x _0, jeśli pochodna istnieje. Innymi słowy, wykres f ma niepionową linię styczną w punkcie ( x ₀ , f ( x ₀ ) ) . ${\displaystyle f'(x_{0})}$

Różniczkowalność funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Funkcja zdefiniowana na zbiorze otwartym jest różniczkowalna w przypadku, gdy pochodna ${\ Displaystyle f: U \ podzbiór \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle a \ w U}$

${\ Displaystyle f '(a) = \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {f (a + h)-f (a)} {h}}}$

istnieje. Oznacza to, że funkcja jest ciągła w a .

Ta funkcja f jest różniczkowalna na U, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie U . W tym przypadku pochodna f jest więc funkcją od U do${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$

Funkcja różniczkowalna jest z konieczności ciągła (w każdym punkcie, w którym jest różniczkowalna). Jest ciągle różniczkowalna, jeśli jej pochodna jest również funkcją ciągłą.

Różniczkowalność i ciągłość

Funkcja wartości bezwzględnej jest ciągła (tzn. nie zawiera przerw). Jest różniczkowalny wszędzie z wyjątkiem punktu x = 0, gdzie robi ostry zakręt, gdy przecina oś y .

Guzek na wykresie w funkcji ciągłej. Przy zerze funkcja jest ciągła, ale nie jest różniczkowalna.

Jeśli f jest różniczkowalne w punkcie x ₀ , to f musi być również ciągłe w x ₀ . W szczególności każda różniczkowalna funkcja musi być ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Odwrotność nie zachodzi : funkcja ciągła nie musi być różniczkowalna. Na przykład funkcja z zagięciem, wierzchołkiem lub styczną pionową może być ciągła, ale nie jest różniczkowalna w miejscu anomalii.

Większość funkcji występujących w praktyce ma pochodne we wszystkich punktach lub prawie w każdym punkcie. Jednak wynik Stefana Banacha stwierdza, że ​​zbiór funkcji, które mają w pewnym momencie pochodną, ​​jest zbiorem ubogim w przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych. Nieformalnie oznacza to, że funkcje różniczkowalne są bardzo nietypowe wśród funkcji ciągłych. Pierwszym znanym przykładem funkcji, która jest wszędzie ciągła, ale nigdzie nie jest różniczkowalna, jest funkcja Weierstrassa .

Klasy różniczkowalności

Funkcje różniczkowalne mogą być lokalnie aproksymowane przez funkcje liniowe.

Funkcja z for i jest różniczkowalna. Jednak ta funkcja nie jest ciągle różnicowana.${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2} \ grzech \ lewo ({\ tfrac {1} {x}} \ prawej)}$${\displaystyle x\neq 0}$${\ Displaystyle f (0) = 0}$

Mówi się, że funkcja jest${\displaystyle f}$ ciągle różniczkowalna, jeśli pochodnaistnieje i sama jest funkcją ciągłą. Chociaż pochodna funkcji różniczkowalnej nigdy nie manieciągłości skokowej, możliwe jest, że pochodna ma nieciągłość zasadniczą. Na przykład funkcja ${\ Displaystyle f ^ {\ prime} (x)}$

$${\ Displaystyle f (x) \; = \; {\ zacząć {przypadki} x ^ {2} \ sin (1/x) i {\ tekst {jeśli}} x \ neq 0 \ \ 0 i {\ tekst {jeśli }}x=0\end{przypadki}}}$$

$${\ Displaystyle f '(0) = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} \ lewo ({\ Frac {\ varepsilon ^ {2} \ grzech (1/\ varepsilon) -0} {\ varepsilon }} \ po prawej )=0,}$$

implikują ${\displaystyle x\neq 0,}$

$${\ Displaystyle f '(x) = 2x \ sin (1/x) - \ cos (1/x)}$$

który nie ma granic jako Niemniej jednak

. ${\displaystyle x\do 0.}$

Podobnie jak mówi się, że funkcje ciągłe należą do klasy,${\displaystyle C^{0},}$ funkcje ciągle różniczkowalne są czasami określane jako należące do klasy${\ Displaystyle C ^ {1}.}$ A funkcja jest klasy,${\ Displaystyle C ^ {2}}$ jeśli pierwsza i druga pochodna funkcji zarówno istnieją, jak i są ciągłe. Mówiąc bardziej ogólnie, mówi się, że funkcja jest klasy,${\ Displaystyle C ^ {k}}$ jeśli wszystkie pierwsze pochodne istnieją i są ciągłe. Jeśli pochodne istnieją dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych, funkcja jest

${\displaystyle k}$

${\ Displaystyle f ^ {\ prime} (x), f ^ {\ prime \ prime} (x), \ ldots, f ^ {(k)} (x)}$

${\ Displaystyle f ^ {(n)}}$

${\displaystyle n}$

${\ Displaystyle C ^ {\ infty}.}$

Różnicowanie w wyższych wymiarach

Funkcją wielu zmiennych rzeczywistych F : R ^m → R ⁿ mówi się różniczkowalną w punkcie x ₀ , jeżeli istnieje na liniową mapę J : R ^m → R ⁿ taki sposób, że

${\ Displaystyle \ lim _ {\ mathbf {h} \ do \ mathbf {0} {\ frac {\ | \ mathbf {f} (\ mathbf {x_ {0}} + \ mathbf {h}) - \ mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \ |_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}$

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w x ₀ , to wszystkie pochodne cząstkowe istnieją w x ₀ , a odwzorowanie liniowe J jest dane przez macierz Jakobian . Podobnego sformułowania pochodnej wyższego wymiaru dostarcza fundamentalny lemat przyrostu występujący w rachunku różniczkowym jednej zmiennej.

Jeżeli wszystkie pochodne cząstkowe funkcji istnieją w sąsiedztwie punktu x ₀ i są ciągłe w punkcie x ₀ , to funkcja jest różniczkowalna w tym punkcie x ₀ .

Jednak istnienie pochodnych cząstkowych (lub nawet wszystkich pochodnych kierunkowych ) nie gwarantuje generalnie, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie. Na przykład funkcja f : R ² → R zdefiniowana przez

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ zacząć {przypadki} x i {\ tekst {jeśli}} y \ neq x ^ {2} \ \ 0 i {\ tekst {jeśli}} y = x ^ {2} \ koniec{sprawy}}}$

nie jest różniczkowalna w (0, 0) , ale wszystkie pochodne cząstkowe i pochodne kierunkowe istnieją w tym punkcie. Dla ciągłego przykładu funkcja

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ zacząć {przypadki} ^ {3} / (x ^ {2} + Y ^ {2}) i {\ tekst {jeśli}} (x, y) \ neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{przypadki}}}$

nie jest różniczkowalna przy (0, 0) , ale znowu wszystkie pochodne cząstkowe i pochodne kierunkowe istnieją.

Różniczkowatość w analizie złożonej

W analizie złożonej , różniczkowalność zespolona jest definiowana przy użyciu tej samej definicji, co funkcje rzeczywiste pojedynczej zmiennej. Pozwala na to możliwość dzielenia liczb zespolonych. Tak więc mówi się , że funkcja jest różniczkowalna w momencie, gdy ${\ Displaystyle f: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}}$${\displaystyle x=a}$

${\ Displaystyle f '(a) = \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {f (a + h)-f (a)} {h}}.}$

Chociaż ta definicja wygląda podobnie do różniczkowalności funkcji rzeczywistych jednej zmiennej, jest to jednak warunek bardziej restrykcyjny. Funkcja , która w punkcie jest różniczkowalna zespołami, jest automatycznie różniczkowalna w tym punkcie, gdy jest postrzegana jako funkcja . Dzieje się tak, ponieważ zróżnicowanie zespolone implikuje, że ${\ Displaystyle f: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}}$${\displaystyle x=a}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ do \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {| f (a + h) - f (a) - f '(a) h | {| h |}} = 0.}$

Jednak funkcja może być różniczkowalna jako funkcja wielu zmiennych, nie będąc przy tym różniczkowalna zespolona. Na przykład jest różniczkowalna w każdym punkcie, postrzegana jako funkcja rzeczywista dwóch zmiennych , ale nie jest w żadnym punkcie różniczkowalna zespolona. ${\ Displaystyle f: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {z + {\ overline {z}}} {2}}}$${\displaystyle f(x,y)=x}$

Każda funkcja, która jest różniczkowalna zespolona w sąsiedztwie punktu, nazywana jest w tym punkcie holomorficzną . Taka funkcja jest z konieczności nieskończenie różniczkowalna, a właściwie analityczna .

Funkcje różniczkowe na rozmaitościach

Jeśli M jest rozmaitością różniczkowalną , mówi się, że funkcja o wartościach rzeczywistych lub zespolonych f na M jest różniczkowalna w punkcie p, jeśli jest różniczkowalna względem jakiegoś (lub dowolnego) wykresu współrzędnych zdefiniowanego wokół p . Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli M i N są różniczkowalnymi rozmaitościami, mówimy , że funkcja f :  M  →  N jest różniczkowalna w punkcie p, jeśli jest różniczkowalna względem niektórych (lub dowolnych) wykresów współrzędnych zdefiniowanych wokół p i f ( p ).

Zobacz też

• Uogólnienia pochodnej
• Półróżnicowalność
• Programowanie różniczkowe

Bibliografia