Niezliczony zestaw - Uncountable set
W matematyce , niezliczona zestaw (lub uncountably nieskończony zbiór ) jest nieskończony zbiór , który zawiera zbyt wiele elementów , aby być przeliczalny . Niepoliczalność zbioru jest ściśle związana z jego liczbą kardynalną : zbiór jest niepoliczalny, jeśli jego liczba karna jest większa niż zbioru wszystkich liczb naturalnych .
Charakteryzacje
Istnieje wiele równoważnych charakterystyk niepoliczalności. Zbiór X jest niepoliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest którykolwiek z następujących warunków:
- Od X do zbioru liczb naturalnych nie ma funkcji iniektywnej (stąd brak bijekcji ) .
- X jest niepuste i dla każdej - sekwencji elementów X istnieje co najmniej jeden element X, który nie jest w nim zawarty. Oznacza to, że X jest niepuste i nie ma funkcji suriektywnej od liczb naturalnych do X .
- Liczność z X jest skończony ani nie równa się ( Aleph null , cardinality liczb naturalnych ).
- Zbiór X ma kardynalność ściśle większą niż .
Pierwsze trzy z tych charakteryzacji można udowodnić jako równoważne w teorii mnogości Zermelo-Fraenkla bez aksjomatu wyboru , ale równoważności trzeciego i czwartego nie można udowodnić bez dodatkowych zasad wyboru.
Nieruchomości
- Jeśli niepoliczalny zbiór X jest podzbiorem zbioru Y , to Y jest niepoliczalny.
Przykłady
Najbardziej znanym przykładem zbioru niepoliczalnego jest zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych ; Argument diagonalny Cantora pokazuje, że zbiór ten jest niepoliczalny. Technika dowód diagonalizacja może być również stosowany w celu pokazania, że kilka innych zestawów są niepoliczalne, takich jak zbiór wszystkich nieskończonych ciągów z liczb naturalnych i zbioru wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Kardynalność R jest często nazywana kardynalnością kontinuum i oznaczana przez , lub , lub ( beth-one ).
Zbiór Cantora jest niezliczona podzbiór R . Zbiór Cantora jest fraktalem i ma wymiar Hausdorffa większy od zera, ale mniejszy od jednego ( R ma wymiar jeden). Jest to przykład następującego faktu: każdy podzbiór R wymiaru Hausdorffa ściśle większy od zera musi być niepoliczalny.
Innym przykładem zbioru niepoliczalnego jest zbiór wszystkich funkcji od R do R . Ten zbiór jest nawet „bardziej niepoliczalny” niż R w tym sensie, że liczność tego zbioru jest ( beth-two ), która jest większa niż .
Bardziej streszczenie przykładów niezliczona zbiór jest zbiorem wszystkich policzalnych numery porządkowe , oznaczoną Ohm lub ω 1 . Oznaczono kardynalność Ω ( aleph-one ). Można wykazać, stosując aksjomat wyboru , który jest najmniejszy niezliczona liczba kardynalna. Zatem albo liczność realna jest równa, albo jest ściśle większa. Georg Cantor jako pierwszy zaproponował pytanie, czy jest równe . W 1900 roku David Hilbert postawił to pytanie jako pierwszy ze swoich 23 problemów . Stwierdzenie, które obecnie nazywa się hipotezą continuum i wiadomo, że jest niezależne od aksjomatów Zermelo-Fraenkla dla teorii mnogości (w tym aksjomatu wyboru ).
Bez aksjomatu wyboru
Bez aksjomatu wyboru mogłyby istnieć moce nieporównywalne do (mianowicie moce zbiorów Dedekind – skończone nieskończone zbiory). Zestawy tych kardynalności spełniają pierwsze trzy powyższe charakterystyki, ale nie czwartą charakterystykę. Ponieważ te zbiory nie są większe niż liczby naturalne w sensie kardynalności, niektórzy mogą nie chcieć nazywać ich niepoliczalnymi.
Jeśli aksjomat wyboru jest spełniony, następujące warunki kardynała są równoważne:
- oraz
- , gdzie i jest najmniejszą początkową liczbą porządkową większą niż
Jednak wszystko to może się różnić, jeśli aksjomat wyboru zawiedzie. Nie jest więc oczywiste, który z nich jest odpowiednim uogólnieniem „nieprzeliczalności”, gdy aksjomat zawodzi. Najlepiej w tym przypadku nie używać tego słowa i sprecyzować, który z tych środków oznacza.
Zobacz też
Bibliografia
Bibliografia
- Halmos, Paul , Naiwna teoria mnogości . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Przedruk Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (wydanie Springer-Verlag). Przedruk Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (wydanie w miękkiej oprawie).
- Jech, Thomas (2002), Teoria mnogości , Springer Monografie w matematyce (3. tysiąclecie ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2