Średnia geometryczna - Geometric mean

Przykład średniej geometrycznej: (czerwony) jest średnią geometryczną i , w przykładzie, w którym odcinek linii jest prostopadły do , animacja na końcu 10 s przerwy.

W matematyce średnia geometryczna jest średnią lub średnią , która wskazuje centralną tendencję lub typową wartość zbioru liczb za pomocą iloczynu ich wartości (w przeciwieństwie do średniej arytmetycznej, która wykorzystuje ich sumę). Średnia geometryczna jest wyznaczana jako n -tego pierwiastka z produktu z n liczb, czyli dla zbioru liczb x 1 , x 2 , ..., x n , średnią geometryczną określa się jako

Na przykład średnia geometryczna dwóch liczb, powiedzmy 2 i 8, jest po prostu pierwiastkiem kwadratowym ich iloczynu, czyli . Jako inny przykład, średnia geometryczna trzech liczb 4, 1 i 1/32 jest pierwiastkiem sześciennym ich iloczynu (1/8), czyli 1/2, czyli . Średnia geometryczna dotyczy tylko liczb dodatnich.

Średnia geometryczna jest często używana dla zbioru liczb, których wartości mają być pomnożone przez siebie lub mają charakter wykładniczy, takich jak zbiór wartości wzrostu: wartości populacji ludzkiej lub stopy procentowe inwestycji finansowej w czasie.

Średnia geometryczna może być rozumiana w kategoriach geometrii . Średnia geometryczna dwóch liczb i , jest długością jednego boku kwadratu o polu równym polu prostokąta o bokach długości i . Podobnie, średnia geometryczna trzech liczb, , , i , jest długością jednej krawędzi sześcianu o objętości równej objętości prostopadłościanu o bokach o długości równej trzem danym liczbom.

Średnia geometryczna jest jedną z trzech klasycznych średnich pitagorejskich , obok średniej arytmetycznej i średniej harmonicznej . Dla wszystkich dodatnich zbiorów danych zawierających co najmniej jedną parę nierównych wartości, średnia harmoniczna jest zawsze najmniejszą z trzech średnich, podczas gdy średnia arytmetyczna jest zawsze największą z trzech, a średnia geometryczna jest zawsze pomiędzy (patrz Nierówność arytmetyczna i geometryczne środki .)

Obliczenie

Średnia geometryczna zbioru danych wyrażona jest wzorem:

Powyższy rysunek wykorzystuje notację wielką literą pi, aby pokazać serię mnożeń. Każda strona znaku równości pokazuje, że zbiór wartości jest kolejno mnożony (liczba wartości jest reprezentowana przez „n”), aby otrzymać sumaryczny iloczyn zbioru, a następnie n- ty pierwiastek sumy iloczynu jest brany do podać średnią geometryczną oryginalnego zestawu. Na przykład w zestawie czterech liczb iloczynem jest , a średnia geometryczna jest czwartym pierwiastkiem 24, czyli ~ 2,213. Wykładnik po lewej stronie jest odpowiednikiem n- tego pierwiastka. Na przykład .

Środki iteracyjne

Średnia geometryczna zbioru danych jest mniejsza niż średnia arytmetyczna zbioru danych, chyba że wszystkie elementy zbioru danych są równe, w którym to przypadku średnie geometryczne i arytmetyczne są równe. Pozwala to na zdefiniowanie średniej arytmetyczno-geometrycznej , przecięcia tych dwóch, która zawsze leży pomiędzy.

Średnia geometryczna jest również średnią arytmetyczno-harmoniczną w tym sensie, że jeśli zdefiniowane są dwa ciągi ( ) i ( ):

oraz

gdzie jest średnią harmoniczną poprzednich wartości dwóch ciągów, a następnie i będzie zbiegać do średniej geometrycznej i .

Widać to łatwo z faktu, że sekwencje rzeczywiście zbiegają się do wspólnej granicy (co może wykazać twierdzenie Bolzano-Weierstrassa ) oraz z faktu, że zachowana jest średnia geometryczna:

Zastąpienie średniej arytmetycznej i harmonicznej parą uogólnionych średnich przeciwnych, skończonych wykładników daje ten sam wynik.

Związek z logarytmami

Średnia geometryczna może być również wyrażona jako wykładnicza średniej arytmetycznej logarytmów. Używając tożsamości logarytmicznych do przekształcenia wzoru, mnożenia można wyrazić jako sumę, a potęgę jako mnożenie:

Kiedy

dodatkowo, jeśli dopuszczalne są ujemne wartości ,

gdzie m jest liczbą liczb ujemnych.

Jest to czasami nazywane średnią logarytmiczną (nie mylić ze średnią logarytmiczną ). Jest to po prostu obliczenie średniej arytmetycznej przekształconych logarytmicznie wartości (tj. średniej arytmetycznej na skali logarytmicznej), a następnie wykorzystanie potęgowania do przywrócenia obliczenia do oryginalnej skali, tj. jest to uogólniona średnia f z . Na przykład średnią geometryczną 2 i 8 można obliczyć w następujący sposób, gdzie jest dowolną podstawą logarytmu (zazwyczaj 2 lub 10):

W związku z powyższym można zauważyć, że dla danej próby punktów średnia geometryczna jest minimalizatorem

,

natomiast średnia arytmetyczna jest minimalizatorem

.

Zatem średnia geometryczna stanowi podsumowanie próbek, których wykładnik najlepiej pasuje do wykładników próbek (w sensie najmniejszych kwadratów).

Logarytmiczna forma średniej geometrycznej jest ogólnie preferowaną alternatywą dla implementacji w językach komputerowych, ponieważ obliczanie iloczynu wielu liczb może prowadzić do przepełnienia arytmetycznego lub niedomiaru arytmetycznego . Jest to mniej prawdopodobne w przypadku sumy logarytmów dla każdej liczby.

Porównanie do średniej arytmetycznej

Dowód bez słów na nierówność średnich arytmetycznych i geometrycznych :
PR jest średnicą koła o środku O; jej promień AO jest średnią arytmetyczną z i b . Używając twierdzenia o średniej geometrycznej , wysokość trójkąta PGR GQ jest średnią geometryczną . Dla dowolnego stosunku a : b , AO ≥ GQ.
Geometryczne dowód bez słów , że maksymalna  ( , b ) > średnia kwadratowa ( RMS ) lub jako średnia kwadratowa ( QM ) > arytmetyczna ( AM ) > średnią geometryczną ( GM ) > średniej harmonicznej ( HM ) > min  ( , b ) od dwie liczby dodatnie a i b

Średnia geometryczna niepustego zbioru danych liczb (dodatnich) jest zawsze co najwyżej ich średnią arytmetyczną. Równość uzyskuje się tylko wtedy, gdy wszystkie liczby w zbiorze danych są równe; w przeciwnym razie średnia geometryczna jest mniejsza. Na przykład średnia geometryczna 242 i 288 wynosi 264, a ich średnia arytmetyczna wynosi 265. W szczególności oznacza to, że gdy zbiór liczb nieidentycznych podlega rozrzutowi zachowującemu średnią — czyli elementom są bardziej "oddzielone" od siebie, pozostawiając średnią arytmetyczną bez zmian — ich średnia geometryczna maleje.

Średnia stopa wzrostu

W wielu przypadkach średnia geometryczna jest najlepszą miarą do określenia średniego tempa wzrostu pewnej wielkości. (Na przykład, jeśli w jednym roku sprzedaż wzrośnie o 80%, a w następnym o 25%, to wynik końcowy będzie taki sam jak przy stałym tempie wzrostu 50%, ponieważ średnia geometryczna 1,80 i 1,25 wynosi 1,50.) W celu wyznaczenia średniego tempa wzrostu nie jest konieczne branie iloczynu zmierzonych tempa wzrostu na każdym kroku. Niech ilość będzie podana jako ciąg , gdzie jest liczbą kroków od stanu początkowego do końcowego. Tempo wzrostu pomiędzy kolejnymi pomiarami i wynosi . Średnia geometryczna tych wskaźników wzrostu wynosi wtedy tylko:

Zastosowanie do wartości znormalizowanych

Podstawowym własność średnią geometryczną, która nie posiada w żadnym innym średniej, jest to, że dla dwóch sekwencji i jednakowej długości,

To sprawia, że ​​średnia geometryczna jest jedyną prawidłową średnią przy uśrednianiu znormalizowanych wyników; czyli wyniki prezentowane jako stosunki do wartości referencyjnych. Dzieje się tak w przypadku przedstawiania wydajności komputera w odniesieniu do komputera referencyjnego lub obliczania pojedynczego średniego wskaźnika z kilku heterogenicznych źródeł (na przykład oczekiwana długość życia, lata edukacji i śmiertelność niemowląt). W tym scenariuszu użycie średniej arytmetycznej lub harmonicznej zmieniłoby ranking wyników w zależności od tego, co jest używane jako odniesienie. Weźmy na przykład następujące porównanie czasu wykonywania programów komputerowych:

  Komputer A Komputer B Komputer C
Program 1 1 10 20
Program 2 1000 100 20
Średnia arytmetyczna 500,5 55 20
Średnia geometryczna 31.622. . . 31.622. . . 20
Średnia harmoniczna 1.998 . . . 18.182. . . 20

Środki arytmetyczne i geometryczne „zgadzają się”, że komputer C jest najszybszy. Jednak prezentując odpowiednio znormalizowane wartości i wykorzystując średnią arytmetyczną, możemy wykazać, że którykolwiek z pozostałych dwóch komputerów jest najszybszy. Normalizacja przez wynik A daje A jako najszybszy komputer według średniej arytmetycznej:

  Komputer A Komputer B Komputer C
Program 1 1 10 20
Program 2 1 0,1 0,02
Średnia arytmetyczna 1 5,05 10.01
Średnia geometryczna 1 1 0,632 . . .
Średnia harmoniczna 1 0,198 . . . 0,039 . . .

podczas normalizacji przez wynik B daje B jako najszybszy komputer według średniej arytmetycznej, a A jako najszybszy według średniej harmonicznej:

  Komputer A Komputer B Komputer C
Program 1 0,1 1 2
Program 2 10 1 0,2
Średnia arytmetyczna 5,05 1 1,1
Średnia geometryczna 1 1 0,632
Średnia harmoniczna 0,198 . . . 1 0,363. . .

a normalizacja wynikiem C daje C jako najszybszy komputer według średniej arytmetycznej, a A jako najszybszy według średniej harmonicznej:

  Komputer A Komputer B Komputer C
Program 1 0,05 0,5 1
Program 2 50 5 1
Średnia arytmetyczna 25.025 2,75 1
Średnia geometryczna 1.581 . . . 1.581 . . . 1
Średnia harmoniczna 0,099 . . . 0,909 . . . 1

We wszystkich przypadkach ranking nadany przez średnią geometryczną pozostaje taki sam, jak ten uzyskany przy wartościach nieznormalizowanych.

Jednak to rozumowanie zostało zakwestionowane. Podanie spójnych wyników nie zawsze jest równoznaczne z podaniem poprawnych wyników. Ogólnie rzecz biorąc, bardziej rygorystyczne jest przypisanie wag do każdego z programów, obliczenie średniego ważonego czasu wykonania (przy użyciu średniej arytmetycznej), a następnie znormalizowanie tego wyniku na jednym z komputerów. Trzy powyższe tabele nadają różną wagę każdemu z programów, wyjaśniając niespójne wyniki średnich arytmetycznych i harmonicznych (pierwsza tabela daje równą wagę obu programom, druga nadaje wagę 1/1000 drugiemu programowi, a trzeci daje wagę 1/100 drugiemu programowi i 1/10 pierwszemu). W miarę możliwości należy unikać stosowania średniej geometrycznej do agregowania wartości wydajności, ponieważ mnożenie czasów wykonania nie ma fizycznego znaczenia, w przeciwieństwie do dodawania czasów, jak w średniej arytmetycznej. Metryki odwrotnie proporcjonalne do czasu (przyspieszenie, IPC ) powinny być uśredniane przy użyciu średniej harmonicznej.

Średnia geometryczna może być wyprowadzona ze średniej uogólnionej jako jej granica dochodząca do zera. Podobnie jest to możliwe dla ważonej średniej geometrycznej.

Średnia geometryczna funkcji ciągłej

Jeśli jest ciągłą funkcją o wartościach rzeczywistych, jej średnia geometryczna w tym przedziale wynosi

Na przykład przejęcie funkcji tożsamości w przedziale jednostkowym pokazuje, że średnia geometryczna liczb dodatnich między 0 a 1 jest równa .

Aplikacje

Proporcjonalny wzrost

Średnia geometryczna jest bardziej odpowiednia niż średnia arytmetyczna do opisu wzrostu proporcjonalnego, zarówno wzrostu wykładniczego (stały wzrost proporcjonalny), jak i zmiennego wzrostu; w biznesie średnia geometryczna stóp wzrostu jest znana jako złożona roczna stopa wzrostu (CAGR). Średnia geometryczna wzrostu w okresach daje równoważną stałą stopę wzrostu, która dałaby taką samą końcową kwotę.

Załóżmy, że drzewo pomarańczy daje 100 pomarańczy w ciągu jednego roku, a następnie 180, 210 i 300 w kolejnych latach, więc wzrost wynosi odpowiednio 80%, 16,66666% i 42,8571% dla każdego roku. Przy użyciu średniej arytmetycznej oblicza się (liniowy) średni wzrost o 46,5079% (80% + 16,66666% + 42,8571%, a następnie tę sumę podzielić przez 3). Jeśli jednak zaczniemy od 100 pomarańczy i pozwolimy rosnąć o 46,5079% każdego roku, wynik to 314 pomarańczy, a nie 300, więc średnia liniowa przekracza wzrost rok do roku.

Zamiast tego możemy użyć średniej geometrycznej. Wzrost o 80% odpowiada pomnożeniu przez 1,80, więc bierzemy średnią geometryczną 1,80, 1,166666 i 1,428571, czyli ; zatem „średni” roczny wzrost wynosi 44,2249%. Jeśli zaczniemy od 100 pomarańczy i pozwolimy, aby liczba rosła o 44,2249% każdego roku, otrzymamy 300 pomarańczy.

Budżetowy

Do obliczania wskaźników finansowych od czasu do czasu wykorzystywana jest średnia geometryczna (uśrednianie następuje po składnikach indeksu). Na przykład w przeszłości indeks FT 30 wykorzystywał średnią geometryczną. Wykorzystywany jest również w niedawno wprowadzonym mierniku inflacji „ RPIJ ” w Wielkiej Brytanii i Unii Europejskiej.

Powoduje to zaniżanie ruchów indeksu w porównaniu z użyciem średniej arytmetycznej.

Zastosowania w naukach społecznych

Chociaż średnia geometryczna była stosunkowo rzadka w obliczaniu statystyk społecznych, począwszy od 2010 r. Wskaźnik Rozwoju Społecznego ONZ przeszedł na ten tryb obliczania, ponieważ lepiej odzwierciedlał niezastępowalność kompilowanych i porównywanych statystyk:

Średnia geometryczna zmniejsza poziom substytucyjności między [porównywanymi wymiarami], a jednocześnie zapewnia, że ​​1-procentowy spadek średniej długości życia w chwili urodzenia ma taki sam wpływ na HDI, jak 1-procentowy spadek w wykształceniu lub dochodach. Tak więc, jako podstawa do porównywania osiągnięć, metoda ta w większym stopniu uwzględnia wewnętrzne różnice między wymiarami niż zwykła średnia.

Nie wszystkie wartości użyte do obliczenia wskaźnika HDI (Wskaźnik Rozwoju Człowieka) są znormalizowane; niektóre z nich zamiast tego mają formę . To sprawia, że ​​wybór średniej geometrycznej jest mniej oczywisty niż można by się spodziewać po sekcji „Właściwości” powyżej.

Równomiernie rozłożony dochód ekwiwalentny dobrobytu powiązany ze wskaźnikiem Atkinsona z parametrem awersji nierówności równym 1,0 jest po prostu średnią geometryczną dochodów. Dla wartości innych niż jeden, równoważną wartością jest norma Lp podzielona przez liczbę elementów, gdzie p jest równe jeden minus parametr awersji nierówności.

Geometria

Wysokość trójkąta prostokątnego od jego kąta prostego do przeciwprostokątnej jest średnią geometryczną długości segmentów, na które podzielona jest przeciwprostokątna. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa na 3 trójkątach boków ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) i ( s , h , q  ) ,

W przypadku trójkąta prostokątnego jego wysokość jest długością linii biegnącej prostopadle od przeciwprostokątnej do jej wierzchołka 90°. Wyobrażając sobie, że linia ta dzieli przeciwprostokątną na dwa segmenty, średnia geometryczna długości tych segmentów jest długością wysokości. Ta właściwość jest znana jako twierdzenie o średniej geometrycznej .

W przypadku elipsy , oś mała jest średnią geometryczną maksymalnej i minimalnej odległości elipsy od ogniska ; jest to również średnia geometryczna półosi wielkiej i odbytnicy półlatusowej . Wielka półoś elipsy jest średnią geometryczną odległości od środka do jednego z ognisk oraz odległości od środka do obu kierownic .

Odległość do horyzontu z kuli jest w przybliżeniu równa średniej geometrycznej odległości do najbliższego punktu na kuli i odległości do najdalszego punktu kuli, gdy odległość do najbliższego punktu kuli jest niewielka.

Zarówno w przybliżeniu kwadratury koła według SA Ramanujana (1914), jak iw konstrukcji heptadekagonu zgodnie z „przesłanym przez TP Stowella, przypisuje się Leybourn's Math. Repository, 1818” , stosuje się średnią geometryczną.

Proporcje obrazu

Porównanie równych powierzchni współczynników proporcji używanych przez Kerns Powers w celu uzyskania standardu SMPTE 16:9 .   TV 4:3/1.33 w kolorze czerwonym,   1,66 w kolorze pomarańczowym,   16:9/1,7 7 w kolorze niebieskim ,  1,85 w kolorze żółtym,   Panavision /2.2 w kolorze fioletowo-fioletowym i  CinemaScope /2.35 w kolorze fioletowym.

Średnia geometryczna została użyta przy wyborze kompromisowych proporcji w filmie i wideo: biorąc pod uwagę dwa proporcje, średnia geometryczna z nich zapewnia kompromis między nimi, zniekształcając lub przycinając oba w pewnym sensie jednakowo. Konkretnie, dwa prostokąty o równych powierzchniach (o tym samym środku i równoległych bokach) o różnych proporcjach przecinają się w prostokącie, którego proporcje są średnią geometryczną, a ich kadłub (najmniejszy prostokąt, który zawiera oba z nich) również ma proporcje ich Średnia geometryczna.

Przy wyborze przez SMPTE proporcji 16:9 , balansując 2,35 i 4:3, wybrano średnią geometryczną , a co za tym idzie …. Zostało to odkryte empirycznie przez Kernsa Powersa, który wyciął prostokąty o równych obszarach i ukształtował je tak, aby pasowały do ​​każdego z popularnych współczynników proporcji. Po nałożeniu na siebie z wyrównanymi punktami środkowymi odkrył, że wszystkie te prostokąty o proporcjach pasują do zewnętrznego prostokąta o proporcjach 1,77:1 i wszystkie pokrywają również mniejszy wspólny wewnętrzny prostokąt o tym samym współczynniku proporcji 1,77:1. Wartość znaleziona przez Powersa jest dokładnie średnią geometryczną skrajnych współczynników proporcji, 4:3 (1,33:1) i CinemaScope (2,35:1), która przypadkowo jest bliska ( ). Proporcje pośrednie nie mają wpływu na wynik, tylko dwa stosunki skrajne.   

Zastosowanie tej samej techniki średniej geometrycznej do 16:9 i 4:3 daje w przybliżeniu proporcje 14:9 ( ...), które są również używane jako kompromis między tymi proporcjami. W tym przypadku 14:9 jest dokładnie średnią arytmetyczną z i , ponieważ 14 jest średnią z 16 i 12, podczas gdy dokładna średnia geometryczna to ale te dwie różne średnie , arytmetyczna i geometryczna, są w przybliżeniu równe, ponieważ obie liczby są wystarczająco bliskie wzajemnie (różnica mniejsza niż 2%).

Płaskość widmowa

W przetwarzaniu sygnału , widmowej płaskości , miarą tego jak płaskie lub kolczaste widmo to jest definiowane jako stosunek średniej geometrycznej widma mocy do jej średniej arytmetycznej.

Powłoki antyrefleksyjne

W powłokach optycznych, w których konieczne odbicie być minimalizowane pomiędzy dwoma ośrodkami o współczynniku załamania n 0 i n 2 , optymalny współczynnik załamania światła n 1 do powłoki antyrefleksyjnej jest określona jako średnia geometryczna: .

Subtraktywne mieszanie kolorów

Spektralne krzywe współczynnika odbicia dla farb mieszaniny (równej barwienia wytrzymałości, nieprzezroczystości i rozcieńczenia ) jest w przybliżeniu średnią geometryczną poszczególne krzywe współczynnika odbicia farby obliczone dla każdej długości fali ich widma .

Przetwarzanie obrazu

Geometryczna filtr jest używany jako filtr hałasu przetwarzania obrazu .

Zobacz też

Uwagi i referencje

Zewnętrzne linki