Proporcjonalność (matematyka) - Proportionality (mathematics)
W matematyce , dwie różne ilości mówi się, że w związku z proporcjonalności , multiplikatywnie podłączony do stałej ; to znaczy, gdy ich stosunek lub ich iloczyn daje stałą. Wartość tej stałej nazywa się współczynnikiem proporcjonalności lub stałą proporcjonalności .
- Jeśli stosunek ( tak/x) dwóch zmiennych ( x i y ) jest równe stałej ( k =tak/x) , to zmienna w liczniku stosunku ( y ) może być iloczynem drugiej zmiennej i stałej ( y = k ⋅ x ) . W tym przypadku mówi się, że y jest wprost proporcjonalne do x ze stałą proporcjonalności k . Równoważnie można napisać x =1/k ⋅ y ; czyli x jest wprost proporcjonalne do y ze stałą proporcjonalności1/k (= x/tak) . Jeśli termin proporcjonalny jest połączony z dwiema zmiennymi bez dalszej kwalifikacji, można ogólnie założyć bezpośrednią proporcjonalność.
- Jeśli produkt o dwóch zmiennych ( x ⋅ y ) jest równa stałej ( K = x ⋅ y ) , a następnie obie są uważane za odwrotnie proporcjonalne do siebie, przy czym współczynnik proporcjonalności k . Równoważnie obie zmienne są wprost proporcjonalne do odwrotności odpowiednich innych ze stałą proporcjonalności k ( x = k ⋅ 1/taki y = k ⋅ 1/x).
Jeżeli kilka par zmiennych ma tę samą bezpośrednią stałą proporcjonalności, równanie wyrażające równość tych stosunków nazywamy proporcją , np.a/b = x/tak= ⋯ = k (szczegóły patrz Współczynnik ).
Proporcjonalność bezpośrednia
Mając dwie zmienne x i y , y jest wprost proporcjonalne do x, jeśli istnieje niezerowa stała k taka, że
|
Relacja jest często oznaczana za pomocą symboli „∝” (nie mylić z grecką literą alfa ) lub „~”:
- lub
Dla do współczynnika proporcjonalności może być wyrażony jako stosunek
Nazywa się ją również stałą zmienności lub stałą proporcjonalności .
Bezpośrednie proporcjonalności może być również traktowana jako równaniem liniowym w dwóch zmiennych z y -intercept od 0 i nachylenia z k . Odpowiada to wzrostowi liniowemu .
Przykłady
- Jeśli obiekt porusza się ze stałą prędkością , to przebyta odległość jest wprost proporcjonalna do czasu spędzonego na podróży, przy czym prędkość jest stałą proporcjonalności.
- Obwód z koła jest wprost proporcjonalne do jego średnicy , przy czym stała proporcjonalności równej Õ .
- Na mapie o wystarczająco małym obszarze geograficznym, narysowanej w skali odległości, odległość między dowolnymi dwoma punktami na mapie jest wprost proporcjonalna do odległości w linii prostej między dwoma lokalizacjami reprezentowanymi przez te punkty; stała proporcjonalności to skala mapy.
- Siły działającej na małe przedmioty o małej masie przez pobliżu dużej masie rozszerzonym na skutek grawitacji , jest wprost proporcjonalna do masy obiektu; stała proporcjonalności między siłą a masą nazywana jest przyspieszeniem grawitacyjnym .
- Siła wypadkowa działająca na obiekt jest proporcjonalna do przyspieszenia tego obiektu względem bezwładnościowego układu odniesienia. Stałą proporcjonalności w tym drugim prawie Newtona jest klasyczna masa obiektu.
Odwrotna proporcjonalność
Pojęcie odwrotnej proporcjonalności można przeciwstawić bezpośredniej proporcjonalności . Rozważmy dwie zmienne, o których mówi się, że są „odwrotnie proporcjonalne” do siebie. Jeśli wszystkie inne zmienne są utrzymywane na stałym poziomie , wielkość lub wartość bezwzględna jednej odwrotnie proporcjonalnej zmiennej zmniejsza się, gdy druga zmienna rośnie, podczas gdy ich iloczyn (stała proporcjonalności k ) jest zawsze taki sam. Na przykład czas potrzebny na podróż jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości podróży.
Formalnie, dwie zmienne są odwrotnie proporcjonalne (zwane również odwrotnie odmiennymi , w odwrotnej zmienności , w odwrotnej proporcji , we wzajemnej proporcji ), jeśli każda ze zmiennych jest wprost proporcjonalna do odwrotności multiplikatywnej (odwrotności) drugiej, lub równoważnie, jeśli ich iloczyn jest stała. Wynika z tego, że zmienna y jest odwrotnie proporcjonalna do zmiennej x, jeśli istnieje niezerowa stała k taka, że
lub równoważnie, stąd stała „ k ” jest iloczynem x i y .
Wykres dwóch zmiennych zmieniających się odwrotnie na płaszczyźnie współrzędnych kartezjańskich jest hiperbolą prostokątną . Iloczyn wartości x i y każdego punktu na krzywej jest równy stałej proporcjonalności ( k ). Ponieważ ani x, ani y nie mogą być równe zeru (ponieważ k jest niezerowe), wykres nigdy nie przecina żadnej z osi.
Współrzędne hiperboliczne
Pojęcia proporcji prostej i odwrotnej prowadzą do lokalizacji punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej według współrzędnych hiperbolicznych ; dwie współrzędne odpowiadają stałej bezpośredniej proporcjonalności, która określa punkt jako znajdujący się na określonym promieniu i stałej odwrotnej proporcjonalności, która określa punkt jako znajdujący się na określonej hiperboli.
Zobacz też
- Mapa liniowa
- Korelacja
- Eudoksos z Knidos
- Złoty stosunek
- Prawa odwrotnych kwadratów
- Czcionka proporcjonalna
- Stosunek
- Zasada trzech (matematyka)
- Wielkość próbki
- Podobieństwo
- Podstawowe twierdzenie o proporcjonalności
- ∷ jest b a c ma d symbol (U + 2237 PROCENT )
Wzrost
Uwagi
Bibliografia
- Tak. B. Zeldovich, I. M. Yaglom : Wyższa matematyka dla początkujących , s. 34–35 .
- Brian Burrell: Przewodnik Merriam-Webster po codziennej matematyce: odniesienie do domu i biznesu . Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213 , s. 85–101 .
- Lanius, Cynthia S.; Williams Susan E.: PROPORCJONALNOŚĆ: Jednoczący motyw dla klas średnich . Nauczanie matematyki w gimnazjum 8.8 (2003), s. 392–396.
- Seeley, Cathy; Schielack Jane F.: Spojrzenie na rozwój wskaźników, stawek i proporcjonalności . Nauczanie matematyki w gimnazjum, 13.3, 2007, s. 140–142.
- Van Dooren, Wim; De Bock Dirk; Evers Marleen; Verschaffel Lieven: Nadużywanie przez uczniów proporcjonalności w problemach z brakami danych: jak liczby mogą zmieniać rozwiązania . Journal for Research in Mathematics Education, 40.2, 2009, s. 187-211.