Poziom - Level set

Punkty na stałych przekrojach x 2 = f ( x 1 ) .
Linie w stałych przekrojach x 3 = f ( x 1 , x 2 ) .
Płaszczyzny o stałych przekrojach x 4 = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) .
( n − 1) -wymiarowe zestawy poziomów dla funkcji postaci f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n gdzie a 1 , a 2 , ..., a n są stałymi, w ( n + 1) -wymiarowej przestrzeni euklidesowej, dla n = 1, 2, 3.
Punkty na stałych przekrojach x 2 = f ( x 1 ) .
Krzywe konturowe w stałych przekrojach x 3 = f ( x 1 , x 2 ) .
Zakrzywione powierzchnie w stałych przekrojach x 4 = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) .
( n − 1) -wymiarowe zbiory poziomów funkcji nieliniowych f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) w ( n + 1) -wymiarowej przestrzeni euklidesowej, dla n = 1, 2, 3.

W matematyce , A ustawiony poziom z rzeczywistym -valued funkcji f o n zmiennych rzeczywistych jest zestaw , w którym funkcja przyjmuje danej stałej wartości C , to jest:

Gdy liczba zmiennych niezależnych wynosi dwa, zestaw poziomów nazywany jest krzywą poziomu , znaną również jako linia konturu lub izolinia ; więc krzywa poziomu jest zbiorem wszystkich rozwiązań równania o wartościach rzeczywistych w dwóch zmiennych x 1 i x 2 . Gdy n  = 3, zestaw poziomów nazywany jest powierzchnią poziomą (lub izopowierzchnią ); więc płaska powierzchnia jest zbiorem wszystkich pierwiastków równania o wartościach rzeczywistych w trzech zmiennych x 1 , x 2 i x 3 . Dla wyższych wartości n , zbiór poziomów jest hiperpowierzchnią poziomu , zbiorem wszystkich pierwiastków równania o wartościach rzeczywistych w n > 3 zmiennych.

Poziomnica to szczególny przypadek światłowodu .

Alternatywne nazwy

Przecięcia powierzchni poziomu funkcji współrzędnych z węzłem koniczyny . Czerwone krzywe są najbliżej widza, a żółte są najdalej.

Zestawy poziomów pojawiają się w wielu aplikacjach, często pod różnymi nazwami.

Na przykład niejawna krzywa jest krzywą poziomu, która jest rozpatrywana niezależnie od sąsiednich krzywych, co podkreśla, że ​​taka krzywa jest zdefiniowana przez niejawne równanie . Analogicznie, pozioma powierzchnia jest czasami nazywana niejawną powierzchnią lub izopowierzchnią .

Używana jest również nazwa isocontour, co oznacza kontur o równej wysokości. W różnych obszarach zastosowań izokontury otrzymały specyficzne nazwy, które często wskazują na charakter wartości rozpatrywanej funkcji, takie jak izobara , izoterma , izogon , izochrona , izokwanta i krzywa obojętności .

Przykłady

Rozważmy dwuwymiarową odległość euklidesową:

Zestaw poziomów tej funkcji składa się z tych punktów, które leżą w pewnej odległości od początku, inaczej zwanej okręgiem . Na przykład , ponieważ . Geometrycznie oznacza to, że punkt leży na okręgu o promieniu 5 wyśrodkowanym na początku. Mówiąc bardziej ogólnie, sferę w przestrzeni metrycznej z promieniem wyśrodkowanym na można zdefiniować jako zestaw poziomów .

Drugim przykładem jest wykres funkcji Himmelblau pokazany na rysunku po prawej stronie. Każda pokazana krzywa jest krzywą poziomu funkcji i są one rozmieszczone logarytmicznie: jeśli krzywa reprezentuje , krzywa bezpośrednio „wewnątrz” reprezentuje , a krzywa bezpośrednio „na zewnątrz” reprezentuje .

Wykres krzywej poziomu w odstępach logarytmicznych funkcji Himmelblau

Zestawy poziomów a gradient

Rozważmy funkcję f, której wykres wygląda jak wzgórze. Niebieskie krzywe to zestawy poziomów; czerwone krzywe podążają za kierunkiem gradientu. Ostrożny turysta podąża niebieskimi ścieżkami; odważny turysta podąża czerwonymi ścieżkami. Zauważ, że niebieskie i czerwone ścieżki zawsze przecinają się pod kątem prostym.
Twierdzenie : Jeżeli funkcja f jest różniczkowalną The gradientu od F w punkcie, jest równa zero, lub prostopadle do zestawu poziomu f w tym punkcie.

Aby zrozumieć, co to oznacza, wyobraź sobie, że dwóch wędrowców znajduje się w tym samym miejscu na górze. Jeden z nich jest odważny i postanawia udać się w kierunku, w którym stok jest najbardziej stromy. Drugi jest bardziej ostrożny; nie chce ani wspinać się, ani schodzić, wybierając ścieżkę, która utrzyma go na tej samej wysokości. W naszej analogii z powyższego twierdzenia wynika, że ​​obaj wędrowcy wyruszą w kierunkach prostopadłych do siebie.

Konsekwencją tego twierdzenia (i jego dowodu) jest to, że jeżeli m jest różniczkowalną, zestaw poziom jest hiperpowierzchni i kolektor poza krytyczne punkty z F . W krytycznym punkcie zestaw poziomu może być zmniejszony do punktu (na przykład w lokalnym ekstremum w F ), lub może mieć osobliwości , takich jak punkt przecięcia siebie lub progu .

Zestawy podpoziomowe i nadpoziomowe

Zestaw formularza

nazywany jest podrzędny zestaw o f (lub, alternatywnie, dolny zestaw poziomu lub rowu w f ). Surowe podrzędny zestaw F jest

podobnie

nazywa się superlevel zestaw z F . I podobnie ścisły superpoziomowy zbiór f to

Zbiory podpoziomów są ważne w teorii minimalizacji . Boundness pewnego niepustego zbioru podpoziomu i dolnym Funkcja Półciągła funkcji oznacza, że funkcja osiąga minimum, przez twierdzenia Weierstrassa . Wypukłość wszystkich zestawów Sublevel charakteryzuje funkcje quasiconvex .

Zobacz też

Bibliografia