Poziom - Level set
W matematyce , A ustawiony poziom z rzeczywistym -valued funkcji f o n zmiennych rzeczywistych jest zestaw , w którym funkcja przyjmuje danej stałej wartości C , to jest:
Gdy liczba zmiennych niezależnych wynosi dwa, zestaw poziomów nazywany jest krzywą poziomu , znaną również jako linia konturu lub izolinia ; więc krzywa poziomu jest zbiorem wszystkich rozwiązań równania o wartościach rzeczywistych w dwóch zmiennych x 1 i x 2 . Gdy n = 3, zestaw poziomów nazywany jest powierzchnią poziomą (lub izopowierzchnią ); więc płaska powierzchnia jest zbiorem wszystkich pierwiastków równania o wartościach rzeczywistych w trzech zmiennych x 1 , x 2 i x 3 . Dla wyższych wartości n , zbiór poziomów jest hiperpowierzchnią poziomu , zbiorem wszystkich pierwiastków równania o wartościach rzeczywistych w n > 3 zmiennych.
Poziomnica to szczególny przypadek światłowodu .
Alternatywne nazwy
Zestawy poziomów pojawiają się w wielu aplikacjach, często pod różnymi nazwami.
Na przykład niejawna krzywa jest krzywą poziomu, która jest rozpatrywana niezależnie od sąsiednich krzywych, co podkreśla, że taka krzywa jest zdefiniowana przez niejawne równanie . Analogicznie, pozioma powierzchnia jest czasami nazywana niejawną powierzchnią lub izopowierzchnią .
Używana jest również nazwa isocontour, co oznacza kontur o równej wysokości. W różnych obszarach zastosowań izokontury otrzymały specyficzne nazwy, które często wskazują na charakter wartości rozpatrywanej funkcji, takie jak izobara , izoterma , izogon , izochrona , izokwanta i krzywa obojętności .
Przykłady
Rozważmy dwuwymiarową odległość euklidesową:
Drugim przykładem jest wykres funkcji Himmelblau pokazany na rysunku po prawej stronie. Każda pokazana krzywa jest krzywą poziomu funkcji i są one rozmieszczone logarytmicznie: jeśli krzywa reprezentuje , krzywa bezpośrednio „wewnątrz” reprezentuje , a krzywa bezpośrednio „na zewnątrz” reprezentuje .
Zestawy poziomów a gradient
- Twierdzenie : Jeżeli funkcja f jest różniczkowalną The gradientu od F w punkcie, jest równa zero, lub prostopadle do zestawu poziomu f w tym punkcie.
Aby zrozumieć, co to oznacza, wyobraź sobie, że dwóch wędrowców znajduje się w tym samym miejscu na górze. Jeden z nich jest odważny i postanawia udać się w kierunku, w którym stok jest najbardziej stromy. Drugi jest bardziej ostrożny; nie chce ani wspinać się, ani schodzić, wybierając ścieżkę, która utrzyma go na tej samej wysokości. W naszej analogii z powyższego twierdzenia wynika, że obaj wędrowcy wyruszą w kierunkach prostopadłych do siebie.
Konsekwencją tego twierdzenia (i jego dowodu) jest to, że jeżeli m jest różniczkowalną, zestaw poziom jest hiperpowierzchni i kolektor poza krytyczne punkty z F . W krytycznym punkcie zestaw poziomu może być zmniejszony do punktu (na przykład w lokalnym ekstremum w F ), lub może mieć osobliwości , takich jak punkt przecięcia siebie lub progu .
Zestawy podpoziomowe i nadpoziomowe
Zestaw formularza
nazywany jest podrzędny zestaw o f (lub, alternatywnie, dolny zestaw poziomu lub rowu w f ). Surowe podrzędny zestaw F jest
podobnie
nazywa się superlevel zestaw z F . I podobnie ścisły superpoziomowy zbiór f to
Zbiory podpoziomów są ważne w teorii minimalizacji . Boundness pewnego niepustego zbioru podpoziomu i dolnym Funkcja Półciągła funkcji oznacza, że funkcja osiąga minimum, przez twierdzenia Weierstrassa . Wypukłość wszystkich zestawów Sublevel charakteryzuje funkcje quasiconvex .