Twierdzenie Hilberta Syzygy - Hilbert's syzygy theorem

W matematyce , syzygy twierdzenie Hilberta jest jednym z trzech podstawowych twierdzeń o wielomianowych pierścienie ponad pól , pierwszy udowodniono przez Davida Hilberta w roku 1890, które zostały wprowadzone do rozwiązywania ważnych pytań otwartych w teorii stałych , a są na podstawie współczesnej geometrii algebraicznej . Dwa pozostałe twierdzenia to podstawowe twierdzenie Hilberta, które stwierdza, że ​​wszystkie ideały pierścieni wielomianowych nad ciałem są generowane w sposób skończony, oraz Nullstellensatz Hilberta , który ustanawia bijektywną zgodność między afinicznymi rozmaitościami algebraicznymi i pierwszorzędnymi ideałami pierścieni wielomianowych.

Syzygy twierdzenie problemem Hilberta te relacje lub syzygies w terminologii Hilberta, pomiędzy generatorami od An ideału , lub, bardziej ogólnie, moduł . Ponieważ relacje tworzą moduł, można rozważyć relacje między relacjami; Twierdzenie Hilberta Syzygy twierdzi, że jeśli kontynuujemy w ten sposób, zaczynając od modułu nad pierścieniem wielomianowym w n nieokreślonych na polu, ostatecznie znajdujemy zerowy moduł relacji, po co najwyżej n krokach.

Twierdzenie Hilberta o syzygym jest obecnie uważane za wczesny wynik algebry homologicznej . Stanowi punkt wyjścia do zastosowania metod homologicznych w algebrze przemiennej i geometrii algebraicznej.

Historia

Twierdzenie syzygy po raz pierwszy pojawiło się w przełomowej pracy Hilberta „Über die Theorie der algebraischen Formen” (1890). Artykuł jest podzielony na pięć części: część I udowadnia twierdzenie Hilberta o podstawie na polu, podczas gdy część II udowadnia to na liczbach całkowitych. Część III zawiera twierdzenie syzygusa (Twierdzenie III), które jest używane w części IV do omówienia wielomianu Hilberta. Ostatnia część, część V, dowodzi skończonej generacji pewnych pierścieni niezmienników . Nawiasem mówiąc, część III zawiera również specjalny przypadek twierdzenia Hilberta – Burcha .

Syzygies (relacje)

Pierwotnie Hilbert zdefiniował syzygie dla ideałów w pierścieniach wielomianowych , ale koncepcja ta trywialnie uogólnia się na (lewe) moduły nad dowolnym pierścieniem .

Biorąc pod uwagę zespół generatorów modułu M na pierścieniu R , relacja lub pierwsza syzygia między generatorami jest k -krotną liczbą elementów R takich, że ${\ displaystyle g_ {1}, \ ldots, g_ {k}}$${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {k})}$

${\ Displaystyle a_ {1} g_ {1} + \ cdots + a_ {k} g_ {k} = 0.}$

Niech będzie wolnym modułem z podstawą . K - krotkę można utożsamić z elementem ${\ displaystyle L_ {0}}$${\ Displaystyle (G_ {1}, \ ldots, G_ {k}).}$ ${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {k})}$

${\ displaystyle a_ {1} G_ {1} + \ cdots + a_ {k} G_ {k},}$

i relacje tworzą jądro z mapą liniowym określonym przez Innymi słowy, ma dokładną sekwencję${\ displaystyle R_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {0} \ do M}$${\ displaystyle G_ {i} \ mapsto g_ {i}.}$

${\ Displaystyle 0 \ do R_ {1} \ do L_ {0} \ do M \ do 0}$

Ten pierwszy moduł syzygy zależy od wyboru zespołu prądotwórczego, ale jeśli jest to moduł, który jest pozyskiwany z innym zespołem prądotwórczym, to istnieją dwa wolne moduły i takie, że ${\ displaystyle R_ {1}}$${\ Displaystyle S_ {1}}$${\ displaystyle F_ {1}}$${\ displaystyle F_ {2}}$

${\ Displaystyle R_ {1} \ oplus F_ {1} \ cong S_ {1} \ oplus F_ {2}}$

gdzie oznacza bezpośrednią sumę modułów . ${\ displaystyle \ oplus}$

Sekund syzygy modułem jest moduł stosunków między generatorami pierwszego modułu syzygy. Kontynuując w ten sposób, można zdefiniować k- ty moduł syzygy dla każdej dodatniej liczby całkowitej k .

Jeśli k- ty moduł syzygy jest wolny dla jakiegoś k , to przyjmując podstawę jako zestaw generujący, następny moduł syzygy (i każdy kolejny) jest modułem zerowym . Jeśli nie weźmie się baz jako zespołów prądotwórczych, to wszystkie kolejne moduły syzygy są darmowe.

Niech n będzie najmniejszą liczbą całkowitą, jeśli taka istnieje, taką, że n- ty syzygy moduł modułu M jest wolny lub rzutujący . Powyższa własność niezmienności, aż do sumy bezpośrednio z wolnymi modułami, oznacza, że n nie zależy od wyboru zespołów prądotwórczych. Rzutowa wymiar z M, jest to całkowita, jeśli istnieje, lub ∞ wypadku. Jest to równoważne z istnieniem dokładnej sekwencji

${\ Displaystyle 0 \ longrightarrow R_ {n} \ longrightarrow L_ {n-1} \ longrightarrow \ cdots \ longrightarrow L_ {0} \ longrightarrow M \ longrightarrow 0,}$

gdzie moduły są bezpłatne i mają charakter projekcyjny. Można wykazać, że agregaty prądotwórcze można zawsze wybrać jako wolne, czyli aby powyższa dokładna sekwencja była dowolną rozdzielczością . ${\ displaystyle L_ {i}}$${\ displaystyle R_ {n}}$${\ displaystyle R_ {n}}$

Komunikat

Twierdzenie Hilberta syzygy mówi, że jeśli M jest skończenie generowanym modułem na pierścieniu wielomianowym w n nieokreślonych na polu k , to n- ty moduł syzygiczny M jest zawsze modułem swobodnym . ${\ Displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

We współczesnym języku, oznacza to, że rzutowe wymiar od M wynosi co najwyżej n , a więc, że istnieje swobodny rozdzielczość

${\ Displaystyle 0 \ longrightarrow L_ {k} \ longrightarrow L_ {k-1} \ longrightarrow \ cdots \ longrightarrow L_ {0} \ longrightarrow M \ longrightarrow 0}$

o długości k ≤ n .

Ta górna granica wymiaru rzutowego jest ostra, to znaczy istnieją moduły o wymiarze rzutowym dokładnie n . Standardowym przykładem jest pole k , które można uznać za -moduł, ustawiając dla każdego i i każdego c ∈ k . W przypadku tego modułu n- ty syzygy moduł jest wolny, ale nie ( n -1) -ty (dowód, patrz: Zespół koszulek poniżej). ${\ Displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle x_ {i} c = 0}$

Twierdzenie jest również prawdziwe dla modułów, które nie są generowane w sposób skończony. Ponieważ wymiar globalny pierścienia jest supremumem wymiarów rzutowych wszystkich modułów, twierdzenie o syzygym Hilbercie można powtórzyć jako: wymiar globalny jest n${\ Displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ .

Niski wymiar

W przypadku zera nieokreślonego, twierdzenie Hilberta o syzygym to po prostu fakt, że każda przestrzeń wektorowa ma podstawę .

W przypadku pojedynczego nieokreślonego twierdzenie o syzygym Hilbercie jest przykładem twierdzenia twierdzącego, że ponad głównym pierścieniem idealnym każdy podmoduł swobodnego modułu jest sam w sobie wolny.

Komplet koszulek

Zespół Koszula , zwany także „kompleksem algebry zewnętrznej”, pozwala w niektórych przypadkach na dokładny opis wszystkich modułów syzygicznych.

Pozwolić być system generujący idealnego I w pierścień wielomianów , i niech będzie Szybkie wybieranie Moduł podstawy The zewnętrzne algebry o to bezpośredni suma${\ displaystyle g_ {1}, \ ldots, g_ {k}}$${\ Displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle L_ {1}}$${\ Displaystyle G_ {1}, \ ldots, G_ {k}.}$${\ displaystyle L_ {1}}$

${\ Displaystyle \ Lambda (L_ {1}) = \ bigoplus _ {t = 0} ^ {k} L_ {t},}$

gdzie jest darmowy moduł, który ma jako podstawę produkty zewnętrzne${\ displaystyle L_ {t}}$

${\ Displaystyle G_ {i_ {1}} \ klin \ cdots \ klin G_ {i_ {t}},}$

takie, że w szczególności ma się (ze względu na definicję produktu pustego ), dwie definicje pokrywają się, a dla t > k . Dla każdego dodatniego t można zdefiniować liniową mapę przez ${\ displaystyle i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {t}.}$${\ displaystyle L_ {0} = R}$${\ displaystyle L_ {1}}$${\ displaystyle L_ {t} = 0}$${\ Displaystyle L_ {t} \ do L_ {t-1}}$

${\ Displaystyle G_ {i_ {1}} \ klin \ cdots \ klin G_ {i_ {t}} \ mapsto \ suma _ {j = 1} ^ {t} (- 1) ^ {j + 1} g_ {i_ {j}} G_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ widehat {G}} _ {i_ {j}} \ wedge \ cdots \ wedge G_ {i_ {t}},}$

gdzie kapelusz oznacza, że ​​czynnik został pominięty. Proste obliczenia pokazują, że skład dwóch kolejnych takich map wynosi zero, a zatem ta jedna ma złożony

${\ Displaystyle 0 \ do L_ {t} \ do L_ {t-1} \ do \ cdots \ do L_ {1} \ do L_ {0} \ do R / I.}$

To jest kompleks Koszuli . Na ogół, kompleks Koszul nie jest dokładna kolejność , ale jest to dokładna sekwencja, jeśli pracuje się z wielomianem pierścienia i idealnym generowane przez określonej sekwencji o jednorodnych wielomianów .${\ Displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

W szczególności sekwencja jest regularna, a zespół Koszula jest więc rzutowym rozwiązaniem W tym przypadku n- ty moduł syzygii jest wolny od wymiaru pierwszego (generowany przez iloczyn wszystkiego ); ( n - 1) moduł TH syzygy zatem iloraz wolnego modułu wymiaru n przez modułem generowanego przez iloraz ten nie może być modułem rzutowej , w przeciwnym razie nie mógłby istnieć wielomiany w taki sposób, który jest niemożliwy (zastępując przez 0 w tym ostatnim równość daje 1 = 0 ). Dowodzi to, że rzutowy wymiar jest dokładnie n . ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$${\ Displaystyle k = R / \ langle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ rangle.}$${\ displaystyle G_ {i}}$${\ Displaystyle (x_ {1}, - x_ {2}, \ ldots, \ pm x_ {n}).}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ Displaystyle p_ {1} x_ {1} + \ cdots + p_ {n} x_ {n} = 1,}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ Displaystyle k = R / \ langle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ rangle}$

Ten sam dowód dotyczy udowodnienia, że ​​rzutowy wymiar jest dokładnie t, jeśli postać jest regularnym ciągiem jednorodnych wielomianów. ${\ Displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] / \ langle g_ {1}, \ ldots, g_ {t} \ rangle}$${\ displaystyle g_ {i}}$

Obliczenie

W czasach Hilberta nie było dostępnej metody obliczania syzygii. Wiadomo było tylko, że algorytm można wydedukować z dowolnej górnej granicy stopnia generatorów modułu syzygii. W rzeczywistości współczynniki syzygii są nieznanymi wielomianami. Jeśli stopień tych wielomianów jest ograniczony, ograniczona jest również liczba ich jednomianów . Wyrażenie, że mamy syzygię, daje układ równań liniowych, których niewiadomymi są współczynniki tych jednomianów. Dlatego każdy algorytm dla systemów liniowych implikuje algorytm dla syzygii, gdy tylko znana jest granica stopni.

Pierwszy związany na syzygies (a także do problemu członkostwa idealnie ) podano w 1926 Grete Hermann niech dla M moduł podrzędny wolnego modułu L wymiaru t nad jeżeli współczynniki na podstawie L systemu tworzącej M mają całkowity stopień najwyżej D , to nie ma stałą C , tak że występujące w stopniach układu wytwarzającego pierwszego modułu syzygy co najwyżej to samo stosuje się do badania związane z członkostwa M elementu L . ${\ Displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}];}$${\ Displaystyle (TD) ^ {2 ^ {CN}}.}$

Z drugiej strony istnieją przykłady, w których koniecznie występuje podwójny stopień wykładniczy . Jednak takie przykłady są niezwykle rzadkie, co stawia pytanie o algorytm, który jest wydajny, gdy wynik nie jest zbyt duży. W chwili obecnej najlepszymi algorytmami obliczania syzygii są algorytmy bazowe Gröbnera . Umożliwiają one obliczenie pierwszego modułu syzygy, a także, prawie bez dodatkowych kosztów, wszystkich modułów syzygy.

Syzygie i regularność

Można by się zastanawiać, która teoria pierścieniowa powoduje, że twierdzenie Hilberta Syzygy'ego jest prawdziwe. Okazuje się, że jest to regularność , która jest algebraicznym sformułowaniem faktu, że afiniczna n- przestrzeń jest odmianą bez osobliwości . W rzeczywistości zachodzi następujące uogólnienie: Niech będzie pierścieniem Noetherian. Wtedy ma skończony wymiar globalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularny, a wymiar Krulla jest skończony; w takim przypadku globalny wymiar jest równy wymiarowi Krulla. Wynik ten można udowodnić za pomocą twierdzenia Serre'a o regularnych pierścieniach lokalnych . ${\ Displaystyle A = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Zobacz też

• Twierdzenie Quillena – Suslina
• Szereg Hilberta i wielomian Hilberta

Bibliografia

• David Eisenbud , Algebra przemienna. Z myślą o geometrii algebraicznej . Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, Nowy Jork, 1995. xvi + 785 str. ISBN   0-387-94268-8 ; ISBN   0-387-94269-6 MR 1322960
• "Twierdzenie Hilberta" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]