Podwójna funkcja wykładnicza - Double exponential function

Podwójna funkcja wykładnicza (krzywa czerwona) w porównaniu z pojedynczą funkcją wykładniczą (krzywa niebieska).

Podwójna wykładnicza funkcja jest stała podniesiony do potęgi w funkcji wykładniczej . Ogólny wzór to (gdzie a >1 ib >1), który rośnie znacznie szybciej niż funkcja wykładnicza. Na przykład, jeśli a = b = 10:

  • f (0) = 10
  • f (1) = 10 10
  • f (2) = 10 100 = googol
  • f (3) = 10 1000
  • f (100) = 10 10 100 = googolplex .

Silnia rosną szybciej niż funkcje wykładnicze, ale znacznie wolniej niż funkcje podwójnie wykładnicze. Jednak tetracja i funkcja Ackermanna rosną szybciej. Zobacz notację Big O dla porównania tempa wzrostu różnych funkcji.

Odwrotnością podwójnej funkcji wykładniczej jest podwójny logarytm ln(ln( x )).

Podwójnie wykładnicze sekwencje

Mówi się, że ciąg dodatnich liczb całkowitych (lub liczb rzeczywistych) ma podwójnie wykładniczą stopę wzrostu, jeśli funkcja podająca n- ty wyraz ciągu jest ograniczona powyżej i poniżej funkcji podwójnie wykładniczej n . Przykłady obejmują

  • W Liczby Fermata
  • Liczby pierwsze harmoniczne: Liczby pierwsze p , w których sekwencja 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/ p przekracza 0, 1, 2, 3, …
    Pierwsze cyfry, zaczynające się od 0, to 2, 5, 277, 5195977, ... (sekwencja A016088 w OEIS )
  • Te numery Pokój Mersenne
  • Elementy ciągu Sylwestra (sekwencja A000058 w OEIS )
    gdzie E ≈ 1.264084735305302 jest stałą Vardiego (sekwencja A076393 w OEIS ).
  • Liczba k- arnych funkcji logicznych :
  • Liczby pierwsze 2, 11, 1361, ... (sekwencja A051254 w OEIS )
    gdzie A ≈ 1.306377883863 jest stałą Millsa .

Aho i Sloane zaobserwowali, że w kilku ważnych ciągach liczb całkowitych każdy wyraz jest stałą plus kwadrat poprzedniego wyrazu. Pokazują, że takie ciągi można utworzyć przez zaokrąglenie do najbliższej liczby całkowitej wartości funkcji podwójnie wykładniczej o środkowym wykładniku 2. Ionaşcu i Stănică opisują pewne bardziej ogólne warunki wystarczające, aby ciąg był dołem ciągu podwójnie wykładniczego plus stała .

Aplikacje

Złożoność algorytmiczna

W teorii złożoności obliczeniowej niektóre algorytmy zajmują czas podwójnie wykładniczy:

W niektórych innych problemach związanych z projektowaniem i analizą algorytmów sekwencje podwójnie wykładnicze są stosowane w projektowaniu algorytmu, a nie w jego analizie. Przykładem jest algorytm Chana do obliczania wypukłych kadłubów , który wykonuje sekwencję obliczeń przy użyciu wartości testowych h i  = 2 2 i (szacunki dla ostatecznej wielkości wyjściowej), biorąc czas O( n  log  h i ) dla każdej wartości testowej w sekwencji . Z powodu podwójnego wykładniczego wzrostu tych wartości testowych, czas dla każdego obliczenia w sekwencji rośnie pojedynczo wykładniczo w funkcji i , a całkowity czas jest zdominowany przez czas dla ostatniego kroku sekwencji. Zatem całkowity czas działania algorytmu wynosi O( n  log  h ), gdzie h jest rzeczywistym rozmiarem wyjścia.

Teoria liczb

Niektóre teoretyczne granice liczb są podwójnie wykładnicze. Wiadomo, że liczby nieparzyste doskonałe z n odrębnymi czynnikami pierwszymi to co najwyżej

wynik Nielsena (2003). Wielkość maksymalną w d -lattice Polytope z k ≥ 1 wewnętrzne punkty siatkowe jest najbardziej

wynik Pikhurko.

Największa znana liczba pierwsza w erze elektronicznej wzrosła mniej więcej podwójnej funkcji wykładniczej roku od Miller i Wheeler znalazł 79-cyfrowy prime na EDSAC 1 w 1951 roku.

Biologia teoretyczna

W dynamice populacji zakłada się czasami, że wzrost populacji ludzkiej jest podwójnie wykładniczy. Warfolomeyev i Gurevich eksperymentalnie pasują

gdzie N ( y ) to liczba ludności w milionach w roku y .

Fizyka

W oscylatora Toda modelu siebie pulsacji logarytm amplituda zmienia się wykładniczo wraz z upływem czasu (w przypadku dużych amplitudach), a tym samym zmienia się amplituda podwójnie wykładniczej funkcji czasu.

Zaobserwowano, że makrocząsteczki dendrytyczne rosną w sposób podwójnie wykładniczy.

Bibliografia