Przestrzeń Frecheta - Fréchet space

W analizie funkcjonalnej i powiązanych dziedzinach matematyki , obowiązuje Frecheta , nazwany Maurice Frecheta są specjalne przestrzeń liniowo-topologiczna . Są to uogólnienia przestrzeni Banacha ( znormalizowanych przestrzeni wektorowych, które są kompletne względem metryki indukowanej przez normę ). Wszystkie przestrzenie Banacha i Hilberta są przestrzeniami Frécheta. Przestrzenie nieskończenie różniczkowalnych funkcje są typowymi przykładami przestrzeni Frecheta, z których wielu to zazwyczaj nie przestrzeniami Banacha.

Kosmiczne Fréchet definiuje się lokalnie wypukła metryzowalny topologiczna wektor przestrzeń (TVS), która jest pełna jak TVS , co oznacza, że każdy ciąg Cauchy'ego w zbieżny do pewnego punktu w (patrz przypis więcej szczegółów). ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Ważna uwaga : Nie wszyscy autorzy wymagają, aby przestrzeń Frécheta była lokalnie wypukła (omówione poniżej).

Topologia każdej przestrzeni Frécheta jest indukowana przez pewną kompletną metrykę niezmienną w translacji . I odwrotnie, jeśli topologia przestrzeni lokalnie wypukłej jest indukowana przez kompletną metrykę niezmienną translacji, to jest to przestrzeń Frécheta. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Fréchet jako pierwszy użył terminu „ przestrzeń Banacha ”, a Banach z kolei ukuł termin „przestrzeń Frécheta”, oznaczający kompletną metryzowalną topologiczną przestrzeń wektorową , bez wymogu lokalnej wypukłości (taka przestrzeń jest dziś często nazywana „ F- spacja "). Warunek lokalnie wypukły dodał później Nicolas Bourbaki . Należy zauważyć, że znaczna liczba autorów (np. Schaefer) używa „spacji F” do oznaczenia (lokalnie wypukłej) przestrzeni Frécheta, podczas gdy inni nie wymagają, aby „przestrzeń Frécheta” była lokalnie wypukła. Co więcej, niektórzy autorzy używają nawet zamiennie „ przestrzeń F ” i „przestrzeń Frécheta”. Czytając literaturę matematyczną zaleca się, aby czytelnik zawsze sprawdził, czy definicja „ przestrzeni F ” i „przestrzeni Frécheta” w książce lub artykule nie wymaga lokalnej wypukłości.

Definicje

Przestrzenie Frécheta można zdefiniować na dwa równoważne sposoby: pierwszy wykorzystuje metrykę niezmienną translacji , drugi policzalną rodzinę półnorm .

Niezmienna definicja metryki

Topologiczna przestrzeń wektorowa jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujące trzy własności: ${\ Displaystyle X}$

1. Jest lokalnie wypukły .
2. Jego topologia może być indukowana przez niezmienny tłumaczenie metryki, czyli metryki takie, że dla wszystkich oznacza to, że podzbiór z jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego nie istnieje takie, że } jest podzbiorem${\ Displaystyle d: X \ razy X \ do \ mathbb {R} }$${\ Displaystyle d (x, y) = d (x + z, y + z)}$${\displaystyle x,y,z\w X.}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle u\w u}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \{v:d(v,u)<r\}}$${\ Displaystyle U.}$
3. Niektóre (lub równoważnie, wszystkie) niezmienne metryki translacji przy indukowaniu topologii są kompletne . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$
   • Zakładając, że pozostałe dwa warunki są spełnione, warunek ten jest równoważny byciu
   całkowitą topologiczną przestrzenią wektorów , co oznacza, że jest całkowicie jednorodną przestrzenią, gdy jest obdarzona jej jednorodnością kanoniczną (ta jednorodność kanoniczna jest niezależna od jakiejkolwiek metryki i jest zdefiniowana całkowicie pod względem odejmowania wektorów i sąsiedztw początku , ponadto jednorodność indukowana przez dowolną (określającą topologię) metrykę niezmienniczą translacji jest identyczna z jednolitością kanoniczną).${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Zauważ, że nie ma naturalnego pojęcia odległości między dwoma punktami przestrzeni Frécheta: wiele różnych metryk niezmiennych w translacji może wywołać tę samą topologię.

Policzalna rodzina definicji półnorm

Alternatywna i nieco bardziej praktyczna definicja jest następująca: topologiczna przestrzeń wektorowa jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujące trzy własności: ${\ Displaystyle X}$

1. Jest to przestrzeń Hausdorffa ,
2. Jego topologii może być wywołane przez rodzinę policzalnych naczepy norm Oznacza to, że podzbiór jest otwarty tylko wtedy, gdy dla każdego istnieje i tak, że jest podzbiorem${\displaystyle ||\cdot ||_{k}}$ ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots}$${\ Displaystyle U \ podzbiór X}$${\displaystyle u\w u}$${\ Displaystyle K \ geq 0}$${\displaystyle r>0}$${\ Displaystyle \ {v \ w X: \ | vu \ | _ {k} <r {\ tekst {dla wszystkich}} k \ równoważnik K \}}$${\ Displaystyle U}$
3. jest zupełna w odniesieniu do rodziny półnorm.

Rodzina seminorm na daje topologię Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ bigcap _ {\ | \, \ cdot \, \ | \ w {\ mathcal {P}}} \ {x \ w X: \ | x \ | = 0 \} = \ {0 \}. }$

Sekwencja in zbiega się w przestrzeni Frécheta określonej przez rodzinę półnorm wtedy i tylko wtedy, gdy zbiega się względem każdej z podanych półnorm. ${\ Displaystyle x_ {\ pocisk} = \ lewo (x_ {n} \ prawo) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Jak błoniaste przestrzenie Baire

Porównanie do przestrzeni Banacha

W przeciwieństwie do przestrzeni Banacha , pełna metryka translacji-niezmiennicza nie musi wynikać z normy. Jednak topologia przestrzeni Frécheta wynika zarówno z całkowitej paranormy, jak i F -normy ( F oznacza Frécheta).

Chociaż topologiczna struktura przestrzeni Frecheta jest bardziej skomplikowana niż w przestrzeniach Banacha ze względu na potencjalny brak normy, wiele ważnych wyników w analizie funkcjonalnej, jak twierdzenie o odwzorowaniu otwartym , w Twierdzenie o wykresie domkniętym , a twierdzenia Banacha-Steinhausa , Nadal trzymać.

Konstruowanie przestrzeni Fréchet

Przypomnijmy, że półnorma jest funkcją od przestrzeni wektorowej do liczb rzeczywistych spełniającą trzy własności. Dla wszystkich i wszystkich skalarów${\displaystyle \|\cdot \|}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle x,y\wX}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \|x\|\geq 0}$

${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$

${\displaystyle \|c\cdot x\|=|c|\|x\|}$

Jeśli rzeczywiście sugeruje, że wtedy jest w rzeczywistości normą. Jednak seminormy są przydatne, ponieważ umożliwiają nam konstruowanie przestrzeni Frécheta w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ | x \ | = 0}$${\displaystyle x=0,}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

Aby skonstruować przestrzeń Frécheta, zwykle zaczyna się od przestrzeni wektorowej i definiuje się policzalną rodzinę półnorm o następujących dwóch właściwościach: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}}$${\ Displaystyle X}$

• jeśli i dla wszystkich to ;${\ Displaystyle x \ w X}$${\ Displaystyle \ | x \ | _ {k} = 0}$${\displaystyle k\geq 0,}$${\displaystyle x=0}$
• jeśli jest sekwencją, w której jest Cauchy w odniesieniu do każdej półnormy, to istnieje taka, która zbiega się w odniesieniu do każdej półnormy${\ Displaystyle x_ {\ pocisk} = \ lewo (x_ {n} \ prawo) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k},}$${\ Displaystyle x \ w X}$${\ Displaystyle x_ {\ pocisk} = \ lewo (x_ {n} \ prawo) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}.}$

Następnie topologia indukowana przez te seminormy (jak wyjaśniono powyżej) zamienia się w przestrzeń Frécheta; pierwsza własność zapewnia, że ​​jest to Hausdorff, a druga zapewnia, że ​​jest kompletna. Kompletną metrykę niezmienną translacji indukującą tę samą topologię można następnie zdefiniować przez: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle d (x, y) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {-k} {\ Frac {\ | xy \ | _ {k}} {1 + \ | xy \ |_{k}}}\qquad x,y\w X.}$

Funkcja mapuje monotonicznie do, a więc powyższa definicja zapewnia, że jest "mała" wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje "duża" taka, która jest "mała" dla${\ Displaystyle u \ mapsto {\ Frac {u} {1 + u}}}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\ Displaystyle [0,1)}$${\displaystyle d(x,y)}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle \ | xy \ | _ {k}}$${\ Displaystyle k = 0 \ ldots, K.}$

Przykłady

Z czystej analizy funkcjonalnej

• Każda przestrzeń Banacha jest przestrzenią Frécheta, ponieważ norma indukuje metrykę niezmienną translacji, a przestrzeń jest zupełna względem tej metryki.
• Przestrzeń wszystkich wartościach rzeczywistych sekwencji${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ omega}}$ staje się przestrzenią Fréchet jeśli określenie -tym naczepa normy sekwencji być wartość bezwzględna w -tego elementu sekwencji. Zbieżność w tej przestrzeni Frécheta jest równoważna zbieżności elementarnej.${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Z gładkich rozdzielaczy

• Przestrzeń wektorowa wszystkich funkcji nieskończenie różniczkowalnych staje się przestrzenią Frécheta z seminormami ${\displaystyle C^{\infty}([0,1])}$${\displaystyle f:[0,1]\do \mathbb {R}}$

  ${\ Displaystyle \ | f \ | _ {k} = \ sup \ {| f ^ {(k)} (x) |: x \ w [0,1] \}}$

  dla każdej nieujemnej liczby całkowitej Tutaj oznacza -tą pochodną i W tej przestrzeni Frécheta ciąg funkcji zbiega się w kierunku elementu wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej nieujemnej liczby całkowitej ciąg jest zbieżny jednostajnie .${\displaystyle k.}$${\ Displaystyle f ^ {(k)}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f ^ {(0)} = f.}$${\ Displaystyle \ lewo (f_ {n} \ prawo) \ do f}$${\ Displaystyle f \ w C ^ {\ infty} ([0,1])}$${\displaystyle k\geq 0,}$${\ Displaystyle \ lewo (f_ {n} ^ {(k)} \ prawej) \ do f ^ {(k)}}$
• Przestrzeń wektorowa wszystkich funkcji nieskończenie różniczkowalnych staje się przestrzenią Frécheta z seminormami ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$

  ${\ Displaystyle \ | f \ | _ {k, n} = \ sup \ {| f ^ {(k)} (x) |: x \ w [-n, n] \}}$

  dla wszystkich liczb całkowitych Następnie sekwencja funkcji zbiega się wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego sekwencje są zbieżne compactly .${\displaystyle k,n\geq 0.}$${\ Displaystyle \ lewo (f_ {n} \ prawo) \ do f}$${\displaystyle k,n\geq 0,}$${\ Displaystyle \ lewo (f_ {n} ^ {(k)} \ prawej) \ do f ^ {(k)}}$
• Przestrzeń wektorowa funkcji wszechczasów w sposób ciągły różniczkowalnych staje się przestrzenią Frécheta z półnormami ${\ Displaystyle C ^ {m} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$

  ${\ Displaystyle \ | f \ | _ {k, n} = \ sup \ {| f ^ {(k)} (x) |: x \ w [-n, n] \}}$

  dla wszystkich liczb całkowitych i${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle k=0,\ldots,m.}$
• Jeśli jest zwartą - rozmaitością i jest przestrzenią Banacha , to zbiór wszystkich nieskończenie często różniczkowalnych funkcji można przekształcić w przestrzeń Frécheta, używając jako półnorm supremacji norm wszystkich pochodnych cząstkowych. Jeśli jest (niekoniecznie zwartą) -rozmaitością, która dopuszcza policzalny ciąg zwartych podzbiorów, tak że każdy zwarty podzbiór zawiera się w co najmniej jednym, to przestrzenie i są również przestrzenią Frécheta w naturalny sposób. W szczególnym przypadku, każda gładka, skończenie wymiarowa, kompletna rozmaitość może być przekształcona w takie zagnieżdżone połączenie kompaktowych podzbiorów: wyposażyć go w metrykę Riemanna, która skłania do wyboru metryki i pozwolić ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M, B)}$${\displaystyle f:M\do B}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle K ^ {n}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle K ^ {n}}$${\ Displaystyle C ^ {m} (M, B)}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M, B)}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle x\wm}$

  ${\ Displaystyle K_ {n} = \ {y \ w M | d (x, y) \ leq n \} \.}$

  Pozwolić być zwarta - kolektor i pakiet wektor nad Let oznaczają przestrzeń gładkich odcinkach ponad Wybierz riemannowskiej metryki i połączeń, które są gwarantowane, aby istnieć, na wiązkach i Jeśli to odcinek, oznaczają jego j ^th pochodna kowariantna przez Następnie ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (X, V)}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle X.}$${\displaystyle TX}$${\ Displaystyle V.}$${\displaystyle s}$${\ Displaystyle D ^ {j} s.}$

  ${\ Displaystyle \ | s \ | _ {n} = \ suma _ {j = 0} ^ {n} \ sup _ {x \ w M} | D ^ {j} s |}$

  (gdzie |⋅| jest normą indukowaną przez metrykę Riemanna) jest rodziną półnorm tworzących przestrzeń Frécheta.${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M, V)}$

Od holomorfizmu

• Niech będzie przestrzenią całych (wszędzie holomorficznych ) funkcji na płaszczyźnie zespolonej. Potem rodzina seminorm ${\ Displaystyle H}$

  ${\ Displaystyle \ | f \ | _ {n} = \ sup \ {| f (z) |: | z | \ leq n \}}$

  sprawia, że w przestrzeń frécheta.${\ Displaystyle H}$
• Niech ' będzie przestrzenią całych (wszędzie holomorficznych) funkcji typu wykładniczego Następnie rodzina seminorm ${\ Displaystyle H}$ ${\displaystyle \tau.}$

  ${\ Displaystyle \ | f \ | _ {n} = \ sup _ {z \ w \ mathbb {C}} \ exp \ lewo [- \ lewo (\ tau + {\ Frac {1} {n}} \ prawo )|z|\prawo]|f(z)|}$

  sprawia, że w przestrzeń frécheta.${\ Displaystyle H}$

Nie wszystkie przestrzenie wektorowe z pełnymi metrykami niezmiennymi w translacji są przestrzeniami Frécheta. Przykładem jest przestrzeń${\ Displaystyle L ^ {p} ([0,1])}$ z Chociaż ta przestrzeń nie jest lokalnie wypukła, jest to przestrzeń F . ${\displaystyle p<1.}$

Własności i dalsze pojęcia

Jeśli przestrzeń Frécheta dopuszcza ciągłą normę, możemy przyjąć, że wszystkie półnormy są normami, dodając ciągłą normę do każdej z nich. Przestrzeni Banacha, z zwarty, a wszyscy przyznają normy, natomiast i nie. ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} ([a, b]),}$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (X, V)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ omega}}$${\displaystyle C(\mathbb {R})}$

Zamknięta podprzestrzeń przestrzeni Frécheta jest przestrzenią Frécheta. Iloraz przestrzeni Frécheta przez zamkniętą podprzestrzeń jest przestrzenią Frécheta. Bezpośrednia suma skończonej liczby przestrzeni Frécheta jest przestrzenią Frécheta.

Produktem niezliczonej ilości przestrzeni Frécheta jest zawsze znowu przestrzeń Frécheta. Jednak arbitralny iloczyn przestrzeni Frécheta będzie przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie z wyjątkiem co najwyżej przeliczalnie wielu z nich są trywialne (to znaczy mają wymiar 0). W konsekwencji iloczyn nieprzeliczalnie wielu nietrywialnych przestrzeni Frécheta nie może być przestrzenią Frécheta (w rzeczywistości taki iloczyn nie jest nawet metryzowalny, ponieważ jego pochodzenie nie może mieć policzalnej podstawy sąsiedztwa). Na przykład, jeśli jest dowolnym zbiorem i jest dowolną nietrywialną przestrzenią Frécheta (jak na przykład), to iloczyn przestrzeni Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem policzalnym. ${\displaystyle I\neq \varnic}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} }$${\ Displaystyle X ^ {I} = \ prod _ {i \ w I} X}$${\ Displaystyle I}$

Kilka ważnych narzędzi analizy funkcjonalnej, które opierają się na twierdzeniu o kategorii Baire'a, pozostaje prawdziwych w przestrzeniach Frécheta; przykładami są twierdzenie o grafach zamkniętych i twierdzenie o odwzorowaniu otwartym .

Wszystkie przestrzenie Frécheta są przestrzeniami stereotypowymi . W teorii przestrzeni stereotypowych przestrzenie Frécheta są obiektami dualnymi do przestrzeni Braunera .

Każdy ograniczony operator liniowy z przestrzeni Frécheta do innej topologicznej przestrzeni wektorowej (TVS) jest ciągły.

Istnieje przestrzeń Frécheta mająca ograniczony podzbiór, a także gęstą podprzestrzeń wektorową , która nie jest zawarta w zamknięciu (w ) żadnego ograniczonego podzbioru${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle M.}$

Wszystkie metryzowalne przestrzenie Montela są rozdzielne . Oddzielenia przestrzeni Fréchet jest przestrzeń Montel, wtedy i tylko wtedy, gdy każda osłabienie siły * zbieżny sekwencja swoich ciągłych podwójnych zbieżny jest silnie zbieżny .

Mocny podwójny przestrzeń o przestrzeń frécheta (i bardziej ogólnie, o dowolnej metryzowalnej lokalnie wypukłej przestrzeni) jest DF-space . Silnym dualem przestrzeni DF jest przestrzeń Frécheta. Silnym dualem przestrzeni refleksyjnej Frécheta jest przestrzeń bornologiczna i przestrzeń Ptak . Każda przestrzeń Frécheta to przestrzeń Ptaka. Silny bidual (czyli silna przestrzeń dualna silnej przestrzeni dualnej) przestrzeni metryzowalnej lokalnie wypukłej jest przestrzenią Frécheta. ${\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle X}$

Normy i normowalność

Jeśli jest przestrzenią lokalnie wypukłą, to topologia może być zdefiniowana przez rodzinę ciągłych norm na ( norma jest dodatnio określoną seminormą ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje co najmniej jedna ciągła norma na Nawet jeśli przestrzeń Frécheta ma topologia, która jest zdefiniowana przez (policzalną) rodzinę norm (wszystkie normy są również seminormami), to może jednak nadal nie być przestrzenią normowalną (co oznacza, że ​​jej topologii nie można zdefiniować przez żadną pojedynczą normę). Przestrzeń wszystkich sekwencji (o topologii produkt) jest przestrzenią Fréchet. Nie istnieje żadna lokalnie wypukła topologia Hausdorffa, która byłaby ściślejsza niż ta topologia produktu. Przestrzeń nie jest normowalna , co oznacza, że ​​jej topologii nie można zdefiniować żadną normą . Ponadto nie istnieje żadna ciągła norma na W rzeczywistości, jak pokazuje poniższe twierdzenie, ilekroć jest przestrzeń Frécheta, na której nie istnieje żadna ciągła norma, jest to całkowicie spowodowane obecnością jako podprzestrzeni. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X.}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}.}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$

Jeżeli jest nienormalną przestrzenią Frécheta, na której istnieje ciągła norma, to zawiera zamkniętą podprzestrzeń wektorową, która nie ma uzupełnienia topologicznego . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Metryzowalnej lokalnie wypukła przestrzeń jest normable wtedy i tylko wtedy, gdy silny podwójny przestrzeń jest Fréchet-Urysohn lokalnie wypukła przestrzeń. W szczególności, jeśli lokalnie wypukła przestrzeń metryzowalna (taka jak przestrzeń Frécheta) nie jest normowalna (co może się zdarzyć tylko wtedy, gdy jest nieskończenie wymiarowa), to jej silna przestrzeń dualna nie jest przestrzenią Frécheta-Urysohna, a w konsekwencji ta kompletna lokalnie wypukła przestrzeń Hausdorffa nie jest też ani metryzowalny, ani normalny. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$

Silne podwójnego miejsca w przestrzeni Frechet (i bardziej ogólnie, bornological przestrzeniach , takich jak metryzowalnej TVSS) zawsze jest pełna TVS i tak jak wszystkie pełne TVS jest normable wtedy i tylko wtedy, gdy topologii może być indukowane przez pełnej normy ( to znaczy wtedy i tylko wtedy, gdy można go przekształcić w przestrzeń Banacha o tej samej topologii). Jeśli jest przestrzenią Frécheta, to jest normowalne wtedy (i tylko wtedy), gdy w jej ciągłej podwójnej przestrzeni istnieje pełna norma, tak że topologia indukowana przez normę na jest drobniejsza niż topologia słabego-*. W konsekwencji, jeśli przestrzeń Frécheta nie jest normalna (co może się zdarzyć tylko wtedy, gdy jest nieskończenie wymiarowa), to nie jest też jej silna podwójna przestrzeń. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'}$

Twierdzenie Andersona-Kadeca

Należy zauważyć, że opisany w homeomorfizm Andersona Kadec twierdzenie nie koniecznie liniowe.

Zróżnicowanie funkcji

Jeżeli i to obowiązuje Frechet, to przestrzeń składającą wszystkich ciągłych map liniowych od celu jest nie przestrzeń Fréchet w żaden sposób naturalny. Jest to główna różnica między teorią przestrzeni Banacha a teorią przestrzeni Frécheta i wymaga innej definicji ciągłej różniczkowalności funkcji zdefiniowanych na przestrzeniach Frécheta, pochodnej Gateaux : ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle L (X, Y)}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

Załóżmy, że jest otwartym podzbiorem przestrzeni Frecheta jest funkcja wycenione w przestrzeń frécheta i Mapa jest różniczkowalna na w kierunku jeśli granica${\ Displaystyle U}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P:U\do Y}$${\displaystyle Y,}$ ${\ Displaystyle x \ w U}$${\displaystyle h\w X.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle h}$

${\ Displaystyle D (P) (x) (h) = \ Lim _ {t \ do 0} \ {\ Frac {1} {t}} \ lewo (P (x + th) - P (x) \ Prawidłowy)}$

istnieje. Mapa mówi się ciągle różniczkowalna w razie mapie ${\displaystyle P}$${\ Displaystyle U}$

${\ Displaystyle D (P): U \ razy X \ do Y}$

jest ciągły. Ponieważ iloczyn przestrzeni Frécheta jest znowu przestrzenią Frécheta, możemy spróbować rozróżnić i zdefiniować w ten sposób wyższe pochodne . ${\ Displaystyle D (P)}$${\displaystyle P}$

Operator pochodnej zdefiniowany przez sam jest nieskończenie różniczkowalny. Pierwsza pochodna jest dana przez ${\ Displaystyle P: C ^ {\ infty} ([0,1]) \ do C ^ {\ infty} ([0,1])}$${\ Displaystyle P (f) = f'}$

${\ Displaystyle D (P) (f) (h) = h'}$

dla dowolnych dwóch elementów Jest to główna przewaga przestrzeni Frécheta nad przestrzenią Banacha dla skończonych${\ Displaystyle f, h \ w C ^ {\ infty} ([0,1]).}$${\displaystyle C^{\infty}([0,1])}$${\ Displaystyle C ^ {k} ([0,1])}$${\displaystyle k.}$

Jeśli jest funkcją ciągle różniczkowalną, to równanie różniczkowe${\displaystyle P:U\do Y}$

${\ Displaystyle x '(t) = P (x (t)), \ quad x (0) = x_ {0} \ w U}$

nie muszą mieć żadnych rozwiązań, a nawet jeśli, to rozwiązania nie muszą być unikalne. Stoi to w jaskrawym kontraście do sytuacji w przestrzeniach Banacha.

Ogólnie rzecz biorąc, twierdzenie o funkcji odwrotnej nie jest prawdziwe w przestrzeniach Frécheta, chociaż częściowym substytutem jest twierdzenie Nasha-Mosera .

Rozmaitości Frécheta i grupy Liego

Można zdefiniować rozmaitości Frécheta jako przestrzenie, które „lokalnie wyglądają jak” przestrzenie Frécheta (podobnie jak zwykłe rozmaitości definiuje się jako przestrzenie, które lokalnie wyglądają jak przestrzeń euklidesowa ), a następnie można rozszerzyć koncepcję grupy Liego na te rozmaitości. Jest to przydatne, ponieważ dla danej (zwykłej) zwartej rozmaitości zbiór wszystkich dyfeomorfizmów tworzy w tym sensie uogólnioną grupę Liego, a ta grupa Liego wychwytuje symetrie. Niektóre relacje między algebrami Liego i grupami Liego pozostają ważne w tym układzie. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\displaystyle M}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle f: M \ do M}$${\ Displaystyle M.}$

Innym ważnym przykładem grupy Fréchet Lie jest grupa pętli zwartej grupy Liego gładkie ( ) odwzorowania pomnożone punktowo przez${\displaystyle G}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ gamma: S ^ {1} \ do G}$${\ Displaystyle \ lewo (\ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ prawo) (t) = \ gamma _ {1} (t) \ gamma _ {2} (t)..}$

Uogólnienia

Jeśli zrezygnujemy z wymagania, aby przestrzeń była lokalnie wypukła, otrzymamy F-przestrzenie : przestrzenie wektorowe z pełnymi metrykami niezmienniczymi translacji.

Przestrzenie LF są policzalnymi indukcyjnymi granicami przestrzeni Frécheta.

Zobacz też

• Przestrzeń Banacha  – znormalizowana przestrzeń wektorowa, która jest zupełna
• Przestrzeń Braunera
• Kompletna przestrzeń metryczna  – Geometria metryczna
• Kompletna topologiczna przestrzeń wektorowa  — TVS, w której punkty coraz bardziej zbliżające się do siebie będą zawsze zbiegać się do punktu
• F-space  – Topologiczna przestrzeń wektorowa z pełną metryką translacji-niezmienniczości
• Krata Frécheta
• Stopniowana przestrzeń Frécheta
• Przestrzeń Hilberta  – Uogólnienie przestrzeni euklidesowej dopuszczającej nieskończone wymiary
• Lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa  – Przestrzeń wektorowa o topologii określonej przez wypukłe zbiory otwarte
• Metryzowalna topologiczna przestrzeń wektorowa  – topologiczna przestrzeń wektorowa, której topologię można zdefiniować za pomocą metryki
• Surjekcja przestrzeni Frécheta  – Charakterystyka suriektywizmu
• Oswojona przestrzeń Frécheta
• Topologiczna przestrzeń  wektorowa – Przestrzeń wektorowa z pojęciem bliskości

Uwagi

Cytaty

Bibliografia

• „Przestrzeń Frécheta” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Berberyjski, Sterling K. (1974). Wykłady z analizy funkcjonalnej i teorii operatorów . Teksty magisterskie z matematyki. 15 . Nowy Jork: Springer. Numer ISBN 978-0-387-90081-0. 878109401 OCLC  .
• Bourbaki, Nicolas (1987) (1981). Sur sures espaces vectoriels topologiques [ Topologiczne przestrzenie wektorowe: rozdziały 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Elementy matematyczne . 2 . Przetłumaczone przez Eggleston, HG; Madan, S. Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Conway, John (1990). Kurs analizy funkcjonalnej . Teksty magisterskie z matematyki . 96 (wyd. 2). Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Edwards, Robert E. (1995). Analiza funkcjonalna: teoria i zastosowania . Nowy Jork: Dover Publikacje. Numer ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Grothendieck Aleksander (1973). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Przetłumaczone przez Chaljuba, Orlando. Nowy Jork: Gordon and Breach Science Publishers. Numer ISBN 978-0-677-30020-7. 886098 OCLC  .
• Jarchów, Hans (1981). Przestrzenie lokalnie wypukłe . Stuttgart: BG Teubner. Numer ISBN 978-3-519-02224-4. 8210342 OCLC  .
• Khaleelulla, SM (1982). Kontrprzykłady w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Notatki do wykładu z matematyki . 936 . Berlin, Heidelberg, Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-3-540-11565-6. 8588370 OCLC  .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologiczne przestrzenie wektorowe I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159 . Przetłumaczone przez Garlinga, DJH New York: Springer Science & Business Media. Numer ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. drugie). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Pressley, Andrzej; Segal, Graeme (1986). Grupy pętli . Oksfordzkie Monografie Matematyczne. Oksfordzkie publikacje naukowe. Nowy Jork: Oxford University Press . Numer ISBN 0-19-853535-X. MR  0900587 .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Cambridge Tracts w matematyce . 53 . Cambridge Anglia: Cambridge University Press . Numer ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matth . Numer ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schäfer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Odcisk Springer. Numer ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Siergiejew, Armen (2010). Geometria przestrzeni pętli Kählera . Towarzystwo Matematyczne Japonii Pamiętniki. 23 . Światowe Wydawnictwo Naukowe . doi : 10.1142/e023 . Numer ISBN 978-4-931469-60-0.
• Adasza, Norberta; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topologiczne przestrzenie wektorowe: teoria bez warunków wypukłości . Notatki z wykładu z matematyki. 639 . Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003 .
• Swartz, Karol (1992). Wprowadzenie do analizy funkcjonalnej . Nowy Jork: M. Dekker. Numer ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publikacje. Numer ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Wilansky, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .