Rozmaitość Riemanna - Riemannian manifold

W geometrii różniczkowej , A Riemanna kolektora lub Riemanna przestrzeń ( M , g ) jest prawdziwy , gładka kolektora M wyposażonej dodatniego określony wewnętrzny produkt g p w przestrzeni stycznej T s M w każdym punkcie P . Powszechnie przyjmuje się, że g jest gładkie, co oznacza, że ​​dla dowolnego gładkiego wykresu współrzędnych ( U , x ) na M , n 2 funkcji

płynnymi funkcjami . W ten sam sposób , wśród wielu innych możliwości , można również rozważyć metryki Lipschitz Riemanna lub mierzalne metryki Riemanna.

Rodzina g p iloczynów wewnętrznych nazywana jest metryką riemannowską (lub tensorem metrycznym riemannowskim) . Terminy te noszą imię niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna . Badanie rozmaitości riemannowskich stanowi przedmiot zwany geometrią riemannowską .

Riemanna metryczne (napinacz) sprawia, że możliwe jest zdefiniowanie wielu pojęć geometrycznych na kolektorze w Riemanna, takich jak kąt na skrzyżowaniu, długość łuku , obszar części powierzchni i analogi wyżej płaszczyznach ( objętości , etc.), zewnątrzpochodną krzywiznę z podrozmaitości i wewnętrzną krzywiznę samej rozmaitości.

Wstęp

W 1828 roku Carl Friedrich Gauss udowodnił swoje Theorema Egregium („niezwykłe twierdzenie” po łacinie), ustanawiając ważną właściwość powierzchni. Nieformalnie twierdzenie mówi, że krzywiznę powierzchni można całkowicie określić, mierząc odległości wzdłuż ścieżek na powierzchni. Oznacza to, że krzywizna nie zależy od tego, jak powierzchnia może być osadzona w przestrzeni trójwymiarowej. Zobacz Różnicowa geometria powierzchni . Bernhard Riemann rozszerzył teorię Gaussa na przestrzenie wyżej-wymiarowe zwane rozmaitościami w sposób, który umożliwia również pomiar odległości i kątów oraz zdefiniowanie pojęcia krzywizny, ponownie w sposób, który jest nieodłączny dla rozmaitości i nie zależy od jej osadzenia w przestrzenie wyższych wymiarów. Albert Einstein wykorzystał teorię rozmaitości pseudo-riemannowskich (uogólnienie rozmaitości riemannowskich) do rozwinięcia swojej ogólnej teorii względności . W szczególności jego równania grawitacji są ograniczeniami krzywizny czasoprzestrzeni.

Definicja

Wiązka styczna z gładka kolektora przypisuje każdemu punktowi w przestrzeni wektorowej zwanej przestrzeni stycznej z co Riemanna metrycznych (jego definicji) przydziela się do każdej dodatniej określony produkt wewnętrzna wraz z której przychodzi normy określonej przez The wygładzenia kolektora , charakteryzujący z tego wskaźnika jest Riemanna kolektora , oznaczone .

Przy danym układzie gładkich współrzędnych lokalnych na danych funkcjach o wartościach rzeczywistych wektory

tworzą bazę przestrzeni wektorowej dla dowolnego Względem tej bazy można zdefiniować „składowe” tensora metrycznego w każdym punkcie przez

Można je traktować jako pojedyncze funkcje lub jako pojedynczą funkcję o wartościach macierzowych, zważywszy , że założenie „Riemanna” mówi, że jest ona wyceniana w podzbiorze składającym się z symetrycznych dodatnio określonych macierzy.

Pod względem tensora algebry The tensor metryczny mogą być napisane w warunkach podwójnej podstawy {d x 1 , ..., d x n } wiązki cotangent jako

Izometrie

Jeśli i to dwa kolektory Riemanna, z pomocą dyfeomorfizmu , wtedy nazywa się isometry jeśli IE jeśli

dla wszystkich i

Mówi się, że mapa, której nie zakłada się, że jest dyfeomorfizmem, jest lokalną izometrią, jeśli każda ma otwarte sąsiedztwo, takie jak dyfeomorfizm i izometria.

Regularność metryki riemannowskiej

Jeden mówi, że metryka riemannowska jest ciągła, jeśli jest ciągła, gdy otrzymamy dowolny gładki wykres współrzędnych. Jeden mówi, że jest gładka, jeśli te funkcje są gładkie, gdy otrzymamy dowolny gładki wykres współrzędnych. W tym duchu można by również rozważyć wiele innych rodzajów metryk riemannowskich.

W większości opisów geometrii riemannowskiej metryki są zawsze uważane za gładkie. Mogą jednak istnieć ważne powody, dla których warto rozważyć metryki, które są mniej płynne. W szczególności metryki riemannowskie wytworzone metodami analizy geometrycznej mogą być mniej niż gładkie. Zobacz na przykład (Gromov 1999) i (Shi i Tam 2002).

Przegląd

Przykłady rozmaitości riemannowskich zostaną omówione poniżej. Słynny twierdzenie o John Nash twierdzi, że biorąc pod uwagę każdej gładkiej rozmaitość riemannowska jest (zazwyczaj duże) numer i osadzania tak, że wycofywanie się banków o standardowej riemannowskiej ON metrycznej jest Nieformalnie, cała konstrukcja z gładkiego riemannowskiej kolektora może być kodowany przez dyfeomorfizm do pewnej osadzonej podrozmaitości pewnej przestrzeni euklidesowej. W tym sensie można argumentować, że z rozważania abstrakcyjnych, gładkich rozmaitości i ich metryk riemannowskich nie można nic zyskać. Istnieje jednak wiele naturalnych, gładkich rozmaitości riemannowskich, takich jak zbiór rotacji przestrzeni trójwymiarowej i przestrzeń hiperboliczna , których każda reprezentacja jako podrozmaitość przestrzeni euklidesowej nie odda ich niezwykłych symetrii i własności tak wyraźnie, jak ich abstrakcyjne. prezentacje tak.

Przykłady

Przestrzeń euklidesowa

Pozwolić oznaczają standardowe współrzędne dotyczące Następnie określić przez

Inaczej sformułowane: w stosunku do standardowych współrzędnych, lokalna reprezentacja jest podana przez stałą wartość

Jest to wyraźnie metryka riemannowska i nazywana jest standardową strukturą riemannowską. Jest również określana jako przestrzeń euklidesowa wymiaru n, a g ij can jest również nazywana (kanoniczną) metryką euklidesową .

Wbudowane podrozmaitości

Pozwolić być Riemanna kolektora i puszczeniu być osadzony podrozmaitością z których co najmniej wtedy ograniczenie od g do wektorów styczna wzdłuż N wyznacza się metrykę Riemanna N .

  • Rozważmy na przykład, który jest gładko osadzonym podrozmaitością przestrzeni euklidesowej ze standardową metryką. Metryka riemannowska, którą to wywołuje, nazywana jest metryką standardową lub metryką kanoniczną on
  • Istnieje wiele podobnych przykładów. Na przykład każda elipsoida ma naturalną metrykę Riemanna. Wykres funkcji gładkiej jest osadzonym podrozmaitością, a więc ma również naturalną metrykę Riemanna.

Zanurzenia

Niech będzie rozmaitością Riemanna i niech będzie odwzorowaniem różniczkowalnym. Następnie można rozważyć pullback z urządzeń , który jest symetryczny 2 napinacz na określone

gdzie jest odwzorowanie styczne z przez

W tym ustawieniu generalnie nie będzie to metryka riemannowska, ponieważ nie jest ona określona dodatnio. Na przykład, jeśli jest stała, to jest zero. W rzeczywistości jest metryką Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy jest immersją , co oznacza, że ​​mapa liniowa jest iniektywna dla każdego

  • Ważny przykład pojawia się, gdy nie jest po prostu połączony, więc istnieje mapa pokrycia. Jest to immersja, a więc uniwersalne pokrycie dowolnej rozmaitości riemannowskiej automatycznie dziedziczy metrykę riemannowską. Bardziej ogólnie, ale na tej samej zasadzie, każda przestrzeń pokrywająca rozmaitość riemannowska dziedziczy metrykę riemannowską.
  • Również zanurzony podrozmaitość rozmaitości riemannowskiej dziedziczy metrykę riemannowską.

Wskaźniki produktu

Niech i będą dwiema rozmaitościami Riemanna i rozważmy iloczyn kartezjański o gładkiej strukturze zwykłego iloczynu. Metryki Riemanna i naturalnie umieścić metrykę Riemanna, na której można opisać na kilka sposobów.

  • Biorąc pod uwagę rozkład można zdefiniować:
  • Niech będzie gładkim wykresem współrzędnych włączonym i niech będzie gładkim wykresem współrzędnym włączonym Wtedy będzie gładki wykres współrzędnych włączonym Dla wygody oznaczmy zbiór dodatnio-określonych symetrycznych macierzy rzeczywistych. Oznacza reprezentację współrzędnych względem przez i oznaczają reprezentację współrzędnych względem poprzez Następnie lokalny reprezentację współrzędnych względem jest podaje

Standardowym przykładem jest rozważenie n-torusa zdefiniowanego jako iloczyn n-krotny. Jeśli da się każdą kopię swojej standardowej metryki Riemanna, uważając ją za osadzony podrozmaitość (jak wyżej), wtedy można rozważyć iloczyn metryki riemannowskiej na Nazywa się płaskim torusa .

Wypukłe kombinacje metryk

Niech i będą dwiema metrykami Riemanna na Then, dla dowolnej liczby

jest również metryką riemannowską na Bardziej ogólnie, jeśli i są dwiema liczbami dodatnimi, to jest to kolejna metryka riemannowska.

Każdy gładki kolektor ma metrykę Riemanna

To fundamentalny wynik. Chociaż wiele podstawowych teorii metryk riemannowskich można opracować tylko przy użyciu tego, że rozmaitość gładka jest lokalnie euklidesowa, dla uzyskania tego wyniku konieczne jest uwzględnienie w definicji „rozmaitości gładkiej”, że jest to rozmaitość Hausdorffa i parakompaktowa. Powodem jest to, że dowód wykorzystuje podział jedności .

Dowód  —

Niech M będzie rozmaitością różniczkowalną i {( U α , φ α ) | a-I } a lokalnie skończonych Atlas otwartych podzbiorów U a o M a Dyfeomorfizm na otwartych podzbiorów R n

Niech { τ α } αI będzie różniczkowalnym podziałem jedności podporządkowanym danemu atlasowi.

Następnie zdefiniuj metrykę g na M przez

gdzie g can jest metryką euklidesową na R n i jest jej cofnięciem wzdłuż φ β .

Jest to łatwo postrzegane jako metryka na M .

Metryczna struktura przestrzenna ciągłych połączonych rozmaitości riemannowskich

Długość odcinkowo bezstopniowo różniczkowalnych krzywych

Jeżeli jest różniczkowalna, to przypisuje każdemu wektor w przestrzeni wektorowej, którego wielkość może być mierzona przez normę. Tak definiuje funkcję nieujemną na przedziale Długość jest zdefiniowana jako całka tej funkcji; jednak, jak przedstawiono tutaj, nie ma powodu, aby oczekiwać, że funkcja ta będzie całkowalna. Typowe jest założenie, że g jest ciągła i ciągle różniczkowalna, tak że funkcja, która ma być całkowana, jest nieujemna i ciągła, a stąd długość

jest dobrze zdefiniowany. Tę definicję można łatwo rozszerzyć, aby zdefiniować długość dowolnej odcinkowo-ciągle różniczkującej się krzywej.

W wielu przypadkach, na przykład przy definiowaniu tensora krzywizny Riemanna , konieczne jest wymaganie, aby g miało więcej regularności niż zwykłą ciągłość; zostanie to omówione w innym miejscu. Na razie ciągłość g wystarczy, aby wykorzystać długość zdefiniowaną powyżej, aby nadać M strukturę przestrzeni metrycznej , pod warunkiem, że jest ona połączona.

Metryczna struktura przestrzeni

Dokładnie zdefiniuj przez

W większości łatwo jest sprawdzić dobrze zdefiniowaną funkcję, jej właściwość symetrii, właściwość zwrotności i nierówność trójkąta, chociaż istnieją pewne drobne komplikacje techniczne (takie jak sprawdzenie, czy dowolne dwa punkty mogą być połączone odcinkowo różniczkowalną ścieżką). Bardziej fundamentalne jest zrozumienie, że zapewnia, a zatem spełnia wszystkie aksjomaty metryki.

Obserwacja leżąca u podstaw powyższego dowodu, dotycząca porównania między długościami mierzonymi przez gi długościami euklidesowymi mierzonymi na gładkim wykresie współrzędnych, potwierdza również, że topologia przestrzeni metrycznej pokrywa się z pierwotną topologiczną strukturą przestrzeni

Chociaż długość krzywej jest podana za pomocą wyraźnego wzoru, generalnie niemożliwe jest wypisanie funkcji odległości żadnymi wyraźnymi środkami. W rzeczywistości, jeśli jest zwarty, to nawet gdy g jest gładkie, zawsze istnieją punkty, w których jest nieróżniczkowalna i może być niezwykle trudne nawet określenie położenia lub charakteru tych punktów, nawet w pozornie prostych przypadkach, takich jak kiedy jest elipsoida.

Geodezja

Jak w poprzednim akapicie, niech będzie spójną i ciągłą rozmaitością Riemanna; rozważ powiązaną przestrzeń metryczną W odniesieniu do tej struktury przestrzeni metrycznej, mówi się, że ścieżka jest geodezją o prędkości jednostkowej, jeśli dla każdego istnieje przedział, który zawiera i takie, że

Nieformalnie można powiedzieć, że prosi się o lokalne „rozciągnięcie się” tak bardzo, jak to możliwe, z zastrzeżeniem (nieformalnie rozważanego) ograniczenia prędkości jednostkowej. Chodzi o to, że jeśli jest (odcinkowo) ciągle różniczkowalna i dla wszystkich, to automatycznie ma się to przez zastosowanie nierówności trójkąta do aproksymacji sumy Riemanna całki definiującej długość Tak więc warunek geodezyjny prędkości jednostkowej, jak podano powyżej, jest wymagany i musi być jak najdalej od siebie. Fakt, że szukamy tylko krzywych do lokalnego rozciągnięcia, odzwierciedlają pierwsze dwa przykłady podane poniżej; globalny kształt może zmusić nawet najbardziej niewinnych geodetów do wygięcia się i przecięcia się.

  • Rozważmy przypadek, w którym jest okrąg ze standardową metryką Riemanna i jest podany przez Recall, który jest mierzony długościami krzywych wzdłuż , a nie liniami prostymi w płaszczyźnie. Ten przykład pokazuje również konieczność wybrania podprzedziału, ponieważ krzywa powtarza się z powrotem w szczególnie naturalny sposób.
  • Podobnie, jeśli jest okrągłą sferą o standardowej metryce riemannowskiej, to ścieżka prędkości jednostkowej po okręgu równikowym będzie geodezyjna. Ścieżka prędkości jednostkowej wzdłuż innych okręgów równoleżnikowych nie będzie geodezyjna.
  • Rozważ przypadek, który dotyczy standardowej metryki Riemanna. Wtedy linia prędkości jednostkowej, taka jak geodezyjna, ale krzywa z pierwszego przykładu powyżej nie jest.

Należy zauważyć, że geodezja o prędkości jednostkowej, jak tutaj zdefiniowano, jest z konieczności ciągła, aw rzeczywistości Lipschitz , ale niekoniecznie są one różniczkowalne lub cząstkowe.

Twierdzenie Hopfa-Rinowa

Jak wyżej, niech będzie spójną i ciągłą rozmaitością Riemanna. Twierdzenie Hopfa-Rinowa w tym układzie mówi, że (Gromov 1999)

  • jeśli przestrzeń metryczna jest kompletna (tj. każda sekwencja -Cauchy'ego jest zbieżna) wtedy
    • każdy zamknięty i ograniczony podzbiór jest zwarty.
    • biorąc pod uwagę, że istnieje geodezyjna prędkość jednostkowa od do takiej, że dla wszystkich

Istotą dowodem jest to, że gdy pierwsza połowa jest ustalone, jeden może zastosować bezpośrednio twierdzenie Arzelà-Ascoli w kontekście zwartej metryczną do sekwencji odcinkowo w sposób ciągły różniczkowalnymi krzywych jednostka prędkości od do którego długość w przybliżeniu wynikowa granica następcza jest pożądaną geodezją.

Ważna jest zakładana kompletność . Rozważmy na przykład przypadek, w którym jest przebita płaszczyzna ze standardową metryką Riemanna, a jedna bierze i Nie ma geodezyjnej prędkości jednostkowej z jednej do drugiej.

Średnica

Niech będzie spójną i ciągłą rozmaitością Riemanna. Podobnie jak w przypadku każdej przestrzeni metrycznej, można zdefiniować średnicę, która ma być

Twierdzenie Hopfa-Rinowa pokazuje, że jeśli jest zupełny i ma skończoną średnicę, to jest zwarty. I odwrotnie, jeśli jest zwarta, to funkcja ma maksimum, ponieważ jest funkcją ciągłą na zwartej przestrzeni metrycznej. Dowodzi to następującego stwierdzenia:

  • Jeśli jest zupełny, to jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy ma skończoną średnicę.

Nie jest tak bez założenia o kompletności; jako kontrprzykłady można by rozważyć dowolny otwarty ograniczony podzbiór przestrzeni euklidesowej ze standardową metryką Riemanna.

Zauważ, że bardziej ogólnie iz tym samym jednowierszowym dowodem, każda kompaktowa przestrzeń metryczna ma skończoną średnicę. Jednak następujące stwierdzenie jest fałszywe : „Jeżeli przestrzeń metryczna jest kompletna i ma skończoną średnicę, to jest zwarta”. Jako przykład kompletnej i niezwartej przestrzeni metrycznej o skończonej średnicy rozważ

o jednolitej metryce

Tak więc, chociaż wszystkie terminy w powyższym wniosku z twierdzenia Hopfa-Rinowa dotyczą tylko struktury przestrzeni metrycznej , ważne jest, aby metryka była indukowana ze struktury Riemanna.

Metryki riemannowskie

Kompletność geodezyjna

Riemanna kolektora M jest geodesically kompletna , jeśli dla wszystkich PM The wykładniczy mapę exp P określa się dla wszystkich v ∈ T p M , to znaczy jeśli każdy geodezyjnej γ ( t ), wychodząc z p jest określony dla wszystkich wartości parametru tR . Twierdzenie Hopfa-Rinowa twierdzi, że M jest geodezyjnie zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełny jako przestrzeń metryczna .

Jeśli M jest zupełne, to M jest nierozszerzalne w tym sensie, że nie jest izometryczne do otwartej właściwej podrozmaitości jakiejkolwiek innej rozmaitości riemannowskiej. Nie jest jednak prawdą odwrotną: istnieją rozmaitości nierozszerzalne, które nie są zupełne.

Rozmaitości nieskończenie wymiarowe

Powyższe twierdzenia i twierdzenia dotyczą rozmaitości skończenie wymiarowych — rozmaitości, których wykresy odwzorowują otwarte podzbiory . Można je rozszerzyć do pewnego stopnia na rozmaitości nieskończenie wymiarowe; czyli rozmaitości modelowane według topologicznej przestrzeni wektorowej ; na przykład rozmaitości Frécheta , Banacha i Hilberta .

Definicje

Metryki riemannowskie są definiowane w sposób podobny do przypadku skończenie wymiarowego. Istnieje jednak rozróżnienie między dwoma typami metryk riemannowskich:

  • Słabe metryki Riemanna na jest gładka funkcja , na przykład, że dla każdego ograniczenia jest wewnętrzny produkt o .
  • Silne Riemanna metryczny w to słabe metryki Riemanna, tak że wywołuje topologię . Zauważ, że jeśli nie jest rozmaitością Hilberta, to nie może być silną metryką.

Przykłady

  • Jeśli jest przestrzenią Hilberta , to dla każdego , można się utożsamiać z . Ustawiając na wszystko , uzyskuje się silną metrykę Riemanna.
  • Niech będzie zwartą rozmaitością Riemanna i oznaczmy ją grupą dyfeomorfizmu. Jest to gładka rozmaitość ( patrz tutaj ) iw rzeczywistości grupa Liego . Jego wiązka styczna w tożsamości jest zbiorem gładkich pól wektorowych na . Niech będzie formą objętości na . Następnie można zdefiniować , słabą metrykę Riemanna, na . Niech , . Następnie za i zdefiniuj

Metryczna struktura przestrzeni

Długość krzywych definiowana jest w sposób podobny do przypadku skończenie wymiarowego. Funkcja jest zdefiniowana w ten sam sposób i nazywana jest odległością geodezyjną . W przypadku skończonych wymiarów dowód, że ta funkcja jest metryką, wykorzystuje istnienie przedzwartego zbioru otwartego wokół dowolnego punktu. W przypadku nieskończonym zbiory otwarte nie są już wstępnie zwarte, więc to stwierdzenie może się nie powieść.

  • Jeśli jest silną metryką Riemanna na , to oddziela punkty (stąd jest metryką) i indukuje pierwotną topologię.
  • Jeśli jest słabą metryką Riemanna, ale nie jest silna, może nie oddzielić punktów lub nawet ulec degeneracji.

Przykład tego ostatniego można znaleźć w Valentino i Daniele (2019).

Twierdzenie Hopfa-Rinowa

W przypadku silnych metryk riemannowskich część skończonego wymiaru Hopfa-Rinowa nadal działa.

Twierdzenie : Niech będzie silną rozmaitością Riemanna. Wtedy kompletność metryczna (w metryce ) implikuje kompletność geodezyjną (geodezja istnieje przez cały czas). Dowód można znaleźć w (Lang 1999, rozdział VII, sekcja 6). Inne stwierdzenia przypadku skończenie wymiarowego mogą zawieść. Przykład można znaleźć tutaj .

Jeśli jest słabą metryką Riemanna, to żadne pojęcie kompletności nie implikuje ogólnie tego drugiego.

Zobacz też

Bibliografia

  • Lee, John M. (2018). Wprowadzenie do Rozmaitości Riemanna . Springer-Verlag . Numer ISBN 978-3-319-91754-2.
  • do Carmo, Manfredo (1992). Geometria riemannowska . Bazylea: Birkhäuser. Numer ISBN 978-0-8176-3490-2.
  • Gromow, Misza (1999). Struktury metryczne dla przestrzeni riemannowskich i nieriemannowskich (na podstawie oryginalnego wyd. francuskiego z 1981 r.). Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA. Numer ISBN 0-8176-3898-9.
  • Jost, Jürgen (2008). Geometria riemannowska i analiza geometryczna (wyd. 5). Berlin: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-3-540-77340-5.
  • Shi, Yuguang; Tam, Luen-Fai (2002). „Twierdzenie o masie dodatniej i zachowania brzegowe zwartych rozmaitości z nieujemną krzywizną skalarną”. J. Geom różniczkowy . 62 (1): 79-125.
  • Lang, Serge (1999). Podstawy geometrii różniczkowej . Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 978-1-4612-0541-8.
  • Magnani, Valentino; Tyberio, Daniele (2020). „Uwaga o zanikających odległościach geodezyjnych w nieskończonych wymiarach”. Proc. Amer. Matematyka. Soc . 148 (1): 3653–3656.

Zewnętrzne linki