Zwarty zbieżność - Compact convergence

W matematyce kompaktowej konwergencji (lub zbieżności na zbiorach zwartych ) to rodzaj zbieżności która uogólnia idei zbieżności . Jest to związane z topologią zwarto-otwartą .

Definicja

Niech być przestrzenią topologiczną i będzie przestrzenią metryczną . Sekwencja funkcji ${\ Displaystyle (X {\ mathcal {T}})}$${\ Displaystyle (Y, d_ {T})}$

${\ Displaystyle F_ {n} X \ Y}$, ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

mówi się, że zbiegają się zwięźle jak do jakiejś funkcji , jeśli na każdym zbiorze zwartym , ${\ Displaystyle \ ni \ infty}$${\ Displaystyle f: X \ Y}$ ${\ Displaystyle K \ X} subseteq$

${\ Displaystyle F_ {n} | _ {k} \ do F | _ {k}}$

jest zbieżny jednostajnie na tak . Oznacza to, że dla wszystkich kompaktowy , ${\ K} displaystyle$${\ Displaystyle \ ni \ infty}$${\ Displaystyle K \ X} subseteq$

${\ Displaystyle \ _ lim {n \ z \ infty} \ sup _ {x \ K} d_ {T} \ lewo ({n} f_ (x), f (x) \ prawej) = 0.}$

Przykłady

• Jeśli i ze zwykłej topologii, z , a następnie zbiega kompaktowo do stałej funkcji o wartości 0, ale nie jednolicie.${\ Displaystyle X = (0,1) \ podzbiór \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle Y = \ mathbb {R}}$${\ F_ displaystyle {A} (x) = x ^ {n}}$${\ Displaystyle F_ {n}}$
• Jeśli , a , a zbieżna punktowo do funkcji, która jest zero w jeden z , ale sekwencja nie zbiegają zwarty.${\ Displaystyle X = (0,1]}$${\ Displaystyle Y = \ mathbb {R}}$${\ F_ displaystyle {A} (x) = x ^ {n}}$${\ Displaystyle F_ {n}}$${\ Displaystyle (0,1)}$${\ 1} displaystyle$
• To bardzo potężne narzędzie do pokazywania kompaktowy zbieżność jest twierdzenie Arzelà-Ascoli . Istnieje kilka wersji tego twierdzenia, z grubsza mówiąc stwierdza, że każda sekwencja equicontinuous i wspólnie ograniczone map ma podciąg zbieżny do pewnego kompaktowo ciągłego mapie.

Nieruchomości

• Jeśli równomiernie, a następnie zwięźle.${\ F_ displaystyle {A} \ f}$${\ F_ displaystyle {A} \ f}$
• Jeśli jest zwarta i zwięźle, a następnie równomiernie.${\ Displaystyle (X {\ mathcal {T}})}$${\ F_ displaystyle {A} \ f}$${\ F_ displaystyle {A} \ f}$
• Jeśli jest lokalnie zwarta , a następnie zwięźle wtedy i tylko wtedy lokalnie jednostajnie.${\ Displaystyle (X {\ mathcal {T}})}$${\ F_ displaystyle {A} \ f}$${\ F_ displaystyle {A} \ f}$
• Jeśli jest to k-przestrzeń , zwarty, a każdy jest ciągły , a następnie w sposób ciągły.${\ Displaystyle (X {\ mathcal {T}})}$${\ F_ displaystyle {A} \ f}$${\ Displaystyle F_ {n}}$${\ Displaystyle f}$

Zobacz też

• Sposoby zbieżności (opisywane index)
• Twierdzenie Montela

Referencje

• R. Remmert Teoria złożonych funkcji (Springer 1991) p. 95