Matematyka podstawowa - Elementary mathematics

Kolekcja kształtów geometrycznych . Wszystkie kształty danego koloru są podobne do siebie. Kształty i podstawowa geometria to ważne tematy matematyki elementarnej.

Obie grupy są równe 5. Jabłka są często używane do wyjaśnienia arytmetyki w podręcznikach dla dzieci.

Matematyka podstawowa składa się z przedmiotów matematycznych często nauczanych na poziomie szkoły podstawowej lub średniej .

W kanadyjskim programie nauczania jest sześć podstawowych elementów matematyki elementarnej: liczby, algebra, dane, zmysł przestrzenny, znajomość finansów oraz społeczne emocjonalne umiejętności uczenia się i procesy matematyczne. Te sześć wątków jest przedmiotem zainteresowania edukacji matematycznej od klasy 1 do klasy 8.

W szkole średniej głównymi tematami matematyki na poziomie podstawowym od klasy dziewiątej do dziesiątej są: poczucie liczb i algebra, relacje liniowe, pomiary i geometria. Gdy uczniowie wejdą do klasy jedenastej i dwunastej, uczniowie rozpoczynają zajęcia przygotowujące do uniwersytetu i college'u, które obejmują: Funkcje, Rachunek i wektory, Funkcje zaawansowane i Zarządzanie danymi.

Aspekty matematyki elementarnej

Number Sense i numeracja

Number Sense to rozumienie liczb i operacji. W sensie liczbowym i numeracji uczniowie rozwijają rozumienie liczb, ucząc się różnych sposobów przedstawiania liczb, a także relacji między liczbami.

Własności liczb naturalnych, takie jak podzielność i rozkład liczb pierwszych , są badane w podstawowej teorii liczb , innej części matematyki elementarnej.

Elementarne skupienie

• Liczydło
• LCM
• Ułamki zwykłe i dziesiętne
• Wartość miejsca i wartość nominalna
• Dodawanie i odejmowanie
• Mnożenie i dzielenie
• Liczyć pieniądze
• Rachunkowość
• Algebra
• Reprezentowanie i porządkowanie numerów
• Doceniający
• Rozwiązywanie problemów

Aby mieć solidne podstawy matematyczne i odnosić sukcesy w innych dziedzinach, uczniowie muszą mieć podstawową wiedzę na temat zmysłu liczb i numeracji.

Zmysł przestrzenny

Umiejętności i koncepcje pomiarowe lub zmysł przestrzenny są bezpośrednio związane ze światem, w którym żyją uczniowie. Wiele pojęć, których uczą się studenci w tym zakresie, jest również wykorzystywanych w innych przedmiotach, takich jak nauki ścisłe, nauki społeczne i wychowanie fizyczne. W części pomiarowej uczniowie uczą się mierzalnych atrybutów obiektów, oprócz podstawowego systemu metrycznego.

Elementarne skupienie

• Standardowe i niestandardowe jednostki miary
• wskazywanie czasu przy użyciu zegara 12-godzinnego i 24-godzinnego
• porównywanie obiektów za pomocą mierzalnych atrybutów
• pomiar wysokości, długości, szerokości
• centymetry i metry
• masa i pojemność
• zmiana temperatury
• dni, miesiące, tygodnie, lata
• odległości w kilometrach
• mierzenie kilogramów i litrów
• określenie obszaru i obwodu
• określanie gramów i mililitrów
• określanie pomiarów za pomocą kształtów takich jak trójkątny pryzmat

Nić pomiarowa składa się z wielu form pomiaru, jak stwierdza Marian Small: „Pomiar to proces przypisywania jakościowego lub ilościowego opisu wielkości do obiektu na podstawie określonej cechy”.

Równania i wzory

Formuła to byt skonstruowany przy użyciu symboli i reguł tworzenia danego języka logicznego . Na przykład, określenie objętości o zakresie wymaga znacznych ilości całkowego lub jego geometrycznych analogu w sposobie wyczerpania ; ale zrobiwszy to raz w odniesieniu do jakiegoś parametru ( na przykład promienia ), matematycy stworzyli wzór opisujący objętość: Ten konkretny wzór to:

V = 4 / 3 π r ³

Równanie to formuła w postaci A  =  B , gdzie A i B to wyrażenia, które mogą zawierać jedną lub kilka zmiennych zwanych niewiadomymi , a „=” oznacza binarną relację równości . Chociaż równanie jest napisane w formie zdania , to nie jest stwierdzeniem, które jest prawdziwe lub fałszywe, ale problemem polegającym na znalezieniu wartości, zwanych rozwiązaniami , które po zastąpieniu niewiadomych dają równe wartości wyrażeń A i B. . Na przykład, 2 unikalne rozwiązanie w równaniu x  + 2 = 4, w którym brak jest x .

Dane

Przykładowy histogram wysokości 31 drzew czeremchy . Histogramy są popularnym narzędziem do przedstawiania danych.

Danych jest zestaw z wartościami z jakościowych lub ilościowych zmiennych ; ponownie, fragmenty danych są pojedynczymi informacjami . Dane do obliczania (lub przetwarzanie danych ) jest reprezentowana w strukturze , która jest często tabelarycznej (przedstawiciele rzędów i kolumn ), A drzewa (a zestaw z węzłami z macierzystych - dzieci związku ) lub wykresu (zestaw połączonych węzłów). Dane są zwykle wynikiem pomiarów i można je wizualizować za pomocą wykresów lub obrazów .

Dane jako pojęcie abstrakcyjne można postrzegać jako najniższy poziom abstrakcji , z którego pochodzą informacje, a następnie wiedza .

Podstawowa geometria dwuwymiarowa

Geometria dwuwymiarowa to gałąź matematyki zajmująca się kwestiami kształtu, rozmiaru i względnego położenia figur dwuwymiarowych. Podstawowe tematy matematyki elementarnej obejmują wielokąty, okręgi, obwód i pole.

Wielobok , który jest ograniczony przez skończoną łańcucha prostych odcinków zamykającej w pętli tworzą zamknięty łańcuch lub obwód . Segmenty te nazywane są jego krawędziami lub bokami , a punkty, w których spotykają się dwie krawędzie, to wierzchołki wielokąta (liczba pojedyncza: wierzchołek) lub narożniki . Wnętrze wielokąta nazywane jest czasem jego ciałem . N gon jest wielokątem o n bokach. Wielokąt to dwuwymiarowy przykład bardziej ogólnego polytopea w dowolnej liczbie wymiarów.

Koła jest prosty kształt z dwóch wymiarów geometrycznych , która to zbiór wszystkich punktów na powierzchni , które są w pewnym odstępie od danego momencie centrum .Powierzchnia odległość pomiędzy dowolnymi punktami a środek nazywa się promienia . Można go również zdefiniować jako miejsce punktu w równej odległości od stałego punktu.

Obwód jest ścieżka, która otacza dwuwymiarowy kształt . Termin ten może być używany zarówno dla ścieżki, jak i jej długości - można go traktować jako długość obrysu kształtu. Obwód koła lub elipsy nazywany jest jego obwodem .

Powierzchnia to wielkość wyrażająca zasięg dwuwymiarowej figury lub kształtu . Istnieje kilka dobrze znanych wzorów na obszary o prostych kształtach, takich jak trójkąty , prostokąty i koła .

Proporcje

Dwie wielkości są proporcjonalne, jeśli zmianie jednej zawsze towarzyszy zmiana w drugiej i jeśli zmiany są zawsze powiązane przez zastosowanie stałego mnożnika. Stała nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności lub stałą proporcjonalności .

• Jeśli jedna wielkość jest zawsze iloczynem drugiej i jest stałą, mówi się, że są one wprost proporcjonalne . x i y są wprost proporcjonalne, jeśli stosunek jest stały. ${\ displaystyle {\ tfrac {y} {x}}}$
• Jeśli iloczyn tych dwóch wielkości jest zawsze równy stałej, mówi się, że są one odwrotnie proporcjonalne . x i y są odwrotnie proporcjonalne, jeśli iloczyn jest stały. ${\ displaystyle xy}$

Geometria analityczna

współrzędne kartezjańskie

Geometria analityczna to badanie geometrii za pomocą układu współrzędnych . Kontrastuje to z syntetyczną geometrią .

Zwykle kartezjański układ współrzędnych jest stosowany do manipulowania równaniami dla płaszczyzn , linii prostych i kwadratów , często w dwóch, a czasem w trzech wymiarach. Geometrycznie, badamy płaszczyznę euklidesową (2 wymiary) i przestrzeń euklidesową (3 wymiary). Jak naucza się w podręcznikach szkolnych, geometrię analityczną można wyjaśnić prościej: dotyczy ona definiowania i reprezentowania kształtów geometrycznych w sposób numeryczny oraz wydobywania informacji liczbowych z numerycznych definicji i reprezentacji kształtów.

Transformacje to sposoby przesuwania i skalowania funkcji przy użyciu różnych wzorów algebraicznych.

Liczby ujemne

Liczba ujemna jest liczbą rzeczywistą , która jest mniej niż zerowa . Takie liczby są często używane do przedstawienia kwoty straty lub nieobecności. Na przykład zadłużenie, które jest zadłużone, może być traktowane jako aktywa ujemne, a zmniejszenie pewnej ilości może być traktowane jako wzrost ujemny. Liczby ujemne służą do opisywania wartości w skali poniżej zera, takich jak skale Celsjusza i Fahrenheita dla temperatury.

Potęgi i rodniki

Potęgowanie to operacja matematyczna , zapisywana jako b ⁿ , obejmująca dwie liczby, podstawę b i wykładnik (lub potęgę ) n . Gdy n jest liczbą naturalną (tj. Liczbą całkowitą dodatnią ), potęgowanie odpowiada powtórzonemu mnożeniu podstawy: to znaczy b ⁿ jest iloczynem mnożenia n podstaw:

${\ Displaystyle b ^ {n} = \ underbrace {b \ razy \ cdots \ razy b} _ {n}}$

Korzenie są przeciwieństwem wykładników. N-ty pierwiastek o numerze x (napisany ) jest liczbą R , które, gdy podniesione do potęgi n plony  x . To jest, ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}}}$

${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = r \ iff r ^ {n} = x,}$

gdzie n jest stopniem korzenia. Pierwiastek z stopnia 2 nazywamy pierwiastkiem kwadratowym, a pierwiastek z stopnia 3, czyli pierwiastkiem sześciennym . Korzenie wyższym stopniu określane są za pomocą numerów porządkowych, jak w czwartym korzenia , XX korzenia itd

Na przykład:

• 2 to pierwiastek kwadratowy z 4, ponieważ 2 ² = 4.
• −2 to także pierwiastek kwadratowy z 4, ponieważ (−2) ² = 4.

Kompas i prosta krawędź

Kompas-and-straightedge, znany również jako konstrukcja linijki i kompasu, to konstrukcja długości, kątów i innych figur geometrycznych przy użyciu tylko wyidealizowanej linijki i kompasu .

Wyidealizowanego władca, znany jako liniału , zakłada się nieskończoną długość, a nie ma żadnego oznaczenia na nim i tylko jedną krawędź. Zakłada się, że kompas zwija się po podniesieniu ze strony, więc nie można go bezpośrednio używać do przenoszenia odległości. (Jest to nieistotne ograniczenie, ponieważ za pomocą procedury wieloetapowej można przenieść odległość nawet przy zapadaniu się kompasu, patrz twierdzenie o równoważności kompasu ). Bardziej formalnie, jedynymi dopuszczalnymi konstrukcjami są te, które zostały nadane przez pierwsze trzy postulaty Euklidesa .

Kongruencja i podobieństwo

Dwie figury lub przedmioty są przystające, jeśli mają ten sam kształt i rozmiar lub jeśli jedna ma ten sam kształt i rozmiar, co lustrzane odbicie drugiej. Bardziej formalnie, dwa zbiory punktów nazywane są przystającymi wtedy i tylko wtedy, gdy jeden można przekształcić w drugi za pomocą izometrii , tj. Kombinacji sztywnych ruchów , a mianowicie przesunięcia , obrotu i odbicia . Oznacza to, że położenie każdego obiektu można zmienić i odbić (ale nie zmienić jego rozmiaru), tak aby dokładnie pokrywał się z innym obiektem. Tak więc dwie różne figury płaskie na kartce papieru są przystające, jeśli możemy je wyciąć, a następnie całkowicie dopasować. Odwrócenie papieru jest dozwolone.

Dwa obiekty geometryczne nazywane są podobnymi, jeśli oba mają ten sam kształt lub jeden ma ten sam kształt co lustrzane odbicie drugiego. Dokładniej, jeden można uzyskać od drugiego przez równomierne skalowanie (powiększanie lub zmniejszanie), ewentualnie z dodatkowym przesunięciem , obrotem i odbiciem . Oznacza to, że każdy obiekt można przeskalować, zmienić położenie i odbić, tak aby dokładnie pokrywał się z innym obiektem. Jeśli dwa obiekty są podobne, każdy jest zgodny z wynikiem jednolitego skalowania drugiego.

Trójwymiarowa geometria

Geometria bryłowa była tradycyjną nazwą geometrii trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . Stereometrii zajmuje się pomiarów z wielkości różnych liczb stałych ( trójwymiarowe figury) oraz piramidy , walców , stożków , ścięte stożki , kulek i słupków .

Liczby wymierne

Liczba wymierna to dowolna liczba, którą można wyrazić jako iloraz lub ułamek p / q dwóch liczb całkowitych , przy czym mianownik q jest różny od zera. Ponieważ q może być równe 1, każda liczba całkowita jest liczbą wymierną. Zbiór liczb wymiernych jest zazwyczaj oznaczona przez pogrubioną Q (lub tablica pogrubione ). ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Wzorce, relacje i funkcje

Wzór jest dostrzegalna prawidłowość w świecie lub w sztucznie projektu. W związku z tym elementy wzoru powtarzają się w przewidywalny sposób. Wzór geometryczny jest rodzajem wzorca tworzy geometryczne kształty i zazwyczaj powtarzania jak tapeta .

Związek w zbiorze A jest zbiór uporządkowanych par pierwiastków A . Innymi słowy, jest to podzbiór z produktu kartezjańskiego ² = x A . Typowe relacje obejmują podzielność między dwiema liczbami i nierówności.

Funkcja jest relacja między zestawem wejść i wyjść zestawu dopuszczalnych z własności, że każde wejście jest związane z dokładnie jednym wyjściu. Przykładem jest funkcja, która wiąże każdą liczbę rzeczywistą x z jej kwadratem x ² . Wyjście funkcji f odpowiadające wejściu x jest oznaczone przez f ( x ) (czytaj " f z x "). W tym przykładzie, jeśli dane wejściowe to −3, to na wyjściu jest 9 i możemy zapisać f (−3) = 9. Zmienne wejściowe są czasami nazywane argumentami funkcji.

Zbocza i trygonometria

Nachylenie linii jest liczbą, która opisuje zarówno kierunek i nachylenie linii. Nachylenie jest często oznaczane literą m .

Trygonometria jest gałęzią matematyki , że badania z udziałem relacje długości i kąty z trójkątów . Dziedzina ta pojawiła się w III wieku pne z zastosowania geometrii do badań astronomicznych. Stok jest badany w klasie 8.

Stany Zjednoczone

W Stanach Zjednoczonych istnieje duże zaniepokojenie niskim poziomem podstawowych umiejętności matematycznych u wielu uczniów w porównaniu z uczniami z innych krajów rozwiniętych. Program No Child Left Behind był jedną z prób rozwiązania tego problemu, wymagając, aby wszyscy amerykańscy uczniowie byli egzaminowani z matematyki elementarnej.

Bibliografia