Kształt - Shape

Zabawka dziecięca służąca do nauki różnych kształtów

Kształt lub postać jest postacią przedmiotu lub jego brzegu zewnętrznego zarysu lub zewnętrznej powierzchni , w przeciwieństwie do innych właściwości, takich jak kolor , tekstura , albo materiał typu. Kształt płaszczyzny , kształt dwuwymiarowy lub kształt 2D ( płaszczyzną , postać dwuwymiarowej lub Figura 2D ) jest przytwierdzona leżeć w płaszczyźnie , w przeciwieństwie do bryłą S.

Klasyfikacja prostych kształtów

Różnorodne wielokątne kształty.

Niektóre proste kształty można podzielić na szerokie kategorie. Na przykład wielokąty są klasyfikowane według liczby krawędzi jako trójkąty , czworokąty , pięciokąty itp. Każdy z nich jest podzielony na mniejsze kategorie; trójkąty mogą być równoboczne , równoramienny , tępy , ostry , różnoboczny itp podczas czworoboków może prostokąty , rombami , trapezy , kwadraty itd

Inne popularne kształty to punkty , linie , płaszczyzny i przekroje stożkowe, takie jak elipsy , okręgi i parabole .

Wśród najczęstszych kształtów trójwymiarowych są wielościany , które są kształtami o płaskich ścianach; elipsoidy , które są obiektami w kształcie jajka lub kuli; cylindry ; i szyszki .

Jeśli obiekt należy do jednej z tych kategorii dokładnie lub nawet w przybliżeniu, możemy go użyć do opisania kształtu obiektu. Tak więc mówimy, że kształt pokrywy włazu jest dyskiem , ponieważ jest w przybliżeniu tym samym obiektem geometrycznym, co rzeczywisty dysk geometryczny.

W geometrii

Kształty geometryczne w 2 wymiarach: równoległobok , trójkąt i okrąg
Kształty geometryczne w 3 wymiarach: piramida , kula i sześcian

Kształt geometryczny jest geometryczne informacji, które pozostaje po położenie , waga , orientację oraz odbicia są usuwane z opisu geometryczny . Oznacza to, że wynik przesuwania kształtu, powiększania go, obracania lub odbijania w lustrze ma taki sam kształt jak oryginał, a nie wyraźny kształt.

Wiele dwuwymiarowych kształtów geometrycznych można zdefiniować za pomocą zestawu punktów lub wierzchołków i linii łączących punkty w zamkniętym łańcuchu, a także wynikowych punktów wewnętrznych. Takie kształty nazywane są wielokątami i obejmują trójkąty , kwadraty i pięciokąty . Inne kształty mogą być ograniczone krzywymi, takimi jak okrąg lub elipsa .

Wiele trójwymiarowych kształtów geometrycznych można zdefiniować za pomocą zestawu wierzchołków, linii łączących wierzchołki i dwuwymiarowych ścian otoczonych tymi liniami, a także wynikowych punktów wewnętrznych. Takie kształty nazywane są wielościanami i obejmują sześciany oraz piramidy, takie jak czworościany . Inne trójwymiarowe kształty mogą być ograniczone przez zakrzywione powierzchnie, takie jak elipsoida i kula .

Mówi się, że kształt jest wypukły, jeśli wszystkie punkty na odcinku między dowolnymi dwoma jego punktami są również częścią kształtu.

Nieruchomości

Figurki pokazane w tym samym kolorze mają ten sam kształt i podobno są podobne.

Istnieje kilka sposobów porównywania kształtów dwóch obiektów:

  • Congruence : dwa obiekty są przystające, jeśli jeden może zostać przekształcony w drugi przez sekwencję obrotów, translacji i/lub odbić.
  • Podobieństwo : dwa obiekty są podobne, jeśli jeden można przekształcić w drugi za pomocą jednolitego skalowania, wraz z sekwencją obrotów, translacji i/lub odbić.
  • Izotopia : dwa obiekty są izotopowe, jeśli jeden może zostać przekształcony w drugi przez sekwencję deformacji, które nie rozrywają obiektu ani nie robią w nim dziur.

Czasami dwa podobne lub przystające obiekty mogą być uważane za mające inny kształt, jeśli do przekształcenia jednego w drugi wymagane jest odbicie. Na przykład litery „ b ” i „ d ” są odzwierciedleniem siebie nawzajem, a zatem są przystające i podobne, ale w niektórych kontekstach nie są uważane za mające ten sam kształt. Czasami tylko obrys lub zewnętrzna granica przedmiotu jest brana pod uwagę, aby określić jego kształt. Na przykład pustą kulę można uznać za taką, która ma taki sam kształt jak kula pełna. Analiza Prokrustesa jest wykorzystywana w wielu naukach do określenia, czy dwa obiekty mają ten sam kształt, lub do pomiaru różnicy między dwoma kształtami. W zaawansowanej matematyce quasi-izometria może być używana jako kryterium do stwierdzenia, że ​​dwa kształty są w przybliżeniu takie same.

Proste kształty często można podzielić na podstawowe obiekty geometryczne, takie jak punkt , linia , krzywa , płaszczyzna , figura płaska (np. kwadrat lub okrąg ) lub bryła (np. sześcian lub kula ). Jednak większość kształtów występujących w świecie fizycznym jest złożona. Niektóre, takie jak struktury roślinne i linie brzegowe, mogą być tak skomplikowane, że zaprzeczają tradycyjnemu opisowi matematycznemu – w takim przypadku mogą być analizowane za pomocą geometrii różniczkowej lub jako fraktale .

Równoważność kształtów

W geometrii dwa podzbiory przestrzeni euklidesowej mają ten sam kształt, jeśli jeden z nich może zostać przekształcony w drugi przez kombinację przesunięć , obrotów (razem nazywanych także transformacjami sztywnymi ) i jednorodnych skalowań . Innymi słowy, kształt zbioru punktów to cała informacja geometryczna, która jest niezmienna dla przesunięć, obrotów i zmian wielkości. Posiadanie tego samego kształtu jest relacją równoważności , a zatem można podać dokładną matematyczną definicję pojęcia kształtu jako klasy równoważności podzbiorów przestrzeni euklidesowej o tym samym kształcie.

Matematyk i statystyk David George Kendall pisze:

W tym artykule „kształt” jest używany w sensie wulgarnym i oznacza to, czego normalnie można by od niego oczekiwać. [...] Nieformalnie definiujemy tutaj „kształt” jako „wszystkie informacje geometryczne, które pozostają, gdy lokalizacja, skala i efekty rotacji są odfiltrowywane z obiektu”.

Kształty obiektów fizycznych są równe, jeśli podzbiory przestrzeni zajmowane przez te obiekty spełniają powyższą definicję. W szczególności kształt nie zależy od wielkości i umiejscowienia w przestrzeni obiektu. Na przykład „ d ” i „ p ” mają ten sam kształt, ponieważ można je idealnie nałożyć, jeśli „ d ” zostanie przesunięte w prawo o określoną odległość, obrócone do góry nogami i powiększone o określony współczynnik (patrz Procrustes nałożenie szczegółów). Jednak lustrzane odbicie można nazwać innym kształtem. Na przykład „ b ” i „ p ” mają inny kształt, przynajmniej gdy są zmuszone do poruszania się w dwuwymiarowej przestrzeni, takiej jak strona, na której zostały napisane. Mimo że mają ten sam rozmiar, nie ma możliwości ich idealnego nałożenia, przekładając je i obracając wzdłuż strony. Podobnie w trójwymiarowej przestrzeni prawa ręka i lewa ręka mają inny kształt, nawet jeśli są swoimi lustrzanymi odbiciami. Kształty mogą się zmieniać, jeśli obiekt jest skalowany nierównomiernie. Na przykład sfera staje się elipsoidą, gdy jest różnie skalowana w kierunku pionowym i poziomym. Innymi słowy, zachowanie osi symetrii (jeśli istnieją) jest ważne dla zachowania kształtów. Ponadto kształt jest określany tylko przez zewnętrzną granicę obiektu.

Zgodność i podobieństwo

Obiekty, które mogą być przekształcane w siebie za pomocą przekształceń sztywnych i odbicia lustrzanego (ale nie skalowania) są przystające . Obiekt jest zatem zgodny ze swoim lustrzanym odbiciem (nawet jeśli nie jest symetryczny), ale nie z wersją przeskalowaną. Dwa przystające obiekty zawsze mają ten sam kształt lub kształty odbicia lustrzanego i mają ten sam rozmiar.

Obiekty, które mają ten sam kształt lub kształty lustrzanego odbicia, są nazywane geometrycznie podobnymi , niezależnie od tego, czy mają ten sam rozmiar, czy nie. Tak więc obiekty, które mogą być przekształcane w siebie za pomocą przekształceń sztywnych, odbicia lustrzanego i jednolitego skalowania, są podobne. Podobieństwo jest zachowane, gdy jeden z obiektów jest skalowany równomiernie, podczas gdy kongruencja nie. Zatem przystające obiekty są zawsze podobne geometrycznie, ale podobne obiekty mogą nie być przystające, ponieważ mogą mieć różną wielkość.

Homeomorfizm

Bardziej elastyczna definicja kształtu uwzględnia fakt, że realistyczne kształty są często odkształcalne, np. osoba w różnych postawach, drzewo uginające się na wietrze czy ręka z różnymi pozycjami palców.

Jednym ze sposobów modelowania ruchów niesztywnych jest homeomorfizm . Z grubsza rzecz biorąc, homeomorfizm to ciągłe rozciąganie i zginanie obiektu w nowy kształt. Tak więc kwadrat i koło są dla siebie homeomorficzne, ale kula i pączek nie. Często powtarzanym matematycznym żartem jest to, że topolodzy nie mogą odróżnić swojej filiżanki od kawy od pączka, ponieważ wystarczająco giętki pączek można przekształcić w filiżankę kawy, tworząc wgłębienie i stopniowo go powiększając, zachowując jednocześnie otwór na pączek w filiżance. uchwyt.

Opisany kształt ma zewnętrzne linie, które możesz zobaczyć i uzupełnić kształt. Jeśli umieszczasz współrzędne i wykres współrzędnych, możesz narysować linie, aby pokazać, gdzie możesz zobaczyć kształt, ale nie za każdym razem, gdy umieszczasz współrzędne na wykresie jako taki, możesz utworzyć kształt. Ten kształt ma kontur i granicę, dzięki czemu można go zobaczyć, a nie tylko zwykłe kropki na zwykłym papierze.

Analiza kształtu

Wspomniane wyżej matematyczne definicje kształtu sztywnego i niesztywnego powstały w dziedzinie statystycznej analizy kształtu . W szczególności analiza Prokrustesa jest techniką wykorzystywaną do porównywania kształtów podobnych obiektów (np. kości różnych zwierząt) lub pomiaru deformacji przedmiotu odkształcalnego. Inne metody są przeznaczone do pracy z obiektami niesztywnymi (podatnymi na zginanie), np. do wyszukiwania kształtu niezależnego od postawy (patrz na przykład Analiza kształtu spektralnego ).

Klasy podobieństwa

Wszystkie podobne trójkąty mają ten sam kształt. Kształty te można klasyfikować za pomocą liczb zespolonych u, v, w dla wierzchołków, w metodzie opracowanej przez JA Lestera i Rafaela Artzy . Na przykład trójkąt równoboczny może być wyrażony przez liczby zespolone 0, 1, (1 + i √3)/2 reprezentujące jego wierzchołki. Lester i Artzy nazywają stosunek

kształt trójkąta ( u, v, w ). Wtedy kształt trójkąta równobocznego to

(0–(1+ √3)/2)/(0–1) = (1 + i √3)/2 = cos(60°) + ja sin(60°) = exp(i π/3).

Dla każdego afinicznej transformacji na płaszczyźnie zespolonej ,   trójkąt przemienia, ale nie zmienia swój kształt. Stąd kształt jest niezmienna od geometrii afinicznej . Kształt p = S( u,v,w ) zależy od kolejności argumentów funkcji S, ale permutacje prowadzą do powiązanych wartości. Na przykład,

Także

Połączenie tych permutacji daje ponadto,

Relacje te są "regułami konwersji" kształtu trójkąta.

Kształt czworokąta jest powiązany z dwiema liczbami zespolonymi p,q . Jeśli czworokąt ma wierzchołki u,v,w,x , to p = S( u,v,w ) i q = S( v,w,x ). Artzy udowadnia te tezy o czworokątnych kształtach:

  1. Jeśli wtedy czworokąt jest równoległobokiem .
  2. Jeśli równoległobok ma | arg p | = | arg q |, to jest romb .
  3. Gdy p = 1 + i oraz q = (1 + i)/2, to czworokąt jest kwadratem .
  4. Jeśli i sgn r = sgn(Im p ), to czworokąt jest trapezem .

Wielokąt ma kształt określony przez n - 2 liczbami zespolonymi wielokątne ograniczającą się wypukły zestaw gdy wszystkie te elementy mają kształt wyimaginowanych części o tym samym znaku.

Ludzka percepcja kształtów

Psychologowie wysnuli teorię, że ludzie mentalnie rozkładają obrazy na proste geometryczne kształty zwane geonami . Przykładami geonów są stożki i kule. Zbadano również szeroki zakres innych reprezentacji kształtu. Cechy kształtu zdają się sprowadzać do trzech podstawowych wymiarów: segmentowalności , zwartości i kolczastości .

Istnieją również wyraźne dowody na to, że kształty kierują ludzką uwagą .

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki

  • Słownikowa definicja kształtu w Wikisłowniku