Jądro (algebra) - Kernel (algebra)

W Algebra The jądro z homomorfizmu (funkcja, która pozwala zachować strukturę ) jest na ogół odwrotną obrazu 0 (z wyjątkiem grup , których działanie jest oznaczona multiplikatywnie jądra, gdzie jest obraz odwrotny do 1). Ważnym przypadkiem specjalnym jest jądro mapy liniowej . Jądro macierzy , zwany także przestrzeń zerowa , jest jądrem mapie liniowym określonym przez matrycę.

Jądro homomorfizmu jest redukowane do 0 (lub 1) wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm jest iniekcyjny , to znaczy jeśli odwrotny obraz każdego elementu składa się z pojedynczego elementu. Oznacza to, że jądro można postrzegać jako miarę stopnia, w jakim homomorfizm nie jest iniekcyjny.

W przypadku niektórych typów struktur, takich jak grupy abelowe i przestrzenie wektorowe , możliwe jądra są dokładnie podstrukturami tego samego typu. Nie zawsze tak jest i czasami możliwe jądra otrzymały specjalną nazwę, taką jak normalna podgrupa dla grup i dwustronne ideały dla pierścieni .

Jądra pozwalają definiować obiekty ilorazowe (zwane także algebrami ilorazowymi w algebrze uniwersalnej i kernelami w teorii kategorii ). Dla wielu typów struktur algebraicznych podstawowe twierdzenie o homomorfizmach (lub pierwszym twierdzeniu o izomorfizmie ) stwierdza, że obraz homomorfizmu jest izomorficzny z ilorazem jądra.

Pojęcie jądra zostało rozszerzone na takie struktury, że odwrotny obraz pojedynczego elementu nie jest wystarczający do rozstrzygnięcia, czy homomorfizm jest iniekcyjny. W takich przypadkach jądro jest relacją kongruencji .

Ten artykuł jest przeglądem niektórych ważnych typów jąder w strukturach algebraicznych.

Przegląd przykładów

Mapy liniowe

Niech V i W są przestrzeni wektorowej ponad pola (lub bardziej ogólnie, moduły ponad pierścień ) i niech t być liniowym od V do W . Jeśli 0 _W jest wektor zerowy z W , a jądro T jest preimage z podprzestrzeni zerowej { 0 _W }; to jest podgrupa o V składający się wszystkich tych elementów V odwzorowanych przez T do elementu 0 _W . Jądro jest zwykle oznaczane jako ker T lub jego pewna odmiana:

${\ Displaystyle \ ker T = \ {\ mathbf {v} \ in V: T (\ mathbf {v}) = \ mathbf {0} _ {W} \}.}$

Od liniową wektorów przetwory map zera, zero wektor 0 _V z V musi należeć do jądra. Transformacja T jest iniekcyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jej jądro jest zredukowane do zerowej podprzestrzeni.

Ker jądro T jest zawsze podprzestrzeń liniowa z V . Dlatego warto mówić o ilorazie przestrzeni V / (ker T ). Pierwszy twierdzenie Izomorfizm dla stanów przestrzenie wektorem, który to odstęp jest iloraz naturalnie izomorficzne z obrazem z T (który jest podprzestrzeń W ). W konsekwencji, wymiar od V równa wymiar jądra plus wymiar obrazu.

Jeśli V i W są skończone i wybrano podstawy , to T można opisać macierzą M , a jądro można obliczyć rozwiązując jednorodny układ równań liniowych M v = 0 . W tym przypadku, jądra , T mogą być identyfikowane z jądra macierzy M , zwany również „przestrzeń pusta” w M . Wymiar przestrzeni zerowej, zwany nieważność M , podaje liczbę kolumn M minus rangi z M , jako konsekwencja twierdzenia szeregowych nieważności .

Rozwiązywanie jednorodnych równań różniczkowych często sprowadza się do obliczenia jądra pewnych operatorów różniczkowych . Na przykład, aby znaleźć wszystkie funkcje podwójnie różniczkowalne f z prostej rzeczywistej do siebie, takie, że

${\ Displaystyle xf '' (x) + 3f '(x) = f (x),}$

niech V będzie przestrzenią wszystkich podwójnie różniczkowalnych funkcji, niech W będzie przestrzenią wszystkich funkcji i zdefiniuj operator liniowy T od V do W przez

${\ Displaystyle (Tf) (x) = xf '' (x) + 3f '(x) -f (x)}$

dla f w V i x dowolna liczba rzeczywista . Następnie wszystkie rozwiązania równania różnicowe w ker T .

W analogiczny sposób można zdefiniować jądra dla homomorfizmów między modułami w pierścieniu . Obejmuje to jądra homomorfizmów między grupami abelowymi jako szczególny przypadek. Ten przykład oddaje istotę jąder w ogólnych kategoriach abelowych ; patrz Kernel (teoria kategorii) .

Homomorfizmy grupowe

Niech G i H są grupy i pozwolić F być homomorfizm grupy od G do H . Jeżeli e _H jest element neutralny od H , to jądro z F jest preimage zestawu jednoelementowy { e _H }; czyli podzbiór G składająca się ze wszystkich tych elementów G odwzorowanych przez F do elementu e _H . Jądro jest zwykle oznaczane jako ker f (lub odmiana). W symbolach:

${\ Displaystyle \ ker f = \ {g \ w G: f (g) = e_ {H} \}.}$

Ponieważ homomorfizm grupowy zachowuje elementy tożsamości, element tożsamości e _G z G musi należeć do jądra. Homomorfizm f jest iniekcyjny wtedy i tylko wtedy, gdy jego jądrem jest tylko zbiór singletonów { e _G }. Jest tak dlatego, że homomorfizm F nie jest za pomocą wstrzyknięć, to istnieje w taki sposób, że . Oznacza to, że jest to równoważne stwierdzeniu, że ponieważ homomorfizmy grupowe przenoszą odwrotności do odwrotności i od . Innymi słowy . I odwrotnie, jeśli istnieje element , to zatem f nie jest iniekcyjne. ${\ Displaystyle a, b \ w G}$${\ displaystyle a \ neq b}$${\ Displaystyle f (a) = f (b)}$${\ Displaystyle f (a) f (b) ^ {- 1} = e_ {H}}$${\ Displaystyle f (ab ^ {- 1}) = e_ {H}}$${\ Displaystyle f (a) f (b ^ {- 1}) = f (ab ^ {- 1})}$${\ displaystyle ab ^ {- 1} \ in \ ker f}$${\ Displaystyle g \ neq e_ {G} \ in \ ker f}$${\ Displaystyle f (g) = f (e_ {G}) = e_ {H}}$

Okazuje się, że ker F nie tylko podgrupę z G , ale w rzeczywistości normalnej podgrupy . Dlatego warto mówić o grupie ilorazów G / (ker f ). Pierwszy twierdzenie Izomorfizm grup wskazuje, że ta grupa jest oczywiście iloraz izomorficzna obrazu f (co jest podgrupa H ).

W szczególnym przypadku grup abelowych działa to dokładnie tak samo, jak w poprzedniej sekcji.

Przykład

Niech G będzie grupą cykliczną na 6 elementach {0,1,2,3,4,5} z dodatkiem modularnym , H będzie grupą cykliczną na 2 elementach {0,1} z dodatkiem modularnym i f homomorfizmem, który odwzorowuje każdy element g z g na element g modulo 2 w H . Następnie ker f = {0, 2, 4}, ponieważ wszystkie te elementy są mapowane do 0 _H . Grupa ilorazów G / (ker f ) ma dwa elementy: {0,2,4} i {1,3,5}. Jest to w istocie izomorficzna H .

Homomorfizmy pierścieniowe

Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni
Podstawowe koncepcje Pierścienie • Podkolczyki • Idealny • Pierścień ilorazowy • Ułamkowy idealny • Pierścień ilorazu całkowitego • Pierścień produktu • Wolny iloczyn algebr asocjacyjnych • Iloczyn tensorowy pierścieni Homomorfizmy pierścieniowe • Jądro • Automorfizm wewnętrzny • Endomorfizm Frobeniusa Struktury algebraiczne • Moduł • Algebra asocjacyjna • Pierścionek z podziałką • Ewolucja pierścienia • Kategoria pierścieni • Pierwszy dzwonek ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Pierścień zaciskowy ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Powiązane struktury • Pole • Pole skończone • Pierścień niezespolony • Pierścień do kłamstwa • Pierścień Jordan • Semiring • Semifield
Algebra przemienna Pierścienie przemienne • Domena integralna • Domena integralnie zamknięta • Domena GCD • Unikalna dziedzina faktoryzacji • Główna domena idealna • Domena euklidesowa • Pole • Pole skończone • Pierścień kompozycji • Pierścień wielomianowy • Formalny pierścień serii mocy Algebraiczna teoria liczb • Algebraiczne pole liczbowe • Pierścień liczb całkowitych • Niezależność algebraiczna • Transcendentalna teoria liczb • Stopień transcendencji p -adyczna teoria liczb i ułamki dziesiętne • Bezpośredni limit / Odwrotny limit • Pierścień zerowy ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Liczby całkowite modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Podstawa - pierścień p- kołowy ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • Base - liczby całkowite p ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • uzasadnienia p -adyczne ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • Podstawa - p liczby rzeczywiste ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adyczne liczby całkowite ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • liczby p -adyczne ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • solenoid p -adyczny ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometria algebraiczna • Odmiana afiniczna
Algebra nieprzemienna Pierścienie nieprzemienne • Pierścień dzielenia • Pierścień półpierwotny • Prosty pierścień • Komutator Nieprzemienna geometria algebraiczna Wolna algebra Algebra Clifforda • Algebra geometryczna Algebra operatorów
v t mi

Niech R i S są pierścienie (zakłada unital ) i niech f być homomorfizm pierścień z R do S . Jeśli 0 _S jest elementem zera z S , to jądro z F jest jego ziaren w liniowej mapy na liczb całkowitych, lub, równoważnie, jako grupy dodatków. To preimage od zera idealnego {0 _S }, która jest, podzbiór R składający się ze wszystkich tych składników B , które są mapowane przez F na elemencie 0 _S . Jądro jest zwykle oznaczane jako ker f (lub odmiana). W symbolach:

${\ displaystyle \ operatorname {ker} f = \ {r \ in R: f (r) = 0_ {S} \} {\ mbox {.}}}$

Ponieważ homomorfizm pierścieniowy zachowuje zerowe elementy, zerowy element 0 _R z R musi należeć do jądra. Homomorfizm f jest iniekcyjny wtedy i tylko wtedy, gdy jego jądrem jest tylko zbiór singletonów {0 _R }. Dzieje się tak zawsze, gdy R jest polem , a S nie jest pierścieniem zerowym .

Od ker F zawiera zwielokrotniony tożsamość tylko wtedy, gdy S jest zerowym, to okazuje się, że jądra nie jest na ogół podpierścień z R. Jądro jest pod rng , a dokładniej, do dwustronnego idealny z R . Dlatego warto mówić o pierścieniu ilorazowym R / (ker f ). Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie dla pierścieni stwierdza, że ​​ten pierścień ilorazowy jest naturalnie izomorficzny z obrazem f (który jest podrzędnym pierścienia S ). (zauważ, że pierścienie nie muszą być jednością dla definicji jądra).

Do pewnego stopnia można to uznać za szczególny przypadek sytuacji dla modułów, ponieważ są to wszystkie bimoduły nad pierścieniem R :

• Sam R ;
• dowolny dwustronny ideał R (taki jak ker f );
• dowolny iloraz pierścienia R (taki jak R / (ker f )); i
• codomain każdej homomorfizmu pierścienia, którego domena R (takie jak S. The codomain od f ).

Jednak twierdzenie o izomorfizmie daje silniejszy wynik, ponieważ izomorfizmy pierścieniowe zachowują mnożenie, podczas gdy izomorfizmy modułowe (nawet między pierścieniami) na ogół tego nie robią.

Ten przykład oddaje istotę jąder w ogólnych algebrach Mal'ceva .

Homomorfizmy monoidalne

Niech M i N są monoids i pozwolić F być monoid homomorfizm od M do N . Następnie jądro z F jest podzbiorem bezpośredniego produktu M x M obejmującej wszystkie te uporządkowanych par pierwiastków M , których składniki są zarówno odwzorowywane przez F na ten sam element w N . Jądro jest zwykle oznaczane jako ker f (lub odmiana). W symbolach:

${\ Displaystyle \ operatorname {ker} f = \ {(m, m ') \ w M \ razy M: f (m) = f (m') \} {\ mbox {.}}}$

Ponieważ f jest funkcją , elementy postaci ( m , m ) muszą należeć do jądra. Homomorfizm F jest różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy jądro jest tylko przekątnej zestaw {(m, m) m w M }.

Okazuje się, że ker f jest relacją równoważności na M , a właściwie relacją kongruencji . Dlatego warto mówić o ilorazie monoidu M / (ker f ). Pierwszy twierdzenie Izomorfizm do monoids stwierdza, że iloraz monoid naturalnie izomorficzna obrazu f (co jest submonoid z N ), (dla kongruencją).

To bardzo różni się w smaku od powyższych przykładów. W szczególności przedobraz elementu tożsamości N nie jest wystarczające do określenia jądra f .

Algebra uniwersalna

Wszystkie powyższe przypadki można ujednolicić i uogólnić w algebrze uniwersalnej .

Sprawa ogólna

Niech i B są struktury algebraiczne danego typu i niech f będzie homomorfizmem tego typu od A do B . Następnie jądro z F jest podzbiorem produktu bezpośrednio x A składającą się ze wszystkich tych uporządkowanych par pierwiastków A , których składniki są zarówno mapowane F do tego samego elementu B . Jądro jest zwykle oznaczane jako ker f (lub odmiana). W symbolach:

${\ displaystyle \ operatorname {ker} f = \ {(a, a ') \ in A \ razy A: f (a) = f (a') \} {\ mbox {.}}}$

Ponieważ f jest funkcją , elementy postaci ( a , a ) muszą należeć do jądra.

Homomorfizm f jest iniekcyjny wtedy i tylko wtedy, gdy jego jądro jest dokładnie zbiorem diagonalnym {( a , a ): a ∈ A }.

Łatwo zauważyć, że ker f jest relacją równoważności na A , a właściwie relacją kongruencji . Dlatego warto mówić o algebrze ilorazowej A / (ker f ). Pierwszy twierdzenie Izomorfizm w ogólnych stanów Algebra uniwersalnych, że iloraz Algebra naturalnie izomorficzna obrazu f (co jest podalgebrą z B ).

Zauważ, że definicja jądra tutaj (jak w monoidalnym przykładzie) nie zależy od struktury algebraicznej; jest to koncepcja czysto nastawiona . Aby uzyskać więcej informacji na temat tej ogólnej koncepcji, poza algebrą abstrakcyjną, zobacz jądro funkcji .

Algebry Malceva

W przypadku algebr Malceva konstrukcję tę można uprościć. Każda algebra Malceva ma specjalny element neutralny ( wektor zerowy w przypadku przestrzeni wektorowych , element tożsamości w przypadku grup przemiennych i element zerowy w przypadku pierścieni lub modułów). Cechą charakterystyczną algebry Malceva jest to, że możemy odzyskać całą relację równoważności ker f z klasy równoważności elementu neutralnego.

Mówiąc konkretnie, niech i B są Malcev algebraiczne struktury danego typu i pozwolić F być homomorfizmem tego typu z A do B . Jeżeli E _B jest neutralny element B , to jądro z F jest preimage z zestawu jednoelementowy { e _B }; czyli podzbiór z A, składający się ze wszystkich tych składników A , które są mapowane przez F do elementu e _B . Jądro jest zwykle oznaczane jako ker f (lub odmiana). W symbolach:

${\ displaystyle \ operatorname {ker} f = \ {a \ in A: f (a) = e_ {B} \} {\ mbox {.}}}$

Ponieważ homomorfizm algebry Malceva zachowuje elementy neutralne, element tożsamości e _A z A musi należeć do jądra. Homomorfizm f jest iniekcyjny wtedy i tylko wtedy, gdy jego jądrem jest tylko zbiór singletonów { e _A }.

Pojęcie ideału uogólnia się do dowolnej algebry Malceva (jako podprzestrzeń liniowa w przypadku przestrzeni wektorowych, podgrupa normalna w przypadku grup, dwustronne ideały w przypadku pierścieni i podmoduł w przypadku modułów ). Okazuje się, że ker f nie jest podalgebrą od A , ale to jest idealny. Wtedy warto mówić o algebrze ilorazowej G / (ker f ). Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie dla algebr Malceva stwierdza, że ​​ta algebra ilorazowa jest naturalnie izomorficzna z obrazem f (który jest podalgebrą B ).

Związek między tym a relacją kongruencji dla bardziej ogólnych typów algebr jest następujący. Po pierwsze, jądro jako idealne jest klasą równoważności elementu neutralnego e _{A w} ramach zgodności jądra jako zgodnego. W odwrotnym kierunku potrzebujemy pojęcia ilorazu w algebrze Mal'ceva (czyli dzielenia po obu stronach grup i odejmowania przestrzeni wektorowych, modułów i pierścieni). Używając tego, elementy a i b z A są równoważne w ramach jądra-as-a-kongruencji wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloraz a / b jest elementem jądra jako ideału.

Algebry o strukturze niealgebraicznej

Czasami algebry są wyposażone w niealgebraiczną strukturę oprócz operacji algebraicznych. Na przykład można rozważyć grupy topologiczne lub przestrzenie wektorów topologicznych , które są wyposażone w topologię . W tym przypadku spodziewalibyśmy się, że homomorfizm f zachowa tę dodatkową strukturę; w przykładach topologicznych chcielibyśmy, aby f była mapą ciągłą . Proces może napotkać problemy z algebrami ilorazowymi, które mogą nie być dobrze zachowane. W przykładach topologicznych możemy uniknąć problemów, wymagając, aby topologiczne struktury algebraiczne były typu Hausdorffa (jak to się zwykle robi); wtedy jądro (jakkolwiek jest skonstruowane) będzie zbiorem zamkniętym, a przestrzeń ilorazowa będzie działała dobrze (i będzie również Hausdorffa).

Jądra w teorii kategorii

Pojęcie jądra w teorii kategorii jest uogólnieniem jądra algebr abelowych; patrz Kernel (teoria kategorii) . Kategorycznym uogólnieniem jądra jako relacji kongruencji jest para jądra . (Istnieje również pojęcie jądra różnicowego lub korektora binarnego ).

Zobacz też

• Jądro (algebra liniowa)
• Zero ustawione

Uwagi

Bibliografia

• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Algebra abstrakcyjna (wyd. 3). Wiley . ISBN   0-471-43334-9 .

• Lang, Serge (2002). Algebra . Teksty magisterskie z matematyki . Springer . ISBN   0-387-95385-X .