Dwudziestościan - Icosahedron
W geometrii An Dwudziestościan ( / ˌ aɪ K ɒ s ə h ı d r ən , - k ə -, - k oʊ - / albo / aɪ ˌ K ɒ s ə h ı d r ən / ) jest wielościanem o 20 twarzy. Nazwa pochodzi od starogreckiego εἴκοσι (eíkosi) 'dwadzieścia' i starożytnej greki ἕδρα (hédra) 'siedzisko'. Mnoga może być albo "icosahedra" ( / - d r ə / ) lub "icosahedrons".
Istnieje nieskończenie wiele nie- podobne kształty icosahedra, niektóre z nich są bardziej symetryczne niż inni. Najbardziej znanym jest ( wypukły , nie- gwiazdowy ) dwudziestościan foremny — jedna z brył platońskich — którego ściany to 20 trójkątów równobocznych .
Regularne ikosaedry
Dwudziestościan wypukły regularny |
Wielki dwudziestościan |
Istnieją dwa obiekty, jeden wypukły i jeden niewypukły, które można nazwać dwudziestościanami regularnymi. Każdy ma 30 krawędzi i 20 równobocznych trójkątów, z których pięć spotyka się w każdym z dwunastu wierzchołków. Oba mają symetrię dwudziestościenną . Termin dwudziestościan regularny odnosi się na ogół do odmiany wypukłej, natomiast forma niewypukła nazywana jest dwudziestościanem wielkim .
Dwudziestościan wypukły regularny
Wypukły dwudziestościan foremny jest zwykle określany po prostu jako dwudziestościan foremny , jedna z pięciu regularnych brył platońskich , i jest reprezentowany przez symbol Schläfliego {3, 5}, zawierający 20 trójkątnych ścian, z 5 ścianami spotykającymi się wokół każdego wierzchołka.
Jego podwójny wielościan to dwunastościan foremny {5, 3} mający trzy foremne ściany pięciokątne wokół każdego wierzchołka.
Wielki dwudziestościan
Wielki dwudziestościan jest jednym z czterech regularnych gwiazdy Kepler-Poinsot wielościanów . Jego symbol Schläfli to {3,5/2}. Podobnie jak forma wypukła, ma również 20 równobocznych trójkątów, ale jej wierzchołek jest raczej pentagramem niż pięciokątem, co prowadzi do geometrycznie przecinających się ścian. Przecięcia trójkątów nie reprezentują nowych krawędzi.
Jego podwójny wielościan to wielki dwunastościan gwiaździsty {5/2, 3}, mający trzy regularne ściany pięciokątne wokół każdego wierzchołka.
Icosahedry gwiaździste
Stelacja to proces wydłużania ścian lub krawędzi wielościanu, aż do ich spotkania, aby utworzyć nowy wielościan. Odbywa się to symetrycznie, aby wynikowa figura zachowała ogólną symetrię figury macierzystej.
W swojej książce The Fifty-Nine Icosahedra , Coxeter et al. wymieniono 58 takich gwiazd dwudziestościanu foremnego.
Spośród nich wiele z nich ma pojedynczą twarz w każdej z 20 płaszczyzn, podobnie jak ikosaedry. Wśród nich jest wielki dwudziestościan.
Inne gwiazdozbiory mają więcej niż jedną powierzchnię w każdej płaszczyźnie lub tworzą związki prostszych wielościanów. Nie są to ściśle ikosaedry, chociaż często tak się o nich mówi.
Symetria pirytoedryczna
Symetrie pirytoedryczne i czworościenne | |||||
---|---|---|---|---|---|
Diagramy Coxetera |
(pirytoedryczny) (czworościenny) |
||||
Symbol Schläfli | s{3,4} sr{3,3} lub |
||||
Twarze | 20 trójkątów: 8 równobocznych 12 równoramiennych |
||||
Krawędzie | 30 (6 krótkich + 24 długich) | ||||
Wierzchołki | 12 | ||||
Grupa symetrii | T h , [4,3 + ], (3*2), rząd 24 | ||||
Grupa rotacyjna | T d , [3,3] + , (332), rząd 12 | ||||
Podwójny wielościan | Pyritoedron | ||||
Nieruchomości | wypukły | ||||
Internet |
|||||
|
Regularne Dwudziestościan mogą być powyginane lub oznaczony jako dolna pyritohedral symetrii i jest nazywany ośmiościan przycięty , przycięty tetratetrahedron , przycięty czworościan , a pseudo-icosahedron . Można to postrzegać jako naprzemienny ścięty ośmiościan . Jeśli wszystkie trójkąty są równoboczne , symetrię można również odróżnić poprzez inne pokolorowanie zestawów trójkątów 8 i 12 .
Symetria pirytoedryczna ma symbol (3*2), [3 + ,4] o rzędzie 24. Symetria czworościenna ma symbol (332), [3,3] + , o rzędzie 12. Te niższe symetrie pozwalają na zniekształcenia geometryczne od 20 równoboczne trójkątne twarze, zamiast 8 trójkątów równobocznych i 12 przystających trójkątów równoramiennych .
Te symetrie oferują diagramy Coxetera : oraz odpowiednio, z których każda reprezentuje niższą symetrię do regularnego dwudziestościanu , (*532), [5,3] symetria dwudziestościenna rzędu 120.
współrzędne kartezjańskie
Współrzędne 12 wierzchołków mogą być określone przez wektory zdefiniowane przez wszystkie możliwe permutacje cykliczne i przerzuty znaków współrzędnych postaci (2, 1, 0). Współrzędne te reprezentują ścięty ośmiościan z usuniętymi naprzemiennymi wierzchołkami.
Konstrukcja ta nazywana jest czworościanem typu snub w swojej regularnej dwudziestościanowej formie, generowanej przez te same operacje przeprowadzane na wektorze ( ϕ , 1, 0), gdzie ϕ jest złotym podziałem .
Dwudziestościan Jessena
W icosahedron Jessen jest, czasami zwanego prostopadłe icosahedron Jessen jest , że 12 równoramienne twarze są ułożone inaczej tak, że postać nie jest wypukła i ma odpowiednich kątów dwuściennych .
Są to nożyczki przystające do sześcianu, co oznacza, że można je pokroić na mniejsze wielościenne kawałki, które można przestawić, aby utworzyć solidny sześcian.
Inne icosaedry
Dwudziestościan rombowy
Rombowy dwudziestościan to zonohedron składa się z 20 przystających rombów. Można go wyprowadzić z trójścianu rombowego , usuwając 10 środkowych ścian. Mimo że wszystkie twarze są przystające, dwudziestościan rombowy nie jest twarzą przechodnią .
Symetrie piramidy i pryzmatu
Wspólne ikosaedry o symetrii piramidy i pryzmatu obejmują:
- Piramida 19-boczna (plus 1 podstawa = 20).
- 18-stronny pryzmat (plus 2 końce = 20).
- 9-stronny antypryzm (2 zestawy po 9 stron + 2 końce = 20).
- Dwupiramida 10-stronna (2 zestawy po 10 boków = 20).
- Trapezoedr 10-stronny (2 zestawy po 10 boków = 20).
ciała stałe Johnsona
Kilka brył Johnsona to ikosaedry:
J22 | J35 | J36 | J59 | J60 | J92 |
---|---|---|---|---|---|
Kopuła trójkątna z żyroskopem |
Wydłużona trójkątna ortobikopola |
Wydłużona trójkątna gyrobicupola |
Dwunastościan powiększony parabią |
Dwunastościan metaboposzerzony |
Trójkątne hebesfenotunda |
16 trójkątów 3 kwadraty 1 sześciokąt |
8 trójkątów 12 kwadratów |
8 trójkątów 12 kwadratów |
10 trójkątów 10 pięciokątów |
10 trójkątów 10 pięciokątów |
13 trójkątów 3 kwadraty 3 pięciokąty 1 sześciokąt |