Pięćdziesiąt dziewięć Ikozaedry -The Fifty-Nine Icosahedra
The Fifty-Nine Icosahedra to książka napisana i zilustrowana przez HSM Coxetera , P. Du Vala , HT Flathera i JF Petrie. Wylicza ona pewne stelacje regularnego wypukłego lub dwudziestościanu platońskiego, zgodnie z zestawem reguł przedstawionym przez JCP Millera .
Po raz pierwszy opublikowana przez Uniwersytet w Toronto w 1938 r., przedruk drugiej edycji przez Springer-Verlag, a następnie w 1982 r. Trzecie wydanie Tarquina z 1999 r. zawierało nowe materiały źródłowe i zdjęcia autorstwa K. i D. Crennellów.
Wkład autorów
Zasady Millera
Chociaż Miller nie przyczynił się bezpośrednio do powstania książki, był bliskim kolegą Coxetera i Petriego. Jego wkład jest uwieczniony w zbiorze reguł określających, które formy gwiezdne należy uznać za „odpowiednio znaczące i odrębne”:
- (i) Ściany muszą leżeć w dwudziestu płaszczyznach, tj. płaszczyznach granicznych dwudziestościanu foremnego.
- (ii) Wszystkie części tworzące ściany muszą być takie same w każdej płaszczyźnie, chociaż mogą być całkiem oddzielone.
- (iii) Części zawarte w jednej płaszczyźnie muszą mieć symetrię trygonalną, bez odbicia lub z odbiciem. Zapewnia to symetrię dwudziestościenną dla całej bryły.
- (iv) Części zawarte w dowolnej płaszczyźnie muszą być wszystkie „dostępne” w ukończonej bryle (tj. muszą znajdować się „na zewnątrz”. W niektórych przypadkach powinniśmy wymagać modeli o ogromnych rozmiarach, aby móc zobaczyć całość na zewnątrz. model zwykłych rozmiarów, niektóre części „zewnętrza” mógł eksplorować tylko pełzający owad).
- (v) Wykluczamy z rozważań przypadki, w których części można podzielić na dwa zestawy, z których każdy daje bryłę o takiej samej symetrii jak cała figura. Ale dopuszczamy połączenie pary enancjomorficznej, która nie ma części wspólnej (co faktycznie występuje tylko w jednym przypadku).
Reguły (i) do (iii) są wymaganiami symetrii dla płaszczyzn czołowych. Reguła (iv) wyklucza zakopane dziury, aby zapewnić, że żadne dwie gwiazdozbiory nie będą wyglądały identycznie. Reguła (v) zapobiega rozłącznemu złożeniu prostszych stelacji.
Coxeter
Coxeter był główną siłą napędową tej pracy. Oryginalną analizę przeprowadził w oparciu o reguły Millera, stosując szereg technik, takich jak kombinatoryka i abstrakcyjna teoria grafów, których zastosowanie w kontekście geometrycznym było wówczas nowatorskie.
Zauważył, że diagram gwiezdny składa się z wielu odcinków linii. Następnie opracował procedury manipulowania kombinacjami sąsiednich obszarów płaszczyzny, aby formalnie wyliczyć kombinacje dozwolone zgodnie z regułami Millera.
Jego wykres, reprodukowany tutaj, pokazuje łączność różnych twarzy zidentyfikowanych na diagramie gwiazdozbiorów (patrz poniżej). Symbole greckie reprezentują zestawy możliwych alternatyw:
- λ może wynosić 3 lub 4
- μ może wynosić 7 lub 8
- ν może wynosić 11 lub 12
Du Val
Du Val opracował symboliczny zapis do identyfikacji zestawów przystających komórek, w oparciu o obserwację, że leżą one w „skorupach” wokół oryginalnego dwudziestościanu. Na tej podstawie przetestował wszystkie możliwe kombinacje z regułami Millera, potwierdzając wynik bardziej analitycznego podejścia Coxetera.
Pochlebca
Wkład Flathera był pośredni: stworzył modele kart wszystkich 59. Kiedy po raz pierwszy spotkał Coxetera, wykonał już wiele stelacji, w tym kilka przykładów „nie Miller”. Następnie ukończył serię pięćdziesięciu dziewięciu, które są przechowywane w bibliotece matematycznej Uniwersytetu w Cambridge w Anglii. W bibliotece znajdują się również modele inne niż Miller, ale nie wiadomo, czy zostały one wykonane przez Flathera, czy przez późniejszych uczniów Millera.
Petrie
John Flinders Petrie był wieloletnim przyjacielem Coxetera i miał niezwykłą zdolność wizualizacji geometrii czterowymiarowej. On i Coxeter pracowali razem nad wieloma matematycznymi problemami. Jego bezpośrednim wkładem w powstanie pięćdziesięciu dziewięciu ikosaedrów był znakomity zestaw trójwymiarowych rysunków, które dostarczają wiele fascynacji opublikowanym dziełem.
Crennellowie
W trzecim wydaniu Kate i David Crennell zresetowali tekst i przerysowali diagramy. Dodali również sekcję odniesienia zawierającą tabele, diagramy i zdjęcia niektórych modeli Cambridge (które w tamtym czasie uważano za modele Flathera). Poprawki do tego wydania zostały opublikowane w Internecie.
Lista pięćdziesięciu dziewięciu icosahedrów
Przed Coxeterem tylko Brückner i Wheeler zarejestrowali jakiekolwiek znaczące zestawy gwiazd, chociaż kilka, takich jak wielki dwudziestościan, było znanych od dłuższego czasu. Od czasu publikacji The 59 Wenninger opublikował instrukcje dotyczące tworzenia modeli niektórych; schemat numeracji użyty w jego książce stał się szeroko przywoływany, chociaż zapisał tylko kilka stelacji.
Notatki na liście
Numery indeksowe to Crennellowie, chyba że zaznaczono inaczej:
Crennell
- W numeracji indeksów dodanej do trzeciego wydania przez Crennellów pierwsze 32 formy (wskaźniki 1-32) to modele odblaskowe , a ostatnie 27 (wskaźniki 33-59) są chiralne, przy czym wymienione są tylko formy praworęczne. Jest to zgodne z kolejnością, w jakiej stelacje są przedstawione w księdze.
Komórki
- W notacji Du Vala każda muszla oznaczona jest pogrubioną czcionką, działając na zewnątrz jako a , b , c , ..., h, gdzie a jest oryginalnym dwudziestościanem. Niektóre muszle dzielą się na dwa typy komórek, na przykład e zawiera e 1 i e 2 . Zbiór f 1 dzieli się dalej na formy praworęczne i leworęczne, odpowiednio f 1 (typ gładki) i f 1 (kursywa). W przypadku, gdy stelacja ma wszystkie komórki obecne w zewnętrznej powłoce, zewnętrzna powłoka jest pisana wielkimi literami, a wewnętrzna pominięta, na przykład a + b + c + e 1 jest zapisana jako Ce 1 .
Twarze
- Wszystkie stelacje można określić za pomocą diagramu stelacji . Na przedstawionym tu diagramie ponumerowane kolory wskazują obszary diagramu gwiezdnego, które muszą występować razem jako zbiór, aby zachować pełną symetrię dwudziestościenną. Schemat zawiera 13 takich zestawów. Niektóre z nich dzielą się na pary chiralne (nie pokazano), umożliwiając stelacje z symetrią obrotową, ale nie refleksyjną. W tabeli twarze widoczne od spodu są oznaczone apostrofem, np. 3 ' .
Wenninger
- Numery indeksów i ponumerowane nazwy zostały przydzielone arbitralnie przez wydawcę Wenningera zgodnie z ich występowaniem w jego książce Modele wielościanów i nie mają związku z żadnym ciągiem matematycznym. Tylko kilka jego modeli było dwudziestościanami. Jego imiona podane są w formie skróconej, z pominięciem „... dwudziestościanu”.
Kołodziej
- Wheeler znalazł swoje figury lub „formy” dwudziestościanu, wybierając odcinki linii z diagramu gwiazdozbiorów. Starannie odróżnił to od klasycznego procesu stelacji Keplera . Coxeter i in. zignorował to rozróżnienie i nazwał je wszystkie stelacjami.
Brückner
- Max Brückner wykonał i sfotografował modele wielu wielościanów, z których tylko kilka było dwudziestościanami. Taf. to skrót od Tafel , z niem . płyta .
Uwagi
- Nr 8 jest czasem nazywana echidnahedron po wyobrażonej podobieństwa do kolczastego mrówkojada lub Echidny . To użycie jest niezależne od opisu przez Keplera jego wielościanów gwiazd regularnych jako jego kolczatek .
Tabela pięćdziesięciu dziewięciu ikosaedrów
Niektóre obrazy ilustrują dwudziestościan w lustrzanym odbiciu z komórką f 1 zamiast komórki f 1 .
| Crennell | Komórki | Twarze | Wenninger | Kołodziej | Brückner | Uwagi | Schemat twarzy | 3D |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ZA | 0 |
4 dwudziestościan |
1 | Platońska icosahedron |
|
|
|
| 2 | b | 1 | 26 dwudziestościan triakisa |
2 | Taf. VIII, rys. 2 | Pierwsza gwiazda dwudziestościanu , mały dwudziestościan triambiczny lub triakisicosahedron |
|
|
| 3 | do | 2 | 23 Związek pięciu oktaedrów |
3 | Taf. IX, rys. 6 | Regularny związek pięciu oktaedrów |
|
|
| 4 | re | 3 4 | 4 | Taf. IX, rys.17 |
|
|
||
| 5 | mi | 5 6 7 |
|
|
||||
| 6 | fa | 8 9 10 | 27 Druga gwiazda |
19 | Druga gwiazda dwudziestościanu |
|
|
|
| 7 | sol | 11 12 | 41 Wielki dwudziestościan |
11 | Taf. XI, rys. 24 | Wielki dwudziestościan |
|
|
| 8 | H | 13 | 42 Ostateczna stelacja |
12 | Taf. XI, rys. 14 | Końcowa gwiazda dwudziestościanu lub kolczatki |
|
|
| 9 | e 1 | 3' 5 | 37 Dwunasta gwiazda |
Dwunasta gwiazda dwudziestościanu |
|
|
||
| 10 | f 1 | 5' 6' 9 10 |
|
|
||||
| 11 | g 1 | 10' 12 | 29 Czwarta gwiazda |
21 | Czwarta gwiazda dwudziestościanu |
|
|
|
| 12 | e 1 f 1 | 3' 6' 9 10 |  |
|
||||
| 13 | e 1 f 1 g 1 | 3' 6' 9 12 | 20 |
|
|
|||
| 14 | f 1 g 1 | 5' 6' 9 12 |  |
|
||||
| 15 | e 2 | 4' 6 7 |  |
|
||||
| 16 | f 2 | 7' 8 | 22 |
|
|
|||
| 17 | g 2 | 8' 9'11 |  |
|
||||
| 18 | E 2 F 2 | 4' 6 8 |  |
|
||||
| 19 | e 2 f 2 g 2 | 4' 6 9' 11 |  |
|
||||
| 20 | f 2 g 2 | 7' 9' 11 | 30 Piąta gwiazda |
Piąta gwiazda dwudziestościanu |
|
|
||
| 21 | De 1 | 4 5 | 32 Siódma gwiazda |
10 | Siódma gwiazda dwudziestościanu |
|
|
|
| 22 | Ef 1 | 7 9 10 | 25 Związek dziesięciu czworościanów |
8 | Taf. IX, rys. 3 | Regularny związek dziesięciu czworościanów |
|
|
| 23 | Fg 1 | 8 9 12 | 31 Szósta gwiazda |
17 | Taf. X, rys. 3 | Szósta gwiazda dwudziestościanu |
|
|
| 24 | De 1 f 1 | 4 6' 9 10 |  |
|
||||
| 25 | De 1 f 1 g 1 | 4 6' 9 12 |  |
|
||||
| 26 | Ef 1 g 1 | 7 9 12 | 28 Trzecia gwiazda |
9 | Taf. VIII, ryc. 26 | Odkopany dwunastościan |
|
|
| 27 | De 2 | 3 6 7 | 5 |
|
|
|||
| 28 | Ef 2 | 5 6 8 | 18 | Taf.IX, rys. 20 |
|
|
||
| 29 | Fg 2 | 10 11 | 33 Ósma gwiazda |
14 | Ósma gwiazda dwudziestościanu |
|
|
|
| 30 | De 2 f 2 | 3 6 8 | 34 Dziewiąta gwiazda |
13 |
Przyśrodkowy dwudziestościan triambiczny lub wielki dwudziestościan triambiczny |
|
|
|
| 31 | De 2 f 2 g 2 | 3 6 9' 11 |  |
|
||||
| 32 | Ef 2 g 2 | 5 6 9' 11 |  |
|
||||
| 33 | f 1 | 5' 6 ' 9 10 | 35 Dziesiąta gwiazda |
Dziesiąta gwiazda dwudziestościanu |
|
|
||
| 34 | e 1 f 1 | 3 ' 5 6 ' 9 10 ' | 36 Jedenasta gwiazda |
Jedenasta gwiazda dwudziestościanu |
|
|
||
| 35 | De 1 f 1 | 4 5 6 ' 9 10 |  |
|
||||
| 36 | f 1 g 1 | 5' 6 ' 9 10 ' 12 ' |  |
|
||||
| 37 | e 1 f 1 g 1 | 3 ' 5 6 ' 9 10 ' 12 ' | 39 Czternasta gwiazda |
Czternasta gwiazda dwudziestościanu |
|
|
||
| 38 | De 1 f 1 g 1 | 4 5 6 ' 9 10 ' 12 |  |
|
||||
| 39 | f 1 g 2 | 5' 6 ' 8 ' 9 ' 10 11 ' |  |
|
||||
| 40 | e 1 f 1 g 2 | 3 ' 5 6 ' 8 ' 9 ' 10 11 ' |  |
|
||||
| 41 | De 1 f 1 g 2 | 4 5 6 ' 8 ' 9 ' 10 11 |  |
|
||||
| 42 | f 1 f 2 g 2 | 5' 6 ' 7 ' 9 ' 10 11 |  |
|
||||
| 43 | e 1 f 1 f 2 g 2 | 3 ' 5 6 ' 7 ' 9 ' 10 11 ' |  |
|
||||
| 44 | De 1 f 1 f 2 g 2 | 4 5 6 ' 7 ' 9 ' 10 11 |  |
|
||||
| 45 | E 2 F 1 | 4 ' 5 ' 6 7 9 10 | 40 Piętnasta stelacja |
Piętnasta gwiazda dwudziestościanu |
|
|
||
| 46 | De 2 f 1 | 3 5 ' 6 7 9 10 |  |
|
||||
| 47 | E f 1 | 5 6 7 9 10 | 24 Związek pięciu czworościanów |
7 (6: leworęczny) |
Taf. IX, rys. 11 | Regularny związek pięciu czworościanów (praworęcznych) |
|
|
| 48 | e 2 f 1 g 1 | 4 ' 5 ' 6 7 9 10 ' 12 ' |  |
|
||||
| 49 | De 2 f 1 g 1 | 3 5 ' 6 7 9 10 ' 12 ' |  |
|
||||
| 50 | E f 1 g 1 | 5 6 7 9 10 ' 12 |  |
|
||||
| 51 | e 2 f 1 f 2 | 4 ' 5 ' 6 8 9 10 | 38 Trzynasta gwiazda |
Trzynasta gwiazda dwudziestościanu |
|
|
||
| 52 | De 2 f 1 f 2 | 3 5 ' 6 8 9 10 |  |
|
||||
| 53 | E F 1 F 2 | 5 6 8 9 10 | 15 (16: leworęczny) |
 |
|
|||
| 54 | e 2 f 1 f 2 g 1 | 4 ' 5 ' 6 8 9 10 ' 12 ' |  |
|
||||
| 55 | De 2 f 1 f 2 g 1 | 3 5 ' 6 8 9 10 ' 12 ' |  |
|
||||
| 56 | E f 1 f 2 g 1 | 5 6 8 9 10 ' 12 |  |
|
||||
| 57 | e 2 f 1 f 2 g 2 | 4 ' 5 ' 6 9 ' 10 11 ' |  |
|
||||
| 58 | De 2 f 1 f 2 g 2 | 3 5 ' 6 9 ' 10 11 ' |  |
|
||||
| 59 | E f 1 f 2 g 2 | 5 6 9 ' 10 11 |  |
|
Zobacz też
- Lista modeli wielościanów Wenningera – książka Wenningera Modele wielościanów zawierały 21 takich stelacji.
- Bryły o symetrii dwudziestościennej
Uwagi
Bibliografia
- Brückner, Max (1900). Vielecke und Vielflache: Teoria i Geschichte . Lipsk: BG Treubner. ISBN 978-1-4181-6590-1 . (po niemiecku)
- WorldCat angielski: wielokąty i wielościany: teoria i historia . Fotografie modeli: Tafel VIII (Płyta VIII) itp. Wysoka rozdzielczość. skany.
-
HSM Coxeter , Patrick du Val , HT Flather, JF Petrie (1938) Pięćdziesiąt dziewięć Icosahedra , studia University of Toronto , seria matematyczna 6:1–26.
- Wydanie trzecie (1999) Tarquin ISBN 978-1-899618-32-3 MR 676126
- Wenninger, Magnus J. (1983) Modele wielościanów ; Cambridge University Press , wydanie miękkie (2003). ISBN 978-0-521-09859-5 .
- AH Wheeler (1924) „Pewne formy dwudziestościanu oraz metoda wyprowadzania i oznaczania wyższych wielościanów”, Proceedings of the International Congress of Mathematicians , Toronto, tom. 1, s. 701–708.