Wielowymiarowa zmienna losowa - Multivariate random variable

Część serii dotyczącej statystyki
Teoria prawdopodobieństwa
Aksjomaty prawdopodobieństwa
Przestrzeń prawdopodobieństwa Przykładowa przestrzeń Elementarne wydarzenie Zdarzenie Zmienna losowa Miara prawdopodobieństwa
Wydarzenie uzupełniające Wspólne prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo krańcowe Warunkowe prawdopodobieństwo
Niezależność Warunkowa niezależność Prawo całkowitego prawdopodobieństwa Prawo wielkich liczb Twierdzenie Bayesa Nierówność Boole'a
Diagram Venna Schemat drzewa
v t mi

W prawdopodobieństwa i statystyki , o wielowymiarowa zmienna losowa lub losowy wektor jest lista matematycznych zmiennych każdego, którego wartość jest nieznana, albo dlatego, że wartość jeszcze nie wystąpiły lub dlatego, że jest niedoskonała znajomość jego wartości. Poszczególne zmienne w wektorze losowym są zgrupowane razem, ponieważ wszystkie są częścią jednego systemu matematycznego - często reprezentują różne właściwości pojedynczej jednostki statystycznej . Przykładowo, o ile dana osoba ma określony wiek, wzrost i wagę, reprezentacja tych cech nieokreślonej osoby z grupy byłaby wektorem losowym. Zwykle każdy element losowego wektora jest liczbą rzeczywistą .

Losowe wektory są często wykorzystywane jako źródło wdrażania różnych rodzajów kruszyw zmiennych losowych , np losowej matrycy , losowej drzewa , losowej kolejności , proces stochastyczny , etc.

Bardziej formalnie, zmienną losową o wielu zmiennych jest wektor kolumnowy (lub jego transpozycja , który jest wektorem wierszowym ), którego składowe są zmiennymi losowymi o wartościach skalarnych w tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa co inne , gdzie jest przestrzenią próbkowania , to sigma- algebra (zbiór wszystkich zdarzeń) i jest miarą prawdopodobieństwa (funkcją zwracającą prawdopodobieństwo każdego zdarzenia ). ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, \ kropki, X_ {n}) ^ {\ mathsf {T}}}$${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle P}$

Rozkład prawdopodobieństwa

Każdy wektor losowy daje początek miary prawdopodobieństwa z algebrą Borela jako podstawową sigma-algebrą. Miara ta jest również znana jako łączny rozkład prawdopodobieństwa , łączny rozkład lub wielowymiarowy rozkład wektora losowego. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Te dystrybucje każdego ze składowych zmiennych losowych są nazywane rozkład brzegowy . Rozkład warunkowy z podanych jest rozkład prawdopodobieństwa , gdy znany jest szczególną wartość. ${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {j}}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {j}}$

Skumulowanego rozkład losowego wektora określa się jako ${\ Displaystyle F _ {\ mathbf {X}}: \ mathbb {R} ^ {n} \ mapsto [0,1]}$${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, \ kropki, X_ {n}) ^ {\ mathsf {T}}}$

gdzie . ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) ^ {\ mathsf {T}}}$

Działania na wektorach losowych

Wektory losowe mogą być poddawane tym samym rodzajom operacji algebraicznych, co wektory nielosowe: dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez skalar i branie iloczynów wewnętrznych .

Transformacje afiniczne

Podobnie, nowy losowy wektor można zdefiniować, stosując transformację afiniczną do losowego wektora : ${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$ ${\ Displaystyle g \ dwukropek \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ displaystyle \ mathbf {Y} = {\ mathcal {A}} \ mathbf {X} + b}$ , gdzie jest macierzą i jest wektorem kolumnowym. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle n \ razy n}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n \ razy 1}$

Jeśli jest odwracalną macierzą i ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa , to gęstość prawdopodobieństwa wynosi ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle f _ {\ mathbf {X}}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$

${\ Displaystyle F _ {\ mathbf {Y}} (r) = {\ Frac {F _ {\ mathbf {X}} ({\ mathcal {A}} ^ {- 1} (yb))} {| \ det { \ mathcal {A}} |}}}$ .

Odwracalne odwzorowania

Mówiąc bardziej ogólnie, możemy badać odwracalne odwzorowania losowych wektorów.

Pozwolić być odwzorowanie typu jeden-do-jednego z otwartego podzbioru z na podgrupy o LET mieć ciągły pochodne cząstkowe w i pozwolić jakobian determinantę z wynosić zero w żadnym punkcie . Załóżmy, że rzeczywisty wektor losowy ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa i spełnia . Wtedy losowy wektor ma gęstość prawdopodobieństwa ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle f _ {\ mathbf {X}} (\ mathbf {x})}$${\ Displaystyle P (\ mathbf {X} \ in {\ mathcal {D}}) = 1}$${\ Displaystyle \ mathbf {Y} = g (\ mathbf {X})}$

${\ Displaystyle \ left.f _ {\ mathbf {Y}} (\ mathbf {y}) = {\ Frac {F _ {\ mathbf {X}} (\ mathbf {x})} {\ lewo | \ det {\ frac {\ częściowe g (\ mathbf {x})} {\ częściowe \ mathbf {x}}} \ right |}} \ right | _ {\ mathbf {x} = g ^ {- 1} (\ mathbf {y })} \ mathbf {1} (\ mathbf {y} \ in R _ {\ mathbf {Y}})}$

gdzie oznacza funkcję wskaźnika, a zbiór oznacza wsparcie . ${\ displaystyle \ mathbf {1}}$${\ Displaystyle R _ {\ mathbf {Y}} = \ {\ mathbf {y} = g (\ mathbf {x}): f _ {\ mathbf {X}} (\ mathbf {x})> 0 \} \ subseteq {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$

Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana lub średnia z losowym wektorem jest ustalony wektor , którego elementy są oczekiwane wartości odpowiednich zmiennych losowych. ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ operatorname {E} [\ mathbf {X}]}$

Kowariancja i kowariancja krzyżowa

Definicje

Macierz kowariancji (zwany również drugi moment centralny lub wariancji macierzy kowariancji) o losowy wektor jest macierzą , której ( i, j ) ^p elementem jest kowariancji pomiędzy i ^p a j ^-tego zmiennych losowych. Macierz kowariancji to oczekiwana wartość, element po elemencie, macierzy obliczona jako , gdzie indeks górny T odnosi się do transpozycji wskazanego wektora: ${\ displaystyle n \ razy 1}$${\ displaystyle n \ razy n}$ ${\ displaystyle n \ razy n}$ ${\ Displaystyle [\ mathbf {X} - \ operatorname {E} [\ mathbf {X}]] [\ mathbf {X} - \ operatorname {E} [\ mathbf {X}]] ^ {T}}$

W związku z tym macierz kowariancji krzyżowych między dwoma losowymi wektorami i ( posiadającymi elementy i posiadającymi elementy) jest macierzą ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n \ razy p}$

gdzie znowu oczekiwanie macierzy jest brane element po elemencie w macierzy. Tutaj ( i, j ) ^th elementem jest kowariancja pomiędzy I ^th element i j ^th element . ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$

Nieruchomości

Macierz kowariancji jest macierzą symetryczną , tj

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}} ^ {T} = \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}}$ .

Macierz kowariancji jest dodatnią macierzą półskończoną , tj

${\ displaystyle \ mathbf {a} ^ {T} \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}} \ mathbf {a} \ geq 0 \ quad {\ text {dla wszystkich}} \ mathbf {a} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ .

Macierz kowariancji krzyżowych jest po prostu transpozycją macierzy , tj ${\ displaystyle \ operatorname {Cov} [\ mathbf {Y}, \ mathbf {X}]}$${\ displaystyle \ operatorname {Cov} [\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}]}$

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Y} \ mathbf {X}} = \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} ^ {T}}$ .

Nieskorelowanie

Dwa losowe wektory i nazywane są nieskorelowanymi jeśli ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, ..., X_ {m.}) ^ {T}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Y} = (Y_ {1}, ..., Y_ {n}) ^ {T}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [\ mathbf {X} \ mathbf {Y} ^ {T}] = \ operatorname {E} [\ mathbf {X}] \ operatorname {E} [\ mathbf {Y}] ^ {T}}$ .

Są nieskorelowane wtedy i tylko wtedy, gdy ich macierz kowariancji krzyżowych wynosi zero. ${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}}}$

Korelacja i korelacja krzyżowa

Definicje

Macierzy korelacji (zwany również moment bezwładności ) o losowy wektor jest macierzą, której ( i, j ) ^p elementem jest korelacja między ı ^TH i j ^-tego zmiennych losowych. Macierz korelacji to oczekiwana wartość, element po elemencie, macierzy obliczona jako , gdzie indeks górny T odnosi się do transpozycji wskazanego wektora: ${\ displaystyle n \ razy 1}$${\ displaystyle n \ razy n}$${\ displaystyle n \ razy n}$${\ Displaystyle \ mathbf {X} \ mathbf {X} ^ {T}}$

W związku z tym macierz korelacji krzyżowej między dwoma losowymi wektorami i ( mającymi elementy i mającymi elementy) jest macierzą ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n \ razy p}$

Nieruchomości

Macierz korelacji jest powiązana z macierzą kowariancji przez

${\ displaystyle \ operatorname {R} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}} = \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}} + \ operatorname {E} [\ mathbf { X}] \ nazwa operatora {E} [\ mathbf {X}] ^ {T}}$ .

Podobnie dla macierzy korelacji krzyżowych i macierzy kowariancji krzyżowych:

${\ displaystyle \ operatorname {R} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} = \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} + \ operatorname {E} [\ mathbf { X}] \ nazwa operatora {E} [\ mathbf {Y}] ^ {T}}$

Ortogonalność

Dwa losowe wektory o tej samej wielkości i nazywane są ortogonalnymi, jeśli ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, ..., X_ {n}) ^ {T}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Y} = (Y_ {1}, ..., Y_ {n}) ^ {T}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [\ mathbf {X} ^ {T} \ mathbf {Y}] = 0}$ .

Niezależność

Dwa losowe wektory i są nazywane niezależnymi, jeśli dla wszystkich i ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {y}}$

${\ Displaystyle F _ {\ mathbf {X, Y}} (\ mathbf {x, y}) = F _ {\ mathbf {X}} (\ mathbf {x}) \ cdot F _ {\ mathbf {Y}} (\ mathbf {y})}$

gdzie i oznacza skumulowane funkcje dystrybucyjne i i oznacza ich łączną skumulowaną funkcję dystrybucyjną. Niezależność i często jest oznaczana przez . Pisemne pod względem komponentów i nazywane są niezależnymi, jeśli dla wszystkich ${\ Displaystyle F _ {\ mathbf {X}} (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle F _ {\ mathbf {Y}} (\ mathbf {y})}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$${\ Displaystyle F _ {\ mathbf {X, Y}} (\ mathbf {x, y})}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$${\ Displaystyle \ mathbf {X} \ perp \! \! \! \ perp \ mathbf {Y}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {m}, y_ {1}, \ ldots, y_ {n}}$

${\ displaystyle F_ {X_ {1}, \ ldots, X_ {m}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}, y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) = F_ {X_ {1}, \ ldots, X_ {m}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}) \ cdot F_ {Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}} (y_ {1}, \ ldots, y_ {n})}$ .

Charakterystyczna funkcja

Charakterystyczna funkcja losowego wektora z elementów jest funkcją , która odwzorowuje każdy wektor do liczby zespolonej. Jest zdefiniowany przez ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ omega} = (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {n}) ^ {T}}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {\ mathbf {X}} (\ mathbf {\ omega}) = \ operatorname {E} \ lewo [e ^ {i (\ mathbf {\ omega} ^ {T} \ mathbf {X}) )} \ right] = \ nazwa operatora {E} \ left [e ^ {i (\ omega _ {1} X_ {1} + \ ldots + \ omega _ {n} X_ {n})} \ right]}$ .

Dalsze właściwości

Oczekiwanie formy kwadratowej

Oczekiwanie postaci kwadratowej w wektorze losowym można przyjąć następująco: ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [\ mathbf {X} ^ {T} A \ mathbf {X}] = \ operatorname {E} [\ mathbf {X}] ^ {T} A \ operatorname {E} [\ mathbf {X}] + \ operatorname {tr} (AK _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}),}$

gdzie jest macierzą kowariancji i odnosi się do śladu macierzy - to znaczy do sumy elementów na jej głównej przekątnej (od lewej górnej do prawej dolnej). Ponieważ forma kwadratowa jest skalarem, tak samo jest z jej oczekiwaniem. ${\ displaystyle K _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ operatorname {tr}}$

Dowód : Niech być losowy wektor z i i pozwól być non-macierz stochastyczna. ${\ displaystyle \ mathbf {z}}$${\ Displaystyle m \ razy 1}$${\ displaystyle \ operatorname {E} [\ mathbf {z}] = \ mu}$${\ displaystyle \ operatorname {Cov} [\ mathbf {z}] = V}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle m \ razy m}$

Następnie w oparciu o wzór na kowariancję, jeśli oznaczymy i , widzimy, że: ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} ^ {T} = \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} ^ {T} A ^ {T} = \ mathbf {Y}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Cov} [\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}] = \ operatorname {E} [\ mathbf {X} \ mathbf {Y} ^ {T}] - \ operatorname {E} [ \ mathbf {X}] \ nazwa operatora {E} [\ mathbf {Y}] ^ {T}}$

W związku z tym

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {E} [XY ^ {T}] & = \ operatorname {Cov} [X, Y] + \ operatorname {E} [X] \ operatorname {E} [Y] ^ {T} \\\ operatorname {E} [z ^ {T} Az] & = \ operatorname {Cov} [z ^ {T}, z ^ {T} A ^ {T}] + \ operatorname {E} [z ^ {T}] \ operatorname {E} [z ^ {T} A ^ {T}] ^ {T} \\ & = \ operatorname {Cov} [z ^ {T}, z ^ {T} A ^ {T}] + \ mu ^ {T} (\ mu ^ {T} A ^ {T}) ^ {T} \\ & = \ nazwa operatora {Cov} [z ^ {T}, z ^ {T} A ^ {T}] + \ mu ^ {T} A \ mu, \ end {aligned}}}$

co pozostawia nam to pokazać

${\ displaystyle \ operatorname {Cov} [z ^ {T}, z ^ {T} A ^ {T}] = \ operatorname {tr} (AV).}$

Jest to prawdą w oparciu o fakt, że można cyklicznie permutować macierze podczas wykonywania śladu bez zmiany wyniku końcowego (np . :) . ${\ displaystyle \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA)}$

Widzimy to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {Cov} [z ^ {T}, z ^ {T} A ^ {T}] & = \ operatorname {E} \ lewo [\ lewo (z ^ {T} -E (z ^ {T}) \ right) \ left (z ^ {T} A ^ {T} -E \ left (z ^ {T} A ^ {T} \ right) \ right) ^ {T} \ right] \\ & = \ nazwa operatora {E} \ left [(z ^ {T} - \ mu ^ {T}) (z ^ {T} A ^ {T} - \ mu ^ {T} A ^ { T}) ^ {T} \ right] \\ & = \ operatorname {E} \ left [(z- \ mu) ^ {T} (Az-A \ mu) \ right]. \ End {aligned}}}$

I od tego czasu

${\ Displaystyle \ lewo ({Z- \ mu} \ prawej) ^ {T} \ lewo ({Az-A \ mu} \ prawo)}$

jest skalarem , a następnie

${\ Displaystyle (z- \ mu) ^ {T} (Az-A \ mu) = \ operatorname {tr} \ lewo ({(z- \ mu) ^ {T} (Az-A \ mu)} \ prawej ) = \ nazwa operatora {tr} \ left ((z- \ mu) ^ {T} A (z- \ mu) \ right)}$

trywialnie. Korzystając z permutacji otrzymujemy:

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ lewo ({(z- \ mu) ^ {T} A (z- \ mu)} \ prawej) = \ operatorname {tr} \ lewo ({A (z- \ mu) (z- \ mu) ^ {T}} \ right),}$

i podłączając to do oryginalnej formuły otrzymujemy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {Cov} \ lewo [{Z ^ {T}, z ^ {T} A ^ {T}} \ prawo] & = E \ lewo [{\ lewo ({z - \ mu} \ right) ^ {T} (Az-A \ mu)} \ right] \\ & = E \ left [\ operatorname {tr} \ left (A (z- \ mu) (z- \ mu ) ^ {T} \ right) \ right] \\ & = \ operatorname {tr} \ left ({A \ cdot \ operatorname {E} \ left ((z- \ mu) (z- \ mu) ^ {T } \ right)} \ right) \\ & = \ operatorname {tr} (AV). \ end {aligned}}}$

Oczekiwanie iloczynu dwóch różnych form kwadratowych

Można przyjąć, że iloczyn dwóch różnych form kwadratowych w zerowym wektorze losowym Gaussa jest następujący: ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {E} \ lewo [(\ mathbf {X} ^ {T} A \ mathbf {X}) (\ mathbf {X} ^ {T} B \ mathbf {X}) \ prawej] = 2 \ operatorname {tr} (AK _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}} BK _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}) + \ operatorname {tr} (AK _ {\ mathbf {X} \ mathbf { X}}) \ nazwa operatora {tr} (BK _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}})}$

gdzie znowu jest macierz kowariancji . Ponownie, ponieważ obie formy kwadratowe są skalarami, a zatem ich iloczyn jest skalarem, oczekiwanie na ich iloczyn jest również skalarem. ${\ displaystyle K _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Aplikacje

Teoria portfela

W teorii portfela w finansach często celem jest wybór portfela ryzykownych aktywów, tak aby rozkład losowego zwrotu z portfela miał pożądane właściwości. Na przykład, ktoś może chcieć wybrać zwrot z portfela o najniższej wariancji dla danej wartości oczekiwanej. Tutaj losowy wektor jest wektorem losowych zwrotów z poszczególnych aktywów, a zwrot z portfela p (losowy skalar) jest iloczynem wewnętrznym wektora losowych zwrotów z wektorem w wag portfela - ułamkami portfela umieszczonymi w odpowiednie aktywa. Ponieważ p = w ^T , oczekiwana wartość zwrotu z portfela wynosi w ^T E ( ), a wariancję zwrotu z portfela można wykazać jako w ^T C w , gdzie C jest macierzą kowariancji . ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

Teoria regresji

W teorii regresji liniowej mamy dane dotyczące n obserwacji zmiennej zależnej y oraz n obserwacji każdej z k zmiennych niezależnych x _j . Obserwacje zmiennej zależnej są zestawione w kolumnie wektorowej y ; obserwacje każdej zmiennej niezależnej są również zestawiane w wektory kolumnowe, a te ostatnie wektory kolumnowe są łączone w macierz projektową X (nie oznaczającą w tym kontekście losowego wektora) obserwacji zmiennych niezależnych. Następnie jako opis procesu, który wygenerował dane, postuluje się następujące równanie regresji:

${\ Displaystyle y = X \ beta + e,}$

gdzie β jest postulowanym stałym, ale nieznanym wektorem współczynników odpowiedzi k , a e jest nieznanym wektorem losowym odzwierciedlającym losowe wpływy na zmienną zależną. Za pomocą wybranej techniki, takiej jak zwykła metoda najmniejszych kwadratów , wybiera się wektor jako oszacowanie β, a oszacowanie wektora e , oznaczone , jest obliczane jako ${\ displaystyle {\ hat {\ beta}}}$${\ displaystyle {\ hat {e}}}$

${\ displaystyle {\ hat {e}} = yX {\ kapelusz {\ beta}}.}$

Następnie statystyk musi przeanalizować właściwości i , które są postrzegane jako wektory losowe, ponieważ losowo inny wybór n obserwacji do obserwacji dałby dla nich różne wartości. ${\ displaystyle {\ hat {\ beta}}}$${\ displaystyle {\ hat {e}}}$

Szeregi czasowe wektorowe

Ewolucję losowego wektora k × 1 w czasie można modelować jako autoregresję wektorową (VAR) w następujący sposób: ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {X} _ {t} = c + A_ {1} \ mathbf {X} _ {t-1} + A_ {2} \ mathbf {X} _ {t-2} + \ cdots + A_ {p} \ mathbf {X} _ {tp} + \ mathbf {e} _ {t}, \,}$

gdzie i -okresy wstecznej obserwacji wektora nazywamy i-tym opóźnieniem , c jest  wektorem k × 1 stałych ( przecięć ), A _i jest niezmienną w czasie macierzą k  ×  k i jest  wektorem losowym k × 1 o błędach warunkach. ${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {ti}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {t}}$

Bibliografia

Dalsza lektura

• Stark, Henry; Woods, John W. (2012). „Losowe wektory”. Prawdopodobieństwo, statystyki i procesy losowe dla inżynierów (wydanie czwarte). Osoba. s. 295–339. ISBN   978-0-13-231123-6 .