Wielość (matematyka) - Multiplicity (mathematics)

W matematyce , wielość członka z MultiSet to ile razy pojawia się w MultiSet. Na przykład, ile razy dany wielomian ma pierwiastek w danym punkcie, jest wielokrotnością tego pierwiastka.

Pojęcie wielokrotności jest ważne, aby móc poprawnie liczyć bez określania wyjątków (na przykład podwójne pierwiastki liczone dwukrotnie). Stąd wyrażenie „liczone z wielością”.

Jeśli wielokrotność jest ignorowana, można to podkreślić, licząc liczbę odrębnych elementów, jak w przypadku „liczby odrębnych pierwiastków”. Jednak za każdym razem, gdy tworzony jest zbiór (w przeciwieństwie do wielozbiorów), wielokrotność jest automatycznie ignorowana, bez konieczności używania terminu „odrębny”.

Wielokrotność czynnika pierwszego

Na przykład w faktoryzacji liczby pierwszej

60 = 2 × 2 × 3 × 5,

krotność czynnika pierwszego 2 wynosi 2, podczas gdy krotność każdego z czynników pierwszych 3 i 5 wynosi 1. Zatem 60 ma cztery czynniki pierwsze pozwalające na wielokrotności, ale tylko trzy różne czynniki pierwsze.

Wielokrotność pierwiastka wielomianu

Niech będzie polem i będzie wielomianem w jednej zmiennej o współczynnikach w . Element jest korzeń wielości of jeżeli istnieje wielomian takie, że i . Jeśli , to a nazywa się prostym korzeniem . Jeśli , to jest nazywany wielokrotnym pierwiastkiem . ${\ Displaystyle F}$${\displaystyle p(x)}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle a \ w F}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s(a)\neq 0}$${\ Displaystyle p (x) = (xa) ^ {k} s (x)}$${\ Displaystyle k = 1}$${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle a}$

Na przykład, wielomian ma 1 -4 jak i korzenie , i może być zapisana jako . Oznacza to, że 1 jest pierwiastkiem krotności 2, a -4 jest pierwiastkiem prostym (liczebności 1). Wielokrotność pierwiastka to liczba wystąpień tego pierwiastka w całkowitej faktoryzacji wielomianu za pomocą podstawowego twierdzenia algebry . ${\ Displaystyle p (x) = x ^ {3} + 2 x ^ {2} -7 x + 4}$${\ Displaystyle p (x) = (x + 4) (x-1) ^ {2}}$

Jeżeli jest pierwiastkiem krotności wielomianu, to jest pierwiastkiem krotności jego pochodnej , chyba że charakterystyka pola jest dzielnikiem k , w którym to przypadku jest pierwiastkiem krotności przynajmniej pochodnej. ${\displaystyle a}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle k-1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle k}$

Wyróżnik wielomianu jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastek wielokrotny.

Zachowanie funkcji wielomianowej w pobliżu pierwiastka wielokrotności

Wykres x ³  + 2 x ²  − 7 x  + 4 z pierwiastkiem prostym (wielokrotność 1) przy x=−4 i pierwiastkiem krotności 2 przy x=1. Wykres przecina oś x u prostego pierwiastka. Jest styczna do osi x przy pierwiastku wielokrotnym i nie przecina go, ponieważ krotność jest parzysta.

Wykres z funkcji wielomianowej F dotyka x -osiowy w rzeczywistych pierwiastków wielomianu. Wykres jest do niego styczny do pierwiastków wielokrotnych f, a nie do pierwiastków prostych. Wykres przecina oś x w pierwiastkach nieparzystej krotności i nie przecina jej w pierwiastkach parzystych.

Niezerowa funkcja wielomianowa jest wszędzie nieujemna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej pierwiastki mają nawet wielokrotność i istnieje taka, że . ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x_{0})>0}$

Wielokrotność przecięcia

W geometrii algebraicznej przecięcie dwóch podrozmaitości rozmaitości algebraicznej jest skończoną sumą rozmaitości nieredukowalnych . Do każdego elementu takiego skrzyżowania dołączona jest krotność skrzyżowania . Pojęcie to jest lokalne w tym sensie, że można je zdefiniować, patrząc na to, co dzieje się w sąsiedztwie dowolnego punktu generycznego tego składnika. Wynika z tego, że bez utraty ogólności możemy rozważyć, w celu określenia krotności przecięcia, przecięcie dwóch odmian afinicznych ( pododmian przestrzeni afinicznej).

Zatem, biorąc pod uwagę dwie odmiany afiniczne V ₁ i V ₂ , rozważ nieredukowalną składową W przecięcia V ₁ i V ₂ . Niech d być wymiar od W i P być dowolnych ogólnych punkt W . Przecięcie W z d hiperpłaszczyznami w ogólnym położeniu przechodzącym przez P ma nieredukowalną składową, która jest zredukowana do pojedynczego punktu P . Dlatego lokalny pierścień w tej składowej współrzędnej pierścienia przecięcia ma tylko jeden ideał pierwszy , a zatem jest pierścieniem artyńskim . Pierścień ten jest zatem skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad polem naziemnym. Jego wymiar jest wielość przecięcia z V ₁ i V ₂ w W .

Ta definicja pozwala nam precyzyjnie sformułować twierdzenie Bézouta i jego uogólnienia.

Definicja ta uogólnia krotność pierwiastka wielomianu w następujący sposób. Pierwiastki wielomianu f są punktami na linii afinicznej , które są składnikami zbioru algebraicznego zdefiniowanego przez wielomian. Pierścień współrzędnych tego zbioru afinicznego to gdzie K jest algebraicznie domkniętym ciałem zawierającym współczynniki f . Jeśli to faktoryzacja f , to lokalny pierścień R w ideale pierwszym to This jest przestrzenią wektorową nad K , której wymiarem jest krotność pierwiastka. ${\ Displaystyle R = K [X] / \ langle f \ rangle ,}$${\ Displaystyle f (X) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} (X \ alfa _ {i}) ^ {m_ {i}}}$${\ Displaystyle \ langle X- \ alfa _ {i} \ rangle}$${\ Displaystyle K [X] / \ langle (X-\ alfa) ^ {m_ {i}} \ rangle.}$${\displaystyle m_{i}}$

Ta definicja krotności przecięcia, która jest zasadniczo spowodowana przez Jean-Pierre'a Serre'a w jego książce Local Algebra , działa tylko dla składowych teorii mnogości (zwanych również składowymi izolowanymi ) przecięcia, a nie dla składowych osadzonych . Opracowano teorie obsługi osadzonego przypadku (szczegóły w Teoria przecięcia ).

W złożonej analizie

Niech z ₀ będzie pierwiastkiem funkcji holomorficznej f i niech n będzie najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą taką, że n- ^ta pochodna f obliczona w z ₀ różni się od zera. Następnie szereg potęgowy f około z ₀ zaczyna się od n- ^tego członu, a f ma pierwiastek z wielokrotności (lub „porządku”)  n . Jeśli n  = 1, korzeń nazywa się prostym pierwiastkiem.

Możemy również określić wielość z zer i biegunów o meromorficznej funkcji w następujący sposób: Jeśli mamy meromorficzną podjąć rozwinięcia Taylora o g i h o punkcie Z ₀ , a znaleźć pierwszą niezerową termin w każdej (Oznaczmy kolejność terminów odpowiednio m i n ). jeśli m  =  n , to punkt ma niezerową wartość. Jeżeli wtedy punkt jest zerem krotności Jeżeli , to punkt ma biegun wielokrotności${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$${\displaystyle m>n,}$${\displaystyle mn.}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle nm.}$

Bibliografia

• Krantz, SG Podręcznik zmiennych złożonych . Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN  0-8176-4011-8 .