Klasyfikacja Enriquesa-Kodaira - Enriques–Kodaira classification

W matematyce klasyfikacja Enriquesa-Kodaira jest klasyfikacją zwartych złożonych powierzchni na dziesięć klas. Dla każdej z tych klas powierzchnie w klasie można sparametryzować przestrzenią moduli . Dla większości klas przestrzenie moduli są dobrze zrozumiane, ale dla klasy powierzchni typu ogólnego przestrzenie moduli wydają się zbyt skomplikowane, aby je opisać w sposób jednoznaczny, chociaż niektóre składniki są znane.

Max Noether rozpoczął systematyczne badania powierzchni algebraicznych, a Guido Castelnuovo udowodnił ważną część klasyfikacji. Federigo Enriques  ( 1914 , 1949 ) opisał klasyfikację złożonych powierzchni rzutowych. Kunihiko Kodaira  ( 1964 , 1966 , 1968 , 1968b ) rozszerzył później klasyfikację o niealgebraiczne powierzchnie zwarte. Analogiczną klasyfikację powierzchni o charakterystyce pozytywnej rozpoczął David Mumford  ( 1969 ), a uzupełnili Enrico Bombieri i David Mumford ( 1976 , 1977 ); jest to podobne do przypadku rzutowego cechy 0, z tą różnicą, że w charakterystyce 2 otrzymujemy również osobliwe i nadosobliwe powierzchnie Enriquesa, a w charakterystyce 2 i quasi-hipereliptyczne powierzchnie.

Oświadczenie o klasyfikacji

Klasyfikacja zwartych złożonych powierzchni Enriquesa-Kodaira stwierdza, że ​​każda nieosobliwa minimalna zwarta złożona powierzchnia jest dokładnie jednym z 10 typów wymienionych na tej stronie; innymi słowy, jest to jedna z racjonalnych, rządzonych (rodzaj > 0), typu VII, K3, Enriques, Kodaira, torycznych, hipereliptycznych, właściwie quasi-eliptycznych lub typu ogólnego.

Dla 9 klas powierzchni innych niż typ ogólny istnieje dość pełny opis tego, jak wyglądają wszystkie powierzchnie (co dla klasy VII zależy od hipotezy globalnej sferycznej powłoki , wciąż nieudowodnionej w 2009 r.). W przypadku powierzchni typu ogólnego niewiele wiadomo na temat ich jednoznacznej klasyfikacji, chociaż znaleziono wiele przykładów.

Klasyfikacja powierzchni algebraicznych w charakterystyce dodatniej ( Mumford 1969 , Mumford i Bombieri  1976 , 1977 ) jest podobna do klasyfikacji powierzchni algebraicznych w charakterystyce 0, z wyjątkiem tego, że nie ma powierzchni Kodaira ani powierzchni typu VII, a istnieją pewne dodatkowe rodziny Enriques powierzchnie w charakterystyce 2 i hipereliptyczne w charakterystyce 2 i 3, aw wymiarze Kodaira 1 w charakterystyce 2 i 3 dopuszcza się również fibracje quasielliptyczne. Te dodatkowe rodziny można rozumieć w następujący sposób: W charakterystyce 0 powierzchnie te są ilorazami powierzchni przez grupy skończone, ale w charakterystyce skończonej możliwe jest również przyjęcie ilorazów przez schematy grup skończonych , które nie są étale .

Oscar Zariski skonstruował pewne powierzchnie o charakterystyce pozytywnej, które są nieracjonalne, ale nie racjonalne, wywodzące się z nierozłącznych rozszerzeń ( powierzchnie Zariskiego ). W pozytywnej charakterystyce Serre pokazał, że może się różnić od , a Igusa pokazała, że ​​nawet gdy są równe, mogą być większe niż nieregularność (wymiar odmiany Picard ). ${\ Displaystyle h ^ {0} (\ Omega )}$${\ Displaystyle h ^ {1} ({\ matematyka {O}})}$

Niezmienniki powierzchni

Numery Hodge i wymiar Kodaira

Najważniejsze niezmienniki zwartej powierzchni złożonej użyte w klasyfikacji można podać w kategoriach wymiarów różnych spójnych grup kohomologii snopów . Podstawowymi są liczby plurigenera i Hodge zdefiniowane w następujący sposób:

• K jest kanoniczną wiązką liniową, której sekcje są holomorficznymi postaciami 2 .

• ${\ Displaystyle P_ {n} = \ słabe H ^ {0} (K ^ {n}), n \ geqslant 1}$nazywane są plurigenera . Są niezmiennikami binarnymi , tj. niezmiennikami pod wpływem wysadzenia. Korzystając z teorii Seiberga-Wittena , Robert Friedman i John Morgan wykazali, że w przypadku rozmaitości zespolonych zależą one tylko od leżącej poniżej zorientowanej gładkiej 4-rozmaitości. W przypadku powierzchni innych niż Kähler plurigenera są określane przez grupę podstawową, ale dla powierzchni Kähler istnieją przykłady powierzchni, które są homeomorficzne, ale mają różne wymiary plurigenera i Kodaira. Poszczególne plurigenera nie są często używane; najważniejsze w nich jest ich tempo wzrostu, mierzone wymiarem Kodaira .

• ${\ Displaystyle \ kappa}$jest wymiarem Kodairy : jest (czasami zapisywany -1) jeśli wszystkie plurigenera są równe 0, a poza tym jest najmniejszą liczbą (0, 1 lub 2 dla powierzchni) taką, która jest ograniczona. Enriques nie użył tej definicji: zamiast tego użył wartości i . Określają one wymiar Kodaira, biorąc pod uwagę następującą korespondencję:${\displaystyle -\infty}$${\ Displaystyle P_ {n} / n ^ {\ kappa}}$${\ Displaystyle P_ {12}}$${\ Displaystyle K \ cdot K = c_ {1} ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ kappa = - \ infty i \ longleftrightarrow P_ {12} = 0 \ \ \ kappa = 0 i \ longleftrightarrow P_ {12} = 1 \ \ \ kappa =1 i \ longleftrightarrow P_ {12} >1{\text{ i }}K\cdot K=0\\\kappa =2&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ i }}K\cdot K>0\\\end{aligned}} }$

• ${\ Displaystyle h ^ {i, j} = \ dim H ^ {j} (X \ Omega ^ {i})}$gdzie jest snop holomorficznych i -form, to liczby Hodge'a , często ułożone w romb Hodge'a:${\ Displaystyle \ Omega ^ {i}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} i h ^ {0,0} i \ \ \ h ^ {1,0} i h ^ {0,1} i \ \ h ^ {2,0} i h ^ {1,1} &&h^{0,2}\\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\\&&h^{2,2}&&\\\end{macierz}}}$

Według dualizmu Serre'a i liczby Hodge'a powierzchni zespolonej zależą tylko od zorientowanego rzeczywistego pierścienia kohomologicznego powierzchni i są niezmienne w przypadku transformacji binarnych, z wyjątkiem których wzrasta o 1 w przypadku wysadzenia pojedynczego punktu. ${\ Displaystyle h ^ {i, j} = h ^ {2-i, 2-j}}$${\ Displaystyle h ^ {0,0} = h ^ {2,2} = 1.}$${\ Displaystyle h ^ {1,1}}$

• Jeśli powierzchnia to Kähler to i są tylko trzy niezależne liczby Hodge'a.${\ Displaystyle h ^ {i, j} = h ^ {j, i}}$
• Jeśli powierzchnia jest zwarta to równa się lub${\ Displaystyle h ^ {1,0}}$${\ Displaystyle h ^ {0,1}}$${\ Displaystyle h ^ {0,1}-1.}$

Niezmienniki związane z liczbami Hodge'a

Istnieje wiele niezmienników, które (przynajmniej dla powierzchni złożonych) można zapisać jako liniowe kombinacje liczb Hodge'a, w następujący sposób:

• Liczby Betti : zdefiniowane przez${\ Displaystyle b_ {i} = \ słabe H ^ {i} (S), 0 \ leqslant ja \ leqslant 4.}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} b_ {0}= b_ {4} = 1 \ \ b_ {1} = b_ {3} = h ^ {1,0} + h ^ {0,1} = h ^ {2,1}+h^{1,2}\\b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}\end{przypadki}}}$

W charakterystyce p  > 0 liczby Bettiego są definiowane za pomocą kohomologii l-adycznej i nie muszą spełniać tych relacji.

• Charakterystyka Eulera lub liczba Eulera :

${\displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}.}$

• Nieprawidłowość jest określona jako wymiar różnych Picard i różnych Albanese i oznaczona przez Q . Do powierzchni złożonych (ale nie zawsze do powierzchni o pierwszorzędnej charakterystyce)

${\ Displaystyle q = h ^ {0,1}.}$

• W geometryczne rodzaju :

${\ Displaystyle p_ {g} = h ^ {0,2} = h ^ {2,0} = P_ {1}.}$

• W arytmetyczne genus :

${\ Displaystyle p_ {a} = p_ {g} -q = h ^ {0,2} - h ^ {0,1}.}$

• Holomorficzny Eulera charakterystyczne w trywialne pakietu (zwykle różni się od liczby Eulera e zdefiniowane powyżej):

${\ Displaystyle \ chi = p_ {g} -q + ​​1 = h ^ {0,2} - h ^ {0,1} + 1.}$

Według wzoru Noether jest również równy rodzajowi Todd ${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(c_{1}^{2}+c_{2}).}$

• Podpis drugiej grupy kohomologii skomplikowanych powierzchni oznacza się przez :${\ Displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle \ tau = 4 \ chi -e = \ suma \ nolimity _ {i, j} (-1) ^ {j} h ^ {i, j}.}$

• ${\displaystyle b^{\pm}}$są wymiarami maksymalnych dodatnich i ujemnych określonych podprzestrzeni tak:${\ Displaystyle H ^ {2},}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} b ^ {+} + b ^ {-} = b_ {2} \ \ b ^ {+}-b ^ {-} = \ tau \ koniec {przypadki}}}$

• c ₂ = e i są liczbami Cherna , zdefiniowanymi jako całki różnych wielomianów w klasach Cherna po rozmaitości.${\ Displaystyle c_ {1} ^ {2} = K ^ {2} = 12 \ chi -e}$

Inne niezmienniki

Istnieją dalsze niezmienniki zwartych złożonych powierzchni, które nie są tak często wykorzystywane w klasyfikacji. Należą do nich niezmienniki algebraiczne, takie jak grupa Picarda Pic( X ) dzielników równoważność liniowa modulo , jej iloraz grupa Nerona-Severiego NS( X ) z rangą liczba Picarda ρ, niezmienniki topologiczne, takie jak grupa podstawowa π ₁ i homologia całkowa i grupy kohomologiczne oraz niezmienniki leżącej poniżej gładkiej 4-rozmaitościowej, takie jak niezmienniki Seiberga-Wittena i niezmienniki Donaldsona .

Minimalne modele i wysadzanie

Każda powierzchnia jest birational do powierzchni nieosobliwej, więc dla większości celów wystarczy sklasyfikować powierzchnie nieosobliwe.

Mając dowolny punkt na powierzchni, możemy utworzyć nową powierzchnię przez wysadzenie tego punktu w powietrze, co oznacza z grubsza, że ​​zastępujemy go kopią linii rzutowej. Na potrzeby tego artykułu nieosobliwa powierzchnia X jest nazywana minimalną, jeśli nie można jej uzyskać z innej nieosobliwej powierzchni przez wysadzenie punktu. Według twierdzenia Castelnuovo o skróceniu , jest to równoważne powiedzeniu, że X nie ma krzywych (−1) (gładkie krzywe wymierne z liczbą samoprzecięcia −1). (Według bardziej nowoczesnej terminologii programu modelu minimalnego , gładką powierzchnię rzutową X nazwano by minimalną, jeśli jej kanoniczna wiązka liniowa K _X jest nef . Gładka powierzchnia rzutowa ma model minimalny w tym silniejszym sensie wtedy i tylko wtedy, gdy jej wymiar Kodaira jest nieujemna.)

Każda powierzchnia X jest binarna do minimalnej powierzchni nieosobliwej, a ta minimalna powierzchnia nieosobliwa jest unikalna, jeśli X ma wymiar Kodaira co najmniej 0 lub nie jest algebraiczny. Powierzchnie algebraiczne wymiaru Kodaira mogą być binarne do więcej niż jednej minimalnej powierzchni nieosobliwej, ale łatwo jest opisać związek między tymi minimalnymi powierzchniami. Na przykład P ¹ × P ¹ wysadzony w punkcie jest izomorficzny z P ² wysadzonym dwukrotnie. Tak więc, aby zaklasyfikować wszystkie zwarte powierzchnie złożone aż do izomorfizmu biracjonalnego, wystarczy (mniej więcej) sklasyfikować te minimalne nieosobliwe. ${\displaystyle -\infty}$

Powierzchnie wymiaru Kodaira −∞

Powierzchnie algebraiczne wymiaru Kodaira można sklasyfikować w następujący sposób. Jeśli q > 0, to mapa do odmiany albańskiej ma włókna, które są liniami rzutowymi (jeśli powierzchnia jest minimalna), więc powierzchnia jest powierzchnią rządzoną. Jeśli q = 0 ten argument nie działa, ponieważ odmiana albańska jest punktem, ale w tym przypadku twierdzenie Castelnuovo sugeruje, że powierzchnia jest racjonalna. ${\displaystyle -\infty}$

W przypadku powierzchni nie algebraicznych Kodaira znalazł dodatkową klasę powierzchni, zwaną typem VII, która wciąż nie jest dobrze poznana.

Racjonalne powierzchnie

Racjonalna powierzchnia oznacza powierzchnię biracjonalną do złożonej płaszczyzny rzutowej P ² . To wszystko są algebraiczne. Minimalne racjonalne powierzchnie P ² sobie i Hirzebrucha powierzchni Ď _n o n = 0 i n ≥ 2. (The Hirzebrucha powierzchni Σ _n jest P ¹ wiązka nad P ¹ wiąże się z O snopa (0) + O ( n ) Powierzchnia Σ ₀ jest izomorficzna z P ¹ × P ¹ , a Σ ₁ jest izomorficzna z P ² wysadzonym w punkcie, więc nie jest minimalna.)

Niezmienniki: Wszystkie plurigenera mają wartość 0, a podstawowa grupa jest trywialna.

Diament Hodge'a:

		1
	0		0
0		1		0	(płaszczyzna rzutowana)
	0		0
		1

		1
	0		0
0		2		0	(powierzchnie Hirzebruch)
	0		0
		1

Przykłady: P ² , P ¹ x P ¹ = Σ ₀ , Hirzebrucha powierzchni Σ _n , Kwadryki , powierzchnie sześciennych , del Pezzo powierzchnie , Veronese powierzchni . Wiele z tych przykładów nie jest minimalnych.

Rządzone powierzchnie rodzaju > 0

Powierzchnie rządzone z rodzaju g mają gładki morfizm do krzywej z rodzaju g, której włókna są liniami P ¹ . Wszystkie są algebraiczne. (Te z rodzaju 0 są powierzchniami Hirzebrucha i są racjonalne.) Każda rządzona powierzchnia jest biracjonalnie równoważna P ¹ × C dla unikalnej krzywej C , więc klasyfikacja powierzchni rządzonych aż do równoważności biracjonalnej jest zasadniczo taka sama jak klasyfikacja Krzywe. Linia w linii, która nie jest izomorficzna z P ¹ × P ^1, ma unikalną liniaturę ( P ¹ × P ¹ ma dwie).

Niezmienniki: wszystkie plurigenera mają wartość 0.

Diament Hodge'a:

		1
	g		g
0		2		0
	g		g
		1

Przykłady: Iloczyn dowolnej krzywej rodzaju > 0 z P ¹ .

Powierzchnie klasy VII

Powierzchnie te nigdy nie są algebraiczne ani Kähler . Minimalne te z b ₂ = 0 zostały sklasyfikowane przez Bogomolow i są albo Hopf powierzchni lub Inoue powierzchni . Przykłady z dodatnim drugiej liczby bettiego obejmują Inoue-Hirzebrucha powierzchni , Enoki powierzchni oraz, bardziej ogólnie powierzchni Kato . Globalny kuliste powłoki przypuszczenie oznacza, że wszystkie klasy VII minimalne powierzchnie dodatni drugiej liczby bettiego Kato są powierzchnie, które bardziej lub mniej kompletne klasyfikację typu VII powierzchni.

Niezmienniki: q = 1, h ^1,0 = 0. Wszystkie plurigenera mają wartość 0.

Diament Hodge'a:

		1
	0		1
0		b 2		0
	1		0
		1

Powierzchnie Kodairy o wymiarze 0

Te powierzchnie są klasyfikowane zaczynając od wzoru Noether Dla wymiaru Kodaira 0, K ma zerową liczbę przecięcia ze sobą , więc Używając ${\ Displaystyle 12 \ chi = c_ {2} + c_ {1} ^ {2}.}$${\displaystyle c_{1}^{2}=0.}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ chi & = h ^ {0,0} - h ^ {0,1} + h ^ {0,2} \ \ c_ {2} i = 2-2b_ {1} +b_{2}\koniec{wyrównany}}}$

dojeżdżamy do:

${\ Displaystyle 10 + 12h ^ {0,2} = 8h ^ {0,1} + 2 \ lewo (2h ^ {0,1} -b_ {1} \ prawej) + b_ {2}}$

Ponadto od κ = 0 mamy:

${\ Displaystyle h ^ {0,2} = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i K = 0 \ \ 0 i {\ tekst {inaczej}} \ koniec {przypadki}}}$

połączenie tego z poprzednim równaniem daje:

${\ Displaystyle 8h ^ {0,1} +2 \ lewo (2h ^ {0,1} -b_ {1} \ prawej) + b_ {2} = {\ zacząć {przypadki} 22 i K = 0 \ \ 10 i {\ text{otherwise}}\end{cases}}}$

Ogólnie 2 h ^0,1 ≥ b ₁ , więc trzy wyrazy po lewej są nieujemnymi liczbami całkowitymi i istnieje tylko kilka rozwiązań tego równania.

• Dla powierzchni algebraicznych 2 h ^0,1 − b ₁ jest parzystą liczbą całkowitą pomiędzy 0 a 2 p _g .
• Dla zwartych powierzchni złożonych 2 h ^0,1 − b ₁ = 0 lub 1.
• Dla powierzchni Kähler 2 h ^0,1 − b ₁ = 0 i h ^1,0 = h ^0,1 .

Większość rozwiązań tych warunków odpowiada klasom powierzchni, jak w poniższej tabeli:

b 2	b 1	h 0,1	p g = h 0,2	godz. 1,0	godz. 1,1	Powierzchnie	Pola
22	0	0	1	0	20	K3	Każdy. Zawsze Kähler nad liczbami zespolonymi, ale nie musi być algebraiczny.
10	0	0	0	0	10	Klasyczne Enriques	Każdy. Zawsze algebraiczne.
10	0	1	1			Nieklasyczne Enriques	Tylko charakterystyczna 2
6	4	2	1	2	4	Powierzchnie abelowe, tori	Każdy. Zawsze Kähler nad liczbami zespolonymi, ale nie musi być algebraiczny.
2	2	1	0	1	2	Hipereliptyczny	Każdy. Zawsze algebraiczne
2	2	2	1			Quasi-hipereliptyczny	Tylko cechy 2, 3
4	3	2	1	1	2	Główny Kodaira	Tylko złożony, nigdy Kähler
0	1	1	0	0	0	Kodaira wtórny	Tylko złożony, nigdy Kähler

Powierzchnie K3

Są to minimalne zwarte złożone powierzchnie Kodairy o wymiarze 0 z q = 0 i trywialną kanoniczną wiązką liniową. Wszystkie są rozmaitościami Kählera . Wszystkie powierzchnie K3 są dyfeomorficzne, a ich klasa dyfeomorfizmu jest ważnym przykładem gładkiego spinu po prostu połączonego 4-rozmaitościowego.

Niezmienniki: Druga grupa kohomologii H ² ( X , Z ) jest izomorficzna z unikalną, parzystą, jednomodułową siecią II _3,19 o wymiarze 22 i sygnaturze −16.

Diament Hodge'a:

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

Przykłady :

• Hiperpowierzchnie stopnia 4 w P ³ ( C )
• Powierzchnie Kummer . Uzyskuje się je poprzez iloraz powierzchni abelowej przez automorfizm a → − a , a następnie wysadzenie 16 punktów osobliwych.

Oznaczone powierzchni K3 K3 powierzchnia razem z izomorfizmie z II _3,19 do H ² ( X , Z ). Przestrzeń modulów zaznaczonych powierzchni K3 jest połączona z nie-Hausdorffową gładką przestrzenią analityczną o wymiarze 20. Powierzchnie algebraiczne K3 tworzą policzalny zbiór jej 19-wymiarowych podrozmaitości.

Powierzchnie abelowe i dwuwymiarowe złożone tori

Dwuwymiarowe złożone tori obejmują powierzchnie abelowe . Jednowymiarowe złożone tori są tylko krzywymi eliptycznymi i wszystkie są algebraiczne, ale Riemann odkrył, że najbardziej złożone tori drugiego wymiaru nie są algebraiczne. Te algebraiczne są dokładnie dwuwymiarowymi rozmaitościami abelowymi . Większość ich teorii jest szczególnym przypadkiem teorii wielowymiarowych tori lub odmian abelowych. Kryteria bycia iloczynem dwóch krzywych eliptycznych (aż do izogenii ) były popularnym badaniem w XIX wieku.

Niezmienniki: Wszystkie plurigenera to 1. Powierzchnia jest diffeomorficzna do S ¹ × S ¹ × S ¹ × S ^1, więc podstawowa grupa to Z ⁴ .

Diament Hodge'a:

		1
	2		2
1		4		1
	2		2
		1

Przykłady: Iloczyn dwóch krzywych eliptycznych. Jakobian krzywej rodzaju 2. Dowolny iloraz C ² przez sieć.

Powierzchnie Kodaira

Nigdy nie są algebraiczne, chociaż mają niestałe funkcje meromorficzne. Zwykle dzieli się je na dwa podtypy: pierwotne powierzchnie Kodairy z trywialną wiązką kanoniczną i drugorzędne powierzchnie Kodairy, które są ilorazami tych skończonych grup rzędów 2, 3, 4 lub 6 i które mają nietrywialne wiązki kanoniczne. Drugorzędne powierzchnie Kodaira mają taki sam stosunek do pierwotnych, jak powierzchnie Enriques do powierzchni K3 lub powierzchnie bielliptyczne do powierzchni abelowych.

Niezmienniki: Jeśli powierzchnia jest ilorazem pierwotnej powierzchni Kodairy przez grupę rzędu k = 1, 2, 3, 4, 6, wtedy plurigenera P _n wynoszą 1, jeśli n jest podzielne przez k i 0 w przeciwnym razie.

Diament Hodge'a:

		1
	1		2
1		2		1	(Podstawowy)
	2		1
		1

		1
	0		1
0		0		0	(Wtórny)
	1		0
		1

Przykłady: Weź nietrywialną wiązkę linii po krzywej eliptycznej, usuń sekcję zerową, a następnie ilorazuj włókna przez Z działające jako mnożenie przez potęgi pewnej liczby zespolonej z . Daje to podstawową powierzchnię Kodairy.

Enriques powierzchnie

Są to powierzchnie zespolone takie, że q = 0 i kanoniczna wiązka liniowa jest nietrywialna, ale ma trywialny kwadrat. Powierzchnie Enriquesa są wszystkie algebraiczne (a zatem Kähler ). Są to ilorazy powierzchni K3 przez grupę rzędu 2 i ich teoria jest podobna do teorii algebraicznych powierzchni K3.

Niezmienniki: plurigenera P _n wynoszą 1, jeśli n jest parzyste i 0, jeśli n jest nieparzyste. Grupa podstawowa ma rząd 2. Druga grupa kohomologii H ² ( X , Z ) jest izomorficzna z sumą unikalnej, parzystej sieci jednomodułowej II _1,9 o wymiarze 10 i sygnaturze -8 oraz grupie rzędu 2.

Diament Hodge'a:

		1
	0		0
0		10		0
	0		0
		1

Powierzchnie Marked Enriques tworzą połączoną 10-wymiarową rodzinę, która została wyraźnie opisana.

W charakterystyce 2 znajdują się dodatkowe rodziny powierzchni Enriquesa zwane osobliwymi i nadosobliwymi powierzchniami Enriquesa; zobacz artykuł o powierzchniach Enriques, aby uzyskać szczegółowe informacje.

Powierzchnie hipereliptyczne (lub bielliptyczne)

Po liczbach zespolonych są to iloczyny dwóch krzywych eliptycznych przez skończoną grupę automorfizmów. Skończoną grupą może być Z /2 Z ,   Z /2 Z  +  Z /2 Z , Z /3 Z ,   Z /3 Z  +  Z /3 Z ,   Z /4 Z ,   Z /4 Z  +  Z /2 Z , lub Z /6 Z , dając siedem rodzin takich powierzchni. Nad polami cech 2 lub 3 są pewne dodatkowe rodziny podane przez iloraz ze schematu grup nieetalnych; zobacz artykuł o powierzchniach hipereliptycznych, aby uzyskać szczegółowe informacje.

Diament Hodge'a:

		1
	1		1
0		2		0
	1		1
		1

Powierzchnie Kodaira wymiar 1

Powierzchnia eliptyczna to powierzchnia wyposażona w eliptyczną fibrację (suriektywna holomorficzna mapa do krzywej B, tak że wszystkie włókna, z wyjątkiem skończonej liczby, są gładkimi, nieredukowalnymi krzywymi rodzaju 1). Włókno generyczne w takim rozwłóknieniu jest krzywą rodzaju 1 nad polem funkcyjnym B . Odwrotnie, biorąc pod uwagę krzywą genus 1 nad polem funkcji krzywej, jej względny model minimalny jest powierzchnią eliptyczną. Kodaira i inni podali dość kompletny opis wszystkich powierzchni eliptycznych. W szczególności Kodaira podała pełną listę możliwych pojedynczych włókien . Teoria powierzchni eliptycznych jest analogiczna do teorii właściwych regularnych modeli krzywych eliptycznych nad dyskretnymi pierścieniami wartościującymi (np. pierścień p -adycznych liczb całkowitych ) i dziedzinami Dedekinda (np. pierścień liczb całkowitych ciała liczbowego).

W skończonej charakterystyce 2 i 3 można również uzyskać powierzchnie quasi-eliptyczne , których włókna mogą być prawie wszystkie krzywymi wymiernymi z jednym węzłem, które są "zdegenerowanymi krzywymi eliptycznymi".

Każda powierzchnia wymiaru Kodairy 1 jest powierzchnią eliptyczną (lub powierzchnią quasielliptyczną we właściwościach 2 lub 3), ale nie jest to prawdą: powierzchnia eliptyczna może mieć wymiar Kodaira , 0 lub 1. Wszystkie powierzchnie Enriques , wszystkie powierzchnie hipereliptyczne , wszystkie powierzchnie Kodaira , niektóre powierzchnie K3 , niektóre powierzchnie abelowe i niektóre powierzchnie wymierne są powierzchniami eliptycznymi, a te przykłady mają wymiar Kodaira mniejszy niż 1. Powierzchnia eliptyczna, której bazowa krzywa B jest z rodzaju co najmniej 2, ma zawsze wymiar Kodaira 1, ale wymiar Kodairy może wynosić 1 również dla niektórych powierzchni eliptycznych z B z rodzaju 0 lub 1. ${\displaystyle -\infty}$

Niezmienniki: ${\displaystyle c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0.}$

Przykład: Jeśli E jest krzywą eliptyczną, a B jest krzywą z rodzaju co najmniej 2, to E × B jest powierzchnią eliptyczną o wymiarze Kodairy 1.

Powierzchnie Kodaira wymiar 2 (powierzchnie typu ogólnego)

Wszystkie są algebraiczne iw pewnym sensie większość powierzchni należy do tej klasy. Gieseker wykazał, że istnieje schemat zgrubnych modułów dla powierzchni typu ogólnego; oznacza to, że dla dowolnych stałych wartości liczb Cherna c²
₁i c ₂ , istnieje schemat quasi-rzutowy klasyfikujący powierzchnie typu ogólnego z tymi liczbami Cherna. Jednak bardzo trudnym problemem jest jednoznaczne opisanie tych schematów i istnieje bardzo niewiele par liczb Cherna, dla których zostało to zrobione (z wyjątkiem sytuacji, gdy schemat jest pusty!).

Niezmienniki: Istnieje kilka warunków, które muszą spełniać liczby Cherna minimalnej powierzchni złożonej typu ogólnego:

• ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}>0}$
• ${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}}$( nierówność Bogomołow–Miyaoka–Yau )
• ${\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0}$ (nierówność Noether)
• ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{1}\równoważnik 0{\bmod {1}}2.}$

Większość par liczb całkowitych spełniających te warunki to liczby Cherna dla pewnej powierzchni złożonej typu ogólnego.

Przykłady: Najprostsze przykłady to iloczyn dwóch krzywych z rodzaju co najmniej 2 i hiperpowierzchni co najmniej 5 stopnia w P ³ . Znanych jest wiele innych konstrukcji. Jednak nie jest znana konstrukcja, która może wytwarzać „typowe” powierzchnie ogólnego typu dla dużych liczb Cherna; w rzeczywistości nie wiadomo nawet, czy istnieje sensowna koncepcja „typowej” powierzchni ogólnego typu. Istnieje wiele innych przykładów, które zostały znalezione, w tym większość powierzchni modułowych Hilberta , fałszywe płaszczyzny rzutowe , powierzchnie Barlowa i tak dalej.

Zobacz też

• Lista powierzchni algebraicznych

Bibliografia

• Barth, Wilk P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Kompaktowe powierzchnie złożone , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225 – standardowa książka informacyjna dla zwartych, złożonych powierzchni
• Beauville, Arnaud (1996), Złożone powierzchnie algebraiczne , London Mathematical Society Student Texts, 34 (2nd ed.), Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511623936 , ISBN 978-0-521-49510-3, MR  1406314; ( ISBN  978-0-521-49842-5 miękka oprawa) – w tym bardziej elementarne wprowadzenie do klasyfikacji
• Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1977), "Klasyfikacja Enriques' powierzchni na char. p. II", analiza zespolona i geometria algebraiczna , Tokio: Iwanami Shoten, s. 23-42, MR  0491719
• Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1976), "Klasyfikacja Enriques' powierzchni na char. p. III." (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 : 197-232 , Bibcode : 1976InMat..35..197B , doi : 10.1007/BF01390138 , MR  0491720
• Enriques, Federigo (1914), „Sulla classificazione delle superficie algebriche e particolarmente sulle superficie di genere p ¹ = 1”, Atti. wg. Lincei V Ser. , 23
• Enriques, Federigo (1949), Le Superficie Algebriche , Nicola Zanichelli, Bolonia, MR  0031770
• Kodaira, Kunihiko (1964), „O strukturze zwartych złożonych powierzchni analitycznych. I”, American Journal of Mathematics , 86 (4): 751-798, doi : 10.2307/2373157 , JSTOR  2373157 , MR  0187255
• Kodaira, Kunihiko (1966), „O strukturze zwartych złożonych powierzchni analitycznych. II”, American Journal of Mathematics , 88 (3): 682-721, doi : 10.2307/2373150 , JSTOR  2373150 , MR  0205280
• Kodaira, Kunihiko (1968), „O strukturze zwartych złożonych powierzchni analitycznych. III”, American Journal of Mathematics , 90 (1): 55-83, doi : 10.2307/2373426 , JSTOR  2373426 , MR  0228019
• Kodaira, Kunihiko (1968), „O strukturze złożonych powierzchni analitycznych. IV”, American Journal of Mathematics , 90 (4): 1048-1066, doi : 10.2307/2373289 , JSTOR  2373289 , MR  0239114
• Mumford, David (1969), "Klasyfikacja powierzchni Enriquesa w char p I", Global Analysis (Papiery na cześć K. Kodairy) , Tokio: Univ. Tokyo Press, s. 325-339, MR  0254053
• Reid, Miles (1997), „Rozdziały o powierzchniach algebraicznych”, Złożona geometria algebraiczna (Park City, UT, 1993) , IAS/Park City Math. Ser., 3 , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 3-159, arXiv : alg-geom/9602006 , Bibcode : 1996alg.geom..2006R , MR  1442522
• Szafarewicz, Igor R. ; Averbuh, Boris G.; Vaĭnberg, Ju. R.; Żyżczenko, AB; Manin, Jurij I. ; Moishezon, Boris G .; Tjurina, Galina N.; Tjurin, Andrei N. (1967) [1965], „powierzchnie algebraiczne”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics , Providence, RI: American Mathematical Society , 75 : 1-215, ISBN 978-0-8218-1875-6, numer MR  0190143
• Van de Ven, Antonius (1978), "O klasyfikacji Enriquesa powierzchni algebraicznych" , Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77) , Lecture Notes in Math., 677 , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 237 –251, MR  0521772

Linki zewnętrzne

• le superficie algebriche to interaktywna wizualizacja klasyfikacji Enriques-Kodaira, autorstwa Pietera Belmansa i Johana Commelina