Spójna kohomologia snopów - Coherent sheaf cohomology

W matematyce , zwłaszcza w geometrii algebraicznej i teorii rozmaitości zespolonych , kohomologia kohomologii snopów jest techniką tworzenia funkcji o określonych właściwościach. Wiele pytań geometrycznych można sformułować jako pytania o istnienie odcinków wiązek linii lub bardziej ogólnie spójnych snopów ; takie sekcje można postrzegać jako funkcje uogólnione. Kohomologia zapewnia obliczalne narzędzia do tworzenia przekrojów lub wyjaśniania, dlaczego one nie istnieją. Zapewnia również niezmienniki do odróżniania jednej odmiany algebraicznej od drugiej.

Wiele z geometrii algebraicznej i złożonej geometrii analitycznej jest sformułowanych w kategoriach spójnych snopów i ich kohomologii.

Spójne krążki

Spójne snopy można postrzegać jako uogólnienie wiązek wektorów . Istnieje pojęcie spójnego snopa analitycznego w złożonej przestrzeni analitycznej i analogiczne pojęcie spójnego snopa algebraicznego na schemacie . W obu przypadkach dana przestrzeń obejmuje snop pierścieni , snop funkcji holomorficznych lub regularnych , a koherentne snopy definiuje się jako pełną podkategorię kategorii - modułów (czyli snopów -modułów). ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Wiązki wektorów, takie jak wiązka styczna, odgrywają fundamentalną rolę w geometrii. Mówiąc bardziej ogólnie, na zamkniętym subvariety z włączeniem , pakiet wektor na określa spójną snop na , z bezpośrednim snop obrazu , która wynosi zero zewnątrz . W ten sposób wiele pytań o podgatunki można wyrazić w kategoriach spójnych snopów . ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle i: Y \ do X}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle i _ {*} E}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

W przeciwieństwie do wiązek wektorów, koherentne snopy (w przypadku analitycznym lub algebraicznym) tworzą kategorię abelową , a więc są zamykane w operacjach takich jak pobieranie jąder , obrazów i kerneli . Według schematu, quasi-spójne snopy są uogólnieniem spójnych snopów, w tym lokalnie wolnych snopów o nieskończonej randze.

Kohomologia snopów

Na snop grup abelian na przestrzeni topologicznej , że Sheaf kohomologii grupy dla liczb całkowitych są zdefiniowane jako prawo pochodzi funktory tego funktora sekcji globalnych . W rezultacie wynosi zero dla i można go zidentyfikować za pomocą . Dla każdej krótkiej dokładnej sekwencji snopów istnieje długa dokładna sekwencja grup kohomologicznych: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ mapsto {\ mathcal {F}} (X)}$${\ Displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle i <0}$${\ Displaystyle H ^ {0} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X)}$${\ Displaystyle 0 \ do {\ mathcal {A}} \ do {\ mathcal {B}} \ do {\ mathcal {C}} \ do 0}$

${\ Displaystyle 0 \ do H ^ {0} (X, {\ mathcal {A}}) \ do H ^ {0} (X, {\ mathcal {B}}) \ do H ^ {0} (X, {\ mathcal {C}}) \ to H ^ {1} (X, {\ mathcal {A}}) \ to \ cdots.}$

Jeśli na schemacie jest snopem modułów -modułów , to grupy kohomologiczne (zdefiniowane za pomocą podstawowej przestrzeni topologicznej ) są modułami nad pierścieniem regularnych funkcji. Na przykład, jeśli jest schematem na polu , to grupy kohomologii to - przestrzenie wektorowe . Teoria nabiera mocy, gdy jest spójnym lub quasi-spójnym snopem, z powodu następującej sekwencji wyników. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Znikające twierdzenia w przypadku afinicznym

Złożona analiza została zrewolucjonizowana przez twierdzenia A i B Cartana w 1953 r. Wyniki te mówią, że jeśli jest spójnym snopem analitycznym w przestrzeni Steina , to jest rozpięty na jego globalne sekcje i dla wszystkich . (Przestrzeń zespolona to Stein wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzna z zamkniętą podprzestrzenią analityczną dla niektórych ). Wyniki te uogólniają dużą część starszych prac dotyczących konstrukcji złożonych funkcji analitycznych o danych osobliwościach lub innych właściwościach. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}) = 0}$${\ displaystyle i> 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

W 1955 roku Serre wprowadził spójne snopy do geometrii algebraicznej (początkowo na algebraicznie zamkniętym polu , ale to ograniczenie zostało usunięte przez Grothendiecka ). Analogi twierdzeń Cartana utrzymują się w dużej ogólności: jeśli jest quasi-spójnym snopem na schemacie afinicznym , to jest podzielony na jego sekcje globalne i dla . Jest to związane z faktem, że kategoria quasi-spójnych snopów na schemacie afinicznym jest równoważna kategorii -modułów, przy czym równoważność przenosi snop do -modułu . W rzeczywistości schematy afiniczne charakteryzują się spośród wszystkich quasi-zwartych schematów zanikiem wyższej kohomologii dla quasi-spójnych snopów. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}) = 0}$${\ displaystyle i> 0}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (X)}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (X)}$${\ Displaystyle H ^ {0} (X, {\ mathcal {F}})}$

Kohomologia Čecha i kohomologia przestrzeni rzutowej

W konsekwencji, zaniku kohomologiami dla systemów afinicznych: dla oddzielonej programu , afinicznych otwartej osłony z i quasi-spójne wiązce na , grupy kohomologii są izomorficzne z kohomologii Cecha grupami w odniesieniu do otwartej powłoki . Innymi słowy, znajomość przekrojów na wszystkich skończonych przecięciach afinicznych podschematów otwartych określa kohomologię ze współczynnikami w . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ {U_ {i} \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle H ^ {*} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle \ {U_ {i} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Korzystając z kohomologii Čecha, można obliczyć kohomologię przestrzeni rzutowej ze współczynnikami w dowolnej wiązce linii. Mianowicie, na polu , dodatnią liczbę całkowitą , i dowolnej liczby całkowitej , kohomologii projekcyjnej przestrzeni nad ze współczynnikami w zestawie linii jest dana przez: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (j)}$

${\ Displaystyle H ^ {i} (\ mathbb {P} ^ {n}, {\ mathcal {O}} (j)) \ cong {\ rozpocząć {przypadki} \ bigoplus _ {a_ {0} \ ldots, a_ {n} \ geq 0, \; a_ {0} + \ cdots + a_ {n} = j} \; k \ cdot x_ {0} ^ {a_ {0}} \ cdots x_ {n} ^ {a_ {n}} & i = 0 \\ [6pt] 0 & i \ neq 0, n \\ [6pt] \ bigoplus _ {a_ {0}, \ ldots, a_ {n} <0, \; a_ {0} + \ cdots + a_ {n} = j} \; k \ cdot x_ {0} ^ {a_ {0}} \ cdots x_ {n} ^ {a_ {n}} & i = n \ end {cases}}}$

W szczególności to obliczenie pokazuje, że kohomologia przestrzeni rzutowej ze współczynnikami w dowolnym wiązce linii ma skończony wymiar jako -przestrzeń wektorowa. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

Zniknięcie tych grup kohomologii ponad wymiarem jest bardzo szczególnym przypadkiem twierdzenia Grothendiecka o znikaniu : dla wszystkich snopów grup abelowych w noetherowskiej topologicznej przestrzeni wymiaru , dla wszystkich . Jest to szczególnie przydatne w przypadku schematu Noetherian (na przykład odmiany na polu) i quasi-spójnego snopa. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle n <\ infty}$${\ Displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}) = 0}$${\ displaystyle i> n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Kohomologia snopów płaskich krzywych

Mając gładką rzutową płaską krzywą stopnia , kohomologię snopów można łatwo obliczyć przy użyciu długiej, dokładnej sekwencji w kohomologii. Po pierwsze, należy zauważyć, że dla osadzania istnieje izomorfizm grup kohomologicznych ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle H ^ {*} (C, {\ mathcal {O}} _ {C})}$${\ Displaystyle i: C \ do \ mathbb {P} ^ {2}}$

${\ Displaystyle H ^ {*} (\ mathbb {P} ^ {2}, ja _ {*} {\ mathcal {O}} _ {C}) \ cong H ^ {*} (C, {\ mathcal {O }}_{DO})}$

ponieważ jest dokładny. Oznacza to, że krótka dokładna sekwencja spójnych snopów ${\ displaystyle i _ {*}}$

${\ Displaystyle 0 \ do {\ mathcal {O}} (- d) \ do {\ mathcal {O}} \ do i _ {*} {\ mathcal {O}} _ {C} \ do 0}$

on , zwany idealną sekwencją , może być użyty do obliczenia kohomologii na podstawie długiej dokładnej sekwencji w kohomologii. Sekwencja brzmi następująco ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 0 i \ do H ^ {0} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}} (- d)) \ do H ^ {0} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}}) \ to H ^ {0} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}} _ {C}) \\ & \ do H ^ {1} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}} (- d)) \ do H ^ {1} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}}) \ to H ^ {1} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}} _ {C}) \\ & \ to H ^ {2} (\ mathbb {P } ^ {2}, {\ mathcal {O}} (- d)) \ to H ^ {2} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}}) \ to H ^ {2 } (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}} _ {C}) \ end {aligned}}}$

co można uprościć, korzystając z poprzednich obliczeń przestrzeni rzutowej. Dla uproszczenia załóżmy, że pierścień bazowy to (lub dowolne pole algebraicznie zamknięte). Następnie są izomorfizmy ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H ^ {0} (C, {\ mathcal {O}} _ {C}) & \ cong H ^ {0} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}}) \\ H ^ {1} (C, {\ mathcal {O}} _ {C}) & \ cong H ^ {2} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}} (- d)) \ end {aligned}}}$

co pokazuje, że krzywa jest skończoną wymiarową przestrzenią wektorową rzędu ${\ displaystyle H ^ {1}}$

${\ Displaystyle {d-1 \ wybierz d-3} = {\ Frac {(d-1) (d-2)} {2}}}$ .

Twierdzenie Kunnetha

Istnieje analogia wzoru Kunnetha w kohomologii kohomologii snopów koherentnych dla produktów różnych odmian. Biorąc pod uwagę quasi-zwarte schematy z afinicznymi przekątnymi nad ciałem (np. Schematy rozdzielone) i niech i , to jest izomorfizm ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ in {\ text {Coh}} (X)}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ in {\ text {Coh}} (Y)}$

${\ Displaystyle H ^ {k} (X \ razy _ {{\ tekst {Spec}} (k)} Y, \ pi _ {1} ^ {*} {\ mathcal {F}} \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X \ times _ {{\ text {Spec}} (k)} Y}} \ pi _ {2} ^ {*} {\ mathcal {G}}) \ cong \ bigoplus _ { i + j = k} H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}) \ otimes _ {k} H ^ {j} (Y, {\ mathcal {G}})}$

gdzie są kanoniczne projekcje do . ${\ displaystyle \ pi _ {1}, \ pi _ {2}}$${\ Displaystyle X \ razy _ {{\ tekst {Spec}} (k)} Y}$${\ displaystyle X, Y}$

Obliczanie kohomologii snopów krzywych

W programie ogólna sekcja definiuje krzywą , podając idealną sekwencję ${\ Displaystyle X = \ mathbb {P} ^ {1} \ razy \ mathbb {P} ^ {1}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (a, b) = \ pi _ {1} ^ {*} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {1}} ( a) \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} \ pi _ {2} ^ {*} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {1}} (b) }$${\ displaystyle C}$

${\ Displaystyle 0 \ do {\ mathcal {O}} _ {X} (- a, -b) \ do {\ mathcal {O}} _ {X} \ do {\ mathcal {O}} _ {C} \ do 0}$

Następnie długa dokładna sekwencja jest odczytywana jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 0 i \ do H ^ {0} (X, {\ mathcal {O}} (- a, -b)) \ ​​do H ^ {0} (X, {\ mathcal {O }}) \ do H ^ {0} (X, {\ mathcal {O}} _ {C}) \\ & \ do H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} (- a, - b)) \ ​​do H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}}) \ do H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {C}) \\ & \ do H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} (- a, -b)) \ ​​to H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}}) \ to H ^ {2} (X, { \ mathcal {O}} _ {C}) \ end {aligned}}}$

dający

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H ^ {0} (C, {\ mathcal {O}} _ {C}) & \ cong H ^ {0} (X, {\ mathcal {O}}) \\ H ^ {1} (C, {\ mathcal {O}} _ {C}) & \ cong H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} (- a, -b)) \ ​​end {wyrównane }}}$

Ponieważ jest to rodzaj krzywej, możemy użyć wzoru Kunnetha, aby obliczyć jej liczby Bettiego. To jest ${\ displaystyle H ^ {1}}$

${\ Displaystyle H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (- a, -b)) \ ​​cong H ^ {1} (\ mathbb {P} ^ {1}, {\ mathcal {O}} (- a)) \ otimes _ {k} H ^ {1} (\ mathbb {P} ^ {1}, {\ mathcal {O}} (- b))}$

który ma rangę

${\ Displaystyle {\ binom {a-1} {a-2}} {\ binom {b-1} {b-2}} = (a-1) (b-1) = ab-a-b + 1 }$

dla . W szczególności, jeśli jest zdefiniowane przez zanikające locus części rodzajowej , należy do rodzaju ${\ Displaystyle -a, -b \ leq -2}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (2, k)}$

${\ Displaystyle 2k-2-k + 1 = k-1}$

stąd wewnątrz pliku można znaleźć krzywą dowolnego rodzaju . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ times \ mathbb {P} ^ {1}}$

Wymiar skończony

Dla właściwego systemu nad polem i spójnej snopa na , grupy kohomologii mieć skończony wymiar jako przestrzenie-vector. W szczególnym przypadku, w którym jest rzutowa na to udowodniono przez redukcję w przypadku wiązki linii na powierzchni projekcyjnej, omówionych powyżej. W ogólnym przypadku prawidłowego schematu na polu Grothendieck udowodnił skończoność kohomologii, sprowadzając się do przypadku rzutowego, używając lematu Chowa . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$

Skończona wymiarowość kohomologii zachodzi również w analogicznej sytuacji koherentnych snopów analitycznych na dowolnej zwartej, złożonej przestrzeni, z zupełnie innego argumentu. Cartan i Serre udowodnili skończoną wymiarowość w tej sytuacji analitycznej, używając twierdzenia Schwartza o zwartych operatorach w przestrzeniach Frécheta . Względne wersje tego wyniku dla prawidłowego morfizmu zostały udowodnione przez Grothendiecka (dla lokalnych schematów Noether) i Grauerta (dla złożonych przestrzeni analitycznych). Mianowicie, do właściwego morfizmu (w ustawieniu algebraicznych lub analitycznej) i spójnej snop sprawie , że wyższe bezpośredni obraz krążki są spójne. Kiedy jest punktem, to twierdzenie daje skończoną wymiarowość kohomologii. ${\ displaystyle f: X \ do Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle R ^ {i} f _ {*} {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle Y}$

Skończona wymiarowość kohomologii prowadzi do wielu niezmienników liczbowych dla odmian rzutowych. Na przykład, jeśli jest gładka rzutowa krzywa na polu algebraicznie zamkniętym , to rodzaj z określa się wymiar przestrzeni-wektor . Kiedy występuje pole liczb zespolonych, zgadza się to z rodzajem przestrzeni punktów zespolonych w jego klasycznej (euklidesowej) topologii. (W tym przypadku jest to powierzchnia zorientowana zamknięta ). Wśród wielu możliwych uogólnień wyższego wymiaru, rodzaj geometryczny gładkiej rzutowej różnorodności wymiarów jest wymiarem , a rodzaj arytmetyczny (zgodnie z jedną konwencją) jest sumą przemienną ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle X (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle X (\ mathbb {C}) = X ^ {an}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle H ^ {n} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

${\ Displaystyle \ chi (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = \ suma _ {j} (- 1) ^ {j} \ dim _ {k} (H ^ {j} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})).}$

Serre dualność

Dualizm Serre'a jest analogiem dualizmu Poincarégo dla kohomologii spójnej snopu. W tej analogii wiązka kanoniczna pełni rolę snopa orientacyjnego . Mianowicie, na gładkiej właściwego systemu wymiaru nad polem , istnieje naturalna śladu mapa , która jest izomorfizmem, jeśli jest geometrycznie połączone , co oznacza, że zmiana bazowa od do algebraicznego zamknięcia jest podłączony . Serre dwoistość dla wiązki wektorowe sprawie mówi, że produkt ${\ displaystyle K_ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle H ^ {n} (X, K_ {X}) \ do k}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle H ^ {i} (X, E) \ razy H ^ {ni} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {*}) \ do H ^ {n} (X, K_ {X}) \ do k}$

to idealne połączenie dla każdej liczby całkowitej . W szczególności -przestrzenie i mają ten sam (skończony) wymiar. (Serre udowodnił również dwoistość Serre'a dla holomorficznych wiązek wektorów na dowolnej zwartej rozmaitości zespolonej). Teoria dwoistości Grothendiecka obejmuje uogólnienia na każdy spójny snop i każdy właściwy morfizm schematów, chociaż stwierdzenia stają się mniej elementarne. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle H ^ {i} (X, E)}$${\ Displaystyle H ^ {ni} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {*})}$

Na przykład, dla gładkiej krzywej rzutowej na algebraicznie zamkniętym polu , dualność Serre'a oznacza, że ​​wymiar przestrzeni 1-form na jest równy rodzajowi (wymiarowi ). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle H ^ {0} (X, \ Omega ^ {1}) = H ^ {0} (X, K_ {X})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

Twierdzenia GAGA

Twierdzenia GAGA wiążą rozmaitości algebraiczne na liczbach zespolonych z odpowiadającymi im przestrzeniami analitycznymi. Dla systemu X o skończonej typu na C , istnieje funktor z snopów koherentnych algebraicznych na X do spójnych analitycznych snopy na odpowiednim analitycznym przestrzeni X ^w . Kluczowym twierdzeniem GAGA (autorstwa Grothendiecka, uogólniającym twierdzenie Serre'a o przypadku rzutowym) jest to, że jeśli X jest właściwe nad C , to funktor ten jest równoważnością kategorii. Co więcej, dla każdego spójnego snopa algebraicznego E na odpowiednim schemacie X nad C , mapa naturalna

${\ Displaystyle H ^ {i} (X, E) \ do H ^ {i} (X ^ {\ tekst {an}}, E ^ {\ tekst {an}})}$

(skończenie wymiarowych) złożonych przestrzeni wektorowych jest izomorfizmem dla wszystkich i . (Pierwsza grupa jest tutaj zdefiniowana przy użyciu topologii Zariskiego, a druga przy użyciu topologii klasycznej (euklidesowej)). Na przykład równoważność między algebraicznymi i analitycznymi koherentnymi snopami w przestrzeni rzutowej implikuje twierdzenie Chowa, że każda zamknięta podprzestrzeń analityczna CP ⁿ jest algebraiczny.

Znikające twierdzenia

Serre na znikające twierdzenie mówi, że dla każdej szerokiej wiązki liniowej na odpowiednim schemacie nad pierścień noetherowski i spójnej snopa na nie jest liczbą całkowitą takie, że dla wszystkich , snop jest łączony przez jego sekcji globalnych i ma kohomologii w pozytywnych stopni. ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle m \ geq m_ {0}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ otimes L ^ {\ otimes m}}$

Chociaż twierdzenie Serre'a o znikaniu jest użyteczne, niejawność liczby może stanowić problem. Twierdzenie Kodaira o znikaniu jest ważnym wyraźnym wynikiem. Mianowicie, jeśli jest gładka rzutowe odmiana nad polem charakterystycznym zera, to duży pakiet na linii , a kanoniczny pakiet , a następnie ${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K_ {X}}$

${\ Displaystyle H ^ {j} (X, K_ {X} \ otimes L) = 0}$

dla wszystkich . Zauważ, że twierdzenie Serre'a gwarantuje to samo zanikanie dla dużych potęg . Zniknięcie Kodairy i jego uogólnienia mają fundamentalne znaczenie dla klasyfikacji rozmaitości algebraicznych i minimalnego programu modelowego . Zniknięcie Kodairy zawodzi w polach o pozytywnej charakterystyce. ${\ displaystyle j> 0}$${\ displaystyle L}$

Teoria Hodge'a

Twierdzenie Hodge'a wiąże kohomologię spójnych snopów z kohomologią osobliwą (lub kohomologią de Rham ). Mianowicie, jeśli jest to gładka złożona odmiana rzutowa, to istnieje kanoniczny rozkład sumy bezpośredniej złożonych przestrzeni wektorowych: ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle H ^ {a} (X, \ mathbf {C}) \ cong \ bigoplus _ {b = 0} ^ {a} H ^ {ab} (X, \ Omega ^ {b}),}$

dla każdego . Grupa po lewej stronie oznacza kohomologię osobliwą w jej klasycznej (euklidesowej) topologii, natomiast grupy po prawej to kohomologiczne grupy snopów spójnych, które (wg GAGA) można przyjąć albo w topologii Zariskiej, albo w topologii klasycznej. Ten sam wniosek odnosi się do dowolnego gładkiego, prawidłowego schematu powyżej lub dla dowolnej zwartej rozmaitości Kählera . ${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle X (\ mathbf {C})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Na przykład z twierdzenia Hodge'a wynika, że ​​definicja rodzaju gładkiej krzywej rzutowej jako wymiaru , który ma sens dla każdego pola , zgadza się z definicją topologiczną (jako połowa pierwszej liczby Bettiego ), kiedy są to liczby zespolone. Teoria Hodge'a zainspirowała obszerną pracę nad właściwościami topologicznymi złożonych rozmaitości algebraicznych. ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

Twierdzenia Riemanna – Rocha

Dla prawidłowego schematu X na polu k , cechą Eulera spójnego snopa E na X jest liczba całkowita

${\ Displaystyle \ chi (X, E) = \ suma _ {j} (- 1) ^ {j} \ dim _ {k} (H ^ {j} (X, E)).}$

Eulera charakterystyczne spójnej snop E można wyznaczyć z Cherna klas od E , zgodnie z twierdzeniem Riemanna- Roch i jego uogólnienia do twierdzenia Hirzebrucha-Riemanna- Roch i tw Grothendiecka-Riemanna Rocha . Na przykład, jeśli L jest wiązką linii na gładkiej, odpowiedniej geometrycznie połączonej krzywej X nad polem k , to

${\ Displaystyle \ chi (X, L) = {\ tekst {st.}} (L) - {\ tekst {rodzaj}} (X) +1,}$

gdzie ° C ( L ) oznacza stopień z L .

W połączeniu z twierdzeniem o znikaniu, twierdzenie Riemanna-Rocha często może być używane do określenia wymiaru przestrzeni wektorowej odcinków wiązki linii. Wiedząc, że wiązka linii na X ma wystarczającą liczbę sekcji, z kolei można użyć do zdefiniowania mapy od X do przestrzeni rzutowej, być może zamkniętego zanurzenia. To podejście jest niezbędne do klasyfikowania rozmaitości algebraicznych.

Twierdzenie Riemanna – Rocha ma również zastosowanie dla holomorficznych wiązek wektorów na zwartej rozmaitości zespolonej, zgodnie z twierdzeniem o indeksie Atiyaha – Singera .

Wzrost

Wymiary grup kohomologicznych na schemacie wymiaru n mogą rosnąć co najwyżej jak wielomian stopnia n .

Niech X będzie rzutowe schemat wymiaru n i D dzielnik na X . Jeśli jest jakaś spójna snop na X wtedy ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle h ^ {i} (X, {\ mathcal {F}} (MD)) = O (m ^ {n})}$ za każdy i .

Dla wyższej kohomologii nef dzielnika D na X ;

${\ Displaystyle h ^ {i} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (MD)) = O (m ^ {n-1})}$

Aplikacje

Biorąc pod uwagę schemat X na polu k , teoria deformacji bada deformacje X do nieskończenie małych sąsiedztw. W najprostszym przypadku, dotyczące odkształceń nad pierścieniem z dwoma numerami , bada, czy istnieje system X _R nad Spec R takie, że specjalny błonnik${\ Displaystyle R: = k [\ epsilon] / \ epsilon ^ {2}}$

${\ Displaystyle X_ {R} \ razy _ {\ operatorname {Spec} R} \ operatorname {Spec} k}$

jest izomorficzna z danym X . Kohomologia spójnego snopa ze współczynnikami w stycznym snopie kontroluje tę klasę odkształceń X , pod warunkiem, że X jest gładki. Mianowicie, ${\ displaystyle T_ {X}}$

• klasy izomorfizmów deformacji powyższego typu są sparametryzowane przez pierwszą kohomologię koherencyjną , ${\ Displaystyle H ^ {1} (X, T_ {X})}$
• istnieje element (zwany klasą przeszkody ), w którym znika wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odkształcenie X w stosunku do Spec R, jak powyżej. ${\ Displaystyle H ^ {2} (X, T_ {X})}$

Uwagi

Bibliografia

• Grauert Hans ; Remmert, Reinhold (1984), Coherent Analytic Sheaves , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 265 , Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-69582-7 , ISBN   3-540-13178-7 , MR   0755331
• Grothendieck Alexandre ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960–61 - Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , Paryż: Société Mathématique de France , arXiv : math.AG/ 0206203 , ISBN   978-2-85629-141-2 , MR   2017446
• Grothendieck Alexandre ; Dieudonné Jean (1961). „Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi : 10.1007 / bf02684274 . MR   0217085 .
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , 52 , Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90244-9 , MR   0463157
• Serre, Jean-Pierre (1955), „Faisceaux algébriques cohérents”, Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307 / 1969915 , JSTOR   1969915 , MR   0068874

Linki zewnętrzne

• Autorzy projektu Stacks, Projekt Stacks